Как составить задачу по уравнению 5 класс с дробями

Стручкова Любовь Дмитриевна

Сборник задч

Использование дробей при решении текстовых задач

в 5-8 классах

   Сборник  предназначен для использования при повторении пройденных тем по дробям, и особенно, по решению задач. В ней даются в виде математических моделей: схем, таблиц, числовых и буквенных выражений и равенств – решения различных задач с дробями. В применении дробей учащиеся чаще всего испытывают затруднения, так как дроби принимают разный смысл, смотря из ситуации. Например, дробь сначала изучается как доля одного целого, потом – отношение части на целое, а дальше – рассматриваем дробь как число. Как число мы выполняем сложение, вычитание, умножение и деление дробей, записываем любое число в виде дроби.

Содержание

Часть 1  Задачи на  дроби из курса 5 класса

1. Применение общего равенства для решения задач на нахождение части, целого и дроби
2. Задачи с остатками
3. Задачи на составление уравнений

Часть 2  Задачи на совместную работу из курса 5 класса

Часть 3  Задачи на движение из курса 6 класса

Часть 4  Задачи на составление  целых уравнений

Часть 5  Задачи на составление дробно-рациональных уравнений

1. Изменение скорости путника
2. Два путника с разными скоростями
3. Два путника с разными скоростями и расстояниями.

Из истории дробей

                                                               «Несть се дивно, что в целых, а то похвально, что в            

                                                                 долях…»  (16 век)

     В Древнем Риме знание дробей пользовалось особым почетом и уважением. Чтобы освоить учение о дробях, приходилось заучивать огромное число правил действий с дробями.

   Унция – это одна двенадцатая часть древнеримской единицы масс – АСС. Со временем унции стали применять для измерения других величин. Постепенно происходил переход от конкретных дробей к отвлеченным дробям, не связанным с какой-нибудь определенной мерой.

   У Древних римлян унция обозначалась чертой «- », половина асса, или 6 унций, — S. Например, семь двенадцатых записывались так: «S-»

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем была создана в Индии, только там не писали дробной черты.  А записывать дробь в точности так, как сейчас, стали арабы. Общеупотребительной эта запись дробей стала лишь в XVI веке.

   Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н.э.):  «Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10». Ответ: х- 1/3х – 1/4х = 10, х=24.

Часть 1  Задачи на дроби из курса 5 класса

1.1 Нахождение неизвестных: части, целого, дроби

1.1 Задачи на нахождение части, целого, дроби

Задача 1  Коля отдыхал на свежем воздухе 120 мин. Из них 5/6 всего времени он играл в волейбол. Сколько времени играл Коля в волейбол?

Задача 2   Турист прошел 15 км, что составляет  2/3 его маршрута.  Сколько всего километров должен пройти турист?

Задача 3  Ученик на приготовление домашней работы затратил  2 часа.  На выполнение заданий по математике ушло 35 минут. Какая часть времени приготовления домашней работы ушло на математику?

Задачи для самостоятельной работы

1. В олимпиаде по математике победителями стали 8 человек, что составило 4/7 числа ее участников. Сколько человек приняли участие в олимпиаде по математике?

1. На пришкольном участке посадили  25 деревьев. Число посаженных деревьев составило 5/16 деревьев, которые запланировано посадить. Сколько деревьев запланировано посадить на пришкольном участке?
2. В дачном кооперативе 27 участков. Из  них 4/9  участков уже застроены. На скольких участках уже застроены дома?
3. В классе 24 человека. Из них 10 девочек. Какую часть всех учащихся класса составляют девочки?
4. В книге  225 страниц. Аня прочитала  75 страниц. Какую часть книги прочитала Аня и какую часть ей осталось прочитать?

1.2 Задачи с остатками

1. Шура  потратила  35 р., что составило 5/11 всех её денег.  Сколько денег у нее осталось?

Решение:   2.  У мамы было  5000 р. Из них 30% она затратила на продукты, а на остальные деньги купила  6 стульев. Сколько рублей стоит  1 стул?

Решение:

 

1. В рулоне 80 метров ткани.  На шитье женских костюмов ушло 3/5 рулона, на шитье мужских костюмов –  7/8  остатка. Сколько осталось ткани в рулоне?

Задачи для самостоятельного решения

1. Для корма КРС заготовили 12 тонн сена. До нового года привезли во двор ¼ часть сена, до 8 марта привезли —  2/3 остатка. Сколько сена ещё осталось привести?
2. Семья  заготовила на зиму 70 банок консервированных овощей. В 3/5 этих банок были огурцы, в 4/9 оставшихся – помидоры, а в остальных банках – морковь. Сколько банок моркови было заготовлено на зиму?
3. В классе 18 учеников.  Половина ходит на секцию, из другой половины 2/3 занимаются вокалом, а остальные занимаются в предметных кружках. Сколько учеников занимаются в предметных кружках?
4. Петя готовил уроки. На математику он потратил 1/3 этого времени, а на географию – ¼ оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько – по географии.

1. Задачи на составление уравнений

Задача 1.  Найти число, если 4/5 от него равны числу, 8/11 которого составляют 32.

  Решение:

Эта задача приводится к решению уравнения. Обозначим за х  искомое число. Тогда

                                           4/5х = 32 : 8/11

                                           4/5х = 44

                                               х = 44 : 4/5

                                               х = 55

Задача 2.  В классе 25 учеников, причем число девочек составляет 3/5 числа мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?

                                                  Решение:

Решите самостоятельно

1. В доме  100 квартир, причем число двухкомнатных квартир составляет ¾ числа трехкомнатных квартир. Сколько двухкомнатных и сколько трехкомнатных квартир в доме?
2. Найти два числа, если одно из них составляет  2/7 другого, а их сумма равна 27.
3. Найти два числа, если одно из них составляет 5/6 другого, а их разность равна 3.

Часть 4  Задачи на составление уравнений с дробями из курса 7 класса

Задача №693 (учебник 7 класса С.А.Теляковского)

Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на 1  быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?

Решение:

Реши самостоятельно

Задача №694

  Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Какова длина дистанции?

Задача №695

  От лагеря до привала пионеры шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались в лагерь со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от лагеря был сделан привал?

Часть 5  Задачи на составление дробно-рациональных уравнений

           5.1  Изменение скорости путника

 Задача №60 с.187 (А-8 Виленкин)

  Повысив скорость поезда на 10 км/ч, удалось сократить на 1 час время, затрачиваемое на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда

                                             Решение:

                                    Реши самостоятельно

Задача №59 (Виленкин)

   Велосипедист выехал из города в поселок по дороге, длина которой 24 км, а  возвратился по другой дороге, длиной 30 км. Несмотря на то, что на обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч, на обратный путь он затратил на 6 мин  больше, чем на путь из города в поселок. С какой скоростью возвращался велосипедист?

Задача из пособия Дудницына

  Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта Б. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

          5.2   Движение по реке

          5.3   Два путника с разными скоростями

1.    Два путника с разными скоростями и расстояниями

Задачи по математике для учеников 5 класса на составление уравнений.

Задача № 1

Для приготовления салата берут 4 части помидор, 3 части огурцов и 1 часть зелени. Всего получилось 480 грамм салата. Сколько грамм помидор было взято?

Задача № 2 

У Веры было в 5 раз больше слив, чем у Даши. При этом у Даши было на 16 слив меньше. Сколько слив было у Даши? У Веры?

Задача № 3

У Дениса было в 3 раз больше монет, чем у Васи. А у Димы в 2 раза больше монет, чем у Дениса. Всего же монет было 50. Сколько монет было у Васи? У Дениса?

Задача № 4

Для приготовления варенья взяли 4 части сахара и 7 частей фруктов. Всего получилось 660 грамм варенья. Сколько грамм сахара было взято?

Задача № 5

У Насти было в 3 раза больше груш, чем у Иры. При этом, у Иры было на 14 груш меньше, чем у Насти. Сколько груш было у Иры? У Насти?

Задача № 6

Для приготовления теста взяли 5 частей муки, 2 части молока и 1 часть масла. Общий вес теста составил 960 грамм. Сколько грамм молока было взято?

Задача № 7

У Ивана было в 6 раз меньше мандарин, чем у Пети. При этом у Пети было на 15 мандарин больше. Сколько мандарин было у Ивана? У Пети?

Задача № 8

Мальчик проехал на автобусе 3 части пути от дома, а пешком прошел 2 части пути. Всего же он преодолел 15 км. Сколько км мальчик прошел?

Задача № 9

У Вики было в 4 раза меньше апельсин, чем у Оли. При этом у Оли было на 12 апельсин больше, чем у Вики. Сколько апельсин было у Вики? У Оли?

Задача № 10

Света задумала число, умножила его на 4 и к произведению прибавила 8. В результате она получила 60. Какое число задумала Света?

Задача № 11

Собрали несколько килограммов свежей вишни. После того, как из 7 кг сварили варенье, а затем собрали ещё 5 кг, то свежей вишни стало 10 кг. Сколько вишни собрали изначально?

Задача № 12

В одной корзине в 6 раз меньше яблок, чем в другой. Сколько яблок в каждой корзине, если в двух корзинах 98 яблок?

Задача № 13

В трёх автобусах 188 пассажиров, причём в первом автобусе на 9 пассажиров больше, чем во втором, и на 8 меньше, чем в третьем. Сколько пассажиров в каждом автобусе?

Задача № 14

В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если известно, что в нём в 3 раза больше мест, чем в малом зале?

Задача № 15

В школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, средних и старших классах, если в начальных классах их в 3 раза больше, чем в старших, и в 2 раза меньше, чем в средних?

Задача № 16

Площадь кухни в 3 раза меньше площади комнаты, поэтому для ремонта пола кухни потребовалось на 24 м2 линолеума меньше, чем для комнаты. Какова площадь кухни?

Задача № 17

Одна сторона прямоугольника в 4 раза меньше другой. Чему равны длина и ширина прямоугольника, если его периметр равен 70 см?

Задача № 18

На пруду плавали белые и серые утки, причём серых было в 3 раза больше, чем белых. После того, как на пруд прилетели 5 лебедей, то птиц всего оказалось 29. Сколько серых уток плавало на пруду?

Задача № 19

 В 5 «Б» классе из 27 учащихся «3» получили за контрольную по математике в 6 раз меньше человек, чем «4» и в 2 раза меньше, чем «5». Сколько учащихся получили «3», «4» и «5» за контрольную работу?

    
Задача № 20   

                                                                                                   
Деду 56 лет, внуку — 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука?

Задача № 21

Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и 6 пакетов кофе, потратив 68 рублей 50 копеек. Сколько стоит пакет кофе?

Задача № 22

9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?

Задача № 23

Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными.

Задача № 24

В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?

Задача № 25

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)

Задача № 26

Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения?

Задача № 27

Лена загадала некоторое число. Если это число уменьшить на 12, то получится 5. Какое число загадала Лена?

Задача № 28

Некоторое число увеличили в 7 раз, после чего получили 119. Что это за число?

Задача № 29

Найдите числа, следующие друг за другом, если их сумма равна 159.

Задача № 30

Одно число больше другого на 38. Чему равны эти числа, если их сумма равна 184.

Задача № 31

За три дня турист преодолел 105 км. Сколько километров турист преодолел в первый день, если в каждый последующий день он преодолевал на 3 км больше, чем в предыдущий?

Задача № 32

Сколько лет маме, если она старше дочери на 24 года, а дочь моложе матери в 7 раз?

Задача № 33

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники. Сколько тех и других изображено на рисунке, если у всех фигур вместе 69 углов, а всего фигур — 18?

Задача № 34

Швейная мастерская закупила 2 сорта ткани всего 49 метров. Стоимость одного 110 рублей за 1 метр, стоимость другого 100 рублей за 1 метр. Сколько метров каждого сорта было куплено, если всего потратили 5150 рублей?

Задача № 35

Мама покупала в магазине овощи и фрукты. За овощи она заплатила на 90 рублей меньше чем за фрукты, а за фрукты заплатили в 2 раза больше, чем за овощи. Сколько мама заплатила за овощи и за фрукты по отдельности?

Задача № 36

Стоимость фломастеров и тетрадей вместе составляет 276 рублей, стоимость фломастеров составляет 0,6 стоимости книги, а тетради на 60 рублей дороже книги. Сколько стоят тетради?

Задача № 37

Саша задумал 3 натуральных числа. Первое из чисел наибольшее двузначное число, второе в 4 раза больше третьего. Что за числа задумал Саша, если сумма этих чисел равна 934?

Задача № 38

На трех книжных полках стояли книги. На первой полке книг стояло в 2 раза меньше, чем на второй, а на третьей на 4 меньше чем на первой. Сколько книг стояло на каждой из полок, если всего в шкафу было 88 книг?

Задача № 39

Бассейн вмещает 300 м3 воды и наполняется двумя трубами. Через первую трубу вода вливается со скоростью 20 м3/ч, а через вторую трубу – со скоростью 30 м3/ч. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном включении двух труб?

Задача № 40

 Морковь дороже картофеля на 25т., за 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 520 тенге. Сколько стоит морковь, картофель?

Задача № 41

Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км. Скорость первого поезда 70 км/ч, а скорость второго 80 км/ч. Какое расстояние было между поездами через 3 ч после выхода?

Задача № 42

Пассажирский и товарный поезд вышли в одном направлении одновременно с двух станций, расстояние между которыми 512 км. Скорость пассажирского поезда была в 2 раза быстрее скорости товарного и через 8ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

Задача № 43

 В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.

Задача № 44

Туристы прошли пешком х км. И проехали на автомобиле 3 х км. Весь путь равен 124 км.

Задача № 45

Ученик задумал число. Умножил его на 2, к произведению прибавил 19 и получил сумму, равную 37. Какое число задумал ученик?

Отец старше сына на 20 чет, а сын моложе отца в 5 раз. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?

Задача № 46

В одном бидоне молока в 

3

 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 

5

 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Задача № 47

Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила 

, после чего из суммы вычла задуманное число.

Задача № 48

Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему 

, вычел из него 

, вычел задуманное число и получил 

. Какое число задумал Дмитрий?

Задача № 49

На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой 

 кг, а на левой чашке – гиря массой 

 кг. Какова масса дыни?

Задача № 50

В корзине было неизвестное количество яблок. Сначала  из нее взяли 12 яблок, а потом положили туда 5 яблок. В результате в корзине стало 24 яблока. Сколько яблок было в корзине первоначально?

Задача № 51

В корзине было 15 груш. Сначала из нее взяли 7 груш, а потом положили в нее неизвестное количество груш. В результате в корзине стало 34 груши. Сколько груш положили в корзину?

Задача № 52

В коробке было 65 конфет. Вначале из нее взяли неизвестное количество конфет, а потом доложили 7 конфет. В результате в  коробке стало  34 конфеты. Сколько конфет было взято?

Задача № 53

Турист прошел часть пути за 45 минут, затем отдыхал неизвестное количество времени, и оставшуюся часть  пути  прошел за 34 минуты. В результате весь путь турист преодолел за 2 часа 18 минут. Сколько минут отдыхал турист?

Задача № 54

Температура воздуха была 23 градуса. В первый день она опустилась на неизвестное количество градусов, а во второй день поднялась на 5 градусов. В результате температура воздуха стала 19 градусов. На сколько градусов опустилась температура в первый день?

Задача № 55

В корзине было неизвестное количество яблок. Вскоре из нее достали 7 яблок и отдали мальчику, а потом доложили в корзину еще 14 яблок, после чего в ней стало 18 яблок. Сколько яблок было в корзине первоначально?

Задача № 56

Для приготовления мороженого взяли 3 части молока, 2 части сахара и 1 часть масла. Всего мороженое весило 120 грамм. Сколько грамм сахара взяли?

Задача № 57

В корзине было неизвестное количество яблок. Вначале из нее взяли 16 яблок, а затем положили в нее 5 яблок. В результате в корзине стало 7 яблок. Сколько яблок было в корзине первоначально?

Задача № 58

На полке стояло несколько книг. После того, как с неё сняли 8 книг, а затем положили 17, на ней стало 22 книги. Сколько книг было на полке первоначально?

Задача № 59

На трёх складах 72 тонны пшеницы. На первом в 3 раза больше, чем на втором, а на третьем в 4 раза больше, чем на втором. Сколько зерна на каждом складе?

Задача № 60

Лиза нашла грибов в 2 раза больше, чем Ваня. А Таня в 4 раза больше, чем Ваня. Сколько грибов нашёл каждый из ребят, если вместе они нашли 140 грибов?

Задача № 61

Для приготовления супа берут 7 части воды, 3 части овощей и 2 части мяса.  Всего получается 3600 грамм супа. Сколько грамм овощей потребуется?

Задача № 62

В коробке было 25 конфет. Вначале в нее положили 12 конфет, а затем взяли неизвестное количество конфет. В результате в коробке осталось 11 конфет. Сколько было взято конфет?

Задача № 63

У Маши было a пирожков, у Коли b пирожков, а у Пети c пирожков. Они сложили их и поделили на 3 равные части. Сколько пирожков досталось каждому? Напишите выражение и найдите его значение при а=12, b=16, d=8.

Задача № 64

Решите задачу с помощью уравнения:

а)Мальчик задумал число и умножил его на 8. Если из данного произведения отнять 26, то получится 46. Какое число загадал мальчик?
б)75 кг мандарин разложили в несколько коробок, а потом из каждой коробки взяли 3 кг. В каждой коробке осталось 12 кг мандарин. Сколько было коробок?

Задача № 65

Решите задачу с помощью уравнения:

а)Девочка задумала число и разделила его на 12. Если к данному частному прибавить 13, то получится 33. Какое число загадала девочка?
б)49 кг яблок разложили в несколько коробок, а потом в каждую коробку положили 2 кг. В каждой коробке стало 9 кг яблок. Сколько было коробок?