Как составить задачи с наибольшим общим делителем

Наибольший общий делитель (НОД)

Решим задачу. У нас есть  два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,  48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b — это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так: НОД (a; b).

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Некоторые пары чисел, например числа 24 и 35, имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. 

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Как найти наибольший общий делитель

Первый способ:

Найти НОД 48 и 36.

1. Разложить делители чисел на простые множители

1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 

2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ. 
   НОД (36; 48) = 2 • 2 = 4

 Второй способ:

Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые  не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. 

Эти правила можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.

2. Из множителей,  входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Задачи

1. Пятиклассники решили сделать подарки первоклассникам. Они приготовили 69 шариков и 46 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в первом классе?

2. Два класса из 36 и 40 учеников. На праздники они построились в одну колонну с равным количеством школьников в каждом ряду. Как это можно сделать ?

3. Задача Бабы-Яги. Я в ступе в первый день привезла 35 кг топлива, во второй день 21 кг топлива для моей ступы, в 3 — й день14 кг. За каждый рейс я перевозила одинаковую массу топлива. Сколько килограмм я перевозила за один рейс.

4. а) Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 12 мандаринов и 16 бананов, если использовать все фрукты?

б) Во всех новогодних подарках всего было 185 мандаринов и 111 апельсинов. Сколько было подарков? Сколько мандаринов и сколько апельсинов было в каждом подарке?

1. а) Для новогодних подарков закупили 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52 пачки печенья, 104 апельсина и 130 яблок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать?

б) Для новогодних подарков купили 180 яблок, 90 апельсин и 900 конфет. Все дети получили одинаковые подарки. Какое наибольшее число одинаковых подарков было составлено из этих фруктов и конфет?

1. а) На новогодней елке все дети получили одинаковые подарки. Во всех подарках было 129 мандаринок и 86 шоколадок. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько мандаринок и сколько шоколадок было в каждом подарке?

б) Ребята получили на елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

1. а) Для подарков детям купили 80 штук апельсинов, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно изготовить и по сколько апельсинов, конфет и орехов будет в каждом подарке? .

б) Для приготовления подарков приобрели 200 пряников, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно приготовить для детей и сколько орехов, конфет и пряников будет положено в каждый пакет?

в)* Для устройства  елки  купили  орехов,  конфет и пряников — всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников  на  120 штук меньше,  чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых  подарков для детей можно сделать   из этого запаса?

1. а) Магазин получил елочные игрушки: 32 шарика, 48 колокольчиков и 56 звездочек. Сколько одинаковых комплектов можно составить из всех этих игрушек и по сколько игрушек каждого вида будет в комплекте?

б) Имеется 36 синих, 48 красных и 72 зеленых листа бумаги. Какое наибольшее число одинаковых комплектов цветной бумаги можно собрать из этих листов?

1. Для игры 24 ученикам дают 54 шара. На сколько групп надо поделить учеников, чтобы в каждой группе их было одно и то же наибольшее число, а также одинаковое число шаров?

2. Сколько букетов можно сделать из 18 желтых и 24 красных роз, если в каждом букете должно быть наибольшее, но во всех букетах одинаковое количество желтых и одинаковое количество красных роз?

3. а) Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты причем в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете?

б) Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты. Причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?».

1. Для участи в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящих только из девочек или только из мальчиков. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

2. На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по количественному команды, в которых всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько девочек и сколько мальчиков было в каждой команде?

3. Из школы в день здоровья 424 человека повезли на стадион, а 477 – в плавательный бассейн. Для этого заказали несколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом. Все места в автобусе были заняты, и никто не стоял. Сколько автобусов было заказано и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

4. Для первоклассников купили 270 фломастеров и 675 карандашей. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них было одинаковое число фломастеров и одинаковое число карандашей? Сколько фломастеров и карандашей будет в каждом подарке?

5. Садовый участок размером 54 м × 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?

6. Если мы хотим сделать ремонт в комнате — надо знать ее длину и ширину. Например, длина нашей комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

7. * а) Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

б) Лист картона имеет форму прямоугольника. Его длина равна 24 см, ширина — 16 см. Какие наибольшие равные квадраты можно получить из этого листа, если его разрезать без отходов?

в) Лист картона со сторонами 54см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа.

1. Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 × 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?

2. Ася и Вася играли со спичками, составляя из них различные правильные многоугольники. У Аси было 12 спичек, а у Васи – 18. Сколько они смогут составить одинаковых многоугольников с наибольшим числом сторон так, чтобы были использованы все спички?

3. В класс привезли учебники: по математике 24, по истории 36 и по географии 48. Какое наибольшее число комплектов можно составить из этих книг так, чтобы в каждом было одинаковое число книг по математике, истории и географии? По сколько книг будет в каждом комплекте?

4. а) Миша и Саша покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом, и его цена выражается целым числом рублей. Миша заплатил за наборы 85 рублей, а Саша – на 34 рубля больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купил Миша? Сколько наборов купил Саша?

б) Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купила каждая?

в) Я и моя подруга Юля решили купить одинаковые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Я заплатила за наборы 65 руб., а Юля — на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Я? А Юля?

1. На соревнованиях по бегу через каждые 300 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды рядом с наблюдателем?

2. Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2 – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи. 

3. Найти НОД делимого и делителя в частном: а) 720 : 144; б) 6812 :1703.

4. НОД (m, n) = НОД (m-n, n). Пользуясь свойством делимости разности, найти НОД:

а) 70 И 42; в) 579 и 592; д)482 и 4484;

б) 100 и 85; г) 378 и 270; е) 1001 и 998.

1. Найти НОД (m, n,c), если n — делитель m; n и c – взаимно простые числа. Привести пример.

2. Разность двух чисел является делителем каждого из этих чисел и равна 60. Чему равен их наибольший общий делитель.

Ответы

Наибольший общий делитель 1. 23 ученика 2. 4 ученика. 3. 7 кг 4. а) 4 подарка; б) 37 под. по 5 манд. и 3 ап. 5. а) 26 подарков; б) 90 подарков. 6. а) 43 реб., 3 ман., 2 шок.; 41 реб. по 3 ап.. и 2 яб. 7. а) 80 под.: 1 ап., 3 конф., 4 ореха; б) 40 под.: 5 прян., 6 конф., 8 орехов; в) 40 подарков. 8. а) 8 ком.: 4 шар., 6кол., 7 звезд.; б) 12 комплектов. 9. 6 групп по 9 шаров. 10. 6 букетов. 11. а) 42 букета: 5 борд., 3 бел., 7 кр. б) 13 бук.: 12 чайн., 18 бел., 30 кр. 12. 12 чел., 5 ком. 13. 29 ком.; 5 дев. и 3 мальч. 14. 53 пас. в одном автобусе, 17 авт. 15. 45 под.: по 6 флом. и 15 кар. 16. 34 столба, на расстоянии 6 м 17. 345 плиток размером 25х25. 18. а) 30 квадратов со стороной 8 см каждый; б) 6 квадратов со стороной 8 см; в) 6 квадратов со стороной 18 см. 19. 20 плиток размером 39×39 см. 20. два и три 6-угольника соответственно. 21. 12 ком. 22. а) Цена 1 набора 17 р.; Миша – 5 наб., Саша – 7 наб.; б) 5 руб., 18 наб., 19 наб.; в) 13 руб., 5 наб., 7 наб.. 23. 2400 м. 24. 8 км/ч. 25. а) 144; б) 1703. 28. 60.

9

Цель урока: показать обучающимся, что понятия
наибольшего общего делителя и наименьшего
общего кратного применимы в обычной жизни.

Задачи:

• Актуализация и обобщение знаний обучающихся по
  теме, рефлексия.
• Формирование личностных УУД посредством
  самооценки различных видов деятельности.
• Формирование коммуникативных УУД (работа в
  группе).
• Развитие презентативных умений (презентация
  работы в группе).
• Повышение интереса обучающихся к предмету,
  активизация познавательной деятельности.

Ход урока

Приложение 1

Приложение 2

Приветствуем гостей. Садимся.

Делители, кратные, НОКи и НОДы,
Как много приходится вам изучать!
Признаки, свойства, и вечные дроби,
В них можно попасть, если правил не знать!

Уже целый месяц мы с вами изучаем главу
“Делимость чисел”. Запутываемся, распутываемся,
и запутываемся снова. Но, как гласит закон
философии, количество всегда переходит в
качество. И сегодня мы снова запутаемся, или
распутаемся, но главное, мы попытаемся сами
оценить, что мы уже знаем, а что нам стоит еще
подучить. Перед вами на парте – оценочный лист
урока (слайд №2 приложения 1), и я надеюсь, что вы
уже достаточно взрослые, чтобы оценивать себя
честно.

I. Играем в “Верите ли вы”. Как обычно, 7
цифр в столбик.

1. Верите ли вы, что делители числа делятся на это
   число без остатка?
2. Верите ли вы, что кратные числа делятся на это
   число без остатка?
3. Верите ли вы, что наименьшее общее кратное двух
   чисел всегда больше меньшего из этих чисел?
4. Верите ли вы, что единица может быть наибольшим
   общим делителем каких-либо чисел?
5. Верите ли вы, что сократить дробь – это
   разделить числитель и знаменатель дроби на их
   наименьший общий делитель?
6. Верите ли вы, что натуральные числа, имеющие
   только два делителя, называют простыми?
7. Верители вы, что разложение на простые
   множители может помочь в нахождении наибольшего
   общего делителя?

Проверка, самооценка.

Верно:

• 7 заданий – “5”,
• 6 заданий – “4+”,
• 5 заданий – “4”,
• 4 задания – “3”,
• менее 4-х заданий – “Учи правила!”

Сделать запись в оценочном листе урока.

II. Установи соответствие.

1 человек устанавливает соответствие с помощью
интерактивной доски.

Самооценка, критерии те же. Внесение в
оценочный лист урока.

III. Индивидуальная работа “Сократи дробь”.

Проверка по образцу. Самооценка по количеству
правильно выполненных заданий. Запись в
оценочном листе урока. Листики передаем вперед.

IV. Соберите цепочку по алгоритму Евклида
(работа на интерактивной доске).

НОД (235;150)=НОД(150;85)=НОД(85;65)=НОД(65;20)=НОД(20;5)=5

Оценка по количеству правильно подобранных
звеньев (знаки равенства). Запись в оценочном
листе урока.

V. Проблемная ситуация.

Итак, мы с вами порешали, дроби посокращали,
себя оценили… А я тут как-то встретила в магазине
бывшую ученицу, у нее сын Миша в 6-м классе другой
школы учится. Приходит домой, жалуется, как
трудно и скучно ему эти НОКи и НОДы считать, ведь
в жизни это нигде не нужно. “Как ответить сыну?”-
спрашивает моя ученица. Я обещала ей подумать, да
и задалась тем же вопросом; “А моим
шестиклассникам тоже, наверное, скучно и
непонятно?” Вот и подобрала я вам задачки,
которые и предлагаю в группах решить. Может, мы
сможем ответить на вопрос Миши: “Зачем все это
надо?”

Каждая группа получает задачи. Кружочком
отмечена задача, за которую отвечает данная
группа. На обсуждение и решение – 5 минут.
Потом каждая группа представляет свою задачу.
Если вы решили быстрее, и во всем уверены, каждый
может решать любую понравившуюся задачу и затем
оценить свое решение и внести оценку в оценочный
лист.

Группируемся, как обычно: вторая парта 1 вариант
пересаживается на 1 парту, 2 вариант – на третью,
четвертая парта 1 и третьего ряда – на пятую,
четвертая и пятая парта среднего ряда – на
шестую. Молодцы.

Приступаем к работе.

Решенная группой задача – “5” в оценочный
лист. Аналогично за каждую задачу, решенную
индивидульно.

При ответе групп ребята записывают задачи в
свой лист с задачами (в презентации представлены
задачи для лучшего восприятия при ответе групп).

После ответа группы учащиеся сразу садятся на
свои места.

VI. Учитель. Ребята, мы с вами решили 9
задач, в которых нет ни слова про делители и
кратные, но именно эти понятия помогли вам их
решить. Могу я передать эти задачи своей ученице
для сына? Поверит он, что не зря учит НОКи и НОДы?

Хорошо. Подведем итоги. Посмотрите на свой
оценочный лист и выставите итоговую оценку за
урок. Это может быть “пять”, “четыре”, “три”
или просто фраза “тема не понята”. И в последней
строчке нарисуйте свое настроение, веселый,
грустный или равнодушный смайлик.

Передаем мне оценочные листы, открываем
дневники и записываем домашнее задание:

Придумать три интересные задачи, которые
решаются с помощью НОК и НОД, и решить их. Задание
выполнять на двойном листочке.

Всем спасибо за работу. Урок окончен.
Попрощаемся с нашими гостями.

Задача 1

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

Задача 2

Конфеты «Сладкая математика» продаются по 12 штук в коробке, а конфеты «Геометрия с орехами» – по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

Задача 3

Один экскурсионный автобус совершает полную экскурсию по городу за 2 часа, а другой – за 3 часа, оба автобуса выехали из базы в 10 часов утра. В какое время автобусы впервые встретятся на базе?

Задача 4

Коля раньше съедал булочек на 60 рублей в день. Когда у него совсем не оставалось денег, он шел к любимой маме и получал определенную сумму авансом на булочки. Потом Коля подрос и стал съедать булочек на 75 рублей в день. Получив ту же сумму от мамы он обнаружил, что сдачи у него опять совсем не остается. Какую наименьшую сумму давала ему мама на булочки авансом?

Задача 5

К новому году Коля купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Задача 6

Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2-72км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

Задача 7

На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук?

Задача 8

Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно?

Задача 9

В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение?

Задача 10

Два автобуса одновременно отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 минут. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади?

Задача 11

Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня-в5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?

Задача 12

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла ⅔, а в третьем бидоне – ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

Задача 13

Длина шага папы – 70 см, а у маленькой дочери – 15 см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?

Задача 14

У Пети в сети «ВКонтакте» 100 друзей, а у Вани – 200. Сколько всего друзей у Пети и Вани вместе, если общих друзей 30?

Задача 15

Ребята  получили  на  новогодней  елке  одинаковые  подарки . Во  всех  подарках  вместе  было  123  апельсина  и  82  яблока. Сколько  ребят  присутствовало  на  елке? Сколько апельсинов  и  сколько  яблок  получил  каждый?

Задача 16

Из  речного  порта  одновременно  1 мая 1999 года  вышли  два  теплохода . Продолжительность  рейса  одного  из  них – 15 суток, а продолжительность  рейса  второго – 24  суток. Через  сколько  дней  теплоходы  снова  одновременно  отправятся  в  рейс? Сколько  рейсов  за  это  время  сделает  первый  теплоход? А сколько  второй?

Задача 17

Расшифруйте  название  птицы, которая  видит  все, что  происходит  вокруг  нее, даже  не  поворачивая  головы.

1)   НОК(3,12) =___л                        5)    НОК(9;15) =___н

2)   НОК(4;5;8)=___е                        6)    НОК(12;10)=____п

3)   НОК(8;12)=___в                        7)    НОК(9;6) =____ь

4)   НОК(16;12)=___д                            НОК(10;20)=___ш

Задача 18

Бабушка заготавливает на зиму компоты. Она кладёт в каждую банку одинаковое количество фруктов и ягод. Сколько банок получилось, если понадобилось 48 груш, 60 яблок и 144 слив?По сколько яблок, груш и слив в каждой банке?

Задача 19

При составлении одинаковых праздничных букетов израсходовали 112 жёлтых и 168 белых хризантем. Сколько букетов получилось? По сколько белых и жёлтых цветов в каждом букете?

Задача 20

У мастера есть 2 проволоки длиной 18 и 24 метра. Ему необходимо разрезать обе проволоки на куски равной длины без остатков. Какой длины получатся куски?

Задача 21

В механическом цеху есть 2 трубы длиной 56 и 42 метра. На куски какой длины надо разрезать трубы, чтобы длина всех кусков была одинаковой?

Задача 22

Ателье необходимо заказать рулон ткани для пошива костюмов. Какой длины надо заказать рулон, чтобы он без остатков делился на куски длиной 5 метров и 7 метров?

Задача 23

Длина красного карандаша равна 5⁄8 дециметра, а длина синего карандаша равна 7⁄10 дециметра. Какой карандаш длиннее?

Задача 24

Мешок с картошкой весит 5⁄12 центнера, а мешок с зерном весит 9⁄17 центнера. Что легче: картошка или зерно?

Задача 25

Одна машина весит 12⁄25 тонны, а вторая машина весит 7⁄18 тонны. Какая машина легче?

Задача 26

Рабочие потратили 3⁄8 части рабочего времени на подготовку рабочего места и 2⁄16 части – на уборку территории после работы. Всё остальное время они работали. Сколько времени они работали, если рабочий день продолжался 8 часов?

Задача 27

Секретарь разговаривал по телефону 3⁄12 часа, а составлял письмо на 2⁄6 часа дольше, чем разговаривал по телефону. Всё остальное время он приводил в порядок рабочее место. Сколько времени секретарь приводил в порядок свое рабочее место, если на работе он находился 1 час?

Задача 28

Велосипедист ехал со скоростью 15 км/час в течении 2⁄4 часа и со скоростью 20 км/час – 2 3⁄4 часа. Какое расстояние проехал велосипедист?

Задача 29

Путник шел со скоростью 5 км/час в течении 2⁄5 часа и со скоростью 6 км/час – 1 2⁄6 часа. Какое расстояние прошёл путник?

Задача 30

Мастер и его помощник должны сделать 80 деталей. Мастер сделал 1⁄4 часть деталей. Его помощник сделал 1⁄5 от того, что сделал мастер. Сколько деталей им необходимо сделать, чтобы выполнить план?

Задача 31

Планировалось собрать 500 кг яблок, но бригада перевыполнила план на 120%. Сколько кг яблок собрала бригада?

Задача 32

Рабочие должны были уложить 320 метров асфальта, но перевыполнили план на 140%. Сколько метров асфальта уложили рабочие?

Задача 33

На приготовление японского блюда — суши израсходовано 140 гр. листовых морских водорослей, 210 гр. риса и 350 гр. рыбы. Сколько одинаковых роллов получилось?

Задача 34

Бегун Коля знает, что через каждые 400 метров стоит наблюдатель, а через каждые 700 метров от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии можно попить воды и задать вопрос наблюдателю?

Задача 35

На кружке мягкой игрушки ребята делали народные обереги куклы – мотанки из квадратных лоскутков ткани. Сколько куколок можно смотать из отреза ткани размером 48 см на 40 см без отходов? Какой наибольший размер лоскута для одной куклы?

Задача 36

На фабрике по переработке фруктов произвели 210 л виноградного сока , 126 л — апельсинового , 294 л ананасового. Сколько упаковок фруктового коктейля произвели из этих соков ? Каков состав коктейля?

Задача 37

В зоошколе у панды Аси 12 одинаковых бамбуковых палочек, а у панды Юсси – 18 таких же. Сколько они могут составить многоугольников с наибольшим числом сторон так, чтобы были использованы все бамбуковые палочки?

Задача 38

На птицеферме вырастили птиц , занесенных в Красную Книгу Донбасса : 36 журавлей-красавок, 48 луговых тиркушек , 72 степных пустельг . Во сколько зоопарков можно отправить этих птиц так , чтобы в каждый попало одинаковое количество птиц каждого вида?

Задача 39

Во флористическую мастерскую поступили сухоцветы 156 ромашек , 234 васильков и 390 травинок. Мастера – флористы собрали из них больше 50 букетов разной формы, но при этом использовали одинаковое число сухоцветов каждого вида. Сколько букетов сделано? Сколько цветов каждого вида в одном букете?

Задача 40

На городской смотр детских театров прибыло 145 мальчиков и 87 девочек. В каждой театральной группе одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько групп юных артистов участвовало в творческом смотре? Сколько мальчиков и сколько девочек было в каждой группе?

Задача 41

Садовый участок размером 54 м на 48 м по периметру оградили забором. Для этого через равные промежутки установили столбы для крепления забора. Сколько столбов установили и на каком максимальном расстоянии друг от друга?

Задача 42

В наборе 185 бусинок лилового цвета и 111 бусинок бирюзового. Сколько браслетов для кукол можно сплести из одинакового числа бусин каждого цвета? Сколько бусин каждого цвета в браслете? Ответ.37 бр. , по 5 и 3 бус.

Задача 43

Во всех новогодних подарках было 185 конфет – сюрпризов и 111 маленьких игрушек. Сколько одинаковых подарков было? 

Задача 44

На летний отдых в один туристический лагерь поехали 424 школьника , а в другой -477. Сколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом было заказано? Причем все места были заняты , и никто не стоял. Сколько мест в каждом автобусе? 

Задача 45

Для изготовления поделок из природного материала было использовано 36 желудей, 48 орехов и 72 сухих веточек . Какое наибольшее число разных поделок можно сделать из одинакового числа каждого вида материала? 

Задача 46

В конкурсе участнику предложили положить в волшебные сундучки 18 жемчужин и 24 кристалла по одинаковому количеству в каждый. Сколько сундучков было заполнено?

Задача 47

Стол размером 195 см на 156 см решили декорировать разноцветными квадратными плитками. Каковы наибольшие размеры плитки? Сколько плиток надо? 

Задача 48

В сувенирный магазин привезли 36 ракушек одного вида , 48 –другого и 72 третьего. Какое наибольшее число одинаковых наборов ракушек можно сделать? 

Задача 49

Выпускники школы в День знаний сделали подарки первоклассникам. Для этого приготовили 69 карандашей и 46 ластиков-смайликов и раздали малышам поровну каждому. Сколько учеников в первом классе?

Задача 50

Какое наибольшее число наборов можно составить из 48 синих , 48 желтых, 48 зеленых , 72 красных карандашей и 120 картинок – раскрасок?

Задача 51

На морском побережье в детском лагере отдыха в день открытия смены произвели салют. Фейерверки в виде желтых хризантем были запущены в небо через каждые 2 сек, фейерверки в виде красных сердечек – через каждые 3 сек, а в виде белых голубей – через каждые 4 сек. Через какое время небо засветилось одновременно желтыми, красными и белыми огнями?

Задача 52

Из одного центра управления запущены три беспилотника для видеосъемки акватории Азовского моря. Время съемки первого -8 мин, второго – 12 мин, а третьего -18 мин. Через какое время беспилотники одновременно вернуться в центр управления, если их запускают вновь после очередной перезарядки?

Задача 53

Периоды обращения вокруг Солнца планет Земной группы составляют : Меркурия – 88 суток, Венеры – 225 суток, Земли – 365 суток , Марса 687 суток . Через какой наименьший период времени состоится парад планет , при котором в своем движении по орбитам они оказываются на одной линии?

Задача 54

На фотовыставке было представлено 380 фотографий домашних животных и 399 фотографий комнатных растений. Сколько необходимо стендов для размещения всех фотоснимков, если на любой из них помещается 16 штук?

Задача 55

В аквапарке на трех горках подается различный объем воды под разным давлением. На одной спуск длится 15 сек, на другой – 20 сек, на третьей – 12 сек.Три брата одновременно спускались с этих горок. Через сколько спусков они нырнут в бассейн одновременно?

Задача 56

Один мобильный оператор предоставлял бонусы своим абонентам 1 раз в месяц, а другой – раз в полгода. Через какое наименьшее время абоненты обоих операторов получат бонусы одновременно?

Задача 57

На полках в музее выставлено 100 экспонатов. Сколько всего экспонатов, если они расставлены на полках по 3 , по 4 , по 5 и по 6 штук?

Задача 58

Военный биатлон открылся парадом военных пехотинцев. Сколько солдат на плацу, если они маршировали строем по 12 человек в шеренге и перестроились по 18 человек в шеренг? 

Задача 59

Для сохранения тепла в классной комнате оклеивали окна липкой лентой. Какой наименьшей длины необходима лента , чтобы ее можно было разрезать на отрезки по 35 см и 50 см , не получив обрезков ? 

Задача 60

Три друга встретились в компьютерном клубе. Через какое наименьшее время повторится их встреча , если один из них ходит туда 1 раз в 5 дней , второй – раз в 12 дней , третий – раз в 10 дней? 

Задача 61

На математическом конкурсе ребята играли в увлекательную древнюю китайскую головоломку Танграм. В одном игровом комплекте было 12 остроугольных, а в другом -15 тупоугольных треугольников. Какое наименьшее число участников могут пользоваться комплектами из одинакового количества каждого вида треугольников? 

Задача 62

В древней башне есть часы со старинным механизмом, состоящим из двух шестерней: малой с 6 зубцами, большой с 18 зубцами. Какое наименьшее число оборотов должен сделать часовой механизм, чтобы обе шестерни вернулись в первоначальное положение? 

Задача 63

Маша на день рождения Медведя надула шарики. Сколько было надувных шаров, если Маша , чтобы не скучать, поделила их количество на 2, на 3, на5, на 10, на 15 нацело ? 

Задача 64

Вьетнамские народные умельцы из кусочков рисовой соломки делают декоративные панно, наклеивая их на досточки. Какой наименьшей длины должна быть соломка, чтобы ее можно было разрезать на равные части по 20 мм и 27 мм, не получая обрезков.

Задача 65

На рекламной вывеске ночью вдоль его основания светились разноцветные лампочки через каждые 45 мм. Их решили заменить энергосберегающими и расположить на расстоянии 60 мм друг от друга. Сколько лампочек было? Сколько энергосберегающих лампочек необходимо?

Задача 66

Студент на первом курсе скачивал из интернета в среднем 60 кбайт информации в день, а на втором курсе – 75 кбайт, оплачивая одну и ту же сумму денег за полученный интернетный трафик в неделю. Какой наименьший объем информации он скачивал за неделю?

Задача 67

Малыши в детском саду собирали фигурки из кубиков. Если у них получались фигурки из 3 , 5 и 7 кубиков , то получалось натуральное число фигурок. Какое минимальное число фигурок получалось у малышей?

Задача 68

Какое наименьшее число упаковок красок для рисования можно купить по 39 рублей без сдачи, если в наличии только 5 рублевые монеты? 

Задача 69

В теплице посадили в 2 ряда разные сорта орхидей .Цветы одного сорта разместили на расстоянии 15 см между растениями , а другого — на 18 см . Через какое расстояние орхидеи обоих сортов окажутся рядом? 

Задача 70

Жили – были дед и баба . Была у них курочка Ряба. Может ли Ряба сносить каждое второе яичко простое, а каждое третье – золотое.

Задача 71

Один шаг утки 60 мм , а гуся – 75 мм. На каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов? 

Задача 72

На соревнованиях по бегу один спортсмен круговую дистанцию пробегает за 90 сек, а второй за 106 сек. Какое наименьшее время им потребуется, чтобы они поравнялись на финише?

Задача 73

На соревнованиях спорткаров через каждые 300 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от старта можно проверить надежность колес. На каком минимальном расстоянии от старта можно проверить колеса рядом с наблюдателем? 

Задача 74

Один человек купил 3 курицы за 46 копеек.Первая курица несла по 3 яйца через 4 дня, вторая – по 2 через 3 дня , третья – по 1 через 2 дня .Продавал человек яйца по 5 штук в день по полкопейки. За какое время окупятся куры?

Задача 75

На столе лежат книги.их можно поместить на 34 полки,а также на 42 полки. сколько всего книг,если их должно быть больше 200,но меньше 900. 

Тема:
«Решение задач на использование наибольшего общего делителя чисел»

Тип урока: ОНЗ

Цель урока: 
создать условия для решения задач по теме с опорой на знание нахождения НОД
чисел.

Задачи
урока для учителя.

I.
Предметные:

Познакомить с
задачами на использование НОД и научить их решать.

Развивать
вычислительные навыки, логическое мышление, математическую речь.

Формировать навыки
самоконтроля, умение работать в паре и группе.

II. Метапредметные:

1.Познавательные:

-формировать умение проводить
сравнение, обобщать.

-осуществлять анализ
объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

-владеть общим
приемом решения задач;

-использовать
знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения задач;

-осуществлять анализ
объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

-строить рассуждения
в форме связи простых суждений об объекте

-обобщать;

-строить логическое
рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

2.Коммуникативные:

— выполнять устно нахождение НОД для
особых случаев;

-проводить проверку
правильности вычислений.

-выражать в речи свои
мысли и действия;

-задавать вопросы.

3.Регулятивные:

-развивать умение высказывать своё
предположение;

-обосновывать правильность своих
действий с помощью построенных алгоритмов;

-осуществлять самоконтроль,
коррекцию своих ошибок.

III. Личностные:

-создавать позитивное
эмоциональное отношение учеников к уроку и предмету;

-формировать позитивную самооценку
на основе успешной учебной деятельности;

-продолжать обучение приемам
речевого общения в ходе коллективного обсуждения проблем и принятия решений,
умение отстаивать свою точку зрения

1.
Самоопределение к учебной деятельности

Цель:1)
включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока:
продолжение работать с понятием НОД чисел и применить его при решении задач.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
— Над какой темой мы работаем на последних уроках? — Что мы уже знаем о НОД чисел? – Сегодня мы продолжим работать с этой темой и рассмотрим где ее можно применить в жизни. Я уверена, что сегодня каждый из вас сможет проявить себя, и будет активно помогать мне и одноклассникам на пути познания нового.	— нахождение НОД чисел. — Знаем, что такое НОД чисел — Умеем находить НОД чисел несколькими способами и для особых случаев

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в
деятельности

Цель этапа: 1)
актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия
нового материала: алгоритмы нахождение НОД чисел;нахождение НОД в особых
случаях, разложение на простые множители

2) актуализировать мыслительные операции,
необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ,
обобщение, классификация;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и
алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение
в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность
имеющихся знаний: нахождение НОД чисел.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(На слайде 1 текст «На что я буду обращать внимание») И прежде чем  начать  решать,  давайте  вспомним  некоторые  правила. Расскажите одноклассникам:  1. а)Что  называется  наибольшим  общим  делителем  чисел  a  и  b? б) Как найти НОД чисел?  — в) А если нет общих множителей, чему равен НОД этих чисел? г)  Как  называются  эти  числа ? Заполните лист самооценки(Приложение1) столбик «Знаю» 2. Игра «Верно-неверно» А) НОД(12,18)=6 -В Б) НОД(13,78)=39 -Н В) НОД(7,10)=1 -В Г)124=4*31 –это разложение 124 на простые множители -Н Д) 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3, НОД(24,36)=2*3=6 –Н Заполните лист самооценки(Приложение1) столбик «Умею» 3. Работа в парах. Решить задачу за 3 мин:Для приготовления новогодних детских подарков купили 200 апельсинов,240 шоколадок и 320 орехов. Какое количество подарков можно сделать, разделив каждое число апельсинов, шоколадок и орехов поровну?

—  Наибольшим  общим  делителем  чисел  a  и  b  —  называется  наибольшее  натуральное  число , которое  делит  числа  a  и  b  без  остатка.) 1. разложить на  простые  множители ; 2. выписать общие  множители; 3.  перемножить  их . —  1 — взаимно – простыми. Заполняют лист самооценки Ученики работают с пультами. Затем анализируют задания, в которых допустили ошибки Заполните лист самооценки(Приложение1) Решают задачу

3. Выявление причин затруднения и постановка цели
деятельности

Цель этапа: 1)
организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется
отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
– Какое задание вы должны были выполнить? – Почему вы не смогли выполнить задание А какие ключевые слова в задаче? – А что надо найти в задаче? — а что это за число? оно связано с числами из задачи ? как? – Т. Е чем является это число с точки зрения математики? – Какая же цель нашего урока? – Как можно назвать тему урока? – Хорошо. Запишите тему в тетрадях. (Учитель записывает тему на доске.).	— решить задачу — не хватило времени, много вариантов -200 ап., 240 шок., 320 ап., разделить поровну -количество подарков 200,240 и 320 должно делиться на это число -НОД чисел 200,240,320 -.Рассмотреть применение алгоритма нахождения  НОД в практических задачах Решение задач с использованием находения НОД чисел

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: 1)
организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа
действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в
знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Вернемся к нашей задач Мы должны найти число, на которое будет делиться каждое из данных чисел Как можно найти такое число? Сделайте вывод: что мы можем применить для решения таких задач? Решаем задачу по намеченному плану *Во время проговаривания учитель корректирует речь учащихся Очень хорошо! Вы верно справились с задачей. Нам пригодились знания полученные на уроках математики для решения этой задачи? Оцените свою деятельность в листах самооценки на этом этапе работы: зеленый цвет означает: «я могу», красный цвет: «яне могу», желтый цвет «яне совсем уверен»

Использовать алгоритм нахождения НОД чисел Алгоритм нахождения НОД чисел Решают задачу в тетради, один ученик у доски Да, конечно

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать
изученное учебное содержание во внешней речи.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1)№ 663 . Решить задачу Прогностическое оценивание: Вы сможете решить предложенную задачу?	У доски работает ученик, который поставил себе индикатор желтого цвета

Физминутка

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверить
своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе
сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выполним самостоятельную работу. Выберите уровень: Базовый.Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну.          Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Повышенный.Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты.       Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? –           –           –           –           –           –           –           –           –           –         Оцените свою работу по критериям: ƒ Правильное записывание условия; ƒ Наличие записи действий; ƒ Запись ответа, соответствующая вопросу задачи Используя цветовой индикатор, занесите результат в оценочный лист

Учащиеся выполняют задание в тетрадях, а затем проверяют по эталону. Базовый: 1) НОД ( 210, 126 и 294) = 42 (букета).          2) 210 : 42 = 5 (бордовых роз).          3) 126 : 42 = 3 (белых роз).          4) 294 : 42 = 7 (красных роз).          Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Повышенный. 1) S= a ∙ b – площадь прямоугольника.    S= 48 ∙ 40 = 1960 см². – площадь картона.   2) a – сторона квадрата 48 :a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона.  3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см².) – площадь одного квадрата.  5) 1960 : 64 = 30 (количество квадратов).                        Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Оценивание

7. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа: 1)
зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на
уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые
помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения
как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Что нового ты узнал при изучении материала? — Придумайте задачу, которую можно решить таким способом. — Верно ли, что следующая задача относится к этому же типу:Теплоход  «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за  12 дней,  а теплоход  «Киров» за  18 дней.   Через сколько дней теплоходы  сновавстретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно? Ретроспективное оценивание: Отметьте задания, которые оказались для вас трудными Всех ли целей, которые мы ставили вначале урока мы добились?

Ответы детей Нет, здесь надо найти число, которое будет делиться на данные числа Делают вывод о достижении поставленной цели, оценивают свою работу на уроке, высказывают  своё отношение к прошедшему уроку

Домашнее задание

Новый материал: №678 илипридумать и решить свою задачу, решить задачу повышенного уровня(по
желанию0

На повторение: № 666, 670(1)