Как устно найти корни квадратного уравнения

Эффективные способы устных вычислений корней квадратных уравнений.

В старших классах появляется необходимость быстрого определения корней при решении систем уравнений и неравенств второй степени, задач на составление дробно- рационального уравнения, задач с параметрами.

Так как теорема Виета имеет ограниченную область применения (только для приведённых квадратных уравнений), то появляется необходимость отыскать более удобные устные способы решения.

Используем для этого теорему о корне многочлена (алгебра многочленов) и теорему Виета для квадратных уравнений

Частные случаи.

Рассмотрим уравнение общего вида: ax² + bx + c = 0.

Для устного определения корней используем две вспомогательные теоремы.

Теорема 1:

Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0, то x₁=1, x₂ =.

Доказательство:

1. В алгебре многочленов число x₀ является корнем многочлена М(х), если М(х₀)=0.
2. Проверим, является ли х₁=1 корнем многочлена М(х)=ax²+bx+c:

a*1² + b*1 + c = a + b + c = 0 (по условию теоремы) => х₁=1 – корень уравнения.

1. По теореме Виета для КВУР общего вида:

х₁*х₂ = ;

так как х₁=1, то

1* х₂ = => х₂ = => x₁ = 1 и x₂ = — корни уравнения.

Теорема доказана.

Теорема 2:

Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a – b + c = 0, то х₁= — 1; х₂ =.

Доказательство:

1. В алгебре многочленов число x₀ является корнем многочлена М(х), если М(х₀)=0.
2. Проверим, является ли х₁= — 1 корнем многочлена М(х)=ax²+bx+c:

a*(-1)²+b*(-1)+c = a – b + c = 0 (по условию теоремы) => х₁= -1 – корень уравнения.

1. По теореме Виета для уравнения общего вида:

х₁*х₂ = ;

так как х₁= -1, то

(-1)* х₂==> х₂==> x₁= -1 и x₂ = — корни уравнения

Теорема доказана.

Примеры:

1. 1х² + 4х — 5 = 0

1+4+(-5)=0 => Теорема 1

х₁=1; х₂= = — 5

Ответ: -5; 1.

1. 5х² + 12х + 7 = 0

5 — 12+7=0 => Теорема 2

х₁= -1 ; х₂ = = — 1,4

Ответ: х₁= -1; х₂= — 1,4.

1. 3х² — 5х + 2 = 0

3+(-5)+2=0 => Теорема 1

х₁=1; х₂=

Ответ: х₁=1; х₂=.

1. 8х² + 13х + 5 = 0

8 — 13+5=0 => Теорема 2

х₁= -1; х₂ =

Ответ: -1;

1. 2х²+13х-7=0

х²+13х – 14 = 0 ( теорема 1)

х₁== 0,5

х₂== — 7

Ответ: — 7; 0,5

1. 2х²+5х-18=0

х² + 5х – 36 = 0 ( по теореме Виета)

х₁==-4,5

х₂==2

Ответ: — 4,5; 2.

1. 4х²-27х-7=0

х²— 27х – 28 = 0 (теорема 2)

х₁== — 0,25

х₂ ==7

Ответ: — 0,25; 7.

1. 3х²-17х-6=0

х²-17х-18=0 (теорема 2)

х₁=

х₂==6

Ответ: ; 6.

Устный
способ решения квадратных уравнений.

(из
опыта работы учителя математики  МКОУ Началовская СОШ Россошанского района,
Воронежской области  Антоновской Аллы Ивановны)

Особое внимание при изучении темы
«Квадратные уравнения» в 8 классе должно быть уделено выработке умений решать
квадратные уравнения, разлагать квадратный трехчлен на множители и решать
задачи методом составления квадратных уравнений. Вместе с  тем  достаточно
серьезное внимание следует уделить и теоретическим вопросам: учащиеся должны уметь
выводить формулу корней квадратного уравнения, доказывать теорему Виета и
тождество ax²+bx+c
= a(x
– x₁)(x
– x₂).
Изучение этой темы продолжается в  9, 10 и 11 классах при решении  биквадратных
уравнений, неравенств  второй степени, при решении тригонометрических,
показательных, логарифмических уравнений, а также при решении текстовых и геометрических
задач.

Работая много лет  в старших классах, я
нашла простой (устный)  способ решения некоторых  квадратных уравнений и
назвала его «Решение квадратных уравнений по сумме коэффициентов».

Например: 
уравнение 24x²
+3x
– 27 =0 , используя этот метод, можно решить устно. Но каким образом? Об этом 
вы узнаете чуть позже.

Мои ученики с удовольствием этим способом
пользуются, поэтому я хочу поделиться  своим опытом  с  коллегами.

Рассмотрим примеры устного решения
квадратных уравнений, используя теорему Виета.

1.     x²
– 5x + 4 = 0

D
= 25 -16 =9, 9 – положительное число, значит уравнение имеет

 два различных
действительных  корня.

Это приведенное
квадратное уравнение, значит x₁
+ x₂
=5, а  x₁x₂
= 4, так как произведение корней положительное число, то корни имеют одинаковые
знаки, кроме того сумма корней также положительное число, значит, оба корня
положительны. Нетрудно догадаться, что x₁=1
и  x₂
=4.

2.     3x²
– 8x +5 =0.

Так как -8 четное число,
то D₁=16
– 15 = 1, 1- положительное число,  поэтому   уравнение имеет два различных
действительных  корня.

Чтобы применить теорему
Виета, преобразуем данное уравнение к виду   x²—
x
+  =0.

 x₁
+ x₂
=, а  x₁x₂
= , так как произведение корней
положительное число, то корни имеют одинаковые знаки, кроме того сумма корней
также положительное число, значит, оба корня положительны. Но так как и — 
дробные числа, то устно подобрать корни уравнения детям сложно.

Однако, решив уравнение
обычным способом, т.е. через D₁,
получаем, что x₁
= 1, а x₂
=.

Решая аналогичные приведенные и  не приведенные
уравнения, в которых сумма  всех коэффициентов равна 0 (a
+ b
+ c
=0), можно заметить, что D или D₁
 всегда > 0( поэтому такие уравнения всегда имеют два различных
действительных  корня)  и  один из корней  равен 1, а второй равен коэффициенту
c  (если уравнение приведенное) или (если
уравнение не приведенное).

Этот  устный  метод я предлагаю
рассмотреть  учащимся после того, как изучены все способы решения квадратных
уравнений и, необходимо, как можно быстрее найти  только корни квадратного  уравнения,
а процесс нахождения D или D₁
 и корней квадратного уравнения можно
опустить, чтобы сэкономить больше времени  на решение  данного основного  уравнения,
неравенства, на решение текстовой или геометрической задачи.

 Например:

1.     Решить 
уравнение loq_x(-5x²+8x-2)=1.

Чтобы решить
данное уравнение,   сначала надо решить квадратное уравнение -5x²+8x-2=x или -5x²+7x-2
= 0. Так как  сумма коэффициентов равна 0, т.е. -5 +7 -2 =0 и уравнение не приведенное,
то x₁=1
и x₂=. Но x=1
не может быть решением логарифмического уравнения, т.к. основание логарифма не
равно 1. Следовательно, решением данного уравнения является только число  . Ответ: .

2.     Решить
уравнение 4^x
– 5*2^x + 4 =0.

 Сделаем замену
переменной t=2^x,
тогда  4^x= (2^x)²=t².
Данное уравнение принимает вид t²
 — 5t
+ 4 =0. Так как  сумма коэффициентов равна 0, т.е. 1 – 5+ 4 =0 и уравнение приведенное,
то t₁=1
и t₂=4.
Решая уравнения 2^x=1
и  2^x=4, получаем x=0
и x=2.
Ответ: 0; 2.

Используя этот способ решения квадратных
уравнений, учителю легко составить задания для самостоятельной работы в 8
классе (когда детям устный способ еще не известен) и проверить работы учеников.

Приведу несколько различных квадратных
уравнений, которые можно решить устно.

Например:

а) x²
+ 35x
– 36 =0, так как 1+35 -36 =0, то  x₁=
1 и  x₂=-36.

Ответ:-36; 1.

б) x²
— 17x
+ 16 =0, так как 1 – 17 + 16 =0, то x₁=
1 и  x₂=16.

Ответ: 1; 16.

в) 41x²
+ 2x
– 43 =0, так как 41+ 2 – 43 =0, то  x₁=
1 и  x₂=-или -1.

Ответ: -1; 1.

г) — 37 x²
+ 19x
+18 =0, так как -37 + 19 + 18 =0, то  x₁=
1 и  x₂=
— .

Ответ: — ; 1.

д) это уравнение я предлагала решить устно
в начале своей статьи 

24x²
+3x
– 27 =0, так как 24 + 3 – 27 =0, то x₁=
1 и  x₂=-или -1 .

Ответ: -1 ; 1.

Уважаемые коллеги! Я надеюсь, что данные
рекомендации помогут вам в дальнейшей работе.  Желаю Вам
больших творческих успехов!

Федеральное государственное казенное

общеобразовательное  учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №151»

ПРИЕМЫ

УСТНОГО РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ  УРАВНЕНИЙ

  Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических,  показательных, иррациональных уравнений и неравенств.

        Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических уравнений второй степени и приводимых к ним уравнений.   В школьном курсе  изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Желательно научить  ребят решать квадратные уравнения несколькими способами. Впоследствии при решении других видов уравнений, сводящихся к квадратным, рационально использовать те способы, которые  позволяют находить корни квадратных уравнений устно: свойства коэффициентов  и способ «переброски» старшего коэффициента. 

             Данные приемы устного решения квадратных уравнений заслуживают внимания, поскольку не отражены в школьном учебнике математики. Овладение   приемами поможет обучающимся  экономить время, эффективно решать уравнения, развить математические, интеллектуальные способности, навыки исследовательской работы.

        Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

1. Приведенные квадратные уравнения.

       Наиболее распространенное устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки.

Напомним, что приведенное квадратное уравнение это уравнение вида

        х2 + рх + q = 0

Корни х1 и х2 удовлетворяют теореме Виета

              

Определить знаки корней без решения уравнения (при условии, D•0)

 можно по следующим правилам:

	р • 0	р • 0
q  •  0	оба корня отрицательны	оба корня положительны
q • 0	корни имеют противоположные знаки

Рассмотрим  случаи.

1. q • 0

 Если в уравнении  х2 + рх + q = 0    q • 0 ( или последним знаком является знак «минус»),  то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении ( будем называть его в дальнейшем вторым знаком уравнения, а числа р и q будем называть модули коэффициентов).

      Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, сформулируем    правило нахождения корней уравнения.

1. найти такие множители числа  q, чтобы их разность была равна числу р;
2. поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 1.Решить уравнение    х2 – 2х – 15 = 0

Решение.

 1) Найдем множители числа 15: 1 и 15, 3 и 5. Выберем те, разность которых   равна  2. Это числа 3 и 5.

2)Перед меньшим числом ставим второй знак уравнения, т.е. «минус».

Таким образом, корни уравнения: х1 = — 3, х2 = 5.

Ответ: -3 и 5.

 Пример 2.  Решить уравнение       х2 + 10х – 24 = 0

Решение.

Множители числа 24:  1 и 24;  2 и 12;  3 и 8;  4 и 6 .  

10 = 12 — 2 и второй знак уравнения «+» ,  то х1= 2, х2 = — 12

 Ответ: — 12; 2.

Пример 3. Решить уравнение       х2 – 5х – 14 = 0.

Решение.

14 = 2 ⋅ 7  и    5 = 7 – 2,  то х1 = — 2, х2 = 7.

Ответ:  — 2; 7.

Такой алгоритм помогает быстро решать уравнения тем обучающимся, у которых имеются трудности с подбором знаков в теореме Виета.

Задания для самостоятельного решения.

1. Решите уравнения:

1. х2 – 4х – 77 = 0                         3)   х2 + х – 56 = 0
2. х2  + 8х – 20 = 0                        4)   х2 – 7х – 8 = 0

1. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1. 6  и  —  7                                     3) — 1  и 24
2. 13  и – 9                                    4)  — 5  и 4              

1. Составьте четыре произвольных уравнения с целыми корнями, имеющими разные знаки.

1. q  •  0

Если в уравнении  х2 + рх + q = 0    q • 0  (или последним знаком является знак «плюс») то уравнение имеет два корня и  оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения.

Сформулируем правило нахождения корней.

1.  если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус»;
2. чтобы найти корни, нужно найти такие множители свободного члена q, чтобы их сумма была равна числу р.

Пример 1. Решить уравнение   х2 + 7х + 12 = 0.

Решение.

12 = 1⋅ 12 = 2 ⋅  6 = 3 ⋅ 4   и 3 + 4 = 7, а в уравнении два «плюса»,

то корни уравнения х1 = -3, х2 = -4.

Ответ: х1 = -3, х2 = -4.

Пример 2. Решить уравнение     х2 – 9х + 14 = 0.

Решение.

14 = 2  7 и 2 + 7 = 9,  второй знак «минус», последний знак «плюс»,

значит, корни уравнения х1 = 2, х2 = 7.

Ответ: х1 = 2, х2 = 7.

Задания для самостоятельного решения.

1. Решите уравнения:

1. х2 –11х  + 24 = 0                  3)   х2 – 17х + 30 = 0
2. х2  + 4х + 3 = 0                     4)   х2 + 9х + 14 = 0

1. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1.   5  и   7                                   3)   11 и 8
2. — 1  и – 6                                  4)   — 4  и — 20              

Таким образом, для нахождения корней приведенного квадратного  уравнения

х2 + рх + q = 0  можно применить следующий алгоритм.

1. Найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, дает второй коэффициент;

2. расставить знаки у найденных множителей по следующему правилу:  

• если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса»,
• если последний знак уравнения «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения, больший корень имеет противоположный знак.

Пример 1. Решить уравнение  х2 – 7х – 30 = 0.

Решение.

Множители числа 30:   1 и 30;   2 и 15;  3 и 10;  5 и 6.

Последний знак  « — »,  подбираем те, разность которых равна 7.  Это  3  и 10. Меньшему числу присваиваем знак  « — ».

Таким образом, корни уравнения: х1 = -3 , х2 = 10.

Ответ:   х1 = -3 , х2 = 10.

Пример 2.  Решить уравнение   х2 – 7х + 6 = 0.

Решение.

Среди множителей числа 6 ищем такие, сумма которых равна 7

 (последний знак уравнения «  +  »). Это числа 1 и 6., таким образом, х1 = 1, х2 = 6.

Ответ: х1 = 1, х2 = 6.

1.  Квадратные уравнения вида  ax2 + bx + c = 0,  a≠ 0.

Свойства  коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0,  a≠ 0.

Если  а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,   — корни этого уравнения.

Доказательство:

Разделим обе части уравнения на  а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение   

Согласно теореме Виета 

По условию  а + в + с = 0, откуда  в = — а – с. Значит, 

Получаем:  что и требовалось доказать.

       2. Если  а – в + с = 0, или в = а + с, то  

Доказательство:

По теореме Виета 

По условию а – в + с = 0, откуда  в = а + с. Таким образом,             

т.е.  что и требовалось доказать.

Из свойства коэффициентов следуют приемы устного решения квадратного уравнения  – приемы «коэффициентов».

Прием 1.   Если  а + b + с = 0, то      

Пример 1. Решить уравнение 4х2 – 13х + 9 = 0.

Решение.

Сумма коэффициентов  4 – 13 + 9 = 0, значит,    — корни уравнения.     Ответ: .  

 Пример 2. Решить уравнение   = 0.

                     Решение.

Сумма коэффициентов 839 – 448 – 391 = 0 , значит,

Прием 2.            Если  b = а  + с, то        

Пример 1. Решить уравнение  

Решение.

7 = 2 + 5, значит,   — корни уравнения

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение   5х2 + 3х -2 = 0

Решение.

 3 = 5 + (-2), значит,.

Ответ:

Решение уравнений способом «переброски».

          Если   а  ±  b + с  ≠  0, используем метод «переброски коэффициента».

 Решим уравнение  Умножим обе части уравнения на a≠0, получим    Пусть , откуда  

Тогда приходим к уравнению, равносильному данному   Его корни у1  и у2 .

Окончательно   .

    При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример 1.Решить уравнение  3х2 + 2х – 1 = 0

Решение.

3х2 + 2х – 1 = 0, | ⋅ 3

9х2  +  6х – 3 = 0

(3х )2 + 2 ⋅ (3х) – 3 = 0

        Пусть  3х = у, тогда получим уравнение: у2 + 2у – 3 = 0. Сумма коэффициентов равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0, значит, у1 = 1, у2= -3/ 1 = -3.

Вернемся к подстановке: 1) 3х = 1, х = 1/ 3.

                                             2) 3х = — 3,  х = — 1.

 Ответ: х1 = — 1, х2 = 1/3.

Решение может быть таким:

Пример 2. Решить уравнение  2х2 – 11х + 5 = 0

Решение.

«Перебросив»  коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение  

 х2  — 11 х + 10 = 0, корни которого 1 и 10. Делим каждое число на 2, получаем корни данного уравнения: х1 = 0,5, х2 = 5.

Пример 3. Решить уравнение   6х2 – 7х – 3 = 0.

Решение.

«Перебросив» коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение

х2 – 7х – 18 = 0, корни которого 9 и – 2.

Делим на    ,   — корни данного уравнения

                  Ответ: .

Пример 4.  Решить уравнение  

Решение:

Используя метод «переброски», получим уравнение

                     

               По теореме Виета 

                      Ответ: 

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

1. 5х2  — 7х  +2 =0                                                         1)   5х2 — 7х  -12 =0
2. 11х2  +25х  — 36=0                                                    2)   11х2  +25х +14=0                                                                      
3. 345х2  -137х -208=0                                                 3)   3х2 +5х +2=0                                                                    
4. 3х2 +5х — 8=0                                                            4)   5х2  + 4х — 1=0                                                                            
5. 5х2 + 4х — 9=0                                                           5)   х2  + 4х +3=0

1. 2х2 -9х +9=0
2.  10х2 -11х + 3=0
3.  3х2 +11х +6=0
4. 6х2 +5х — 6=0
5. 3х2 +1х — 4=0

 Литература.

1. Мордкович А. Г.. Алгебра 8 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.// М. Мнемозина.- 2012 г.
2. Плужников И. Г. « 10 способов решения квадратных уравнений» //Математика в школе.-2000.- № 40.
3. Михайлова Ж. Н. Алгоритмы – ключ к решению задач по алгебре. Ч 1.// М. Просвещение.-2008г.

Устное решение приведенных квадратных уравнений

Выполнила: Лейба Ольга

Ученица 8 класса

Учитель: Постникова Надежна Викторовна

Автор шаблона:

Ранько Елена Алексеевна

учитель начальных классов

МАОУ лицей №21

г. Иваново

Цели проекта:

развитие умения самостоятельно работать с учебной и научно-популярной литературой;

доведение до более высокого уровня усвоения знаний и способов деятельности;

помочь тем, кто имеет пробелы в знаниях.

Гипотеза:

Какие методы упрощенного решения квадратных уравнений существуют

Вступление

Многие задачи в математике связаны с решением квадратных уравнений. Часто при решении заданий встречается несколько таких уравнений, поэтому полезно устно решать эти уравнения. Такой способ поможет экономить время.

Приведенные квадратные уравнения

Наиболее распространено устное решение приведенных квадратных уравнений, но у многих вызывает затруднение из-за отсутствия жесткого алгоритма действий, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки. Напомним теоретические сведения , используемые для решения приведенного квадратного уравнения и попытаемся составить алгоритм его решения .

Теоритические сведения

Первый способ решения приведенных квадратных уравнений

Для нахождения корней приведенного уравнения необходимо выполнить следующие действия:

• Найти множители числа q , чтобы их разность была равна числу р;
• Поставить пред меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой будет иметь противоположный знак.(Пример 1)

Первый способ решения приведенных квадратных уравнений

Если в уравнении последним знаком является «минус». То корни имеют разные знаки. При чем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении

(Пример 1)

(Пример 2)

Пример 1

Пример 2

Имеем: 77=7∙11 и 11-7=4, следовательно,

Пример 3

Второй способ решения приведенных квадратных уравнений

Если в приведенном уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения

(Пример 4)

(Пример 5)

Если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус». Чтобы найти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их сумма равна р.

(Пример 6)

(Пример 7)

Пример 4

Имеем: 6=1∙6 и 1+6= 7. Значит,

Пример 5

Имеем: 14=2∙7 и 2+7= 9. Значит,

Пример 6

Пример 7

Имеем 35= -5∙( -7) и -5+(-7) =- 12. Значит,

Алгоритм

Заключение

После небольшой тренировки этот алгоритм позволяет очень быстро решать любые приведенные квадратные уравнения с целыми коэффициентами, имеющие целые корни.

Используемые ресурсы

Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». – Санкт-Петербург.: Тригон, 1997.

Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: Аванта+, 1997

Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. – 2004

Любое полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 можно привести к виду x² + (b/a)x + (c/a) = 0, если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x². А если ввести новые обозначения  (b/a) = p и (c/a) = q, то будем иметь уравнение x² + px + q = 0, которое в математике называется приведенным квадратным уравнением.

Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета, названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней  – свободному члену q.

Запишем данные соотношения в следующем виде:

Пусть x₁ и x₂  различные корни приведенного уравнения x² + px + q = 0. Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = -p и x₁ · x₂ = q.

Для доказательства подставим каждый из корней x₁ и x₂  в уравнение. Получаем два верных равенства:

x₁² + px₁ + q = 0

x₂² + px₂ + q = 0

Вычтем из первого равенства второе. Получим:

x₁² – x₂² + p(x₁ – x₂)  = 0

Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

(x₁ – x₂)(x₁ – x₂) + p(x₁ – x₂)  = 0

По условию корни x₁ и x₂  различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x₁ – x₂) ≠ 0 и выразить p.

(x₁ + x₂) + p = 0;

(x₁ + x₂) = -p.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x₁² + px₁ + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число  – (x₁ + x₂):

x₁² – (x₁ + x₂) x₁ + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

x₁² – x₂²  – x₁x₂  + q = 0;

x₁x₂  =  q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение.

Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид  x² + px + q = 0, где x₁ и x₂  его корни. Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = -p и x₁ · x₂ = q.

Можно сделать следующий вывод.

Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x₁ и x₂  имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
2. поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения;  второй корень будет иметь противоположный знак.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.

Решить уравнение x² – 2x – 15 = 0.

Решение.

Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b² – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е.  знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x₁ = -3 и  x₂ = 5.

Ответ. x₁ = -3 и  x₂ = 5.

Пример 2.

Решить уравнение x² + 5x – 6 = 0.

Решение.

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

D = b² – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

Возможные множители числа 6 — это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

Ответ: x₁ = -6 и  x₂ = 1.

Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x₁  и  x₂, то для них выполняются равенства

x₁ + x₂ = -(b/a) и x₁ · x₂ = (c/a). Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax)² + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t² + bt + ac = 0, корни которого t₁ и  t₂ (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут  

x₁ = (t₁ / a) и  x₂ = (t₂ / a).

Пример 3.

Решить уравнение 15x² – 11x + 2 = 0.

Решение.

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

15²x² – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Делаем замену t = 15x. Имеем:

t² – 11t + 30 = 0.

По теореме Виета корнями данного уравнения будут t₁ = 5 и  t₂ = 6.

Возвращаемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x₁ = 5/15 и  x₂ = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x₁ = 1/3 и  x₂ = 2/5.

Ответ. x₁ = 1/3 и  x₂ = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.