Как составить задачу с тремя неизвестными

Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными . Пусть имеем уравнение

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

Тогда получим уравнение:

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Система линейных уравнений с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac<1> <2>x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <left< begin 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <left< begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end $$

и вспомогательные определители :

$$ Delta_x = begin d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end, Delta_y = begin a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end, Delta_z = begin a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end = a_1 = begin b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end — b_1 = begin a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end + c_1 = begin a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<left< begin z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end right.> Rightarrow <left< begin z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac<37-11cdot2> <5>= 3 \ x = 2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end right.> $$

$$ <left< begin x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end right.> Rightarrow <left< begin x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end right.> Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ Delta = begin 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end = 3 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end = 13 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 1 = begin -2 & -1 \ 9 & 2 \ end = $$

$$ Delta_y = begin 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end = 3 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 13 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end = 3 = begin -1 & -2 \ 2 & 9 \ end — 2 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end + 13 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta = begin 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end = 1 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end = 6 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end + 3 = begin 5 & -5 \ -11 & 2 \ end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end = 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end — 6 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end = 1 = begin -5 & 5 \ 2 & -11 \ end — 1 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end + 6 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <left< begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end right.> Rightarrow <left< beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end right.> $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Системы линейных уравнений с тремя переменными

Линейным уравнением называется уравнение вида:

В этом уравнении — неизвестные, а — действительные (или комплексные) числа. При этом называются коэффициентами уравнения, а — свободным членом.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Из трех способов решения этих систем: графического, способа подстановки и способа сложения остается два последних способа. Графический способ уже не проходит, так как пришлось бы находить точку пересечения трех плоскостей. А это трудно изобразить.

Способ подстановки для трех уравнений похож на способ подстановки для двух уравнений с двумя неизвестными, только у этого способа на один шаг больше. Первое: выражаем одно из неизвестных из одного уравнения через два остальных неизвестных и подставляем это выражение в оставшиеся два уравнения. Эти оставшиеся два уравнения составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. А дальше решаем эту полученную систему и находим два неизвестных, а затем, зная их, и третье неизвестное.

Пример 1 Решить систему уравнений: способом подстановки.

Выразим из первого уравнения через остальные неизвестные и свободный член. Найденное выражение подставим в остальные уравнения.

Далее, оставляя первое уравнение в покое, решаем систему из двух получившихся уравнений с неизвестными и (предварительно разделив обе части второго уравнения на ).

Получили единственное решение системы

Рассмотрим теперь способ сложения. Так же как и для двух уравнений с двумя неизвестными, нужно при помощи сложения уравнений добиться, чтобы одно из неизвестных пропало.Приведем пример.

Пример 2 Решить систему уравнений: способом сложения.

Постараемся получить два уравнения с двумя неизвестными. Избавимся от неизвестной . Для этого удвоенное первое уравнение сложим почленно с удвоенным вторым уравнением, а удвоенное второе уравнение прибавим к третьему уравнению:

Далее производим почленное сложение двух уравнений с двумя неизвестными, исключая неизвестную :

Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение во второе уравнение, находим . Наконец из первого уравнения находим . Итак — единственное решение системы.

В заключении решим задачу, которая приводится к системе с тремя неизвестными.

Задача В трех урнах — шариков. В первой урне шариков больше чем во второй на столько, сколько шариков в третьей урне. Число шариков во второй урне относится к числу шариков в третьей урне как . Сколько шариков в каждой урне?

Обозначим число шариков в 1-й, 2-й и 3-й урнах через соответственно. Тогда первое условие задачи дает уравнение , второе условие — , а третье условие — . Запишем три полученные уравнения в систему, сделав предварительно третье уравнение линейным:

Складывая почленно первые два уравнения находим .Решаем систему из двух оставшихся уравнений:

Итак, в урнах соответственно и шариков.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac{1}{2} x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве.

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ {left{ begin{array}{c} 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end{array} right.} $$

Ответ: (1;2;-1)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Метод Крамера для системы уравнений с 2-мя переменными рассмотрен в §48 данного справочника.

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ {left{ begin{array}{c} a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end{array} right.} $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix} $$

и вспомогательные определители:

$$ Delta_x = begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix}, Delta_y = begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end{vmatrix}, Delta_z = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end{vmatrix} $$

Тогда решение системы:

$$ {left{ begin{array}{c} x = frac{Delta_x}{Delta} \ y = frac{Delta_y}{Delta} \ z = frac{Delta_z}{Delta} end{array} right.} $$

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end{vmatrix} = a_1 = begin{vmatrix} b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end{vmatrix} — b_1 = begin{vmatrix} a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end{vmatrix} + c_1 = begin{vmatrix} a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end{vmatrix} = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$ а) {left{ begin{array}{c} 3x+2y-z = 13 \ 2x-y+3z = -2 \ x+2y-z = 9 end{array} right.} $

$${left{ begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end{array} right.} Rightarrow $$

$$Rightarrow {left{ begin{array}{c} z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac{37-11cdot2}{5} = 3 \ x = 2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end{array} right.} $$

Ответ: (2;3;-1)

$ б) {left{ begin{array}{c} x+y+3z = 6 \ 2x-5y-z = 5 \ x+2y-5z = -11 end{array} right.} $

$$ {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end{array} right.} Rightarrow$$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 1 \ y = -1 \ z = 2 end{array} right.} $$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$а) {left{ begin{array}{c}3x+2y-z = 13 \ 2x-y+3z = -2 \ x+2y-z = 9 end{array} right.} $

$$ Delta = begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -1 & 3 \ 2 & -1 \ end{vmatrix} — 2 = begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$= 3(1-6)-2(-2-3)-(4+1) = -15+10-5 = -10$$

$$ Delta_x = begin{vmatrix} 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end{vmatrix} = 13 = begin{vmatrix} -1 & 3 \ 2 & -1 \ end{vmatrix} — 2 = begin{vmatrix} -2 & 3 \ 9 & -1 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} -2 & -1 \ 9 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 13(1-6)-2(2-27)-(-4+9) = -65+50-5=-20 $$

$$ Delta_y = begin{vmatrix} 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -2 & 3 \ 9 & -1 \ end{vmatrix} — 13 = begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 9 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 3(2-27)-13(-2-3)-(18+2) = -75+65-20 = -30 $$

$$ Delta_z = begin{vmatrix} 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end{vmatrix} = 3 = begin{vmatrix} -1 & -2 \ 2 & 9 \ end{vmatrix} — 2 = begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 9 \ end{vmatrix} + 13 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 3(-9+4)-2(18+2)+13(4+1) = -15-40+65 = 10 $$

$$ x = frac{Delta_x}{Delta} = frac{-20}{-10} = 2, y = {Delta_y}{Delta} = frac{-30}{-10} = 3, z = {Delta_z}{Delta} = frac{10}{-10} = -1$$

Ответ: (2;3;-1)

$б) {left{ begin{array}{c} x+y+3z = 6 \ 2x-5y-z = 5 \ x+2y-5z = -11 end{array} right.} $

$$ Delta = begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} -5 & -1 \ 2 & -5 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 2 & -5 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$= (25+2)—(-10+1)+3(4+5) = 27+9+27 = 63$$

$$ Delta_x = begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end{vmatrix} = 6 = begin{vmatrix} -5 & -1 \ 2 & -5 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} 5 & -1 \ -11 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 5 & -5 \ -11 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin{vmatrix} 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} 5 & -1 \ -11 & -5 \ end{vmatrix} — 6 = begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & -5 \ end{vmatrix} + 3 = begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -11 \ end{vmatrix} = $$

$$ = (-25-11)—6(-10+1)+3(-22-5) = -36+54-81 = -63 $$

$$ Delta_z = begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end{vmatrix} = 1 = begin{vmatrix} -5 & 5 \ 2 & -11 \ end{vmatrix} — 1 = begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -11 \ end{vmatrix} + 6 = begin{vmatrix} 2 & -5 \ 1 & 2 \ end{vmatrix} = $$

$$ = (55-10)—(-22-5)+6(4+5) = 45+27+54 = 126 $$

$$ x = frac{Delta_x}{Delta} = frac{63}{63} = 1, y = {Delta_y}{Delta} = frac{-63}{63} = -1, z = {Delta_z}{Delta} = frac{126}{63} = 2$$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ {left{ begin{array}{c} a^3+a^2 x+ay+z = 0 \ b^3+b^2 x+by+z = 0 \ c^3+c^2 x+cy+z = 0 end{array} right.} $$

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}z = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end{array} right.} $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a-b)(a+b)x-(a-b)y = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) \ -(a-c)(a+c)x-(a-c)y = (a-c)(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a+b)x-y = a^2+ab+b^2 \ (a+c)x+y = -(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

$$ {left{ begin{array}{c} z = -(a^3+a^2 x+ay) \ -(a+b)x+(a+c)x = (a^2+ab+b^2 ) — (a^2+ac+c^2 ) \ y = -(a+c)x-(a^2+ac+c^2 ) end{array} right.} $$

Из второго уравнения получаем:

$$x = frac{ab+b^2-ac-c^2}{c-b} = -frac{a(b-c)+(b^2-c^2 )}{b-c} = — frac{(b-c)(a+b+c)}{b-c} $$

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ x = -(a+b+c)$$

Подставляем:

$$ y = -(a+c)x-(a^2+ac+c^2 ) = (a+c)(a+b+c)-(a^2+ac+c^2 ) = $$

$$ = a^2+ab+ac+ac+bc+c^2-a^2-ac-c^2 = ab+ac+bc $$

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Ответ:$ {left{ begin{array}{c} x = -(a+b+c) \ y = ab+ac+bc \ z = -abc end{array} right.} $

Решим задачу алгебраическим способом.

Задача: Даны $3$ числа, сумма которых равна $23$. Если к удвоенному первому числу прибавить второе число и вычесть третье, то получится $32$. А если из первого числа вычесть удвоенное второе и прибавить третье, то получится $8$.

В задаче $3$ неизвестных, поэтому введем следующие обозначения:

Пусть $х$ – первое число, у – второе число, $z$ – ё третье число.

Мысленно разделим условие задачи на $3$ части, по каждой из которых составим уравнение с тремя неизвестными:

Сумма трех чисел равна $23$, значит $х + у + z = 23$.

Удвоенное первое число равно $2х$. Получаем уравнение: $2х + у – z = 32$.

Удвоенное второе число равно $2у$. Составляем уравнение: $х – 2у + z = 8$.

Объединяем три уравнения в систему:

$begin{cases}x+y+z=23,\2x+y-z=32,\x-2y+z=8end{cases}$

Мы получили систему трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными. Покажем, как можно решить эту систему уравнений способом подстановки. Из третьего уравнения системы выражаем $х$ через $y$ и $z$ : $х = 8 + 2у – z$. И подставляем $8 + 2у-z$ вместо $х$ в первое и второе уравнение. Получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

$begin{cases}8+2y-z+y+z=23,\2(8+2y-z)+y-z=32end{cases}$

Приведем подобные члены:

$begin{cases}8+3y=23,\5y-3z=16end{cases}$

Таким образом, мы свели систему уравнений с тремя неизвестными к системе уравнений с двумя неизвестными.

Решая систему, находим, что $у_0 = 5$, $z_0 = 3$.

Подставим $у_0$ и $z_0$ в $х = 8 + 2у-z$, находим, что $х_0 = 15$.

Таким образом, мы решили систему трёх уравнений с тремя неизвестными.

Вернемся к условию задачи: первое число $15$, второе число $5$, третье число $3$. 

Как решить систему с тремя неизвестными

Линейная система с тремя неизвестными имеет несколько способов решения. Найти решение системы можно с помощью правила Кремера через определители, методом Гаусса или используя простой способ подстановки. Метод подстановки является основным для решения систем линейных уравнений небольшого порядка. Он заключается в поочередном выражении из каждого уравнения системы одной неизвестной переменной, подстановки ее в следующее уравнение и упрощение получаемых выражений.

Инструкция

Запишите исходную систему уравнений третьего порядка. Из первого уравнения системы выразите первую неизвестную переменную х. Для этого перенесите члены, содержащие другие переменные за знак равенства. Перенесенным членам поменяйте знак на противоположный.

Если при множителе с выражаемой переменной присутствует коэффициент отличный от единицы, поделите на его значение все уравнение. Таким образом, вы получите переменную х, выраженную через остальные члены уравнения.

Подставьте во второе уравнение вместо х то выражение, которое вы получили из первого уравнения. Упростите полученную запись, произведя сложение или вычитание подобных членов. Аналогично предыдущему шагу выразите из второго уравнения следующую неизвестную переменную у. Также перенесите все другие члены за знак равенства и поделите все уравнение на коэффициент при у.

В последнее третье уравнение подставьте вместо двух неизвестных переменных х и у выраженные значения из первого и второго уравнений системы. Причем в выражении х также замените переменную у. Упростите полученное уравнение. В нем в качестве неизвестной величины останется лишь третья переменная z. Выразите ее из уравнения, как описано выше, и высчитайте ее значение.

В выражение у из второго уравнения подставьте известное значение переменной z. Подсчитайте значение переменной у. Далее в выражение переменной х подставьте значения переменных у и z. Вычислите х. Запишите полученные значения х, у и z – это и есть решение системы с тремя неизвестными.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?