Константа распада как найти

The radioactive decay law states that the probability per unit time that a nucleus will decay is a constant, independent of time. This constant is called the decay constant and is denoted by λ, “lambda.” This constant probability may vary greatly between different types of nuclei, leading to the many different observed decay rates. The radioactive decay of a certain number of atoms (mass) is exponential in time.

Radioactive decay law: N = N.e^-λt

The rate of nuclear decay is also measured in terms of half-lives. The half-life is the amount of time it takes for a given isotope to lose half of its radioactivity. If a radioisotope has a half-life of 14 days, half of its atoms will have decayed within 14 days. In 14 more days, half of that remaining half will decay, and so on. Half-lives range from millionths of a second for highly radioactive fission products to billions of years for long-lived materials (such as naturally occurring uranium). Notice that short half-lives go with large decay constants. Radioactive material with a short half-life is much more radioactive (at the time of production) but will obviously lose its radioactivity rapidly. No matter how long or short the half-life is after seven half-lives have passed, there is less than 1 percent of the initial activity remaining.

The radioactive decay law can also be derived for activity calculations or mass of radioactive material calculations:

(Number of nuclei) N = N.e^-λt     (Activity) A = A.e^-λt      (Mass) m = m.e^-λt

where N (number of particles) is the total number of particles in the sample, A (total activity) is the number of decays per unit time of a radioactive sample, and m is the mass of remaining radioactive material.

Decay Constant and Half-Life

In radioactivity calculations, one of two parameters (decay constant or half-life), which characterize the decay rate, must be known. There is a relation between the half-life (t_1/2) and the decay constant λ. The relationship can be derived from the decay law by setting N = ½ N_o. This gives:

where ln 2 (the natural log of 2) equals 0.693. If the decay constant (λ) is given, it is easy to calculate the half-life and vice-versa.

The relationship between half-life and the amount of a radionuclide required to give an activity of one curie is shown in the figure. This amount of material can be calculated using λ, which is the decay constant of certain nuclide:

The following figure illustrates the amount of material necessary for 1 curie of radioactivity. Obviously, the longer the half-life, the greater the quantity of radionuclide needed to produce the same activity. Of course, the longer-lived substance will remain radioactive for a much longer time. As can be seen, the amount of material necessary for 1 curie of radioactivity can vary from an amount too small to be seen (0.00088 gram of cobalt-60), through 1 gram of radium-226, to almost three tons of uranium-238.

Example – Calculation of Radioactivity

A sample of material contains 1 microgram of iodine-131. Note that iodine-131 plays a major role as a radioactive isotope present in nuclear fission products and is a major contributor to the health hazards when released into the atmosphere during an accident. Iodine-131 has a half-life of 8.02 days.

Calculate:

1. The number of iodine-131 atoms is initially present.
2. The activity of the iodine-131 in curies.
3. The number of iodine-131 atoms will remain in 50 days.
4. The time it will take for the activity to reach 0.1 mCi.

Solution:

1. The number of atoms of iodine-131 can be determined using isotopic mass as below.

N_I-131 = m_I-131 . N_A / M_I-131

N_I-131 = (1 μg) x (6.02×10²³ nuclei/mol) / (130.91 g/mol)

N_I-131 = 4.6 x 10¹⁵ nuclei

1. The activity of the iodine-131 in curies can be determined using its decay constant:

The iodine-131 has a half-life of 8.02 days (692928 sec), and therefore its decay constant is:

Using this value for the decay constant, we can determine the activity of the sample:

3) and 4) The number of iodine-131 atoms that will remain in 50 days (N_50d) and the time it will take for the activity to reach 0.1 mCi can be calculated using the decay law:

As can be seen, after 50 days, the number of iodine-131 atoms and thus the activity will be about 75 times lower. After 82 days, the activity will be approximately 1200 times lower. Therefore, the time of ten half-lives (factor 2¹⁰ = 1024) is widely used to define residual activity.

References:

Radiation Protection:

1. Knoll, Glenn F., Radiation Detection and Measurement 4th Edition, Wiley, 8/2010. ISBN-13: 978-0470131480.
2. Stabin, Michael G., Radiation Protection and Dosimetry: An Introduction to Health Physics, Springer, 10/2010. ISBN-13: 978-1441923912.
3. Martin, James E., Physics for Radiation Protection 3rd Edition, Wiley-VCH, 4/2013. ISBN-13: 978-3527411764.
4. U.S.NRC, NUCLEAR REACTOR CONCEPTS
5. U.S. Department of Energy, Nuclear Physics and Reactor Theory. DOE Fundamentals Handbook, Volume 1 and 2. January 1993.

Nuclear and Reactor Physics:

1. J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, MA (1983).
2. J. R. Lamarsh, A. J. Baratta, Introduction to Nuclear Engineering, 3d ed., Prentice-Hall, 2001, ISBN: 0-201-82498-1.
3. W. M. Stacey, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, 2001, ISBN: 0- 471-39127-1.
4. Glasstone, Sesonske. Nuclear Reactor Engineering: Reactor Systems Engineering, Springer; 4th edition, 1994, ISBN: 978-0412985317
5. W.S.C. Williams. Nuclear and Particle Physics. Clarendon Press; 1 edition, 1991, ISBN: 978-0198520467
6. G.R.Keepin. Physics of Nuclear Kinetics. Addison-Wesley Pub. Co; 1st edition, 1965
7. Robert Reed Burn, Introduction to Nuclear Reactor Operation, 1988.
8. U.S. Department of Energy, Nuclear Physics and Reactor Theory. DOE Fundamentals Handbook, Volume 1 and 2. January 1993.
9. Paul Reuss, Neutron Physics. EDP Sciences, 2008. ISBN: 978-2759800414.

История изучения радиоактивности началась 1 марта 1896 года, когда известный французский ученый Анри Беккерель случайно обнаружил странность в излучении солей урана. Оказалось, что фотопластинки, расположенные в одном ящике с образцом, засвечены. К этому привело странное, обладающее высокой проникающей способностью излучение, которым обладал уран. Это свойство обнаружилось у самых тяжелых элементов, завершающих периодическую таблицу. Ему дали название «радиоактивность».

Вводим характеристики радиоактивности

Данный процесс – самопроизвольное превращение атома изотопа элемента в иной изотоп с одновременным выделением элементарных частиц (электронов, ядер атомов гелия). Превращение атомов оказалось самопроизвольным, не требующим поглощения энергии извне. Основной величиной, характеризующей процесс выделения энергии в ходе радиоактивного распада, называют активность.

Активностью радиоактивного образца называют вероятное количество распадов данного образца за единицу времени. В СИ (Системе интернациональной) единицей измерения ее назван беккерель (Бк). В 1 беккерель принята активность такого образца, в котором в среднем происходит 1 распад в секунду.

А=λN, где λ- постоянная распада, N – число активных атомов в образце.

Выделяют α, β, γ-распады. Соответствующие уравнения называют правилами смещения:

название	Что происходит	Уравнение реакции
α –распад	превращение атомного ядра Х в ядро Y с выделением ядра атома гелия	ZАХ→Z-2YА-4+2He4
β — распад	превращение атомного ядра Х в ядро Y с выделением электрона	ZАХ→Z+1YА+-1eА
γ — распад	не сопровождается изменением ядра, энергия выделяется в виде электромагнитной волны	ZХА→ZXА+γ

Временной интервал в радиоактивности

Момент развала частицы невозможно установить для данного конкретного атома. Для него это скорее «несчастный случай», нежели закономерность. Выделение энергии, характеризующее этот процесс, определяют как активность образца.

Замечено, что она с течением времени меняется. Хотя отдельные элементы демонстрируют удивительное постоянство степени излучения, существуют вещества, активность которых уменьшается в несколько раз за достаточно короткий промежуток времени. Удивительное разнообразие! Возможно ли найти закономерность в этих процессах?

Установлено, что существует время, в течение которого ровно половина атомов данного образца претерпевает распад. Этот интервал времени получил название «период полураспада». В чем смысл введения этого понятия?

Что такое период полураспада?

Представляется, что за время, равное периоду, ровно половина всех активных атомов данного образца распадается. Но означает ли это, что за время в два периода полураспада все активные атомы полностью распадутся? Совсем нет. Через определенный момент в образце остается половина радиоактивных элементов, через такой же промежуток времени из оставшихся атомов распадается еще половина, и так далее. При этом излучение сохраняется длительное время, значительно превышающее период полураспада. Значит, активные атомы сохраняются в образце независимо от излучения

Период полураспада — это величина, зависящая исключительно от свойств данного вещества. Значение величины определено для многих известных радиоактивных изотопов.

Таблица: «Полупериод распада отдельных изотопов»

Название	Обозначение	Вид распада	Период полураспада
Радий	88Ra219	альфа	0,001 секунд
Магний	12Mg27	бета	10 минут
Радон	86Rn222	альфа	3,8 суток
Кобальт	27Co60	бета, гамма	5,3 года
Радий	88Ra226	альфа, гамма	1620 лет
Уран	92U238	альфа, гамма	4,5 млрд лет

Определение периода полураспада выполнено экспериментально. В ходе лабораторных исследований многократно проводится измерение активности. Поскольку лабораторные образцы минимальных размеров (безопасность исследователя превыше всего), эксперимент проводится с различным интервалом времени, многократно повторяясь. В его основу положена закономерность изменения активности веществ.

С целью определения периода полураспада производится измерение активности данного образца в определенные промежутки времени. С учетом того, что данный параметр связан с количеством распавшихся атомов, используя закон радиоактивного распада, определяют период полураспада.

Пример определения для изотопа

Пусть число активных элементов исследуемого изотопа в данный момент времени равно N, интервал времени, в течение которого ведется наблюдение t₂— t₁, где моменты начала и окончания наблюдения достаточно близки. Допустим, что n – число атомов, распавшихся в данный временной интервал, тогда n = KN(t₂— t₁).

В данном выражении K = 0,693/T½ — коэффициент пропорциональности, называющийся константой распада. T½ — период полураспада изотопа.

Примем временной интервал за единицу. При этом K = n/N указывает долю от присутствующих ядер изотопа, распадающихся в единицу времени.

Зная величину константы распада, можно определить и полупериод распада: T½ = 0,693/K.

Отсюда следует, что за единицу времени распадается не определенное количество активных атомов, а определенная их доля.

Закон радиоактивного распада (ЗРР)

Период полураспада положен в основу ЗРР. Закономерность выведена Фредерико Содди и Эрнестом Резерфордом на основе результатов экспериментальных исследований в 1903 году. Удивительно, что многократные измерения, выполненные при помощи приборов, далеких от совершенства, в условиях начала ХХ столетия, привели к точному и обоснованному результату. Он стал основой теории радиоактивности. Выведем математическую запись закона радиоактивного распада.

— Пусть N₀ – количество активных атомов в данный момент времени. По истечении интервала времени t нераспавшимися останутся N элементов.

— К моменту времени, равному периоду полураспада, останется ровно половина активных элементов: N=N₀/2.

— По прошествии еще одного периода полураспада в образце остаются: N=N₀/4=N₀/2² активных атомов.

— По прошествии времени, равному еще одному периоду полураспада, образец сохранит только: N=N₀/8=N₀/2³.

— К моменту времени, когда пройдет n периодов полураспада, в образце останется N=N₀/2ⁿ активных частиц. В этом выражении n=t/T½: отношение времени исследования к периоду полураспада.

— ЗРР имеет несколько иное математическое выражение, более удобное в решении задач: N=N₀2^{—t/ T½_.}

Закономерность позволяет определить, помимо периода полураспада, число атомов активного изотопа, нераспавшихся в данный момент времени. Зная число атомов образца в начале наблюдения, через некоторое время можно определить время жизни данного препарата.

Определить период полураспада формула закона радиоактивного распада помогает лишь при наличии определенных параметров: числа активных изотопов в образце, что узнать достаточно сложно.

Следствия закона

Записать формулу ЗРР можно, используя понятия активности и массы атомов препарата.

Активность пропорциональна числу радиоактивных атомов: A=A₀•2^-t/T. В этой формуле А₀ – активность образца в начальный момент времени, А – активность по истечении t секунд, Т – период полураспада.

Масса вещества может быть использована в закономерности: m=m₀•2^-t/T

В течение любых равных промежутков времени распадается абсолютно одинаковая доля радиоактивных атомов, имеющихся в наличии в данном препарате.

Границы применимости закона

Закон во всех смыслах является статистическим, определяя процессы, протекающие в микромире. Понятно, что период полураспада радиоактивных элементов – величина статистическая. Вероятностный характер событий в атомных ядрах предполагает, что произвольное ядро может развалиться в любой момент. Предсказать событие невозможно, можно лишь определить его вероятность в данный момент времени. Как следствие, период полураспада не имеет смысла:

• для отдельного атома;
• для образца минимальной массы.

Время жизни атома

Существование атома в его первоначальном состоянии может длиться секунду, а может и миллионы лет. Говорить о времени жизни данной частицы также не приходится. Введя величину, равную среднему значению времени жизни атомов, можно вести разговор о существовании атомов радиоактивного изотопа, последствиях радиоактивного распада. Период полураспада ядра атома зависит от свойств данного атома и не зависит от других величин.

Можно ли решить проблему: как найти период полураспада, зная среднее время жизни?

Определить период полураспада формула связи среднего времени жизни атома и постоянной распада помогает не меньше.

τ= T_1/2/ln2= T_1/2/0,693=1/ λ.

В этой записи τ – среднее время жизни, λ – постоянная распада.

Использование периода полураспада

Применение ЗРР для определения возраста отдельных образцов получило широкое распространение в исследованиях конца ХХ века. Точность определения возраста ископаемых артефактов настолько возросла, что может дать представление о времени жизни за тысячелетия до нашей эры.

Радиоуглеродный анализ ископаемых органических образцов основан на изменении активности углерода-14 (радиоактивного изотопа углерода), присутствующего во всех организмах. Он попадает в живой организм в процессе обмена веществ и содержится в нем в определенной концентрации. После смерти обмен веществ с окружающей средой прекращается. Концентрация радиоактивного углерода падает вследствие естественного распада, активность уменьшается пропорционально.

При наличии такого значения, как период полураспада, формула закона радиоактивного распада помогает определить время с момента прекращения жизнедеятельности организма.

Цепочки радиоактивного превращения

Исследования радиоактивности проводились в лабораторных условиях. Удивительная способность радиоактивных элементов сохранять активность в течение часов, суток и даже лет не могла не вызывать удивления у физиков начала ХХ столетия. Исследования, к примеру, тория, сопровождались неожиданным результатом: в закрытой ампуле активность его была значительной. При малейшем дуновении она падала. Вывод оказался прост: превращение тория сопровождается выделением радона (газ). Все элементы в процессе радиоактивности превращаются в совершенно иное вещество, отличающееся и физическими, и химическими свойствами. Это вещество, в свою очередь, также нестабильно. В настоящее время известно три ряда аналогичных превращений.

Знания о подобных превращениях крайне важны при определении времени недоступности зон, зараженных в процессе атомных и ядерных исследований или катастроф. Период полураспада плутония — в зависимости от его изотопа — лежит в интервале от 86 лет (Pu 238) до 80 млн лет (Pu 244). Концентрация каждого изотопа дает представление о периоде обеззараживания территории.

Самый дорогой металл

Известно, что в наше время есть металлы значительно более дорогие, чем золото, серебро и платина. К ним относится и плутоний. Интересно, что в природе созданный в процессе эволюции плутоний не встречается. Большинство элементов получены в лабораторных условиях. Эксплуатация плутония-239 в ядерных реакторах дала возможность ему стать чрезвычайно популярным в наши дни. Получение достаточного для использования в реакторах количества данного изотопа делает его практически бесценным.

Плутоний-239 получается в естественных условиях как следствие цепочки превращений урана-239 в нептуний-239 (период полураспада — 56 часов). Аналогичная цепочка позволяет накопить плутоний в ядерных реакторах. Скорость появления необходимого количества превосходит естественную в миллиарды раз.

Применение в энергетике

Можно много говорить о недостатках атомной энергетики и о «странностях» человечества, которое практически любое открытие использует для уничтожения себе подобных. Открытие плутония-239, который способен принимать участие в цепной ядерной реакции, позволило использовать его в качестве источника мирной энергии. Уран-235, являющийся аналогом плутония, встречается на Земле крайне редко, выделить его из урановой руды значительно сложнее, чем получить плутоний.

Возраст Земли

Радиоизотопный анализ изотопов радиоактивных элементов дает более точное представление о времени жизни того или иного образца.

Использование цепочки превращений «уран – торий», содержащихся в земной коре, дает возможность определить возраст нашей планеты. Процентное соотношение этих элементов в среднем по всей земной коре лежит в основе этого метода. По последним данным, возраст Земли составляет 4,6 миллиарда лет.

КОНСТАНТЫ РАСПАДА

Соседние файлы в папке Учебные пособия

• #
• #
• #
• #

Если молекула, которую в общем виде можно обозначить символом А, имеет тенденцию к самопроизвольному распаду

А → Продукты реакции

со скоростью, на которую не влияет присутствие других молекул, то следует ожидать, что число молекул, распадающихся в результате такого мономолекулярного процесса в единицу времени, будет пропорционально числу присутствующих молекул А. Если объем системы остается постоянным, то концентрация молекул А будет уменьшаться со скоростью, пропорциональной этой концентрации. Примем символ [А] для обозначения концентрации вещества А (в молях на 1 литр). Скорость уменьшения концентрации со временем математически выражается так: $-frac{d[A]}{dt}$ Для мономолекулярного распада можно, следовательно, записать уравнение

$-frac{d[A]}{dt}=k[A]$ (10.1)

Это — дифференциальное уравнение, определяющее скорость реакции*. Множитель k называют константой скорости реакции первого порядка. Реакцию такого рода называют реакцией первого порядка; порядок реакции определяется как сумма показателей степени концентраций, входящих в выражение для скорости реакции (правая часть уравнения скорости реакции).

Размерность k для реакций первого порядка, как не трудно убедиться, t^-1 если время измеряется в секундах, то c^-1.

Так, константа скорости k может иметь значение 0,001 с^-1. Тогда, согласно уравнению, за одну секунду будет распадаться 1/1000 от исходного числа разлагающихся молекул. Допустим, что в начальное время t=0 было 1 000 000 000 молекул на 1 мл в сосуде, в котором протекает реакция. За первую секунду 1 000 000 из этих молекул распадается и при t=1 с останутся неразложившимися только 999 000 000 молекул. В следующую секунду разложится 999 000 молекул и останется 998 001 000 молекул**. По истечении некоторого времени (приблизительно через 693 с) половина молекул распадется и останется только 500 000 000 нераспавшихся молекул в 1 мл. Из этих молекул около 500 000 распадется в следующую секунду и т. д.

Высказанное выше утверждение относительно времени, необходимого для распада половины общего числа молекул, можно подтвердить интегрированием уравнения (10.1), приводящим к интегральной форме уравнения скорости реакции первого порядка. Уравнение (10.1) можно переписать в следующем виде:

  $frac{d[A]}{[A]}=-kdt$

Нетрудно заметить, что выражение в левой части уравнения —это производная от ln[А] (плюс постоянная величина) и что в правой части— производная от —kt (плюс постоянная величина). Если первую постоянную величину выразить как —ln[А]₀, а вторую постоянную как kt₀, то получим

ln[А] — ln[А]₀ = ln([ А]/[А]₀) = -kt + kt₀. (10.2)

Возведение в степень е обеих частей уравнения приводит его к виду

[А] =[А]₀е^-k(t-t₀) (10.3)

В этом уравнении постоянная [А]₀ — концентрация А в момент времени t=t₀.

Обычно принято считать t₀ равным нулю (т. е. измерять время с того момента, когда концентрация равна [А]₀). Тогда уравнение принимает вид

[А] = [A]₀e^-kt. (10.4)

Отношение концентрации реагирующего вещества к исходной концентрации уменьшается экспоненциально со временем, как показано на рис. 10.2. То, что это реакция первого порядка, можно установить измерением скорости расходования реагирующего вещества, взятого в различных концентрациях, и сравнением с уравнением (10.1) или путем нескольких измерений концентрации одного из компонентов данной системы в различные моменты и сопоставления с уравнением (10.4).

Типичной химической реакцией первого порядка, протекающей в газовой фазе, является разложение азометана СН₃—N=N—СН₃ на этан и азот^3*

СН₃NNCН₃ → С₂Н₆ + N₂

Молекулярный механизм этой реакции схематически приведен на рис. 10.3. Большинство молекул азометана имеет конфигурацию, показанную на рис. 10.3,а, с метальными группами, расположенными с противоположных сторон оси N=N. Это так называемая транс-конфигурация. Сравнительно небольшое число молекул имеют цис-конфигурацию (рис. 10.3,6). Если молекула с цис-конфигурацией очень энергично сталкивается с другой молекулой, то ее колебания могут настолько усилиться, что атомы углерода сблизятся так, как показано на рис. 10.3,в. При такой конфигурации две связи N—С могут разорваться, и вместо них образуются связи С—С и N—N. Эта возможность показана пунктирными валентными связями на рис. 10.3,в. Молекула, схематически изображенная на рис. 10.3,в, может вернуться к конфигурации, приведенной на рис. 10.3,6, или же в результате разрыва связей С—N могут образоваться две молекулы, как показано на рис. 10.3,г.

Рис. 10.2. Кривые, показывающие уменьшение во времени количества нераспавшегося вещества, разлагающегося по реакции первого порядка (на графике указаны значения констант скорости реакции).

Химическими реакциями первого порядка являются также разложение пятиокиси азота N₂O₅ на двуокись азота и кислород и разложение диметилового эфира СН₃—О—СН₃ на метан, окись углерода и водород

2N₂O₅ → 4NO₂ + O₂

СН₃ОСН₃ → CH₄ + CO + H₂

Необходимо отметить, что порядок реакции нельзя определить по суммарному стехиометрическому уравнению. Согласно уравнению разложения N₂O₅, в реакции участвуют две молекулы исходного вещества, но в действительности это реакция первого порядка. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая реакция протекает по стадиям; первой стадией, по-видимому, является разложение по реакции первого порядка

N₂O₅ → NO₃ + NO₂

После этого происходят другие реакции, например

2NO₃ → 2NO₂ + O₂

Простой метод изучения скорости газовой реакции, при которой число молекул, образующихся в результате реакции, оказывается больше или меньше числа молекул исходного вещества, основан на измерении давления в ходе реакции. Реагирующее вещество при этом вводят в сосуд, помещенный в термостат, и периодически по манометру измеряют давление газа.

Рис. 10.3. Мономолекулярное разложение азометана на азот и этан.

Период полураспада

Примем t=nt’. Тогда экспоненциальное выражение е^-kt [в уравнении (10.4)] можно записать в виде е^-nkt’= (е^-kt’)ⁿ. Отсюда следует, что в каждый последующий период времени t’ концентрация нераспавшихся молекул уменьшается пропорционально одному и тому же коэффициенту.

В рассмотренном выше примере (в котором k=0,001 с^-1) упоминалось, что при t’ = 693 с значение [А]/[А]₀ равно ½. Не трудно убедиться, что еще через 693 с (при t = 2t’) оно будет равно ¼, при t = 3t’ будет равно 1/8 и т. д.

Время, необходимое для того чтобы концентрация реагирующего вещества, распадающегося по реакции первого порядка, уменьшилась наполовину, называется периодом полураспада. Из уравнения (10.4) следует, что период полураспада равен значению t’, при котором е^-kt’ = ½. Чтобы вычислить t’, следует произвести следующие действия:

ln(е^-kt’) = -kt’ = ln½.

kt’ = ln2 = 2,30259 lg2=0,69315,

Период полураспада = t’ = 0,69315/k . (10.5)

Из этого уравнения, устанавливающего зависимость между периодом полураспада и константой скорости реакции, очевидна правильность сделанного ранее вывода, что при k =0,001 с^-1 период полураспада составляет 693 с.

Радиоактивный распад ядер

Наиболее важный класс реакций первого порядка — радиоактивный распад атомных ядер. Каждое ядро радия-226 или другого радионуклида характеризуется вероятностью распада в единицу времени, которая не зависит от концентрации (вообще от присутствия других частиц), и как следствие этого процесс радиоактивного распада описывается уравнениями (10.1) и (10.4).

Пример 10.1.

Период полураспада радия ₈₈²²⁶Rа равен 1590 лет. Чему равно значение константы скорости распада? Какая часть распадается за один год?

Решение. Согласно уравнению (10.5), можно записать

k = 0,693/1590 = 000436 год^-1.

Следовательно, значение константы скорости распада равно 4,36·10^-4 год^-1.

В результате разложения в степенной ряд экспоненциального члена, входящего в уравнение (10.4), получаем

e^-kt = 1 — kt + ½k²t²…

Для небольших значений t можно ограничиться учетом только линейного члена в приведенном здесь уравнении. Очевидно, за единицу времени распадается доля исходного количества, равная k. Следовательно, за один год распадается 4,36·10^-4 первоначального количества радия, т. е. 0,0436%.

Пример 10.2.

В разд. 20.18 будет описано, что возраст образца древесины можно определить измерением радиоактивности содержащихся в нем атомов углерода-14. Период полураспада углерода-14 равен 5760 годам. Свежеcрубленная древесина содержит углерод-14, распадающийся со скоростью 15,3 атома в минуту в расчете на 1 г углерода (это соответствует числу β-частиц, испускаемых изотопом углерода-14 в 1 мин, измеренному счетчиком Гейгера). Древесина деревьев, засыпанных пеплом при извержении вулкана Мазама на юге штата Орегон (США), дает 6,90 β-раcпадов атомов углерода-14 в минуту в расчете на 1 г углерода. Когда произошло извержение вулкана?

Решение. Применяя метод, использованный в предшествующем примере, находим значение k

k = 0,693 / 5760 лет = 1,204×10^-4 год^-1

Доля неразложившегося изотопа ¹⁴С составляет 6,90/15,3=0,451. Следовательно, можно записать

е^-kt = 0,451,

kt = — ln0,451 = — 2,303 lg 0,451 =2,303×0,347 = 0,800,

t = 0,800/k = 0,800/(1,204×10^-4 год^-1) = 6640 лет. Таким образом, расчет показывает, что извержение вулкана Мазама произошло примерно 6640 лет назад.

Пример 10.3.

Найденные в Восточной Африке скелеты синантропа были извлечены из вулканического пепла, содержащего минералы калия. Методом масс-cпектроскопии было определено количество аргона-40 в этом пепле; оно составляет 0,078% от количества присутствующего калия-40. (Калий-40 — радиоактивный изотоп калия, составляющий 0,011% природного калия, — имеет период полураспада 15·10⁸ лет.) В данном случае аргон-40 образовался в результате β-распада калия-40, содержавшегося в пепле, выпавшем при извержении вулкана, а ранее образовавшийся аргон-40 выделился из расплавленной лавы в процессе извержения. Какой возраст имеют найденные скелеты?

Решение. Константа k скорости распада ⁴⁰К равна 0,693/(15×10⁸ лет)=4,6×10^-10 год^-1. Время t, необходимое для распада 0,078% исходного количества ⁴⁰К, дается уравнением

kt = 7,8×10^-4,

t = 7,8×10^-4 / k = 7,8×10^-4 / 4,6×10^-10 год^-1 = 1,7×10⁶ лет. Следовательно, вулканический пепел выпал приблизительно 1 700 000 лет назад; примерно такой же возраст имеют и найденные в нем скелеты.

---

* Это уравнение не должно смущать читателя даже в том случае, если он не изучал дифференциального исчисления и не знаком с уравнениями такого вида. Выражение, стоящее в левой части уравнения (10.1), есть скорость данной реакции — уменьшение концентрации реагирующего вещества в единицу времени. Выражение в правой части показывает, что эта скорость уменьшения концентрации пропорциональна самой концентрации. (10.1)

** Эти числа не абсолютно точны. Молекулы распадаются случайно, и это происходит со средней скоростью, определяемой уравнением (10.1); следует ожидать некоторого статистического разброса относительно этой скорости. Разброс измеряется корнем квадратным из числа разложившихся молекул. В теории вероятностей показано, что для ожидаемого числа n независимых событий стандартное отклонение (среднеквадратичная ошибка) равно $sqrt{n/2}=0,7071sqrt{n}$, вероятная ошибка (включающая половину наблюдений) равна $0,4769sqrt{n}$ и средняя ошибка равна $sqrt{n/pi}=0,5642sqrt{n}$. Относительная ошибка (отношение ошибки к ожидаемому числу), как не трудно заметить, пропорциональна n^-½.Чтобы уменьшить вдвое относительную ошибку, число наблюдений следует увеличить и четыре раза.

3* При этом в результате других реакций, протекающих при разложении азометана, образуются и иные продукты.