Картинки как найти площадь прямоугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

S — искомая площадь прямоугольника;
a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
d — любая диагональ прямоугольника;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
R — радиус описанной окружности;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Площадь квадрата

Запомните!

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S = a · a

Пример:

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см²

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a²

Площадь прямоугольника

Запомните!

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S = a · b

Пример:

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см²

Запомните!

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Запомните!

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м²
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м²

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м²

Ответ: S = 65 м² — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Запомните!

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник:

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников

ABC и
ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см²

S_ABC = S_ABCD : 2

S_ABC = 20 : 2 = 10 см²

S_ABC =
S_ACD = 10 см²

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

3 декабря 2015 в 22:54

Ирина Петренко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

как написать правильно площадь треугольника?

0
Спасибо thanks
Ответить

9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко

Тима Клюев
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8

(^-^)
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8

S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

На рисунке три прямоугольника: №1, №3 и №4. У этих прямоугольников разные пропорции, т. е. разное соотношение сторон. У прямоугольника №1 (голубого, на рисунке он в верхнем левом углу) длина почти в два раза больше ширины. Прямоугольник №3 (сиреневый) — сильно вытянут, его длина в три раза больше ширины. У прямоугольника №4 (зелёного) длинная сторона (длина) лишь чуточку больше высоты (ширины), он даже на первый взгляд обманчиво кажется квадратом.

Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных (соседних, прилегающих к одному углу) сторон — длинной и короткой.

Это можно выразить следующей формулой:

S =a х b,

где S — площадь, а — длина, b — ширина прямоугольника.

Возьмём для примера прямоугольник №3 сиреневого цвета. На мониторе моего ноутбука короткая его сторона равняется 1 см, а длинная сторона равняется 3 см.

Перемножаем длины этих сторон: 1 х 3 = 3. Полученная цифра и есть площадь данного прямоугольника, равная 3 кв. см.

Источник

На уроках геометрии проходят множество новых тем, одна из них – это как найти площадь прямоугольника. После усвоения формул даются задачи для закрепления материала. В этой статье мы узнаем, как можно найти площадь прямоугольника и рассмотрим некоторые примеры по данной тематике.

Содержание

Как найти площадь прямоугольника – что представляет собой прямоугольник?
Площадь прямоугольника – базовая формула
Доказательство базовой формулы площади прямоугольника
Площадь прямоугольника – примеры расчета
Видео: Площадь прямоугольника – геометрия

В школе не все способны усвоить материал, который рассказывает преподаватель на уроке. Потому дома следует еще потренироваться и изучить то, что было непонятно на уроке. Иначе в дальнейшем пропущенные темы не усвоятся в голове ученика и будут большие пробелы в знаниях. Формулы следует знать наизусть, так вы сможете с легкостью решать задачи по геометрии. Как найти площадь прямоугольника – узнаем дальше.

Как найти площадь прямоугольника – что представляет собой прямоугольник?

Прежде чем начать изучение основного материала, следует разобраться, что такое за фигура прямоугольник. Благодаря таким знаниям будет понятно, как можно найти его площадь. Итак, фигура с четырьмя прямыми углами и равными противоположными сторонами – называется прямоугольником. Как видно из правила, что у прямоугольника все углы равны 90º и противоположные стороны между собой равны. Данное утверждение будет применяться для доказательств неких теорем. Причем длинные стороны прямоугольника – это длина фигуры, а те стороны, которые меньше — представляют собой высоту.

Площадь прямоугольника

ВАЖНО: Не все фигуры с четырьмя углами могут быть прямоугольниками.

И у прямоугольников есть определенные свойства, которые их характеризуют, в частности:

Стороны, которые находятся напротив друг друга между собой параллельны.
Линии, проведенные от противоположных углов прямоугольника – диагонали имеют одинаковую длину, а точка пересечения делит их на равные отрезки.
Еще эта точка в прямоугольнике называется – центром, относительно ее симметричны. Все другие точки, что находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
Не стоит также путать прямоугольник с параллелограммом и квадратом. У первого углы не 90º, а у второго абсолютно все стороны равны. Можно также сказать, что прямоугольник – это квадрат и параллелограмм, он подходит под некие характеристики этих фигур.

Площадь прямоугольника – базовая формула

Если свойства прямоугольника уже пройдены, то можно приступать и к изучению формул. Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:

S = a • b и измеряется в квадратных единицах.

Где S – это и есть площадь, а стороны, точнее длина и высота фигуры – это: a и b.

К примеру, прямоугольник AMNK с длиной MN = 8 см и высотой AM = 5 см будет иметь площадь:

S = MN • AM = 8 • 5 = 40 см²

Прямоугольник, площадь

Доказательство базовой формулы площади прямоугольника

Площадь прямоугольника является определенной величиной, которая показывает, сколько требуется места для данной фигуры на плоскости. Если геометрическую фигуру разбить на небольшие зоны величиной один на один сантиметр, как на изображении ниже, то легко можно высчитать значение площади в сантиметрах квадратных.

Прямоугольник. Как рассчитать площадь?

В прямоугольнике, что выше на картинке всего имеется 15 квадратов. То есть его площадь равна 15 см². И по рисунку видно, чтобы узнать это количество квадратов, следует умножить их число по горизонтали, на число их по вертикали:

5 • 3 = 15 см², а числа 5 и 3 – это стороны прямоугольника.

ВАЖНО: При расчетах все мерки необходимо выражать обязательно в одинаковых единицах меры, то есть если длина выражена в дециметрах или сантиметрах, то и высота выражается в дециметрах или же сантиметрах. А площадь тогда будет выражаться в квадратных единицах.

Площадь прямоугольника – примеры расчета

Площадь прямоугольника можно рассчитывать разными вариантами. В задачах даются определенные данные и их следует подставлять во все формулы, которые изучали до этого, чтобы находить необходимую величину. Давайте рассмотрим один из них. Если в задаче дана длина одной стороны и диагональ прямоугольника, то чему в таком случае будет равняться площадь прямоугольника? Здесь пригодится знание теоремы Пифагора.

Эта теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Ее же можно применять и для нахождения сторон в прямоугольнике. Ведь, если известны две величины, то третью уже можно найти, зная предыдущие формулы геометрии. Про углы сейчас речь не будет идти, разберемся сначала со сторонами.

Теорема Пифагора представляет собой простейшее уравнение. В ней говорится, что гипотенуза в квадрате треугольника (или же еще она является самой длинной стороной прямоугольного треугольника), равна сумме квадратов катетов. Уравнение простейшее и записывать его можно так:

b² + a² = c², где обратите внимание, что c – кроме того, что гипотенуза, а еще и диагональ прямоугольника, а отрезки a и b – это стороны прямоугольника и катеты прямоугольного треугольника.

Рассмотрим конкретный пример, чтобы уяснить, как вычислить площадь прямоугольника, когда известны одна сторона, допустим a = 8 сантиметров и диагональ с = 10 сантиметров. Если прямоугольник разбить на два равных прямоугольных треугольника, то вы запросто найдете по теореме Пифагора, чему равен второй катет или сторона фигуры. А уже по этим данным можно найти и саму площадь прямоугольника.

Итак:

c² = b² + a²
b² = c² — a²
b² = 100 — 64
b² = 36
b = 6 сантиметров

Когда у прямоугольника известны стороны, то можно применить формулу площади прямоугольника для нахождения ее величины:

S = 6 • 8 = 48 квадратных сантиметров.

Площадь фигуры. Выводы

На примере видно, что площадь можно находить всяческими методами, главное знать формулы и свойства предыдущих занятий по геометрии и умело их применять на деле.

Видео: Площадь прямоугольника – геометрия

Источник

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

11 483

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
Найти квадрат известной стороны.
Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
Найти квадратный корень получившейся разности.
Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Обратите внимание

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Действия:

Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
Найдите квадрат известной стороны.
Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
Найдите квадратный корень разности.
Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Лайфхак

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Другой способ:

Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на 4.
Найти квадрат известной стороны.
Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
Найти квадратный корень разности.
Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Помните

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

Нахожу вторую сторону прямоугольника:
1. P=2(a+b).
2. P=2a+2b.
3. 14= 2*3+2b.
4. 14 = 6+2b.
5. 2b = 14-6 = 8.
6. b = 8/2.
7. b = 4.
Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Действия такие:

Умножьте периметр на сторону.
Найдите квадрат стороны.
Умножьте квадрат стороны на 2.
Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

Ответ: 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

Действия:

Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Ответ: 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
Квадрат диагонали равен 144 см.
Половина квадрата: 72 см.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Действия:

Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на два.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

( 1 оценка, среднее 5 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

Источник