Как составить задание по алгебре - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математическое образование необходимо как
часть общей культуры для всех учащихся, а поэтому
изучение математики в колледже в группах,
готовящих квалифицированных бухгалтеров,
товароведов на базе основной школы с получением
среднего образования и специальности, является
необходимым. Уровень математического
образования, обеспечиваемый введением новых
программ, становится одним из важных элементов
подготовки учащихся, к общественно полезной
деятельности. Задача для преподавателя
математики в колледже непростая: в кратчайший
срок, за один год, в отведенное по учебному плану
время, а это в пределах 180 часов изучить
программный материал в объеме математики 10-11
классов. И не только изучить, но и вооружить
мобильными, ровными знаниями, которые при
переходе на дальнейшую ступень учебы будут сразу
востребованы при изучении высшей математики в
технологических и бухгалтерских группах.

Цель преподавания заключается в том, чтобы
учащийся овладел математикой. Термин “овладел”
очень растяжимый. Во-первых, учащийся должен
нечто знать. Во-вторых, он должен на некоторую
глубину понимать, т.е. под знанием
подразумевается не только умение повторить
формулировку, а мотивировать, почему так, а не
иначе. В-третьих, учащийся должен уметь применять
изученную им математику по профилю
специальности.

Для достижения этих целей необходимо изучать
теорию и решать задачи. Решая задачи, применяем
теорию и тем самым познаем ее. Изучать
математику, не решая задач, совершенно
бесполезно. В этом вряд ли кто-то сомневается, но
многие неправильно понимают роль задач. Обучение
математике нельзя разделить на теорию и решение
задач. Невозможно без решения задач усвоить
теорию. Цель не в том, чтобы ученик решил задачу
(т.е. получил ответ), а в том чтобы получил от этой
задачи пользу, т.е. продвинулся на одну ступеньку
по длинной лестнице овладения математикой. Цель
не в ответе, а в процессе решения. Решая задачи
учащийся приобретает новые знания и навыки,
развивает в себе настойчивость, приобщается к
математическому творчеству.

Наиболее эффективно и результативно развитие
математического творчества проявляется при
составлении математических задач
преподавателем и учащимися, где отражается
систематическое применение материалов по
специальности, элементов производственного
процесса. Математическое творчество
прослеживается на всех этапах составления задач
по математике. Целесообразно давать учащимся
задания на составление задач, связанных с той или
другой специальностью, чтобы при их решении
нужно было использовать изучаемый на уроках
материал. Например, предлагаются для групп по
специальности “товароведение” задачи на
нахождение процентного содержания вещества,
расчет наибольшего и наименьшего значения
количества материала. Для групп по специальности
“экономика и бухгалтерский учет” предлагаются
задачи на определение величины дохода и
возвращаемого займа, расчет прибыли, общей суммы
дохода предприятия и т. д. После решения подобных
задач учащиеся более подробно узнают об
особенностях и значимости выбранной профессии, о
трудностях в работе, об оплате.

Основным исходным положением, затрагивающим
профессиональную направленность курса
математики, является прикладная значимость
знаний в практической деятельности. Прикладная
направленность математических знаний означает
осуществление реализации профессиональной
подготовки. К основным направлениям этой работы
в процессе обучения математике можно отнести
следующие:

усиление в аспекте прикладной ориентации
взаимосвязи математики и других смежных
дисциплин;
сближение методов решения учебных задач с
методами, применяемыми на практике;
раскрытие своеобразия отражения математикой
законов действительности;
формирования у учащихся умений строить
математические модели;
изучение впечатлений учащихся, сложившихся в
результате наблюдения трудового процесса, и учет
обобщенных результатов при объяснении нового
материала; превращение материалов наблюдения в
средство повышения эффективности уроков
математики;
систематическое использование на уроках
математики материала по специальности,
элементов производительного процесса;
ознакомление учащихся средствами математики с
особенностями выбранной ими специальности;

Каждая решаемая задача имеет методическую
цель. Поэтому преподаватель должен стремиться не
к тому, чтобы задача была решена быстро и
безошибочно или только на развитие тренировки, а
к тому, чтобы она была решена творчески и чтобы из
нее выжить как можно больше пользы для
математического развития ученика.

Под составлением задачи по математике надо
понимать не простую репродукцию задачи из
сборника или учебного пособия, а самостоятельную
постановку и решение проблемы учащимися, которая
в общем случае решается с помощью логических
умозаключений, математических действий на
основе законов и методов математики.

Понимание взаимосвязи решения и составления
задач позволит преподавателю добиться повышения
эффективности и результативности составления и
решения задач.

Последовательность операций в процессе
составления задач сводится к следующим:

обнаружение и наличие математической задачной
ситуации;
выявление и анализ элементов задачной ситуации
(первичная модель задачи);
краткая запись условия задачи с выполнением
рисунка, чертежа, графика или схемы;
вторичный анализ условия с выделением теории и
законов, описывающих задачную ситуацию;
упрощение условия, дополнение условия
недостающими данными, постоянными;
выбор методов, приемов, способов решения задачи;
выделение звеньев (уравнений, выводов и т. д.);
нахождение и осуществления решения в общем
виде;
анализ модели задачи, ее точная формулировка и
корректирование;
проверка и оценка условия задачи;
исследование задачи, ее окончательная редакция,
обсуждение, выделение и постановка новых
задачных ситуаций;

Для составления и решения математических задач
служат основой именно факты из практической
деятельности человека для удовлетворения
человеческих потребностей. Мировоззренческая
направленность задачного подхода к
математическому образованию требует:

целостного видения предмета математики на
каждом этапе с углублением картины
математической реальности от этапа к этапу;
“соразмерность” человеку, его потребностям,
эмоциональной и интеллектуальной сферам;
отражение мировоззренческих идей и выводов;

Можно выделить следующие виды заданий на
составление задач:

на установление аналогичных задач;
на отыскание, составление подзадач;
на дополнение данных по неполной ситуации;
с другими численными данными;
по схеме условия в общем виде;
на отыскание, составление обратных задач;
на отбор данных по избыточной ситуации;
на постановку вопроса к условию;
по схеме-решения в общем виде;

Предлагаемые учащимся преподавателем задания
на составление по ситуациям в учебном материале:

по рисункам учебника, пособия, задачника и т.д.;
по тексту учебника, пособия;
по материалам по профилю специальности;
итоговое по теме, по материалам экзаменационных
билетов;
по графикам и схемам учебника, пособия,
задачника;
по данной задачной ситуации;

В обучении и решении математических задач в
среднем специальном заведении схемы
“преподаватель-ученик”,
“преподаватель-задача”, “ученик-задача”
выступают в качестве составных взаимосвязанных
и взаимообусловленных элементов современной
концепции обучения математики: преподавания,
учения и содержания изучаемого. Выделенные схемы
включают в себя как прямые, так и обратные связи.
Традиционное обучение решению математических
задач в колледже предусматривает
целенаправленное воздействие преподавателя на
ученика непосредственно
(“преподаватель-ученик”) или через задачу
(“преподаватель–задача–ученик”). Составление
математических задач позволяет осуществить
эффективные и результативные обратные связи не
только на уровне схемы, но и в рамках общей схемы
“преподаватель-ученик-задача — преподаватель”.
При этом по заданию преподавателя учащийся
составляет задачу и предъявляет ее снова
преподавателю. Так, в идеальном случае, ученик по
требованию преподавателя составляет и решает
задачу под его контролем. Но, самостоятельное,
творческое составление математических задач
достигается постепенным овладением всего
процесса составления в ходе выполнения
специальных заданий. Знания о задачах, приемах их
постановки, формулировки и решения,
актуализированными заданиями на составление
задач, представляют собой содержание обучения
составлению. Это содержание, вместе с
преподаванием и учением, определяют структуру
обучения составлению математических задач.
Преподаватель ставит задание перед учащимися с
требованием составить (полностью или частично) и
решить задачу; ученик составляет и решает задачу,
а саму задачу и ее решение предоставляет
преподавателю для проверки с возможным
последующим включением в учебно-воспитательный
процесс по традиционной схеме.

В перспективе, при овладении учащимися
достаточно высокого уровня в составлении
математических задач, по требованию
преподавателя ученик сам выбирает задачную
ситуацию, составляет, решает ее, а преподаватель
проверяет и осуществляет отбор для дальнейшего
использования.

Источник

Решение задач составлением уравнения

Разделы: Математика

«Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний осуществляется в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».

Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки»

Цель обучающая: Научить анализировать условие задачи, выбирать рациональные способы решения, составлять уравнение, решать его, проверять правильность решения.

Цель воспитательная: Развитие абстрактного и логического мышления.

I. Актуализация опорных знаний.

1) Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

2) Решите уравнение .

Решение: а) ; ; x= ;

б) НОЗ=6; ; ; ; ;

3) Составьте буквенное выражение.

Наташа купила блокнот за m рублей, книгу на 20 рублей дороже блокнота и ручку в 2.5 раза дешевле книги. Сколько рублей стоит ручка?

Решение: (m+20) рублей цена книги, рублей цена ручки.

4) Из двух сёл, расстояние между которыми 10 км навстречу друг другу вышли мальчик и девочка и встретились через 2 часа. Скорость мальчика 3 км/час. Найдите скорость девочки.

Решение: а) 3*2=6(км) прошел мальчик, 10-6=4(км) прошла девочка, 4:2=2(км/ч) скорость девочки

б) 10:2=5(км/ч) скорость сближения, 5-3=2(км/ч) скорость девочки.

II. Сообщение темы и цели урока.

III. Решение задач составлением уравнения.

1) Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?

Первый ряд решает задачу, взяв за неизвестную величину возраст Андрея, второй ряд — возраст Олега, третий ряд-возраст Бориса. А затем каждый ряд объясняет своё решение у доски.

Условие задачи	Решение уравнения	Проверка
Х лет Андрею, лет Борису,		16+12+8=36
Х лет Олегу лет Борису		12+16+8=36
Х лет Борису (1,5х+4) лет Андрею		8+12+16=36

Если в задаче несколько неизвестных величин, лучше обозначить буквой наименьшую из них.

2) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3ч. Расстояние между посёлками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.

а) Ученики решают задачу составлением уравнения.

Х км/ч – скорость 1-го пешехода

(х+2) км/ч – скорость 2-го пешехода

3х км прошел 1-й пешеход

3(х+2) км прошел 2-й пешеход

3х+3(х+2)=30	4
3х+3х+6=30	+6
6х+6=30	+12
6х=24	+18
Х=4	=30

б) Затем решают арифметическим способом.

10-2=8(км/ч)-две скорости 1-го пешехода.

8:2=4(км/ч)-скорость 1-го пешехода.

4+2=6(км/ч)-скорость 2-го пешехода.

Вывод. Арифметическое решение задачи более рациональное

3)Для распечатки 340 страниц были использованы две копировальные машины. Первая машина работала 10 минут, а вторая 15 минут. Сколько страниц в минуту печатает каждая машина, если первая печатает на 4 страницы больше, чем вторая?

Снова дети решают задачу алгебраически и арифметически.

А) х страниц за 1 минуту печатает 2-я машина,

(х+4) страниц за 1 минуту напечатает 1-я машина,

15х страниц напечатает 2 машина,

10(х+4) страниц напечатает 2 машина,

15х+10(х+4=340	12
15х+10х+40=340	+16
25х+40=340	+180
25х=300	+160
Х=12	=340

б) 10*4=40(стр) на столько страниц больше напечатает 1-я машина за 10 минут

340-40=300(стр) напечатали бы обе машины вместе, если бы у них были одинаковые скорости.

10+15=25(мин) работали обе машины.

300:25=12(стр) за 1-у минуту печатает 2-я машина.

12+4=16 (стр) за 1-у минуту печатает 1-я машина.

При решении задач с помощью уравнения поступают следующим образом:

Внимательно читают условие задачи.
Обозначают неизвестную величину буквой.
Переводят условие задачи на алгебраический язык.
Составляют уравнение.
Решают уравнение.
Проверяют правильность решения

V. Домашнее задание.

Решить задачу алгебраически и арифметически.

Охотничья собака спугнула зайца, который сидел под кустом в 150м от неё. Через сколько минут собака догонит зайца, если она пробегает за 6 минут 3,6км, а заяц только 3км?

Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова «Алгебра» сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. Москва. «Дрофа». 2001г; стр 43, работа №31, вариант 1(5); стр 50, работа №38, вариант 2(7); стр 65, работа №48, вариант 1(6).
Составители Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская, Е.А Рисс, Т.Е Савелова «Детский математический календарь 2001-2002». Санкт — Питербург стр10.
Н.Т. Кострикина «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов». Москва. «Просвещение» 1991 стр5-19.

Решение задач с помощью уравнений

Решение задачи обычно свóдится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.

Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем путем логических рассуждений составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.

Запись выражений, содержащих неизвестное

Решение задачи сопровождается составлением уравнения к этой задаче. На начальном этапе изучения задач желательно научиться составлять буквенные выражения, описывающие ту или иную жизненную ситуацию. Этот этап не является сложным и его можно изучать в процессе решения самой задачи.

Рассмотрим несколько ситуаций, которые можно записать с помощью математического выражения.

Задача 1. Возраст отца x лет. Мама на два года младше. Сын младше отца в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 2. Возраст отца x лет, мама на 2 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 3. Возраст отца x лет, мама на 3 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Сколько лет каждому, если общий возраст отца, мамы, сына и дочери составляет 92 года?

Решение:

В данной задаче помимо записи выражений, необходимо вычислить возраст каждого члена семьи.

Сначала запишем возраст каждого члена семьи с помощью выражений. За переменную x примем возраст отца, и далее пользуясь этой переменной составим остальные выражения:

Теперь определим возраст каждого члена семьи. Для этого нам нужно составить и решить уравнение. Все компоненты уравнения у нас уже готовы. Осталось только собрать их воедино.

Общий возраст в 92 года получился путем сложения возрастов папы, мамы, сына и дочери:

Для каждого возраста мы составили математическое выражение. Эти выражения и будут компонентами нашего уравнения. Давайте соберем наше уравнение согласно данной схеме и таблице, которая была приведена выше. То есть слова папа, мама, сын, дочь заменим на соответствующее им в таблице выражение:

Выражение, отвечающее за возраст мамы x − 3, для наглядности было взято в скобки.

Теперь решим получившееся уравнение. Для начала можно раскрыть скобки там, где это можно:

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части на 3

Решим получившееся уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Мы нашли значение переменной x . Эта переменная отвечала за возраст отца. Значит возраст отца составляет 36 лет.

Зная возраст отца, можно вычислить возрасты остальных членов семьи. Для этого нужно подставить значение переменной x в те выражения, которые отвечают за возраст конкретного члена семьи.

В задаче было сказано, что мама на 3 года младше отца. Ее возраст мы обозначили через выражение x−3. Значение переменной x теперь известно, и чтобы вычислить возраст мамы, нужно в выражении x − 3 вместо x подставить найденное значение 36

x − 3 = 36 − 3 = 33 года маме.

Аналогично определяется возраст остальных членов семьи:

Проверка:

Задача 4. Килограмм яблок стоит x рублей. Запишите выражение, вычисляющее сколько килограмм яблок можно купить на 300 рублей.

Решение

Если килограмм яблок стоит x рублей, то на 300 рублей можно купить килограмм яблок.

Пример. Килограмм яблок стоит 50 рублей. Тогда на 300 рублей можно купить , то есть 6 килограмм яблок.

Задача 5. На x рублей было куплено 5 кг яблок. Запишите выражение, вычисляющее сколько рублей стоит один килограмм яблок.

Решение

Если за 5 кг яблок было уплачено x рублей, то один килограмм будет стоит рублей

Пример. За 300 рублей было куплено 5 кг яблок. Тогда один килограмм яблок будет стоит , то есть 60 рублей.

Задача 6. Том, Джон и Лео на перемене пошли в столовую и купили по бутерброду и по кружке кофе. Бутерброд стоит x рублей, а кружка кофе — 15 рублей. Определите стоимость бутерброда, если известно, что за всё было уплачено 120 рублей?

Решение

Конечно, данная задача проста как три копейки и ее можно решить не прибегая к уравнению. Для этого из 120 рублей нужно вычесть стоимость трех кружек кофе (15 × 3) , и полученный результат разделить на 3

Но наша цель — составить уравнение к задаче и решить это уравнение. Итак, стоимость бутерброда x рублей. Куплено их всего три. Значит увеличив стоимость в три раза, мы получим выражение описывающее сколько рублей было уплачено за три бутерброда

3x — стоимость трех бутербродов

А стоимость трех кружек кофе можно записать как 15 × 3 . 15 это стоимость одной кружки кофе, а 3 множитель (Том, Джон и Лео), увеличивающий эту стоимость в три раза.

По условию задачи за все уплачено 120 рублей. У нас уже появляется примерная схема, что нужно делать:

Выражения, описывающие стоимость трех бутербродов и трех кружек кофе, у нас уже готовы. Это выражения 3x и 15 × 3 . Пользуясь схемой составим уравнение и решим его:

Итак, стоимость одного бутерброда составляет 25 рублей.

Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.

Также необходимо помнить, что уравнение это равенство, после решения которого левая часть должна будет равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.

Представим, что уравнение это весы с двумя чашами и экраном, показывающим состояние весов.

В данный момент экран показывает знак равенства. Понятно почему левая чаша равна правой чаше — на чашах ничего нет. Состояние весов и отсутствие на чашах чего-либо запишем с помощью следующего равенства:

Положим на левую чашу весов арбуз:

Левая чаша перевесила правую чашу и экран забил тревогу, показав знак не равно ( ≠ ). Этот знак говорит о том, что левая чаша не равна правой чаше.

Теперь попробуем решить задачу. Пусть требуется узнать сколько весит арбуз, который лежит на левой чаше. Но как это узнать? Ведь наши весы предназначены только для проверки равна ли левая чаша правой.

На помощь приходят уравнения. Вспомним, что уравнение по определению есть равенство, содержащее в себе переменную значение которой требуется найти. Весы в данном случае играют роль этого самого уравнения, а масса арбуза это переменная, значение которой нужно найти. Наша цель правильно составить это уравнение. Понимай, выровнять весы так, чтобы можно было вычислить массу арбуза.

Чтобы выровнять весы, на правую чашу можно положить какой-нибудь тяжелый предмет. Например, положим туда гирю массой 7 кг.

Теперь наоборот правая чаша перевесила левую. Экран по прежнему показывает, что чаши не равны.

Попробуем на левую чашу положить гирю массой 4 кг

Теперь весы выровнялись. На рисунке видно, что левая чаша на уровне правой чаши. А экран показывает знак равенства. Этот знак говорит о том, что левая чаша равна правой чаше.

Таким образом мы получили уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Левая чаша — это левая часть уравнения, состоящая из компонентов 4 и переменной x (массы арбуза), а правая чаша — это правая часть уравнения, состоящая из компонента 7.

Ну и нетрудно догадаться, что корень уравнения 4 + x = 7 равен 3. Значит масса арбуза равна 3 кг.

Аналогично дела обстоят и с другими задачами. Чтобы найти какое-нибудь неизвестное значение, к левой или к правой части уравнения добавляют различные элементы: слагаемые, множители, выражения. В школьных задачах эти элементы бывают уже даны. Остается только правильно структурировать их и построить уравнение. Мы же в данном примере занимались подбором, пробуя гири разной массы, чтобы вычислить массу арбуза.

Естественно, те данные которые даны в задаче сначала нужно привести к виду, при котором их можно включить в уравнение. Поэтому, как говорят «хочешь не хочешь, а думать придётся».

Рассмотрим следующую задачу. Возраст отца равен возрасту сына и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на двадцать лет моложе отца. Сколько лет каждому?

Возраст дочери можно обозначить через x . Если сын вдвое старше дочери, то его возраст будет обозначаться как 2x . В условии задачи сказано, что вместе возраст дочери и сына равен возрасту отца. Значит возраст отца будет обозначаться суммой x + 2x

В выражении можно привести подобные слагаемые. Тогда возраст отца будет обозначаться как 3x

Теперь составим уравнение. Нам нужно получить равенство в котором можно найти неизвестное x . Воспользуемся весами. На левую чашу положим возраст отца (3x) , а на правую чашу возраст сына (2x)

Понятно почему левая чаша перевесила правую и почему экран показывает знак ( ≠ ) . Ведь логично, что возраст отца больше возраста сына.

Но нам нужно уравнять весы, чтобы можно было вычислить неизвестное x . Для этого к правой чаше нужно прибавить какое-нибудь число. Какое именно число указано в задаче. В условии было сказано, что сын моложе отца на 20 лет. Значит 20 лет это то самое число, которое нужно положить на весы.

Весы выровнятся, если мы эти 20 лет добавим на правую чашу весов. Иными словами, вырастим сына до возраста отца

Теперь весы выровнялись. Получилось уравнение , которое решается легко:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили возраст дочери. Теперь мы нашли значение этой переменной. Дочери 20 лет.

Далее было сказано, что сын двое старше дочери, значит сыну (20 × 2) , то есть 40 лет.

Ну и наконец вычислим возраст отца. В задаче было сказано, что он равен сумме возрастов сына и дочери, то есть (20 + 40) лет.

Вернемся к середине задачи и обратим внимание на один момент. Когда мы положили на весы возраст отца и возраст сына, левая чаша перевесила правую

Но мы решили эту проблему, добавив на правую чашу еще 20 лет. В результате весы выровнялись и мы получили равенство

Но можно было не добавлять к правой чаше эти 20 лет, а вычесть их из левой. Мы получили бы равенство и в таком случае

В этот раз получается уравнение . Корень уравнения по прежнему равен 20

То есть уравнения и являются равносильными. А мы помним, что у равносильных уравнений корни совпадают. Если внимательно посмотреть на эти два уравнения, то можно увидеть что второе уравнение получено путем переноса числа 20 из правой части в левую с противоположным знаком. А это действие, как было указано в предыдущем уроке, не меняет корней уравнения.

Также нужно обратить внимание на то, что в начале решения задачи возрасты каждого члена семьи можно было обозначить через другие выражения.

Скажем возраст сына обозначить через x и поскольку он двое старше дочери, то возраст дочери обозначить через (понимай сделать её младше сына в два раза). А возраст отца поскольку он является суммой возрастов сына и дочери обозначить через выражение . Ну и напоследок для построения логически правильного уравнения, к возрасту сына нужно прибавить число 20, ведь отец старше на двадцать лет. В итоге получается совсем другое уравнение . Решим это уравнение

Как видно ответы к задаче не поменялись. Сыну по прежнему 40 лет. Дочери по прежнему лет, а отцу 40 + 20 лет.

Другими словами, задача может решаться различными методами. Поэтому не следует отчаиваться, что не получается решить ту или иную задачу. Но нужно иметь ввиду, что существует наиболее простые пути решения задачи. К центру города можно доехать различными маршрутами, но всегда существует наиболее удобный, быстрый и безопасный маршрут.

Примеры решения задач

Задача 1. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение

Обозначим через x количество тетрадей, которое было в первой пачке. Если всего тетрадей было 30, а переменная x это количество тетрадей из первой пачке, то количество тетрадей во второй пачке будет обозначаться через выражение 30 − x . То есть от общего количества тетрадей вычитаем количество тетрадей из первой пачки и тем самым получаем количество тетрадей из второй пачки.

Далее сказано, что если переложить 2 тетради из первой пачки во вторую, то в первой пачке окажется вдвое больше тетрадей. Итак, снимем с первой пачки две тетради

и добавим эти две тетради во вторую пачку

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на весы обе пачки тетрадей

Левая чаша тяжелее правой. Это потому, что в условии задачи сказано, что после того как из первой пачки взяли две тетради и положили их во вторую, количество тетрадей в первой пачке стало вдвое больше, чем во второй.

Чтобы выровнять весы и получить уравнение, увеличим правую часть вдвое. Для этого умножим её на 2

Получается уравнение . Решим данное уравнение:

Первую пачку мы обозначали через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 22. Значит в первой пачке было 22 тетради.

А вторую пачку мы обозначали через выражение 30 − x и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить количество тетрадей во второй пачке. Оно равно 30 − 22 , то есть 8 шт .

Задача 2. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а второй — три картофелины. Вместе они очистили 400 шт. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

Решение

Обозначим через x время работы первого человека. Поскольку второй человек проработал на 25 минут больше первого, то его время будет обозначаться через выражение

Первый рабочий в минуту очищал 2 картофелины, и поскольку он работал x минут, то всего он очистил 2x картофелин.

Второй человек в минуту очищал три картофелины, и поскольку он работал минут, то всего он очистил картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин

Из имеющихся компонентов составим и решим уравнение. В левой части уравнения будут картофелины, очищенные каждым человеком, а в правой части их сумма:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили время работы первого человека. Теперь мы нашли значение этой переменной. Первый человек работал 65 минут.

А второй человек работал минут, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить время работы второго человека — оно равно 65 + 25 , то есть 90 мин .

Задача из Учебника по алгебре Андрея Петровича Киселева. Из сортов чая составлена смесь в 32 кг. Килограмм первого сорта стоит 8 руб., а второго сорта 6 руб. 50 коп. Сколько килограммов взято того и другого сорта, если килограмм смеси стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 10 коп.?

Решение

Обозначим через x массу чая первого сорта. Тогда масса чая второго сорта будет обозначаться через выражение 32 − x

Килограмм чая первого сорта стоит 8 руб. Если эти восемь рублей умножить на количество килограмм чая первого сорта, то можно будет узнать во сколько рублей обошлись x кг чая первого сорта.

А килограмм чая второго сорта стоит 6 руб. 50 коп. Если эти 6 руб. 50 коп. умножить на 32 − x , то можно узнать во сколько рублей обошлись 32 − x кг чая второго сорта.

В условии сказано, что килограмм смеси стоит 7 руб. 10 коп. Всего же было приготовлено 32 кг смеси. Умножим 7 руб. 10 коп. на 32 мы сможем узнать сколько стоит 32 кг смеси.

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на левую чашу весов стоимость смесей чая первого и второго сорта, а на правую чашу положим стоимость 32 кг смеси, то есть общую стоимость смеси, в составе которой оба сорта чая:

Получили уравнение . Решим его:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили массу чая первого сорта. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 12,8. Значит для приготовления смеси было взято 12,8 кг чая первого сорта.

А через выражение 32 − x мы обозначили массу чая второго сорта и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить массу чая второго сорта. Оно равно 32 − 12,8 то есть 19,2 . Значит для приготовления смеси было взято 19,2 кг чая второго сорта.

Задача 3. Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на минут более. Как длинны были дороги?

Решение

Некоторые задачи могут затрагивать темы, которые человек возможно не изучал. Данная задача относится к такому кругу задач. В ней затрагиваются понятия расстояния, скорости и времени. Соответственно, чтобы решить подобную задачу, нужно иметь представление о тех вещах, о которых говорится в задаче. В нашем случае, надо знать что представляет собой расстояние, скорость и время.

В задаче нужно найти расстояния двух дорог. Мы должны составить уравнение, которое позволит вычислить эти расстояния.

Вспомним, как взаимосвязаны расстояние, скорость и время. Каждая из этих величин может быть описана с помощью буквенного уравнения:

Правую часть одного из этих уравнений мы будем использовать для составления своего уравнения. Чтобы узнать какую именно, нужно вернуться к тексту задачи и обратить внимание на следующий момент:

Следует обратить внимание на момент, где велосипедист на обратном пути употребил времени на минут более. Эта подсказка указывает нам, что можно воспользоваться уравнением , а именно его правой частью. Это позволит нам составить уравнение, которое содержит переменную S .

Итак, обозначим длину первой дороги через S . Этот путь велосипедист проехал со скоростью 8 км/ч . Время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением , поскольку время это отношение пройденного расстояния к скорости

Обратная дорога для велосипедиста была длиннее на 3 км . Поэтому её расстояние будет обозначаться через выражение S + 3 . Эту дорогу велосипедист проехал со скоростью 9 км/ч . А значит время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением .

Теперь составим уравнение из имеющихся выражений

Правая чаша тяжелее левой. Это потому, что в задаче сказано, что на обратную дорогу велосипедист затратил времени на больше.

Чтобы уравнять весы прибавим к левой части эти самые минут. Но сначала переведем минуты в часы, поскольку в задаче скорость измеряется в километрах в час, а не в метрах в минуту.

Чтобы минут перевести в часы, нужно разделить их на 60

минут составляют часа. Прибавляем эти часа к левой части уравнения:

Получается уравнение . Решим данное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, обе части части можно умножить на 72. Далее пользуясь известными тождественными преобразованиями, найдем значение переменной S

Через переменную S мы обозначали расстояние первой дороги. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная S равна 15. Значит расстояние первой дороги составляет 15 км.

А расстояние второй дороги мы обозначили через выражение S + 3 , и поскольку значение переменной S теперь известно, то можно вычислить расстояние второй дороги. Это расстояние равно сумме 15 + 3 , то есть 18 км .

Задача 4. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Решение

Обозначим через v скорость каждой машины. Далее в задаче приводятся подсказки: скорость первой машины увеличить на 10 км/ч, а скорость второй — уменьшить на 10 км/ч. Воспользуемся этой подсказкой

Далее говорится, что при таких скоростях (увеличенных и уменьшенных на 10 км/ч) первая машина пройдет за 2 часа столько же расстояния сколько вторая за 3 часа. Фразу «столько же» можно понимать как «расстояние, пройденное первой машиной, будет равно расстоянию, пройденному второй машиной».

Расстояние как мы помним, определяется по формуле . Нас интересует правая часть этого буквенного уравнения — она позволит нам составить уравнение, содержащее переменную v .

Итак, при скорости v + 10 км/ч первая машина пройдет 2(v+10) км , а вторая пройдет 3(v − 10) км . При таком условии машины пройдут одинаковые расстояния, поэтому для получения уравнения достаточно соединить эти два выражения знаком равенства. Тогда получим уравнение . Решим его:

В условии задачи было сказано, что машины идут с одинаковой скоростью. Мы обозначили эту скорость через переменную v . Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная v равна 50. Значит скорость обеих машин составляла 50 км/ч.

Задача 5. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

Обозначим через v собственную скорость теплохода. Скорость течения реки равна 2 км/ч. По течению реки скорость теплохода будет составлять v + 2 км/ч , а против течения — (v − 2) км/ч .

В условии задачи сказано, что за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Фразу «тот же путь» можно понимать как «расстояние, пройденное теплоходом по течению реки за 9 часов, равно расстоянию, пройденному теплоходом против течения реки за 11 часов». То есть расстояния будут одинаковыми.

Расстояние определяется по формуле . Воспользуемся правой частью этого буквенного уравнения для составления своего уравнения.

Итак, за 9 часов по течению реки теплоход пройдет 9(v + 2) км , а за 11 часов против течения — 11(v − 2) км . Поскольку оба выражения описывают одно и то же расстояние, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение . Решим его:

Значит собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

При решении задач полезной привычкой является заранее определить на каком множестве ищется для неё решение.

Допустим, что в задаче требовалось найти время, за которое пешеход преодолеет указанный путь. Мы обозначили время через переменную t , далее составили уравнение, содержащее эту переменную и нашли её значение.

Из практики мы знаем, что время движения объекта может принимать как целые значения, так и дробные, например 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч. Тогда можно сказать, что решение данной задачи ищется на множестве рациональных чисел Q, поскольку каждое из значений 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч может быть представлено в виде дроби.

Поэтому после того, как неизвестную величину обозначили через переменную, полезно указать к какому множеству эта величина принадлежит. В нашем примере время t принадлежит множеству рациональных чисел Q

Ещё можно ввести ограничение для переменной t , указав что она может принимать только положительные значения. Действительно, если объект затратил на путь определенное время, то это время не может быть отрицательным. Поэтому рядом с выражением t ∈ Q укажем, что её значение должно быть больше нуля:

Если решив уравнение, мы получим отрицательное значение для переменной t , то можно будет сделать вывод, что задача решена неправильно, поскольку это решение не будет удовлетворять условию t ∈ Q , t > 0 .

Ещё пример. Если бы мы решали задачу в которой требовалось найти количество человек для выполнения той или иной работы, то это количество мы обозначили бы через переменную x . В такой задаче решение искалось бы на множестве натуральных чисел

Действительно, количество человек является целым числом, например 2 человека, 3 человека, 5 человек. Но никак не 1,5 (один целый человек и половина человека) или 2,3 (два целых человека и еще три десятых человека).

Здесь можно было бы указать, что количество человек должно быть больше нуля, но числа входящие во множество натуральных чисел N сами по себе являются положительными и большими нуля. В этом множестве нет отрицательных чисел и числа 0. Поэтому выражение x > 0 можно не писать.

Задача 6. Для ремонта школы прибыла бригада в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально

Решение

Обозначим через x плотников, прибывших на ремонт первоначально.

Количество плотников является целым числом, большим нуля. Поэтому укажем, что x принадлежит множество натуральных чисел

Маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Поэтому количество маляров будет обозначаться как 2,5x .

Далее говорится, что прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. Сделаем для своих выражений тоже самое. Уменьшим количество плотников на 2

А количество маляров увеличим на 4

Теперь количество плотников и маляров будут обозначаться через следующие выражения:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений:

Правая чаша больше, поскольку после включения в бригаду ещё четырёх маляров, и перемещения двух плотников на другой объект, количество маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Чтобы уравнять весы, нужно левую чашу увеличить в 4 раза:

Получили уравнение . Решим его:

Через переменную x было обозначено первоначальное количество плотников. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 8. Значит 8 плотников было в бригаде первоначально.

А количество маляров было обозначено через выражение 2,5 x и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить количество маляров — оно равно 2,5 × 8 , то есть 20 .

Возвращаемся к началу задачи и удостоверяемся, что соблюдается условие x ∈ N. Переменная x равна 8, а элементы множества натуральных чисел N это все числа, начинающиеся с 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. В это же множество входит число 8, которое мы нашли.

Тоже самое можно сказать о количестве маляров. Число 20 принадлежит множеству натуральных чисел:

Для понимания сути задачи и правильного составления уравнения, вовсе необязательно использовать модель весов с чашами. Можно использовать и другие модели: отрезки, таблицы, схемы. Можно придумать свою модель, которая хорошо описывала бы суть задачи.

Задача 9. Из бидона отлили 30% молока. В результате в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Решение

Искомое значение это первоначальное число литров в бидоне. Изобразим число литров в виде линии и подпишем эту линию как X

Сказано, что из бидона отлили 30% молока. Выделим на рисунке приблизительно 30%

Процент по определению есть одна сотая часть чего-то. Если 30% молока отлили, то остальные 70% остались в бидоне. На эти 70% приходятся 14 литров, указанные в задаче. Выделим на рисунке оставшиеся 70%

Теперь можно составить уравнение. Вспомним, как находить процент от числа. Для этого общее количество чего-то делят на 100 и полученный результат умножают на искомое количество процентов. Замечаем, что 14 литров, составляющих 70% можно получить таким же образом: первоначальное число литров X разделить на 100 и полученный результат умножить на 70. Всё это приравнять к числу 14

Или получить более простое уравнение: 70% записать как 0,70, затем умножить на X и приравнять это выражение к 14

Значит первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Задача 9. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1 : 9, а в другом 2 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1 : 4?

Решение

Попробуем сначала узнать сколько золота и серебра будет содержáться в 15 кг нового сплава. В задаче сказано, что содержание этих металлов должно быть в отношении 1 : 4, то есть на одну часть сплава должно приходиться золото, а на четыре части — серебро. Тогда всего частей в сплаве будет 1 + 4 = 5, а масса одной части будет 15 : 5 = 3 кг.

Определим сколько золота будет содержáться в 15 кг сплава. Для этого 3 кг умножим на количество частей золота:

Определим сколько серебра будет содержáться в 15 кг сплава:

Значит сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота и 12 кг серебра. Теперь вернёмся к исходным сплавам. Использовать нужно каждый из них. Обозначим через x массу первого сплава, а массу второго сплава можно обозначить через 15 − x

Выразим в процентах все отношения, которые даны в задаче и заполним ими следующую таблицу:

В первом сплаве золото и серебро находятся в отношении 1 : 9. Тогда всего частей будет 1 + 9 = 10 . Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 10% занесём в первую строку в графу «процент золота в сплаве», 90% также занесём в первую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём переменную x , поскольку так мы обозначили массу первого сплава:

Аналогично поступаем со вторым сплавом. Золото и серебро в нём находятся в отношении 2 : 3. Тогда всего частей будет 2 + 3 = 5. Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 40% занесем во вторую строку в графу «процент золота в сплаве», 60% также занесём во вторую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём выражение 15 − x , поскольку так мы обозначили массу второго сплава:

Заполним последнюю строку. Полученный сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота, что составляет сплава, а серебра будет сплава. В последнюю графу записываем массу полученного сплава 15

Теперь по данной таблице можно составить уравнения. Вспоминаем задачи на концентрацию, сплавы и смеси. Если мы отдельно сложим золото обоих сплавов и приравняем эту сумму к массе золота полученного сплава, то сможем узнать чему равно значение x.

Далее для удобства проценты будем выражать в десятичной дроби.

В первом сплаве золота было 0,10x , а во втором сплаве золота было 0,40(15 − x) . Тогда в полученном сплаве масса золота будет суммой масс золота первого и второго сплавов и эта масса составляет 20% от нового сплава. А 20% от нового сплава это 3 кг золота, вычисленные нами ранее. В результате получаем уравнение 0,10x + 0.40(15 − x) = 3 . Решим это уравнение:

Изначально через x мы обозначили массу первого сплава. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 10. А массу второго сплава мы обозначили через 15 − x , и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить массу второго сплава, она равна 15 − 10 = 5 кг .

Значит для получения нового сплава массой 15 кг в котором золото и серебро относились бы как 1 : 4, нужно взять 10 кг первого и 5 кг второго сплава.

Уравнение можно было составить, воспользовавшись и вторым столбцом получившейся таблицы. Тогда мы получили бы уравнение 0,90x + 0.60(15 − x) = 12. Корень этого уравнения тоже равен 10

Задача 10. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько надо взять бедной руды, чтобы получить при смешивании с богатой 20 тонн с содержанием меди 8%?

Решение

Обозначим через x массу бедной руды. Поскольку нужно получить 20 тонн руды, то богатой руды будет взято 20 − x . Поскольку содержание меди в бедной руде составляет 6%, то в x тоннах руды будет содержáться 0,06x тонн меди. В богатой руде содержание меди составляет 11%, а в 20 − x тоннах богатой руды будет содержáться 0,11(20 − x) тонн меди.

В получившихся 20 тоннах руды содержание меди должно составлять 8%. Значит в 20 тоннах руды меди будет содержáться 20 × 0,08 = 1,6 тонн.

Сложим выражения 0,06x и 0,11(20 − x) и приравняем эту сумму к 1,6. Получим уравнение 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Решим данное уравнение:

Значит для получения 20 тонн руды с содержанием меди 8%, нужно взять 12 тонн бедной руды. Богатой же будет взято 20 − 12 = 8 тонн.

Задача 11. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Решение

Длину дистанции (или расстояние дистанции) можно описать следующим буквенным уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения. Изначально спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 250t

Затем спортсменка увеличила свою скорость до 300 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 300t

Заметим, что длина дистанции это величина постоянная. От того, что спортсменка увеличит скорость или уменьшит её, длина дистанции останется неизменной.

Это позволяет нам приравнять выражение 250t к выражению 300t , поскольку оба выражения описывают длину одной и той же дистанции

Но в задаче сказано, что при скорости 300 метров в минуту спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Другими словами, при скорости 300 метров в минуту, время движения уменьшится на единицу. Поэтому в уравнении 250t = 300t в правой части время нужно уменьшить на единицу:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

При скорости 250 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за 6 минут. Зная скорость и время, можно определить длину дистанции:

S = 250 × 6 = 1500 м

А при скорости 300 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за t − 1 , то есть за 5 минут. Как было сказано ранее длина дистанции не меняется:

S = 300 × 5 = 1500 м

Задача 12. Всадник догоняет пешехода, находящегося впереди него на 15 км. Через сколько часов всадник догонит пешехода, если каждый час первый проезжает по 10 км, а второй проходит только по 4 км?

Решение

Данная задача является задачей на движение. Её можно решить, определив скорость сближения и разделив изначальное расстояние между всадником и пешеходом на эту скорость.

Скорость сближения определяется вычитанием меньшей скорости из большей:

10 км/ч − 4 км/ч = 6 км/ч (скорость сближения)

С каждым часом расстояние в 15 километров будут сокращаться на 6 км. Чтобы узнать, когда оно сократится полностью (когда всадник догонит пешехода), нужно 15 разделить на 6

2,5 ч это два целых часа и половина часа. А половина часа это 30 минут. Значит всадник догонит пешехода через 2 часа 30 минут.

Решим эту задачу с помощью уравнения.

Будем считать, что пешеход и всадник вышли в путь из одного и того же места. Пешеход вышел раньше всадника и успел преодолеть 15 км

После этого вслед за ним в путь вышел всадник со скоростью 10 км/ч. А скорость пешехода составляет только 4 км/ч. Это значит, что всадник через некоторое время догонит пешехода. Это время нам нужно найти.

Когда всадник догонит пешехода это будет означать, что они вместе прошли одинаковое расстояние. Расстояние, пройденное всадником и пешеходом описывается следующим уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения.

Расстояние, пройденное всадником, будет описываться выражением 10t . Поскольку пешеход вышел в путь раньше всадника и успел преодолеть 15 км, то расстояние пройденное им будет описываться выражением 4t + 15 .

На момент, когда всадник догонит пешехода, оба они пройдут одинаковое расстояние. Это позволяет нам приравнять расстояния, пройденные всадником и пешеходом:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Скорости поездов в данной задаче измеряются в километрах в час. Поэтому 45 мин, указанные в задаче, переведем в часы. 45 мин это 0,75 ч

Обозначим время, за которое товарный поезд приезжает в город, через переменную t . Поскольку пассажирский поезд приезжает в этот город на 0,75 ч быстрее, то время его движения будет обозначаться через выражение t − 0,75

Пассажирский поезд преодолел 48(t − 0.75) км, а товарный 36t км. Поскольку речь идет об одном и том же расстоянии, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 48(t − 0.75) = 36t . Решим его:

Теперь вычислим расстояние между городами. Для этого скорость товарного поезда (36 км/ч) умножим на время его движения t. Значение переменной t теперь известно — оно равно трём часам

Для вычисления расстояния можно воспользоваться и скоростью пассажирского поезда. Но в этом случае значение переменной t необходимо уменьшить на 0,75 поскольку пассажирский поезд затратил времени на 0,75 ч меньше

48 × (3 − 0,75) = 144 − 36 = 108 км

Ответ: расстояние между городами равно 108 км.

Решение

Пусть t время через которое автомобили встретились. Тогда первый автомобиль на момент встречи проедет 65t км, а второй 60t км. Сложим эти расстояния и приравняем к 150. Получим уравнение 65t + 60t = 150

Значение переменной t равно 1,2. Значит автомобили встретились через 1,2 часа.

Ответ: автомобили встретились через 1,2 часа.

Решение

Пусть x рабочих было в первом цехе. Во втором цехе было в три раза больше, чем в первом, поэтому количество рабочих во втором цехе можно обозначить через выражение 3x . В третьем цехе было на 15 рабочих меньше, чем во втором. Поэтому количество рабочих в третьем цехе можно обозначить через выражение 3x − 15 .

В задаче сказано, что всего рабочих было 685. Поэтому можно сложить выражения x, 3x, 3x − 15 и приравнять эту сумму к числу 685. В результате получим уравнение x + 3x + (3x − 15) = 685

Через переменную x было обозначено количество рабочих в первом цехе. Теперь мы нашли значение этой переменной, оно равно 100. Значит в первом цехе было 100 рабочих.

Во втором цехе было 3x рабочих, то есть 3 × 100 = 300 . А в третьем цехе было 3x − 15 , то есть 3 × 100 − 15 = 285

Ответ: в первом цехе было 100 рабочих, во втором — 300, в третьем — 285.

Решение

Пусть x моторов должна была отремонтировать первая мастерская. Тогда вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − x моторов .

Поскольку первая мастерская выполнила свой план на 120%, это означает что она отремонтировала 1,2x моторов . А вторая мастерская выполнила свой план на 125%, значит она отремонтировала 1,25(18 − x) моторов.

В задаче сказано, что было отремонтировано 22 мотора. Поэтому можно сложить выражения 1,2x и 1,25(18 − x) , затем приравнять эту сумму к числу 22. В результате получим уравнение 1,2x + 1,25(18 − x) = 22

Через переменную x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать первая мастерская. Теперь мы нашли значение этой переменной, она равна 10. Значит первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов.

А через выражение 18 − x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать вторая мастерская. Значит вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − 10 = 8 моторов.

Ответ: первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов, а вторая — 8 моторов.

Решение

Пусть x рублей стоил товар до повышения цены. Если цена увеличилась на 30% это означает, что она увеличилась на 0,30x рублей. После повышения цены товар начал стоить 91 руб. Сложим x с 0,30x и приравняем эту сумму к 91. В результате получим уравнение x + 0.30x = 91

Значит до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Ответ: до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Решение

Пусть x — исходное число. Увеличим его на 25%. Получим выражение x + 0,25x . Приведем подобные слагаемые, получим x + 0,25x = 1.25x .

Узнаем какую часть исходное число x составляет от нового числа 1,25x

Если новое число 1,25x считать за 100%, а исходное число x составляет от него 80%, то уменьшив новое число на 20% можно получить исходное число x

Ответ: чтобы получить исходное число, новое число нужно уменьшить на 20%.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Увеличим его на 20%. Получим выражение x + 0,20x . Приравняем эту сумму к числу 144, получим уравнение x + 0,20x = 144

Ответ: первоначальное значение числа равно 120.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Уменьшим его на 10%. Получим выражение x − 0,10x . Приравняем эту разность к числу 45, получим уравнение x − 0,10x = 45

Ответ: первоначальное значение числа равно 50.

Решение

Пусть x рублей — первоначальная цена альбома. Снизим эту цену на 15%, получим x − 0,15x . Снизим цену ещё на 15 руб., получим x − 0,15x − 15 . После этих снижений альбом стал стоить 19 руб. Приравняем выражение x − 0,15x − 15 к числу 19, получим уравнение x − 0,15x − 15 = 19

Ответ: первоначальная цена альбома составляет 40 руб.

Решение

Если 80% массы теряется, то на оставшиеся 20% будут приходиться 4 т сена. Пусть x тонн травы требуется для получения 4 т сена. Если 4 т будут составлять 20% травы, то можно составить уравнение:

Ответ: для получения 4 т сена, нужно накосить 20 т травы.

Решение

Пусть x кг 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора.

В 1 кг 10%-го раствора соли содержится 0,1 кг соли. А в x кг 20%-го раствора соли содержится 0,20 x кг соли.

После добавления x кг 20%-го раствора в новом растворе будет содержáться 0,12(1 + x) кг соли. Сложим выражения 0,1 и 0,20x , затем приравняем эту сумму к выражению 0,12(1 + x) . В результате получим уравнение 0,1 + 0,20x = 0,12(1 + x)

Ответ: чтобы получить 12%-й раствор соли, нужно к 1 кг 10%-го раствора добавить 0,25 кг 20%-го раствора.

Решение

Пусть x кг первого раствора нужно взять. Поскольку требуется приготовить 25 кг раствора, то массу второго раствора можно обозначить через выражение 25 − x.

В первом растворе будет содержáться 0,20x кг соли, а втором — 0,30(25 − x) кг соли. В полученном растворе содержание соли будет 25 × 0,252 = 6,3 кг. Сложим выражения 0,20x и 0,30(25 − x), затем приравняем эту сумму к 6,3. В результате получим уравнение

Значит первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 25 − 12 = 13 кг.

Ответ: первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 13 кг.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

44 thoughts on “Решение задач с помощью уравнений”

Вау новый урок. Я рад что вернулись)) После работы обязательно буду учить этот урок.

не смог решить ни одной задачи из примеров решения…

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac<15><10>=frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

источники:

Решение задач с помощью уравнений

http://reshu.su/algebra/06/

Источник

Обучение математике в школе построено по принципу «повторяй за мной». Учитель дает какой-то метод решения или некий алгоритм, а ученики с помощью этого метода решают задачи. Это похоже на то, как мастер обучает подмастерье. Мастер показывает инструменты и объясняет, что с их помощью можно делать — вот пила, ей отпиливают дерево. А вот рубанок – он нужен для того, чтобы придать отпиленному куску определенную форму. И использовав эти и другие инструменты можно сделать, например, табуретку. Так же в школе: для решения квадратных уравнений удобно пользоваться дискриминантом и теоремой Виета, для рациональных неравенства – хорошо подходит метод интервалов и т.д.

Это, конечно, достаточно эффективный способ обучения, но для того, чтобы набирать на ЕГЭ 80+ баллов этих навыков не хватит. Нужно нечто большое – нужно уметь понять, как решается задача, даже если не видел ничего аналогичного раньше. Это как по совершенно новому для тебя предмету догадаться какие инструменты нужно применить — «сделайте стол, столы вы еще не делали, но делали стулья».

Придумывать новое решение самостоятельно – это тоже навык, который надо развивать. Нужно привыкнуть не бояться нового, уметь задавать себе правильные вопросы и лояльно относиться к своим ошибкам. В этой статье я написала, что помогает лично мне и моим ученикам решать новые задачи.

Предупреждаю: это всё работает только если вы знаете необходимую теорию. То есть уметь отличать рубанок от ножовки всё-таки надо.

5 принципов которые помогут решить задачу:

Не знаешь, что делать – делай, что можешь. Некоторые преподаватели это правило еще формулируют так: «давайте что-нибудь сделаем, а потом подумаем». Новая задача потому и новая, что приступая к решению, ты понятия не имеешь как ее решать. Но почти всегда можно что-то записать по-другому, как-либо преобразовать, изменить. Попробуй, вдруг это верный шаг? Зачастую ученики даже не пытаются делать так, потому что не видят ответа на вопрос: «ну сделаю, а что дальше?». В этом смысле они похожи на водителей, которые ждут пока зеленый сигнал светофора загорится сразу вдоль всего маршрута — действительно, зачем ехать, ведь вон там впереди горит красный! Правильный подход тут, конечно же, иной – пока будешь ехать, сигнал, возможно, уже смениться на зеленый. Или нет. И тогда тебе поможет следующий принцип:

Не бойся «тупиков» — просто начинай решение заново, главное не сдаваться. Нет ничего плохого в том, чтоб решая задачу, пойти не тем путем даже десяток раз. Школьные учебники как-то незаметно приучают нас к тому, что решение должно быть прямое и четкое – «раз, два, три!», ведь в них оно записано именно так. А «муки поиска» решения всегда остаются за скобками, выбрасываются как лишнее, чтоб не захламлять суть. Вот и получается ситуация как на картинке.

Поэтому знай, что…

Задача не обязана решаться с «полпинка». И чем сложнее задача, тем больше тупиков ты обойдешь перед решением. И это хорошо! Главное помни: «прогулки по тупикам» — не пустая трата времени и не потери! Как раз наоборот — в такие моменты ты развиваешь мозги сильнее всего. Когда ты ищешь новое решение, у тебя прямо в этот момент формируются в мозгу новые нейронные связи, и ты в буквальном смысле становишься умнее. Более того, вот этот поиск неведомого решения — на самом деле и есть настоящая математика! Да-да, для кого-то это будет новостью, но математика это не когда ты быстренько подставляешь «цифирьки в формулки» и тут же считаешь ответы, решая задачи по аналогии, а когда ты долго-долго перебираешь разные методы решений, пробуешь применить различные идеи, крутишь задачу так и сяк, и в какой-то момент тебя озаряет, и ты находишь путь, ведущий к ответу. А в поиске этих озарений тебе поможет принцип…

Случайности не случайны. Если ты заметил какое-то совпадение, то, возможно, это не совпадение, а вполне себе ключ к решению. Все переменные стоят внутри одинаковых выражений? У логарифмов совпадают основания? Или все знаменатели дробей являются квадратами друг друга? Подумай — как это можно использовать? Подробнее об этом поговорим ниже.

Если закрыта одна дверь, открыта другая. Не циклись на одной мысли. Возможно, к решению можно подойти вообще с другой стороны. Но перед тем как зачеркивать очередную попытку решения – внимательно проверь, может быть ты просто сделал в нем какую-то простенькую ошибку и поэтому не получается дорешать до конца?

8 вопросов, которые помогут решить почти любое задание в алгебре

Решая задачу, мы ищем ответ на вопрос задания – нужное значение переменной, интервал решений или еще что-то в этом роде. И чтобы прийти к ответу на этот главный вопрос нужно уметь задавать себе промежуточные, опорные вопросы, которые могут натолкнуть на правильный путь рассуждений. Вот эти вопросы:

1. Что передо мной (уравнение, неравенство, выражение)? Как обычно решается такой тип задач?

Пример 1: Решите неравенство (x^2≤100)

— Что передо мной?
— Квадратное неравенство.

— Как решаются квадратные неравенства?
— Методом интервалов.

(x^2-100≤0)
((x-10)(x+10)≤0)

(x∈[-10;10])

Пример 2: Решите уравнение (cos⁡)(frac{π(x-7)}{3})(=) (frac{1}{2})
— Что передо мной?
— Простейшее тригонометрическое уравнение.

— Как решаются такие уравнения?
— Через круг:

(frac{π(x-7)}{3})(=±) (frac{π}{3})(+2πn,n∈Z)

— А теперь что передо мной?
— Хм… Выглядит странно, но похоже на линейное уравнение, так как тут только одна переменная ((x)) и она в первой степени.

— Как решаются линейные уравнения?
— Нужно избавиться от знаменателей, раскрыть все скобки и перенести известные вправо, а неизвестные влево, в общем, привести уравнение к виду (x=[число]).

(frac{π(x-7)}{3})(=±) (frac{π}{3})(+2πn) (|·3) (n∈Z)
(π(x-7)=±π+6πn) (|:π)
(x-7=±1+6n)
(x=7±1+6n)
(x=8+6n;) (x=6+6n;) (n∈Z)

2. Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?

Пример 3: Решите уравнение (2 cos^3⁡x-cos^2⁡x+2 cos⁡x-1=0)

— Что передо мной?
— Тригонометрическое уравнение (не простейшее).

— Как обычно решаются тригонометрические уравнения?
— Уравнение преобразовывается с помощью формул, пока невозможно будет сделать замену. Очевидно, что тут сразу можно сделать замену.

(2t^3-t^2+2t-1=0)

Получилось кубическое уравнение.

— Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?
— Обычно кубические уравнения я решал либо методом группировки, либо делением многочлена на многочлен.

(t^2 (2t-1)+2t-1=0)
((2t-1)(t^2+1)=0) (|:t^2+1)
(t=) (frac{1}{2}) И т.д.

3. Какие формулы я вижу / какие формулы можно применить? Что надо сделать, чтоб их можно было применить?

Пример 4: Решите уравнение (cos⁡2x=sin⁡(x+frac{π}{2})).

— Какие формулы можно применить?
— Формулу двойного угла косинуса и формулу приведения:

(2cos^2 x-1=cos⁡x)
(2cos^2 x-cos⁡x-1=0)
(2t^2-t-1=0)

И т.д.

Пример 5: Вычислите (frac{-10 sin⁡97^° cdot cos⁡97^° }{sin⁡194^°})

— Какие формулы я тут вижу?
— Полностью – никаких. Но вот такое же произведение синус на косинус есть в формуле двойного угла синуса:

(sin⁡2x=2 sin⁡x cos⁡x).

— Но не хватает двойки, что можно сделать, чтобы 2 появилась?
— Разложить 10 на множители: (frac{-5cdot 2 sin⁡97^° cdot cos⁡97^° }{sin⁡194^°}) (=) (frac{-5sin⁡ 2cdot97^° }{sin⁡194^°}) (=) (frac{-5sin⁡194^°}{sin⁡194^°})(=-5).

4. Какие «неслучайности» я вижу? Как их можно использовать?

Пример 6: Решите уравнение ((4x-8)^2 (x-8)=(4x-8) (x-8)^2)

— Какие «неслучайности» я вижу?
— Очевидно, что выражения ((4x-8)) и ((x-8)) с той и другой стороны – это неспроста.

— Как их можно использовать?
— Поделить на эти выражения нельзя. Можно попробовать перенести то, что стоит справа в левую часть.

((4x-8)^2 (x-8)-(4x-8) (x-8)^2=0)

Теперь можно одинаковые выражения вынести за скобку.

((4x-8)(x-8)((4x-8)-(x-8))=0)
((4x-8)(x-8)(4x-8-x+8)=0)
((4x-8)(x-8)(3x)=0)
И т.д.

Пример 7: Решите уравнение (frac{3^{x^2 }}{9^x})( =27)

— Какие «не случайности» можно заметить?
— И (9), и (27) являются степенями тройки: (3^2=9), (3^3=27).

— Как это можно использовать?
— Можно заменить (9) на (3^2), а (27) на( 3^3), вот так:

(frac{3^{x^2 }}{(3^2 )^x})( =3^3)

А теперь можно применить свойство степеней: ((a^n)^m=a^{ncdot m}), (frac{a^n}{a^m})( =a^{n-m}).

(frac{3^{x^2 }}{3^{2x}})( =3^3)
(3^{x^2-2x}=3^3)
(x^2-2x=3)
И т.д.

5. Что я в принципе могу сделать? Какие преобразования допустимы/возможны?

Пример 8: Найдите значение выражения (sqrt{32}-sqrt{128} sin^2frac{7π}{8})

— Что можно сделать с этим выражением?
— Можно вынести множители из-под знака корня.

(=sqrt{16cdot2}-sqrt{64cdot2}sin^2⁡sqrt{7π}{8}=4sqrt{2}-8sqrt{2}sin^2⁡frac{7π}{8}=)

— Какие еще преобразования здесь возможны?
— Можно вынести за скобки (4sqrt{2}).

(=4sqrt{2}(1-2 sin^2⁡{frac{7π}{8}})=)

— Что еще можно сделать?
— Применить формулу двойного угла (cos⁡2α=1-2sin^2⁡α )

(=4sqrt{2}cos⁡(2cdotfrac{7π}{8})=)(4sqrt{2}cos⁡frac{7π}{4}=)(4sqrt{2}cdotfrac{sqrt{2}}{2}=) (frac{4cdot 2}{2})(=4)

6. Что мне мешает? Как можно сделать выражение/уравнение/неравенство проще? Как мне было бы удобнее? Что я могу сделать, чтоб стало удобнее?

Пример 9: Решите уравнение (sqrt{frac{6}{4x-54}})(=)(frac{1}{7})

— Как можно сделать уравнение сильно проще?
— Если избавиться от корня, то уравнение станет проще.

— Как можно избавиться от корня?
— Можно возвести обе части уравнения в квадрат.

((sqrt{frac{6}{4x-54}})^2)(=)((frac{1}{7})^2)
(frac{6}{4x-54})(=)(frac{1}{49})

— Как можно упростить уравнение?
— Можно избавиться от знаменателя.

— Как обычно избавляются от знаменателя?
— Умножением обеих частей уравнения на наименьший общий знаменатель.

(frac{6}{4x-54})(=)(frac{1}{49}) (|cdot49(4x-54))
(6cdot 49=4x-54)
(-4x=-54-294)
(-4x=-348)
(x=87)

Пример 10: Решите неравенство (log_{x+6}⁡(frac{x-4}{x})^2 +log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)

— Как было бы удобнее?
— Было бы удобнее, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые.

— Что надо сделать, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые?
— Вынести квадрат вперед и каким-то образом перевернуть дробь.

(2log_{x+6}⁡(frac{x-4}{x}) +log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)

— Как можно перевернуть дробь?
— Можно использовать степень (-1).

(2log_{x+6}⁡(frac{x}{x-4})^{-1} +log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)
(-2log_{x+6}⁡(frac{x}{x-4}) +log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)

— Что можно сделать теперь?
— Логарифмы полностью одинаковые значит можно либо сделать замену, либо вынести их за скобку.

(-2log_{x+6}⁡(frac{x}{x-4}) +log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)
(log_{x+6}frac{x}{x-4} (-2+1)≤1)
(-log_{x+6}⁡frac{x}{x-4}≤1)
И т.д.

7. Чего от меня хочет задача? Когда будет выполняться условие задачи?

Пример 11: Решите неравенство (frac{x-3}{x-1})(>0)

Допустим, вы никогда не сталкивались с дробными неравенствами или забыли, как их решать. Давай просто порассуждаем.

— Чего от меня хочет задача?
— Чтоб левая часть была положительна.

— А в каком случае дробь (не именно эта, а вообще любая) будет больше нуля? Короче говоря, когда мы делением получим знак плюс?
— Когда будем делить положительное на положительное, либо отрицательное на отрицательное. Иными словами — числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак (и при этом знаменатель не равен нулю).

— А когда будет положителен числитель?
— Когда икс больше трех. Если же икс меньше трех, то числитель будет иметь знак минус.

— Тот же вопрос про знаменатель?
— Знаменатель положителен при иксе большем (1), и отрицателен при иксе меньше (1).

— Так когда же будет выполняться условие задачи?
— При иксе большем (3) (там в дроби и сверху и снизу плюс) и при иксе меньше (1) (в этом случае и числитель, и знаменатель имеют знак минус).

(x∈(-∞;1)∪(3;∞))

Всё, неравенство решено. Заметим, что рассказанное выше — это логическая «начинка» метода интервалов. Помните такой? «Приравняйте к нулю, найдите корни нанесите их на числовую ось, расставьте знаки…» Вот он.

Пример 12: Решить уравнение ((x-2)^2+(x^2-4)^2=0)

— Чего от меня хочет задача?
— Чтоб я нашел такие иксы, при которых слева – ноль.

— А что у нас стоит слева?
— Сумма двух квадратов.

— В каком случае сумма квадратов будет равняться нулю?
— Хм… Квадрат не может быть отрицательным, он всегда больше либо равен нуля. А мы складываем два таких выражения. Значит, нам нужны такие иксы, при которых оба квадрата ОДНОВРЕМЕННО обратятся в ноль, потому что в остальных случаях сумма будет больше нуля.

(begin{cases}(x-2)^2=0\(x^2-4)^2=0end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x-2=0\x^2-4=0end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=2\(x-2)(x+2)=0end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=2\(x-2)(x+2)=0end{cases})(Leftrightarrow) (begin{cases}x=2\ {left[{{begin{gathered} x=2\ x=-2end{gathered}}}right.}end{cases})(Leftrightarrow) (x=2)

8. Могу ли я сделать какую-нибудь замену?

Пример 13: Решите неравенство ((frac{x-4}{2})(+)(frac{2}{x-4})^2)(≤)(frac{25}{4})

— (вспоминаем предыдущие пункты) Какие неслучайности я вижу?
— В скобке вторая дробь – это перевернутая первая.

— Как это можно использовать?
— Ну…

— Могу ли я сделать какую-либо замену?
— Да, можно заменить (frac{x-4}{2}) на (t). Тогда вторая дробь будет (frac{1}{t}).

((t+)(frac{1}{t})()^2≤)(frac{25}{4})

— Какие преобразования тут возможны в принципе?
— О! Можно перенести всё влево и разложить на множители по формуле разности квадратов!

((t+)(frac{1}{t}))(^2-)(frac{25}{4})(≤0)
((t+)(frac{1}{t})(-)(frac{5}{2})()(t+)(frac{1}{t})(+)(frac{5}{2})()≤0)

— Что можно теперь сделать?
— Можно привести выражения в скобках к общему знаменателю.

((frac{2t^2+2-5t}{2t}frac{2t^2+2+5t}{2t}))(≤0)
(frac{(2t^2-5t+2)(2t^2+5t+2)}{4t^2 })(≤0)
И т.д.

Итого: приучайтесь рассуждать в математике. Не мыслите шаблонами, а ищите путь. И написанные выше вопросы вам в этом помогут. Успешных решений!

Источник

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Например:

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

Шаг 4. Решаем:

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{cc} x_1 = -16 \ x_2 = 11 end{array} right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Ответ: 54 см

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

Подставляем:

$$x^2-36x+315 = 0 $$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac{36 pm 6}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = 15 \ x_2 = 21 end{array} right. $$

Ответ: 15 и 21

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

Решаем уравнение:

$$ x^2-9x-162 = 0 $$

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac{9 pm 27}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -9 \ x_2 = 18 end{array} right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end{array} right.} end{array} right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{cc} x_1 = 6 \ x_2 = 18 end{array} right. $$

Ответ: 6 или 18

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

По условию:

$$ (n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 590 $$

$$ n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1 = 590 $$

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt{196} = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Пусть t- обычное время поездки в часах.

Заполним таблицу:

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Обычно

$frac{700}{t}$

700

В непогоду

$frac{700}{t + 1 frac{2}{3}}$

t + 1 $frac{2}{3}$

700

По условию скорость в непогоду на 10 км/ч меньше. Получаем:

$$ frac{700}{t} — frac{700}{t + 1 frac{2}{3}} = 10 $$

$$ frac{700(t+ 1 frac{2}{3} -t)}{t(t+1 frac{2}{3})} = 10 Rightarrow t(t+1 frac{2}{3}) = frac{700 cdot 1 frac{2}{3}}{10} = frac{350}{3} $$

$$ t^2+ frac{5}{3} t- frac{350}{3} = 0 | times 3 $$

$$ 3t^2+5t-350 = 0 $$

$$ D = 5^2-4 cdot 3 cdot (-350) = 25+4200 = 4225 = 65^2$$

$$ t = frac{-5 pm 65}{6} = left[ begin{array}{cc} t_1 = — frac{35}{3} lt 0 \ t_2 = 10 end{array} right. $$

Выбираем положительный корень.

Дорога обычно занимает t=10 часов.

Ответ: 10 часов

Пример 6. Сплав золота и серебра, в котором было 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. Содержание золота в новом сплаве увеличилось на 20%. Сколько в сплаве серебра?

Золото, г

Серебро, г

Всего, г

Сплав 2

80+100 = 180

180+x

По условию часть золота увеличилась на 20%:

$$ frac{180}{180+x} — frac{80}{80+x} = 0,2 $$

$$ frac{180(80+x)-80(180+x)}{(180+x)(80+x)} = frac{1}{5} Rightarrow frac{100x}{(180+x)(80+x)} = frac{1}{5} Rightarrow $$

$$ Rightarrow (180+x)(80+x) = 500x $$

$$ x^2+80x+180x-500x+180 cdot 80 = 0 $$

$$ x^2-240x+14400 = 0 Rightarrow (x-120)^2 = 0 Rightarrow x = 120 $$

В сплаве 120 г серебра.

Ответ: 120 г

Пример 7. Бассейн наполняется с помощью двух труб за 2 ч 55 мин.

Первая труба наполняет его на 2 часа быстрее, чем вторая.

За какое время каждая труба отдельно может наполнить бассейн?

Пусть t — время первой трубы, V — объём бассейна.

Заполним таблицу:

Напор, $м^3/ч$

Время, ч

Объем, $м^3$

Первая труба

$frac{V}{t}$

Вторая труба

$frac{V}{t+2}$

t+2

Две трубы вместе

$frac{V}{t} + frac{V}{t+2}$

$2 frac{11}{12}$

Из последней строки получаем:

$$2 frac{11}{12} Biggl( frac{V}{t} + frac{V}{t+2} Biggr) = V |:V $$

$$ 2 frac{11}{12} Biggl( frac{1}{t} + frac{1}{t+2} Biggr) = 1 |: 2 frac{11}{12} $$

$$ frac{1}{t} + frac{1}{t+2} = frac{12}{35} $$

$$ frac{t+2+t}{t(t+2)} = frac{12}{35} Rightarrow 35(2t+2) = 12t(t+2) |:2 $$

$$ 35(t+1) = 6t(t+2) Rightarrow 35t+35 = 6t^2+12t $$

$$ 6t^2-23t-35 = 0 $$

$$ D = 23^2-4 cdot 6 cdot (-35) = 529+840 = 1369 = 37^2 $$

$$ t = frac{23 pm 37}{12} = left[ begin{array}{cc} t_1 = — frac{7}{6} lt 0 \ t_2 = 5 end{array} right. $$

Выбираем положительный корень t = 5.

Первая труба наполняет бассейн за 5 часов.

Вторая труба – на 2 часа дольше, т.е. за 7 часов.

Ответ: 5 ч и 7 ч

Пример 8*. Катер проплыл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он бы проплыл против течения 70 км. Какое расстояние за это же время проплывёт плот?

Пусть v – собственная скорость катера, u — скорость течения (и плота), s — искомое расстояние, которое проплывёт плот.

Заполним таблицу:

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Катер по течению

v+u

$frac{90}{v+u}$

Катер против течения

v-u

$frac{70}{v-u}$

По условию все три времени равны:

$$ frac{90}{v+u} = frac{70}{v-u} = frac{s}{u} $$

Из первого уравнения:

$$ 90(v-u) = 70(v+u) Rightarrow 90v-90u = 70v+70u Rightarrow 20v = 160u Rightarrow v = 8u $$

Скорость катера в 8 раз больше скорости течения.

Тогда во втором уравнении:

$$ frac{70}{ underbrace{v}_{text{= 8u}} -u} = frac{s}{u} Rightarrow frac{70}{7u} = frac{s}{u} Rightarrow s = 10 $$

Значит, плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км

Источник

Решение задач с помощью уравнений

Введение

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Решение:

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет.
После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Решение:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Решение:

$$4x-40=x+5$$

$$4x-x=5+40$$

Упростим выражения:

$$3x=45$$

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

$$x=15$$

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Решение:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

$$2(v+20)=4(v-20)$$

$$v+20=2v-2cdot 20$$

$$v+20=2v-40$$

$$20+40=2v-v$$

$$v=60$$

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Решение:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

$$x-500=1,5x-1,5cdot 600$$

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac{15}{10}=frac{3}{2}$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

$$x-500=frac{3}{2}x-frac{3}{2}cdot frac{600}{1}$$

$$x-500=frac{3x}{2}-frac{3}{1}cdot frac{300}{1}$$

$$x-500=frac{3x}{2}-900$$

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

$$900-500=frac{3x}{2}-x$$

$$400=frac{3x}{2}-frac{x}{1}$$

$$400=frac{3x-2x}{2}$$

$$400=frac{x}{2}$$

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

$$x=800$$

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

Условие

№1.

Задача Э. Безу.

Решение

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

$$48n-12cdot 30+12n=0$$

$$48n+12n=12cdot 30$$

$$60n=360$$

$$n=frac{360}{60}$$

$$n=6$$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Условие

№2.

Задача В.И Арнольда.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Решение

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

$1+0,5k=k$

$1=k-0,5k$

$0,5k=1$

$k=1:0,5$

$k=2$

Ответ: Кирпич весит 2 фунта.

Условие

№3.

Задача В.И Арнольда

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на
9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Решение

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

$$p+9+p=10$$

$$2p=10-9$$

$$2p=1$$

$$p=1:2$$

$$p=0,5$$

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

Условие

№4.

Решение

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

$$5x+x+x-5=555$$

$$7x=555+5$$

$$x=560:7$$

$$x=80$$

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Условие

№5.

Решение

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3(2x-10)=65$$

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

$$2,6x=65+13$$

$$2,6x=78$$

$$x=78:2,6$$

$$x=30$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

←

Следующая тема

Источник