Содержание
- Числовые и буквенные выражения
- Числовые выражения: что это
- Буквенные выражения
- Выражения с переменными
- Запись решения задачи выражением
- Урок 15. Математика 2 класс ФГОС
- В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
- Получите невероятные возможности
- Конспект урока «Запись решения задачи выражением»
Числовые и буквенные выражения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
- 23 + 5 = 28
- 5 — 2 = 3
- 52 * 3 = 156
- 28 : 7 = 4
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
- (5 * 3) — (5 * 2) = 5
- 6 : (7 — 4) = 2
- (45 + 45) : 9 = 10
- 11 * (5 * 5) = 275
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
- Сначала выполняется действие, записанное в скобках.
- Затем выполняется деление/умножение.
- В последнюю очередь выполняется сложение/вычитание.
Пример 1. Найдите значение числового выражения: 3 * (2 + 
— 4
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
(6 + 7) * (13 + 2) = 195
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
- Сначала находим значение первого выражения:
6 + 8 = 14
Затем находим значение второго выражения:
2 * 2 = 4
Сравниваем получившиеся результаты:
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Пример 2. Сравните следующие числовые выражения:
5 * (12 — 2) — 7 и (115 + 9) — (7 — 3)
- Находим значение первого выражения, соблюдая порядок выполнения арифметических действий:
12 — 2 = 10
5 * 10 = 50
50 — 7 = 43
5 * (12 — 2) — 7 = 43
Затем находим значение:
115 + 9 = 124
7 — 3 = 4
124 — 4 = 120
Сравниваем полученные результаты:
43 меньше 120
43
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
- Сначала следует прочитать его полностью.
- Затем оно записывается.
- Третьим шагом идет подстановка значения неизвестного в выражение.
- А затем производится вычисление, согласно очередности выполнения арифметических действий.
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
- Читаем: найдите сумму числа 5 и x.
- Подставляем вместо неизвестного x число 4.
- Вычисляем: 5 + 4 = 9.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
- Читаем: найдите произведение суммы числа 4 и а и суммы числа 2 и x.
- Подставляем вместо неизвестного a число 2.
- Вычисляем 4 + 2 = 6.
- Подставляем вместо неизвестного x число 5.
- Вычисляем 2 + 5 = 10.
- Находим произведение 6 * 10 = 60.
- Записываем результат: (4 + 2) * (2 + 5) = 60.
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
- Например, в выражении x + a — 8
x — переменная
a — переменная
Если вместо переменных подставить числа, то буквенное выражение x + a — 8 станет числовым выражением. Вот так:
- подставляем вместо переменной x число 5, а вместо переменной a — число 10, получаем 5 + 10 — 8.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
После подстановки значения переменных находим значение x + a — 8 = 5 + 10 — 8 = 7.
Часто можно встретить буквенные выражения, записанные следующим образом:
5x — 4a
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
- Сумма 6 и a.
- Разность 8 и x.
- Сумма x — 2 и 6
- Разность 15 и x — y
- Сумма 45 + 5 и 12 — 6
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: (b — 345) + (180 + x).
Задание три.
Составьте буквенное выражение:
Разность разности 30 и y и разности a и b.
Ответ: (30 — y) — (a — b).
Задание четыре.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Ролл «Калифорния» стоит 480 рублей — это на 40 рублей меньше, чем ролл «Филадельфия». Сколько будут стоить оба ролла?
Как решаем:
Калифорния — 480 рублей.
Филадельфия — 480 + 40.
Калифорния + Филадельфия = ?
480 + (480 + 40).
Мы помним, что выполнение арифметических действий в числовом выражении имеет строгую последовательность. Сначала — действие в скобках:
480 + 520 = 1 000.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
Маша — 150 видео.
Лена — 150 + 13 видео.
Маша + Лена = ? видео.
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.
Задание шесть.
Вычислите:
(500 + 300) : a — 15,
при условии, что a = 10.
Подставляем число 10 (значение переменной) вместо переменной
(500 + 300) : 10 — 15
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 500 + 300 = 800.
Затем выполняем деление 800 : 10 = 80.
Выполняем вычитание 80 — 15 = 65.
Ответ: (500 + 300) : 10 — 15 = 65.
Задание семь.
Вычислите:
(270 — 120) * (x — 10),
при условии, что x = 45.
Как решаем: подставляем число 45 (значение переменной) вместо переменной x
(270 — 120) * (45 — 10).
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 270 — 120 = 150.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 45 — 10 = 35.
Затем выполняем умножение 150 * 35 = 5 250
Ответ: (270 — 120) * (45 — 10) = 5 250.
Задание восемь.
Вычислите:
(50 * x) — (3 * y)
при условии, что x = 2; y = 10
Подставляем число 2 вместо переменной x
(50 * 2) — (3 * y).
Подставляем число 10 вместо переменной y
(50 * 2) — (3 * 10).
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 50 * 2 = 100.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 3 * 10 = 30.
Затем выполняем вычитание 100 — 30 = 70
Источник
Запись решения задачи выражением
Урок 15. Математика 2 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Запись решения задачи выражением»
— Плюс. Плююююс! Ты где?
Привет, Плюс! Чего так долго? Включай скорее компьютер. Сейчас у нас будет в скайпе разговор с царицей Математикой.
— Здравствуй, Минус. Как это я забыл! Включаю.
— Здравствуйте, Дорогие Плюс и Минус!
Сегодня я хочу проверить, как вы умеете решать задачи. Я дам несколько задач и предлагаю вам устроить соревнование — кто сможет их решить быстрее, но при этом, конечно, правильно.
— Да, царица, мы Вас внимательно слушаем.
— Мы очень внимательно слушаем.
— Ну что же, приступим. Итак, вот первая задача:
Ребята в лесу собирали грибы. Они нашли 5 боровиков, 9 подберёзовиков, а лисичек столько, сколько боровиков и подберёзовиков вместе. Сколько всего грибов нашли ребята в лесу?
Ну, Плюс и Минус, я жду вашего решения. Может быть и ребята, которые на вас смотрят, попробуют решить эту задачу.
— Всё, я готов! Могу даже объяснить, как я решал эту задачу.
Нам даны два числа: количество боровиков — их 5, и количество подберёзовиков — их 9. Но неизвестно количество лисичек. Про них сказано, что их столько, сколько боровиков и подберёзовиков вместе. А ещё неизвестно, сколько всего грибов.
В задаче два неизвестных, значит, задача составная, то есть в ней не одно действие, а два. В первом действии я узнаю, сколько лисичек.
А так как боровиков и подберёзовиков вместе столько же, сколько и лисичек, то общее количество грибов я нашёл вот так:
Ответ: всего 28 грибов нашли ребята в лесу.
— А я решал задачу другим способом. Вот посмотрите:
— Да, Минус, чувствуется, что сложение — это не твой конёк. Конечно, задачу ты решил правильно. Но при этом у тебя получилось не два, а три действия. При этом первое и второе действия повторяются. Для этой задачи такой способ записи не очень удобен. Хотя некоторые задачи действительно удобно записывать не по действиям, как это сделал я, а числовым выражением. А вот, кстати, царица Математика уже даёт нам новую задачу.
— Тихо, Плюс, слушаем!
— На уроке физкультуры присутствовало 14 мальчиков. А девочек — на 5 меньше. Сколько всего учащихся присутствовало на уроке физкультуры?
— Ну что же, начинаем решать. Ребята, и вы попробуйте с нами решать!
— Я уже решил. Вот посмотрите, в задаче известно количество мальчиков, Их 14. Но неизвестно количество девочек. Ведь сказано, что их на 5 меньше, чем мальчиков.
А в задаче надо узнать количество девочек, и только потом — сколько всего детей. Я так и узнавал:
Ответ: всего 23 учащихся присутствовало на уроке физкультуры.
— А вот я записал решение этой задачи по-другому:
И ещё можно вот так:
— Но ведь ты мне только что говорил, что такой способ решения неудобен! Зачем же ты решил задачу другим способом — записью выражения.
— В первой задаче он действительно был неудобен, а в этой — очень даже удобен. Во-первых, это не другой способ решения задачи. Посмотри, в моём решении есть те же действия, что и в твоём, и даже в той же последовательности.
Ты первым действием узнаёшь, сколько девочек, и я тоже. Ведь это действие я записал в скобках. А то, что записано в скобках, всегда выполняется первым.
Во втором действии к 14 прибавляем полученное в первом действии число 9. А в этой записи слагаемые меняются местами — к 9 прибавляется 14.
И получается, что это не другой способ решения задачи — ведь все действия одинаковы, а другой способ записи решения. Ты решал по действиям, а я — выражением. Способ решения одинаковый, а способ записи этого решения — разный. Но посмотри, моя запись получилась короче. В ней нет номеров действий и пояснений. Поэтому такая запись помогает экономить и время, и бумагу.
— Ты, Плюс, как всегда. Все тебе надо складывать да экономить. Хотя, наверное, ты прав. Эта запись действительно удобная. А хотелось бы и мне попробовать такую запись задачи выражением.
Ваше величество, госпожа королева. Не могли бы Вы задать нам ещё одну задачу?
— Ну что же, слушайте:
В моём саду растёт 6 яблонь. А груш на 2больше. Сколько всего яблонь и груш растёт в моём саду?
Я хочу видеть у вас оба способа записи решения — и по действиям, и выражением.
— Ну вот что у меня получилось. Прежде, чем узнать, сколько всего яблонь и груш, необходимо узнать, сколько груш. Ведь нам это неизвестно. Сказано, что их на 2 больше, чем яблонь.
Значит, в саду царицы растёт 14 яблонь и груш.
А вот как получилась запись выражением:
Сначала я нашёл, количество груш. Но, так как это действие стоит не в начале записи, я выделил его скобками. А потом нашёл сумму чисел. Ответ такой же, как и при записи по действиям — 14.
— Хорошо. Задача решена, верно. А теперь расскажите, чему вы научились.
— Можно я начну первый.
Записывать решение задачи можно по действиям и выражением.
— При записи по действиям мы пишем номер действия и пояснения к каждому действию, а при записи выражением только пояснение к значению записанного выражения.
— При записи выражения первое действие часто записываем в скобках, и конечно, не забываем записать ответ задачи.
— Ну что же, молодцы, Плюс и Минус. Вы справились с заданием. И сейчас вы можете пойти погулять в мой сад и полакомиться яблоками и грушами.
Источник
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Числовое выражение – это запись , состоящая из чисел и знаков действий между ними.
Например, 44 + 32
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Например, в записи 44 + 32 = 76, значение выражения — это 76.
Чтение числовых выражений
12 + 9 — сумма
49 — 20 — разность
34 — (8 + 21) — из 34 вычесть сумму чисел 8 и 21
13 + (26 — — к 13 прибавить разность чисел 26 и 8
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Давай сравним значения двух выражений: 14 — 6 и 18 — 9.
Для этого найдем значения каждого из них:
14 — 6 = 8
18 — 9 = 9
8 < 9, значит,
14 — 6 < 18 — 9
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
В этих выражениях буквы могут обозначать различные числа. Число, которым заменяют букву, называют значением.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
Алгоритм — значит, порядок, план выполнения команд.
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Например, 28 – с
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Вычисляем результат:
28 – 4 = 24
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
c = 2, x = 3
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
2 + 3 + 2
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Советуем посмотреть:
Уравнения
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 18. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 8. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 11. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 45. Урок 23,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 49. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 57. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 19. Урок 10,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 22. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 35. Урок 18,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 44. ПР 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 49. ПР 4. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 40,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 10. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 12. Урок 4,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 24. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 37. Урок 13,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 49. Урок 17,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 37,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 48,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 30,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 50,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 97. Урок 37,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 5. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 66. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 11,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 36,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 63,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 26. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 1398,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1406,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1469,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1803,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1845,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 4,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 254,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 432,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 737,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 126,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 329,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 401,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1007,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1099,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1118,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1131,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 4,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 259,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 316,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 480,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 906,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1040,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1071,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 229,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 391,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 392,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
На этом уроке поговорим о числовых и буквенных выражениях, об их различиях и использовании, а также потренируемся решать задачи с помощью буквенных выражений.
Числовое выражение
Числовое выражение — это выражение, в котором присутствуют только числа.
Числовыми выражениями удобно пользоваться, если требуется сначала записать действия, чтобы затем найти значение выражения, например, при решении задач.
Задача $1$. Велосипедист в первый день проехал $30$ $км$, во второй день на $3$ $км$ меньше. Сколько $км$ проехал велосипедист за $2$ дня?
Решение: в первый день велосипедист проехал $textcolor{blue}{30}$ $км$. Во второй день он проехал на $3$ $км$ меньше, то есть $textcolor{coral}{(30-3)}$ $км$. Запишем расстояние, которое преодолел велосипедист за два дня, в виде числового выражения: $$textcolor{blue}{30} + textcolor{coral}{(30-3)} = textcolor{blue}{30} +textcolor{coral}{ 27} = textcolor{green}{57}$$
Ответ: $57$ $км$.
Буквенное выражение
Если в числовом выражении заменить одно из чисел на букву, то мы получим буквенное выражение.
В буквенных выражениях, как правило, используются буквы латинского алфавита и обычно они обозначают переменную величину. Этот принцип применяется при составлении уравнений.
В задаче $1$ обозначим расстояние, которое проехал велосипедист в первый день, за $textcolor{purple}{y}$ $км$, тогда получим, что во второй день он проехал $textcolor{coral}{y-3}$ $км$, а общее расстояние можно записать в виде буквенного выражения $textcolor{purple}{y} + textcolor{coral}{(y-3)}$.
Подставляя вместо $textcolor{purple}{y}$ число $30$, получим снова числовое выражение: $$30 + (30-3)$$
Число $30$, которое заменяет букву $y$ в данном случае, называется значением этой буквы.
Решение задач с помощью буквенных выражений
Рассмотрим в качестве примера задачу, которую можно решить с помощью буквенного выражения.
Значением букв в данном случае являются ширина и длина прямоугольника.
Решать задачи с использованием буквенных выражений удобно, когда одна или несколько величин могут измениться.
Часто задаваемые вопросы
Если в выражении присутствуют и числа, и буквы, является ли оно буквенным?
Да, если в выражении есть хоть одна буква, оно является буквенным.
Какие еще задачи можно решать с помощью буквенных выражений?
Таких задач очень много. Например, задачи на нахождение длины катета в геометрии или объема в физике.
Для чего нужны буквенные выражения?
Буквенные выражения нужны для записи выражений, уравнений, формул в общем «буквенном» виде. Для решения конкретной задачи мы подставляем вместо букв цифровые значения и производим расчеты.
Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел и знаков действий, а также скобок.
Пример №1. В каждом из этих выражений содержатся числа, между которыми есть знаки действий, а также бывают скобки. Это и есть числовые выражения.
- 256 : 2 + 315×5
- (181 – 19)×6 – 121:11
- 13,5 + 16 – 11
- 122 – 14×8,5
Если выполнить по порядку все действия, которые есть в числовом выражении, то получится определенное число, которое называют значением числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях определяется правилами.
Важно!
Действия сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление – действиями второй ступени. Возведение в степень – это действие третьей ступени.
Порядок действий в выражении, не содержащем скобки
Порядок действий без скобок
- При наличии действий одной ступени их выполняют по порядку слева направо.
- При наличии действий разных ступеней – выполнение начинается с высшей ступени (то есть с третьей).
Пример №2.
890 – 567 + 2340 – 124
в данном выражении действия одной ступени (сложение и вычитание), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
- 890 – 567 = 323
- 323 + 2340=2663
- 2663 – 124=2539
Пример №3.
1260:20×3,7:10
в этом выражении также действия одной ступени (умножение и деление), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
- 1260:20=63
- 63 3,7=233,1
- 233,1:10=23,31
Пример №4.
560:2 + 162 – 3×76,2
здесь присутствуют действия всех ступеней. Поэтому начинаем выполнять их с наивысшей ступени – возведения в степень. Затем слева направо выполняем деление и умножение, а затем слева направо – сложение и вычитание:
- 162=256
- 560:2=280
- 3 76,2=228,6
- 280+256=536
- 536 – 228,6=307,4
Порядок действий в выражении, содержащем скобки
Порядок действий со скобками
Если числовое выражение содержит скобки, то выполняют сначала действия в скобках, следуя правилу, а затем – действия за скобками.
Пример №5.
(3245 + 67,92:2)×3 + (126×2 – 321:3) – 125
здесь числовое выражение содержит скобки, поэтому действия выполняем в скобках слева (деление, затем сложение), затем в скобках справа (умножение, деление, вычитание):
- 67,92:2=33,96
- 3245+33,96=3278,96
- 126×2=252
- 321:3=107
- 252-107=145
Теперь выполняем действия за скобками слева направо (умножение, сложение, вычитание):
- 3278,96×3=9836,88
- 9836,88+145=9981,88
- 9981,88 – 125=9856,88
Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.
Какие выражения называют буквенными?
Выражения, содержащие не только числа и знаки действий, но и буквы, называют буквенными. Буквы также можно называть «переменная». Обращаем внимание на то, что знак «умножить» между числом и буквой не пишется.
Пример №6. Примеры буквенных выражений:
- 5х + 6у
- 18 + a + b
- 12с – 11
- m + n
- (x + n) – 11m
Числовое значение буквенного выражения
Числовое значение буквенного выражения – это значение числового выражения, полученного при подстановке конкретных значений переменной в данное выражение.
Пример №7. Найдем значение выражения с + х при с=23, х=0,17. Для этого подставим вместо с и х их данные числовые значения и получим числовое выражение 23 + 0,17. Теперь вычислим результат и получим 23,17. Таким образом, числовое значение буквенного выражения с + х равно 23,17.
Пример №8. Найдем значение выражения 11х +(с – d) при х=10, c=178, d=121. Для этого подставляем вместо каждой переменной соответствующие числовые значения и получим числовое выражение 11×10 + (178 – 121). Выполнив действия, получим ответ 167. Это и есть числовое значение буквенного выражения.
Заметим, что и числовые и буквенные выражения можно называть еще как алгебраические выражения.
Задание OM2001
Найти значение выражения 41a – 11b + 15, если 4a−9b+39a−4b+3=5
Для начала преобразуем нашу дробь, которая дана по условию. Применим правило пропорции, умножив на 5 знаменатель данной дроби:
4a−9b+39a−4b+3=5
5(9а – 4b + 3)=4a – 9b+3
Раскроем скобки и перенесем слагаемые с буквами а и b влево, а свободные члены вправо (не забывая изменять при переносе знаки на противоположные):
45a – 20b +15 =4a – 9b+3
45a – 20b – 4a + 9b=3 – 15
Приведем подобные слагаемые:
41a – 11b = – 12
Выпишем выражение, значение которого надо найти: 41a – 11b + 15 и заменим в нем 41a – 11b на число -12, полученное при упрощении нашей дроби:
41a – 11b + 15= – 12 + 15=3. Видим, что значение нашего выражения получилось равным 3.Ответ: 3
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1301o
Найдите значение выражения: (x + 5)2 — x (x- 10) при x = — 1/20
В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:
(x + 5)2 – x (x – 10) = x2 + 2 • 5 • x + 25 – x2 + 10x
Затем приведем подобные слагаемые:
x2 + 2 • 5 • x + 25 – x2 + 10x = 20 x + 25
Далее подставим x из условия:
20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = – 1 + 25 = 24
Ответ: 24
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM0703o
На координатной прямо отмечены числа a и b:
Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:
- ab²<0
- a — b > 0
- a + b < 0
- ab < 0
Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b < 0, так как расположено слева. К тому же, b значительно более удалено от ноля, а значит больше по модулю.
Для удобства, исходя из вышеизложенных рассуждений, примем a = 1, а b = -2.
Теперь подставим значения в данные неравенства:
- ab²<0
1 • (-2)² = 4 > 0
Значит, утверждение неверно.
- a — b > 0
1 — (-2) = 3 > 0
Утверждение верно.
- a + b < 0
1 + (-2) = -1 < 0
Утверждение верно.
- ab < 0
1 • (-2) = -2 < 0
Утверждение верно.
Следовательно, правильный ответ первый.
Ответ: ab²<0
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Алла Василевская | Просмотров: 6.2k
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.
Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.
Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.
Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.
Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.
Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.
Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.
В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.
Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.
Рассмотрим примеры числовых выражений.
4 — является числовым выражением.
2 + 17 — является числовым выражением.
247 + 13 — 3 — является числовым выражением.
84 + (273 — 16) — является числовым выражением.
Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.
Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.
Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.
Пример.
45 + ( — + 1 — не является числовым выражением, данная запись представляет собой бессмысленный набор символов и знаков.
Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.
Пример.
15 : (37 — 22 — 15)
Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.
Так как деление на нуль в математике запрещено, данную математическую операцию совершить невозможно, следовательно, запись 15 : (37 — 22 — 15) не вычислить, она не является числовым выражением.
Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.
Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.
Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше «<», называют неравенством.
Несмотря на то, что в записи равенств и неравенств присутствуют математически верно построенные комбинации из чисел и арифметических операций, они не являются математическими выражениями.
Например,
Запись вида 26 — 5 > 4 не является числовым выражением, это неравенство.
Запись вида 24 — 6 = 18 также не является числовым выражением, данная запись является равенством.
Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.
Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.
У числового выражения значение только одно.
Например, значение числового выражения (45 — 3) + (12 + 2) всегда равно 56, и только это значение является единственно верным.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.
Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.
Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».
Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».
Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».
Например, выражение (10 — 3) + (6 — 4) читается так: «Сумма разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».
Выражение (10 — 3)∙(6 — 4) читается так: «Произведение разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».
Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.
Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.
Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.
Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.
Чаще всего используют такие формы записи решения задач:
1. По действиям с пояснениями.
2. Выражением.
При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.
Задача 1.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Запишем кратко условие задачи:
В I день — 12 кг клубники.
Во II день — на 2 кг больше, чем в I день.
Общее количество клубники в I и во II день- ?
Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.
Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.
Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.
Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.
Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).
1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.
Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.
Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.
2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.
Составим числовое выражение для решения нашей задачи.
Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:
12 кг — клубники собрали в первый день.
12 + 2 кг — клубники собрали во второй день.
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:
12 + (12 + 2).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Попробуем решить вторую задачу.
Задача 2.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.
Остальные условия задачи остались прежние.
Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.
Таким образом, имеем следующие данные:
12 кг — клубники собрали в первый день.
12 + 5 кг — клубники собрали во второй день.
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:
12 + (12 + 5).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 29 кг.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.
Тогда получим следующую задачу:
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.
Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».
По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).
Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.
Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.
Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.
Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Например, в выражении а + 3 — b буквы а и b являются переменными.
Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.
Буквенные выражения является таковым, если в их записи отсутствуют знаки больше «>», меньше «<», равно «=».
Приведем примеры нескольких буквенных выражений:
а + b + с — является буквенным выражением.
4а — 5а — является буквенным выражением.
(15 — а) + 26 — является буквенным выражением.
12 + (3 — 1) — не является буквенным выражением, это числовое выражение (в составе выражения нет букв).
3 + d = 19 — не является буквенным выражением, это равенство (равенство, в записи которого есть буква, называется уравнением).
Буквенное выражение должно содержать хотя бы одну букву.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Из приведенных выше примеров можно заметить, что буквенное выражение может содержать несколько одинаковых и (или) разных букв, может состоять только из одних букв.
Разные числа в выражении обозначаются разными буквами.
Если в выражении упоминается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и то же значение.
Числа, которые заменяют буквы в буквенном выражении, называют значением этих букв.
Вычисления в буквенных выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численных значений.
Для буквенного выражения характерно не просто значение выражения, а значение выражения при заданном значении переменной.
Рассмотрим алгоритм решения буквенного выражения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример.
1. Пусть число а = 5, число b = 6.
Найдем значение буквенного выражения а + b.
Решение:
Подставим вместо а и b соответствующие им числовые значения.
Получим числовое выражение 5 + 6.
Найдем значение числового выражения: 5 + 6 = 11.
Ответ: 11.
2. Пусть число а = 5, число d = 10.
Найдем значение буквенного выражения (а + а) — (d — а).
Подставим вместо а и d соответствующие им числовые значения.
Получим числовое выражение (5 + 5) — (10 — 5).
Найдем значение числового выражения: (5 + 5) — (10 — 5) = 10 — 7 = 3.
Ответ: 3.
Буквенное выражение, в отличие от числового, может иметь много значений, так как вместо буквы можно подставить любое число.
Пример.
Определите значение выражение 218 — b, если b = 28, b = 13, b = 5.
1. Подставим вместо b число 28.
Получим числовое выражение 218 — 28.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 28 = 190.
2. Подставим вместо b число 13.
Получим числовое выражение 218 — 13.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 13 = 205.
3. Подставим вместо b число 5.
Получим числовое выражение 218 — 5.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 5 = 213.
Ответ: 190, 205, 213.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям