Как зная две координаты найти третью - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Найти третью точку правильного треугольника?

Логика у вас правильная — взять середину отрезка AB и отложить от него перпендикуляр длинной sqrt(3)/2*d.

Но не надо искать углы, вектор перпендикуляр находится тривиально — это (Можно доказать перпендикулярность через скалярное произведение, например). Более того, длина этого вектора будет уже d (это ведь повернутый на 90 градусов вектор по стороне треугольника). Значит его остается тупо домножить на sqrt(3)/2.

Таким образом формула x3 = (x1+x2)/2 +sqrt(3)/2*(y2-y1).

Зная координаты точки 1(x1,y1) и координаты точки 2(x2,y2) найти третью точку(x3,y3) правильного треугольника со стороной d.

Безграмотная формулировка. Не точки, а вершины. d вообще лишнее.

Если A(x1,y1), B(x2,y2), то третья вершина C(x3,y3) находится поворотом вершины B вокруг A на 60 градусов по часовой и против часовой стрелки.

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
Ось ординат Oy — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

верхний правый угол — первая четверть I;
верхний левый угол — вторая четверть II;
нижний левый угол — третья четверть III;
нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0).
Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус.
Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

источники:

http://qna.habr.com/q/872623

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-koordinaty-tochki

Источник

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Координаты третьей вершины треугольника

Добавлено: 26 мар 2013, 05:26

Начинающий

Зарегистрирован:
26 мар 2013, 05:23
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Здравствуйте, уважаемые форумчане. Помогите пожалуйста с формулой

Как найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх сторон и двум координатам вершин?

Известны координаты точек А(x1,y1), С(x2,y2).
длины сторон а, в, с
необходимо вычислить координаты точки В(x3,y3)

Использовать для вычислений Косинус и Синус угла АСВ и смещение прямой АС относительно системы координат нельзя из-за получающейся огромной погрешности при вычислениях. Я про формулу такого вида: x3 = x2 + a*cosС, y3 = y2 + a*sinС

Последний раз редактировалось Andy 11 дек 2019, 10:12, всего редактировалось 1 раз.

Название темы изменено модератором.

Вернуться к началу

Avgust

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 26 мар 2013, 08:29

Точка А — центр окружности радиусом с

Точка С — центр окружности радиусом a

Пересечение двух окружностей дадут точку B, то есть ее координаты.

Всего-то нужно решить систему относительно [math]x,[/math] и [math]y[/math]

[math](y-y_1)^2+(x-x_1)^2=c^2[/math]

[math](y-y_2)^2+(x-x_2)^2=a^2[/math]

Получим два решения при допустимых соотношениях параметров (при которых треугольник может существовать)

Последний раз редактировалось Avgust 26 мар 2013, 09:10, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю Avgust «Спасибо» сказали:
panda

panda

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 26 мар 2013, 08:47

Спасибо за ответ. А не могли бы вы оформить его в виде формулы?

Вернуться к началу

Avgust

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 26 мар 2013, 09:34

Формулы я получил. Но они такие громоздкие, что писать полчаса надо. Вот численно элементарно делается. Например, зададим параметры пифагорова треугольника:
[math]x_1=0,;, y_1=0, ; , x_2=4,;, y_2=3 ,;, a=3, ;, c=4[/math]

Тогда по команде Maple

solve({(y-y1)^2+(x-x1)^2 = c^2, (y-y2)^2+(x-x2)^2 = a^2}, [x, y]);

получим два решения:

1) [math]x=4 , ; , y=0[/math]

2) [math]x=frac{28}{25}, ; , y=frac{96}{25}[/math]

Графическое представление этой задачи:

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю Avgust «Спасибо» сказали:
panda

Avgust

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 26 мар 2013, 10:00

Я добавил рисунок…
Вот формулы только для одного из решений:

x:=(1/2)*((y1-y2)*sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2)+(x1^3-x1^2*x2+(y2^2-2*y1*y2-c^2+y1^2+a^2-x2^2)*x1-x2*(a^2-c^2-x2^2-y2^2+2*y1*y2-y1^2))*(x1-x2))/((x1-x2)*(x1^2-2*x2*x1+x2^2+(y1-y2)^2));

y := (-sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2)+y1^3-y1^2*y2+(a^2+x1^2-c^2+x2^2-2*x2*x1-y2^2)*y1+y2^3+(x2^2-2*x2*x1+c^2-a^2+x1^2)*y2)/(2*y1^2-4*y1*y2+2*y2^2+2*(x1-x2)^2);

Второе решение:

x := (1/2)*((-y1+y2)*sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2)))+(x1-x2)*(x1^3-x1^2*x2+(y1^2-2*y1*y2+y2^2+a^2-c^2-x2^2)*x1-x2*(-c^2-x2^2+a^2-y1^2+2*y1*y2-y2^2)))/((x1^2-2*x2*x1+x2^2+(y1-y2)^2)*(x1-x2));

y := (sqrt(-(x1-x2)^2*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a+y1-y2)*(c+a-y1+y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a+y1-y2)*(-c+a-y1+y2)))+y1^3-y1^2*y2+(a^2+x1^2-c^2+x2^2-2*x2*x1-y2^2)*y1+y2^3+(x2^2-2*x2*x1+c^2-a^2+x1^2)*y2)/(2*y1^2-4*y1*y2+2*y2^2+2*(x1-x2)^2);

Формулы проверил — работают отлично. Вот если бы их суметь упростить!

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю Avgust «Спасибо» сказали:
amjava, panda, Realdreamer

Realdreamer

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 10 дек 2019, 17:11

Уважаемые математики
Чтобы не плодить темы, разрешить поднять текущую.

Пишу программу, но к сожалению не очень силен в математических науках. Нужно как раз вершины треугольника
Но исходные данные немного другие.
Есть длина стороны равностороннего треугольника и угол между ними.
Строится всё из начала координат в сторону x (вверх)

Вообще в итоге мне нужно написать симуляцию работы вентилятора. Крутится то я его заставлю.
Нарисовать не могу ((

вот такой должен получится.
Стороны 70
Угол лопасти 30 град
Угол между лопастями 120
Три лопасти.
У меня получается есть только координаты центра.
Чтобы нарисовать треугольники мне нужны остальные координаты вершин

Пытался сам найти, но видимо не так запрос формирую.

Вернуться к началу

Realdreamer

Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх

Добавлено: 11 дек 2019, 16:20

vvvv
Большое спасибо за потраченное время.
К сожалению ваше решение только добавило мне вопросов ((

Координат всего должно быть 9 для каждой оси, но в таблице их 10
Так же вижу на графике что есть координата с х = -70 но в таблице для Х такого значения нет.

В итоге я пошёл по другому пути
Нарисовал первую лопасть вверх от начала координат и посчитал основание равнобедренного треугольника зная его стороны и угол между ними

a = 70
b = a * sin(30) / 2

и разделил её пополам. Получил координату по Y в обе стороны
Лопасть это два прямоугольных треугольника в которых по теореме пифагора нашёл вторую сторону которая и является второй коорлинатой

y1 = sqrt(a ** 2 — b ** 2)

А потом по формуле окружности просто сдвинул на 120 градусов влево и вправо

xn1 = sin(120 — 15) * a
yn1 = cos(120 — 15) * a
xn2 = sin(120 + 15) * a
yn2 = cos(120 + 15) * a

xn1 = sin(-120 — 15) * a
yn1 = cos(-120 — 15) * a
xn2 = sin(-120 + 15) * a
yn2 = cos(-120 + 15) * a

От меня вам всё равно спасибо что откликнулись!

Вернуться к началу

Источник

In a 30-60-90 right triangle, smallest leg (the smallest side adjacent the 90 degree angle) has length of 1/2 of the hypotenuse (the side opposite to 90 degree angle), so since you have the side lengths, you can determine which leg is the line segment AB.

From that you deduce where do the angles go.

Then to compute the coordinate you just need to pick the point on the circle of the radius with the correct radius length at the correct angle.

Two solutions come from measuring the angle clock-wise or counter-clockwise, and result in symmetrical triangles, with the edge AB being the line of symmetry.

Since you already have given the angles, compute the length of AB via quadratic formula

L(AB) = Sqrt[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2].

Now, let x = L(AC) = 2*L(BC) so since it is the right triangle,

L(AC)^2 = L(BC)^2 + L(AB)^2,

x^2 = (0.5x)^2 + L(AB)^2, so L(AB) = x*Sqrt[3]/2,
and since you already computed L(AB) you now have x.

The angle of the original AB is a = arctan([y2-y1]/[x2-x1]).
Now you can measure 30 degrees up or down (use a+30 or a-30 as desired)
and mark the point C on the circle (centered at A) of radius x (which we computed above) at the angle a +/- 30.

Then, C has coordinates

x3 = x1 + x*cos(a+30)

y3 = y1 + x*sin(a+30)

or you can use (a-30) to get the symmetrical triangle.

Источник

Ребят. Не силен в математических преобразованиях. Может у кого есть готовая формула для поиска координаты третьей вершины (С) прямоугольного треугольника зная координаты двух других вершин (А и В). Так же известен катет АС и AB.

Из геометрии помню, что надо решать систему двух уравнений, но там черт ногу сломает… Может есть кого уже готовые формулы для нахождения x и y точки С?

задан 29 ноя 2016 в 11:08

Ну в общем-то всё просто.

Вектор AB = B - A покоординатно. Делим обе координаты на длину, получаем единичный вектор, пусть будет v1.
Поворачиваем вектор v1 на 90 градусов, получаем вектор вдоль другого катета. Пусть будет результат v2. Поворот по простой формуле:
```
v2.x = -v1.y;
v2.y = v1.x;
```
Альтернативно поворот в другую сторону:
```
v2.x = v1.y;
v2.y = -v1.x;
```
Имея единичный вектор v2 вдоль второго катета, умножаем покоординатно на длину второго катета, получаем вектор AC.
Прибавляем к координатам A вектор AC, получаем точку C.

Будет два решения, для поворота по или против часовой стрелки.

ответ дан 29 ноя 2016 в 11:26

VladDVladD

206k27 золотых знаков289 серебряных знаков521 бронзовый знак

Рабочий код на С++ по правильному ответу:

    //0. Длина катета АВ (ab):
    //   ab = Sqrt((xa_− xb_)^2+(ya_− yb_)^2)
    //1. Вектор AB = B - A, покоординатно. Делим обе координаты на длину, получаем единичный вектор (v1):
    //   v1.x =  (B.x - A.x) / ab  ===  v1x = (xb_ - xa_) / ab
    //   v1.y =  (B.y - A.y) / ab  ===  v1y = (yb_ - ya_) / ab
    //2. Поворачиваем вектор v1 на 90 градусов, получаем вектор вдоль другого катета (v2). Поворот по формуле:
    //   v2.x = -v1.y              ===  v2x = -v1y
    //   v2.y =  v1.x              ===  v2y =  v1x
    //   Альтернативно поворот в другую сторону:
    //   v2.x =  v1.y;
    //   v2.y = -v1.x;
    //3. Имея единичный вектор v2 вдоль второго катета, умножаем покоординатно на длину второго катета, получаем вектор AC:
    //   v3.x = v2.x * bc_         ===  v3x = v2x * bc_
    //   v3.y = v2.y * bc_         ===  v3y = v2y * bc_
    //4. Прибавляем к координатам A вектор AC, получаем точку C:
    //   xc_ = xa_ + v3x
    //   yc_ = ya_ + v3y
    void __fastcall TriangleStraight3V_01(int xa_, int ya_, int xb_, int yb_, int bc_, int &xc_, int &yc_)
    {
      int      x2x1 = xa_ - xb_;
      int      y2y1 = ya_ - yb_;
      double   ab   = Sqrt(x2x1*x2x1 + y2y1*y2y1);
      double   v1x  = (xb_ - xa_) / ab;
      double   v1y  = (yb_ - ya_) / ab;
      double   v3x  = (v1y > 0 ? -v1y :  v1y) * bc_;
      double   v3y  = (v1x > 0 ?  v1x : -v1x) * bc_;

      xc_ = xa_ + v3x;
      yc_ = ya_ + v3y;
    }

ответ дан 27 окт 2017 в 13:04

Моя имплементация на Паскале правильного ответа. Основная функция:

function FindPointB(T: Triangle; no: Integer): Point;
var
  unitVec: Point;
begin

  // Единичный вектор:
  unitVec.x := (T.pointA.x - T.pointC.x) / T.sideB;
  unitVec.y := (T.pointA.y - T.pointC.y) / T.sideB;

  if no = 1 then begin  // первое решение.
    Result.x := T.pointC.x + (-unitVec.y * T.sideA);
    Result.y := T.pointC.y + (unitVec.x * T.sideA);
  end else begin  // второе решение.
    Result.x := T.pointC.x + (unitVec.y * T.sideA);
    Result.y := T.pointC.y + (-unitVec.x * T.sideA);
  end;

end;

В данной постановке задача имеет два решения. На примере египетского треугольника:

Блок-схема с формулами:

Пример выполнения программы:

ответ дан 16 фев 2018 в 17:00

Метод на C#

  PointF GetOrtogonalPoint(PointF a, PointF b, float bc)
    {
        float x2x1 = a.X - b.X;
        float y2y1 = a.Y - b.Y;
        float ab = (float)Math.Sqrt(x2x1 * x2x1 + y2y1 * y2y1);
        float v1x = (b.X - a.X) / ab;
        float v1y = (b.Y - a.Y) / ab;
        float v3x = (v1y > 0 ? -v1y : v1y) * bc;
        float v3y = (v1x > 0 ? v1x : -v1x) * bc;

        PointF c = new PointF();
        c.X = a.X + v3x;
        c.Y = a.Y + v3y;
        return c;
    }

Направление задаётся знаком bc.

ответ дан 13 дек 2018 в 11:44

xamlxaml

11 бронзовый знак

Источник

CrazyWalker: Сообщения: 1; Зарегистрирован: 29 янв 2018, 09:55

Даны две вершины треугольника А(-4,1,2) и B(3,5,-16). Найти третью вершину C

Сообщение

CrazyWalker » 29 янв 2018, 09:58

Всем доброго дня!

Даны две вершины треугольника А(-4,1,2) и B(3,5,-16). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны АС лежит на оси Ox, а середина стороны BC — на плоскости Oyz.

Я так понимаю, что координаты середины AC (x,0,0) , а координаты середины BC (0,x,y)
Подскажите, пожалуйста, верно ли я рассуждаю и в каком направлении нужно двигаться

Алексей: Администратор; Сообщения: 1680; Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Даны две вершины треугольника А(-4,1,2) и B(3,5,-16). Найти третью вершину C

Сообщение

Алексей » 29 янв 2018, 12:36

Для начала стоит ввести некую систему обозначений для заданных точек. Мне удобны обозначения, показанные на рисунке:

: Отправка.png (9.6 КБ) 7213 просмотров

Что касается самого решения: есть несколько путей. Мне кажется наиболее быстрым решение через векторы. Так как точки (M) и (F) — середины соответствующих сторон, то (overline{AC}=2cdotoverline{AM}), (overline{BC}=2cdotoverline{BF}). Из равенства (overline{AC}=2cdotoverline{AM}) получим (y_C=-1), (z_C=-2). Из равенства (overline{BC}=2cdotoverline{BF}) вы получите первую координату, т.е. (x_C).

«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»

Источник