Как составить закон распред

1. Биномиальный закон распределения (биномиальное распределение) дискретных случайных величин.

Дискретная
случайная величина Х
распределена по
биномиальному закону
,
если она принимает значения 0,1,2…,m…,n
с вероятностями, которые находятся по
формуле Бернулли:

0

1

m

n

…………………………………………………

Теорема.
Математическое ожидание дискретной
случайной величины, распределенной по
биномиальному закону, равняется
произведению числа всех испытаний на
вероятность наступления события в
отдельном испытании, то есть

.

Дисперсия
равняется произведению числа всех
испытаний на вероятность наступления
и не наступления события в отдельном
испытании, то есть

.

Пример.

По
статистическим данным известно, что
вероятность рождения мальчика составляет:
p
= 0,515.

Составить
закон распределения числа мальчиков в
семье с пятью детьми. Найти математическое
ожидание,
дисперсию,
среднее квадратическое отклонениеи
моду.

Решение:

X
‒ случайная величина ‒ число мальчиков
в семье с пятью детьми.

Составим
закон распределения числа мальчиков в
семье с пятью детьми:

0

1

2

3

4

5

0,026835

0,142475

0,302579

0,321296

0,170585

0,036227

Проверка:

1.
Математическое
ожидание:

2.
Дисперсия:

3.
Среднее
квадратическое отклонение:

4.
так
как приm
= 3 вероятность максимальная. Она
составляет: p
= 0,321296.

2. Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин.

Дискретная
случайная величина распределена
геометрически,
если она принимает значения 1,2,…m
…(бесконечное,
но счетное количество раз) с вероятностями,
находящимися по формуле общего члена
геометрической прогрессии:

Случайная
величина X
=
m,
распределенная геометрически, представляет
собой число испытаний (m)
до первого положительного исхода.

Составим
ряд распределения:

1

2

m

p

и
т.д.

Теорема.
Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины, распределенной
геометрически, вычисляются по формулам:

Пример.

Охотник
стреляет по дичи до первого попадания,
но успевает сделать не более 4‒х
выстрелов.

Составить
закон распределения числа выстрелов,
если вероятность попадания при одном
выстреле равна p
= 0,7. Найти математическое ожидание,
дисперсию, среднее квадратическое
отклонение и моду числа выстрелов.

Решение:

По
условию

число
выстрелов

Составим
закон распределения числа выстрелов:

1

2

3

4

0,7

0,21

0,063

0,027

Проверка:

1.
Математическое
ожидание:

2.
Дисперсия:

3.
Среднее
квадратическое отклонение:

4.
так
как приm
= 1 вероятность максимальная, она
составляет: p
= 0,7.

Пример.

Вероятность
поражения цели равна 0,6. Производится
стрельба по мишени до первого попадания
(число патронов не ограничено). Требуется
составить ряд распределения числа
сделанных выстрелов, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной
величины. Определить вероятность того,
что для поражения цели потребуется не
более трёх патронов.

Решение:

Случайная
величина X
— число сделанных выстрелов — имеет
геометрическое распределение с параметром
p=0,6.
Ряд распределения X
имеет вид:

1

2

3

m

0,6

0,24

0,096

0,6·0,4m

Вероятность
того, что для поражения цели потребуется
не более трёх патронов:

P(X

3) = P(X
=
1) + P(X
=
2) + P(X
=
3) = 0,6+0,24+0,096 = 0,936.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины  и их вероятностями p1, p2,…,pn

 Может быть задан аналитически, графически или таблично.

Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть

X x1 x2 …… xn
P p1 p2 …… pn

х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной  величины;
p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной  величина.
Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
∑p=p1+p2+ … +pn=1
Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь., а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры


Пример 1
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение
Вероятности равны:
p1(6)=6/10=0,6;
p2(4)=4/10=0,4


Пример 2
Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
Решение
Объем выборки равен
n=4+6+8+2=20
X принимает следующие значения:
x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
Найдем их вероятности:

p1(4)=4/20=0,2;
p2(6)=6/20=0,3;
p3(8)=8/20=0,4;
p4(2)=2/20=0,1
Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины

X 4 6 8 2
P 0.2 0.3 0.4 0.1

Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение

n=5+13+7=26

Вычислим вероятности:

  p1(5)=5/25=0,2;

p2(13)=13/25=0,52;

  p3(7)=7/25=0,28

Таблица имеет вид:

X 5 13 8 2
P 0.2 0.52 0.28 0.1

Пример 4
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
пример
при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
Закон распределения дискретной случайной величины решение
Составим таблицу распределения

X 0 1 2 3
P 0.018 0.268 0.536 0.178

Пример 5
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение

Возможные варианты значений СВ X: 1, 2, 3

$n=C_6^3$ — числу способов,   которыми   можно   выбрать   три   детали   из   шести;

$C_4^x$  — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.

$C_2^{3 — x}$ — общее число способов отбора нестандартных деталей

Тогда вероятности события A вычисляются по формуле

формула для расчета закона распределения ДСВ

Закон распределения дискретной случайной величины X для составления ряда распределения:

Вычисления ряда распределения

Получаем таблицу ряда распределения ДСВ

X 0 1 2 3
P 0 0.2 0.6 0.2

17552


Содержание:

Законы распределения:

Распределение случайных переменных: Каждая из случайных переменных имеет ряд возможных значений, могущих возникнуть с определенной вероятностью.

Случайные переменные величины могут носить прерывный (дискретный) и непрерывный характер. Возможные значения прерывной случайной переменной отделены друг от друга конечными интервалами. Возможные значения непрерывной случайной переменной не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примерами прерывных случайных переменных могут служить:

  1. число попаданий при п выстрелах, если известна вероятность попадания при 1 выстреле. Число попаданий может быть 0, 1, 2….. n;
  2. число появлений герба при n бросаниях монеты.

Примеры непрерывных случайных переменных:

  1. ошибка измерения;
  2. дальность полета снаряда.

Если перечислить все возможные значения случайной переменной и указать вероятности этих значений, то получится распределение случайной переменной. Распределение случайной переменной указывает на соотношение между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями.

Распределение случайной переменной будет задано законом распределения, если точно указать, какой вероятностью обладает каждое значение случайной переменной.

Закон распределения имеет чаще всего табличную -форму изложения. В этом случае перечисляются все возможные значения случайной переменной и соответствующие им вероятности:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Такая таблица называется также рядом распределения случайной переменной.

Для наглядности ряд распределения изображают графически, откладывая на прямоугольной системе координат по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат — их вероятности. В результате графического изображения получается многоугольник или полигон распределения (график 1). Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения.

Функция распределения

Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой прерывной случайной перемен-
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность того, что Х<х, зависит от текущей переменной х и является функцией от х. Эта функция носит название функции распределения случайной переменной X.

F(x) = P(X

Функция распределения является одной из форм выражения закона распределения. Она является универсальной характеристикой случайной переменной и может существовать для прерывных и непрерывных случайных переменных.

Функция распределения F(x) называется также интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Основные свойства функции распределения могут быть сформулированы так:

  1. F(x) всегда неотрицательная функция, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
  2. Так как вероятность не может быть больше единицы, то Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
  3. Ввиду того что F(x) является неубывающей функцией, то при Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
  4. Предельное значение функции распределения при х=Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения равно нулю, а при х=Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения равно единице.

Если случайная переменная X дискретна и задана рядом распределения, то для нахождения F(x) для каждого х необходимо найти сумму вероятностей значений X, которые лежат до точки х.

Графическое изображение функции распределения представляет собой некоторую неубывающую кривую, значения которой начинаются с 0 и доходят до 1.

В случае дискретной случайной переменной величины вероятность F(x) увеличивается скачками всякий раз, когда х при своем изменении проходит через одно из возможных значений Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения величины X. Между двумя соседними значениями функция F(x) постоянна. Поэтому графически функция F(x) в этом случае будет изображена в виде ступенчатой кривой (см. график 2).

В случае непрерывной случайной переменной величины функция F(x) при графическом изображении дает плавную, монотонно возрастающую кривую следующего вида (см. график 3).

Обычно функция распределения непрерывной случайной переменной представляет собой функцию, непрерывную во всех точках. Эта функция является также дифференцируемой функцией. График функции распределения такой случайной переменной является плавной кривой и имеет касательную в любой ее точке.

Плотность распределения

Если для непрерывной случайной переменной X с функцией распределения F(x) вычислять вероятность попадания ее на участок от х до х+ Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решениях, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения то оказывается, что эта вероятность равна приращению функции распределения на этом участке, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Если величину Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения полагать бесконечно малой величиной и находить отношение вероятности попадания на участок к длине участка, то величину отношения в пределе можно выразить так:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

т. е. производной от функции распределения, которая характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной переменной в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения и часто обозначается f(x). Ее называют также дифференциальной функцией распределения, или дифференциальным законом распределения.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Таким образом, функция плотности распределения f(x) является производной интегральной функции распределения F(x).

Вероятность того, что случайная переменная X примет значение, лежащее в границах от а до 6, равна определенному интегралу в тех же пределах от плотности вероятности, или:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Кривая, изображающая плотность распределения случайной переменной, называется кривой распределения (дифференциальной).

Построим кривую некоторой заданной функции плотности вероятности и найдем участок, ограниченный абсциссами а и b. Площадь, ограниченная соответствующими ординатами кривой распределения самой кривой и осью абсцисс, и отобразит вероятность того, что случайная переменная будет находиться в данных пределах (см. график 4).

Плотность распределения является одной из форм закона распределения, но существует только для непрерывных случайных величин.

Основные свойства плотности распределения могут быть сформулированы так:

1. Плотность распределения есть функция, не могущая принимать отрицательных значений, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда в геометрическом изображении плотности распределения (в кривой распределения) не может быть точек, лежащих ниже оси абсцисс.

2.Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Среди законов распределения большое значение имеют биномиальное распределение, распределение Пуассона и нормальное распределение.

Биномиальное распределение

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления данного события А есть величина постоянная, равная р, и, следовательно, вероятность непоявления события А также постоянна и равна q=1—р, то число появлений события А во всех n испытаниях представляет собой случайную переменную. Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях m раз, равна:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
т. е. m+1, члену разложения бинома Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Здесь q+p=1 и, следовательно,  Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения—число сочетаний из n элементов по m. Теорема верна для любых m, в том числе и для m = 0 и m=n. Вероятность Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения появления события А образует распределение вероятностей случайной переменной m.

Ввиду того что вероятности Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения связаны с разложением бинома Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения распределение случайной переменной m называется биномиальным распределением. Биномиальное распределение является распределением дискретной случайной переменной, поскольку величины m могут принимать только вполне определенные целые значения.

График биномиального распределения, на котором по оси абсцисс откладываются числа наступлений события, а по оси ординат — вероятности этих чисел, представляет собой ломаную линию. Форма графика зависит от значений р, q и n.

Если р и q одинаковы, то график распределения симметричен. Если же р и q неодинаковы, то график распределения будет скошенным.

Одна из частот на графике имеет максимальное значение. Это наиболее вероятная частота. Ее значение можно определить приближенно, аналитически как произведение nр.

Найдем вероятности числа наступления события А при 20 испытаниях при p = 0,1 и р = 0,4 и построим график их распределений (см. график 5). Найдем вероятности частот при n = 20 для p = 0,1 и р=0,4.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

График показывает, что приближение р к 0,5 вносит в распределение большую симметрию. Оказывается также, что при увеличении n распределение становится симметричным и для Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Биномиальное распределение имеет широкое распространение в практической деятельности людей. Например, продолжительное наблюдение за качеством выпускаемой заводом продукции показало, что p-я часть ее является браком. Иначе говоря, мы выражаем через р вероятность для любого изделия оказаться бракованным. Биномиальное распределение показывает вероятность того, что в партии, содержащей n изделий, окажется m бракованных, где m = 0, 1, 2, 3 … n.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Предположим, имеется 100 изделий из партии изделий, в ко торой доля брака равна 0,05. Вероятность того, что из этих из делий окажется 10 бракованных, равна:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Закон биномиального распределения называется также схемой Бернулли.    .

Нормальное распределение

Расчет вероятностей по формуле биномиального распределения при больших n очень громоздок. При этом значении m прерывны, и нет возможности аналитически отыскать их сумму в некоторых границах. Лаплас нашел закон распределения, являющийся предельным законом при неограниченном возрастании числа испытаний n и называемый законом нормального распределения.

Плотность вероятности нормального распределения выражается при этом формулой:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где t представляет собой нормированное отклонение частоты т от наиболее вероятной частоты nр, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения — среднее квадратическое отклонение случайной переменной m. Графическое изображение плотности распределения f(t) дает кривую нормального распределения (см. график 6).

Максимальная ордината кривой соответствует точке m=nр, т. е. математическому ожиданию случайной переменной m; величина этой ординаты равна Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения.

Для практического нахождения вероятностей используют таблицу значений f(t).

Эмпирические и теоретические распределения

В примерах распределений, приведенных в разделе I, мы пользовались данными, почерпнутыми из наблюдений.

Поэтому всякий наблюденный ряд распределения назовем эмпирическим, а график, изображающий распределение
частот этого ряда, — эмпирической кривой распределения. Эмпирические кривые распределения могут быть представлены полигоном и гистограммой. При этом изображение в виде полигона применяется для рядов с прерывными значениями признака, а гистограмма— для рядов с непрерывными значениями признака.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Наблюдая многочисленные ряды распределения, математики стремятся описать эти распределения путем анализа образования величины признака, пытаются построить теоретическое распределение, исходя из данных об эмпирическом распределении.

Мы уже видели на примере распределения случайной переменной, что распределение ее задается законом распределения. Закон распределения, заданный в виде функции распределения, позволяет математически описать ряды распределения некоторых совокупностей.

Теоретическим законом распределения многих совокупностей, наблюдаемых на практике, является нормальное распределение. Иначе говоря, многие эмпирические подчинены закону нормального распределения, функция плотности вероятности которого приведена в предыдущем параграфе.

Чтобы эту формулу применять для нахождения теоретических данных по некоторому эмпирическому ряду, необходимо вероятностные характеристики заменить данными эмпирического ряда. При этой замене величина стандартизованного отклонения t будет представлять собой  Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения  где х— текущие значения случайной переменной X, а Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения и Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения— соответствующие характеристики эмпирического распределения, а именно средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение.

Следовательно, нормальное распределение ряда распределения зависит от величин средней арифметической и его среднего квадратического отклонения.

Свойства кривой нормального распределения

Дифференциальный закон нормального распределения, заданный функцией:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
имеет ряд свойств. Полагая Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения=1, тем самым будем иметь измерение варьирующего признака в единицах среднего квадратического отклонения. Тогда функция нормального распределения упростится и примет вид:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим ее свойства.

  1. Кривая нормального распределения имеет ветви, удаленные в бесконечность, причем кривая асимптотически приближается к оси Ot.
  2. Функция является четной: t(—t) = f(t). Следовательно, кривая нормального распределения симметрична относительно оси Оу.
  3. Функция имеет максимум при t = 0. Величина этого максимума равна Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, модального значения кривая
достигает при t = 0, а так как Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения то при Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Наибольшую частоту кривая будет иметь при значении х, равном среднему арифметическому из отдельных вариантов. Средняя арифметическая является центром группирования частот ряда.

4.    При t=±1 функция имеет точки перегиба. Это означает, что кривая имеет точки перегиба при отклонениях от центра

группирования Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения равных среднему квадратическому отклонению.

5.    Сумма частостей, лежащих в пределах от а до b, равна определенному интегралу в тех же пределах от функции f(t), т. е.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Если учесть действительную величину среднего квадратического отклонения, то окажется, что при больших величинах о значение f(t) мало, при малых, наоборот, велико. Отсюда изменяется и форма кривой распределения. При больших Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения кривая нормального распределения становится плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения кривая распределения вытягивается вверх и сжимается с боков.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

На графике 7 показаны 3 кривые нормального распределения (I, II, III) при Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III—самому малому значению Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Зная общие свойства кривой нормального распределения, рассмотрим те условия, которые приводят к образованию кривых данного типа.

Формирование нормального распределения

Закон нормального распределения является наиболее распространенным законом не только потому, что он наиболее часто встречается, но и потому, что он является предельным законом распределения, к которому приближается ряд других законов распределения.

Нормальное распределение образуется в том случае, когда действует большое число независимых (или слабо зависимых), случайных причин. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действует вместе. Основное условие формирования нормального распределения состоит в том, чтобы все случайные величины, действующие вместе, играли в общей сумме примерно одинаковую роль. Если одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию резко превалирующей над другими, то закон распределения будет обусловлен действием этой величины.

Если есть основания рассматривать изучаемую величину как сумму многих независимых слагаемых, то при соблюдении указанного выше условия ее распределение будет нормальным, независимо от характера распределения слагаемых.

Нормальное распределение встречается часто в биологических явлениях, отклонениях размеров изделий от их среднего размера, погрешностях измерения и т. д.

Если взять распределение людей по номеру носимой ими обуви, то это распределение будет нормальным. Но это правило применимо только в том случае, когда численность совокупности велика и сама совокупность однородна.

Из того факта, что нормальное распределение встречается нередко в разных областях, не следует, что всякий признак распределяется нормально. Наряду с нормальным распределением существуют другие различные распределения.

Но все же умение выявить нормальное распределение в некоторой эмпирической совокупности является важным условием для ряда практических расчетов и действий. Зная, что эмпирическое распределение является нормальным, можно определить оптимальные размеры предприятий, размеры резервов и т. д.

Важным условием определения характера данной эмпирической кривой является построение на основе эмпирических данных теоретического нормального распределения.

Построение кривой нормального распределения

Первый способ. Для того чтобы построить кривую нормального распределения, пользуются следующей егo формулой:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где N — число проведенных испытаний, равное сумме частот эмпирического распределения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

k — величина интервала дробления эмпирического ряда распределения;

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения — среднее квадратическое отклонение ряда;

t—нормированное отклонение, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Величина Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения табулирована и может быть найдена по таблице (см. приложение II).

Для нахождения значений теоретических частот (см. пример 1) сначала необходимо найти среднюю арифметическую эмпирического ряда распределения, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения для чего находим произведения хm. Затем находим дисперсию ряда, вос-пользовавшись формулой Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Поскольку средняя уже найдена, остается найти Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения для чего по каждой строке находим Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения (графы 4 и 5). Затем определяем величину t, последовательно записывая для каждой строки Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения и Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения (графы 6 и 7). Графа 7 дает величину t по строкам. Из таблицы значений f(t) (см. приложение II) для данных в графе 7 найдем соответствующие величины (графа 8). Осталось найденные величины умножить на общий для всех строк множитель Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Найденная при умножении величина и составляет теоретическую частоту каждого варианта, записанного в строке (графа 9). Ввиду того что частоты могут быть только целыми числами, округляем их до целых и получим теоретические частоты, которые будем обозначать Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения (графа 10).

Пример 1.

В таблице 3 приведено эмпирическое распределение веса 500 спиралей и расчет частот нормального распределения. (Вес спиралей х дан в миллиграммах.)Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы находим: Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Строим график эмпирических и теоретических данных. На графике 8 сплошной линией дано изображение эмпирического распределения, а пунктирной — построенного на его основе теоретического распределения.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2.

В таблице 4 дается эмпирическое распределение ПО замеров межцентрового расстояния при шевинговании зубцов динамомашины 110412 и расчет теоретических частот.

Исчислим:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Построим графики эмпирического и теоретического распределений (см. график 9).

Оба эмпирических распределения хорошо воспроизводятся теоретическим нормальным распределением.

Второй способ построения кривой нормального распределения основан на применении функции стандартизованного нормального распределения, в котором Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения= 1, т. е. величина наибольшей ординаты принимается за единицу.

За начало отсчета признака при этом способе построения берется его средняя арифметическая. Ей соответствует наибольшая ордината.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление ординат производится по формуле:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где N — число наблюдений;

k — величина интервала эмпирического распределения.

Так как значение наибольшей ординаты получается при

t = 0, когда Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения то величина наибольшей ординаты будет:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Придавая t последовательно значения 0,5; 1,0; 1,5; 2,0, т. е. сначала меньшие, а потом увеличивающиеся, находим в таблице стандартизованного нормального распределения для данных t соответствующие Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения и, умножив полученную величину на значение наибольшей ординаты, будем иметь ординаты для этих значений t.

Например, при t = 0,5 величина стандартизованного нормального распределенияЗаконы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения= 0,8825. Так как величина наибольшей ординаты Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения то величина ординаты в точке t = 0,5 будет равна:    

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3.

Взяты результаты измерения 100 отклонений шага резьбы х от всей длины резьбы. Получен следующий ряд распределения, для которого по общим правилам производится расчет средней и дисперсии.   

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда;
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Рассчитаем наибольшую ординату:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
так как величина Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решениято:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Взяв значение t = 0,5 по таблице стандартизованного нормального распределения, находим Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения При t = 0,5 оно равно 0,88251. Это и есть коэффициент, который при умножении на значение наибольшей ординаты дает величину ординаты в этой точке. Потом аналогично находим ординаты для t = ± 1 и т. д.

Для данного примера будем иметь:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Полученный результат наносим на график, а для сравнения наносим на график и результаты непосредственных измерений отклонений (см. график 10).

Как видно из графика, теоретическая кривая довольно близко воспроизводит полигон эмпирического распределения.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.

Даны результаты измерений отклонений шага резьбы (х) в микронах на 1 витке от среднего значения. Приводятся эти данные с соответствующими расчетами:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Теоретические частоты (ординаты) рассчитываются так же, как и в предыдущем примере. Сначала находится величина наибольшей частоты:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
затем другие    частоты:    
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Эмпирические и теоретические частоты наносим на график (см. график 11) и убеждаемся, что эмпирическое распределение довольно близко воспроизводится теоретическим распределением.

Третий способ построения кривой нормального распределения (или вычисления теоретических частот) по имеющимся эмпирическим данным основан на применении функции:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

которая дает площадь нормальной кривой, заключенной между —t и +t.

Вообще говоря, можно находить площадь нормальной кривой, заключенную между любыми точками Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения как
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
применяя функцию F(t). Искомая площадь будет представлять собой Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения причем для отрицательных t надо брать F(t) со знаком минус.

Пример 5.

Получены результаты 208 измерений межцентровых расстояний при шевинговании зубцов шестерни динамо-машины (см. табл. 7). Вычислим нужные параметры и теоретические частоты и построим графики эмпирического и теоретического распределений.

Колонки 1, 2, 3, 4 и 5 необходимы для расчетов Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения и Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения в колонке 6 рассчитаны отклонения концов интервалов от средней, в колонке 7 — величина стандартизованного отклонения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Колонка 8 содержит значения F(t), взятые из приложения III, умноженные на Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения т. е. на 104. В верхней строке приведено и значение t для конца интервала, предшествующего первому, т. е. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы получить теоретическую частоту для каждого интервала, достаточно из верхней строки (в 8-й колонке) вычесть число той же колонки, стоящее строкой ниже.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

На графике 12 показано, что теоретическое распределение достаточно точно отражает эмпирически полученный материал, только наблюдается некоторое смещение теоретической кривой вправо, что, очевидно, вызвано большим удельным весом правого конца эмпирического распределения.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 6.

Дается ряд распределения ударной вязкости в 240 испытаниях. Приведем этот ряд распределения и построим для него теоретическое распределение (см. график 13).

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Критерии согласия

Определение близости эмпирических распределений к теоретическому нормальному распределению по графику может быть недостаточно точным, субъективным и по-разному оценивать расхождения между ними. Поэтому математики выработали ряд объективных оценок для того, чтобы определить, является ли данное эмпирическое распределение нормальным. Такие оценки называются критериями согласия. Критерии согласия были предложены разными учеными, занимавшимися этим вопросом. Рассмотрим критерии согласия Пирсона, Романовского, Колмогорова и Ястремского.

Критерий согласия Пирсона основан на определении величины Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения которая вычисляется как сумма квадратов разностей эмпирических и теоретических частот, отнесенных к теоретическим частотам, т. е.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

где m — эмпирические частоты;

m’ — теоретические частоты.

Для оценки того, насколько данное эмпирическое распределение воспроизводится нормальным распределением, исчисляют по распределению Пирсона вероятности достижения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения данного значения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Значения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения вычислены для разных Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения табулированы и приводятся в приложении VI, в котором дается комбинационная таблица, где одним из аргументов (данные по строкам) являются значения Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения а по другим (по столбцам) —значения k — число степеней свободы варьирования эмпирического распределения. Число степеней свободы вариации определяется для данного ряда распределения и равно числу групп в нем минус число исчисленных статистических характеристик (средняя, дисперсия, моменты распределения и т. д.), использованных при вычислении теоретического распределения.

Пересечение данного столбца с соответствующей строкой дает искомую вероятность Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

При вероятностях, значительно отличающихся от нуля, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать случайным.

Проф. В. И. Романовский предложил более простой метод оценки близости эмпирического распределения к нормальному, используя величину Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Он предложил вычислять отношение:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где k — число степеней свободы.

Если указанное отношение имеет абсолютное значение, меньшее трех, то предлагается расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями считать несущественным; если же это отношение больше трех, то расхождение существенно. Несущественность расхождения (когда величина отношения Романовского меньше трех) говорит о возможности принять за закон данного эмпирического распределения нормальное распределение.

По данным примера 2 рассчитаем величину Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 7.

Вычисление Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Для распределения межцентрового расстояния в НО наблюдениях:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения (приложение VI) для Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения = 12 и k = 12 находим вероятность Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения=0,4457; она достаточно велика, значит расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать случайными, а распределение — подчиняющимся закону нормального распределения.

Находим отношение Романовского:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Это отношение значительно меньше трех, поэтому расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами можно считать несущественными, и, таким образом, теоретическое распределение достаточно хорошо воспроизводит эмпирическое.

Пример 8.

Вычислим критерий Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Для распределения веса 500 спиралей.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

По таблице находим вероятность Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения = 0,9834, которая близка к достоверности, и поэтому расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением может быть случайным.

Отношение Романовского
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
также значительно меньше трех, поэтому теоретическое воспро* изведение эмпирического ряда достаточно удовлетворительное.

Критерий Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения Колмогорова. Критерий Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения, предложенный А. Н. Колмогоровым, устанавливает близость теоретических и эмпирических распределений путем сравнения их интегральных распределений. Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения исчисляется исходя из D — максимального верхнего предела абсолютного значения разности их накопленных частот, отнесенного к квадратному корню из числа наблюдений N:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где D — максимальная граница разности: Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения — накопленных теоретических частот и М— накопленных эмпирических частот.

Приведем таблицу значений Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения—вероятности того, что Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения достигнет данной величины.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Если найденному значению Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения соответствует очень малая вероятность Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением нельзя считать случайным и, таким образом, первое мало отражает второе. Наоборот, если Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения— величина значительная (больше 0,05), то расхождение между частотами может быть случайным и распределения хорошо соответствуют одно другому.

Рассмотрим применение этого критерия на двух примерах.

Пример 9.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
В таблице вероятностей Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения находим для Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решенияЗаконы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Эта большая вероятность указывает на то, что расхождение между наблюдением и теоретическим распределением вполне могло быть случайным.

Пример 10.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Величина вероятности Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения показывает несущественность расхождений между теоретическим и эмпирическим распределением.

Критерий Б. С. Ястремского. В общем виде критерий Ястремского можно записать следующим неравенством:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

где Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Для числа групп, меньших 20, Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения = 0,6; q = 1 — р.

Значение I, меньшее Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения в критерии Ястремского показывает несущественность расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами в данном распределении.

При значениях I, больших Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением существенно.

Пример 11.

Определим величину I и оценим эмпирическое распределение 500 спиралей (m) по сравнению с соответствующим нормальным (m’).
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
что говорит о нормальном распределении исследуемой совокупности.

Элементарные приемы определения «нормальности» распределения. Для определения элементарными способами близости данного опытного распределения к нормальному прибегают к числам Вестергарда и к сравнению средней арифметической, моды и медианы.

Числами Вестергарда являются: 0,3; 0,7; 1,1; 3. Для пользования ими определяют сначала основные характеристики — среднюю арифметическую Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения и среднее квадратическое отклонение Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Для того чтобы данное эмпирическое распределение было подчинено закону нормального распределения, необходимо, чтобы распределение удовлетворяло следующим условиям:

  1. в промежутке от Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения была расположена Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения часть всей совокупности;
  2. в промежутке от Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения была расположена Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения часть всей совокупности;
  3. в промежутке от Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения было расположено Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения всей совокупности;
  4. в промежутках от —3 до +3 было расположено 0,998 всей совокупности.

Для приводимого распределения 500 спиралей по весу (пример 1) все эти условия соблюдаются, что говорит о подчинении данного распределения закону нормального распределения.

К элементарным приемам определения «нормальности» следует отнести применение графического метода, особенно удобное с помощью полулогарифмической сетки Турбина. На сетке накопленные эмпирические частоты при нормальном их распределении дают прямую линию. Всякое отклонение от прямой свидетельствует об отклонении эмпирического распределения от «нормального».

Распределение Пуассона

Вероятности частот событий, редко встречающихся при некотором числе испытаний, находят по формуле:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

где m — частота данного события;

n — число испытаний;

р — вероятность события при одном испытании;

е= 2,71828.

Это выражение носит название закона распределения Пуассона.

Подставим вместо nр среднее число фактически наблюдавшихся случаев в эмпирическом материале. Теоретические ординаты кривой распределения по закону Пуассона m’ найдем по формуле:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где х — переменное значение числа раз;

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения — среднее число раз в эмпирическом распределении;

n — число наблюдений.

При

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 12.

Наблюдалось следующее распределение растений сорняков в 1000 выборках посевов гороха. Результаты эксперимента записаны в следующей таблице:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Определим по закону Пуассона теоретические частоты разного числа растений сорняков. Для этого предварительно исчислим среднее число растений сорняков в одной выборке:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы находим Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Определим теоретическое число выборок, в которых число растений сорняков будет равно 0:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

то же:

для числа растений сорняков, равного 1:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

для числа растений сорняков, равного 2:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

для числа растений сорняков, равного 3:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

для числа растений сорняков более 3:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Графическое сопоставление обоих распределений говорит о соответствии между эмпирическим и теоретическим распределениями.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
 

Распределение Максвелла

В технике часто встречается распределение по закону Максвелла. Это — распределение существенно положительных величин. Например, эмпирическое распределение эксцентриситетов биений теоретически воспроизводится распределением Максвелла.

Дифференциальный закон распределения Максвелла выражается следующей формулой:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
где Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения— параметр распределения, равный Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Интегральный закон распределения выразится тогда:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Пример 13.

Заимствуем из книги А. М. Длина таблицу распределения симметричности гнезд относительно торцов в круглых плашках (в 0,01 мм) и проведем дополнительные расчеты.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Из этой таблицы легко определим среднюю симметричность:
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
и параметр рассеяния:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Формула интегрального распределения по закону Максвелла позволяет найти накопленные, а затем теоретические частости и частоты.
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Изобразим на графике 15 данные эмпирического и теоретического рядов распределения.

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Определим близость их по критерию согласия Ястремского. Для этого приведем в табл. 18 расчет величины С:

Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

По критерию Ястремского находим
Законы распределения случайных величин - определение и вычисление с примерами решения
Величина I значительно меньше 3. Следовательно, данное эм лирическое распределение хорошо согласуется с законом распределения Максвелла.

  • Дисперсионный анализ
  • Математическая обработка динамических рядов 
  • Корреляция — определение и вычисление
  • Элементы теории ошибок
  • Статистические оценки
  • Теория статистической проверки гипотез
  • Линейный регрессионный анализ
  • Вариационный ряд

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти спутник триколор с помощью телефона
  • Как составить информационная карта проекта
  • Площадь камеры как найти
  • Как найти конвой прапора
  • Как найти формулы нахождения величин