Координаты критической точки как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Критические точки и экстремумы функции
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Достаточное условие существования экстремума
Задача пример №117
Задача пример №118
Задача пример №119
Задача пример №120
Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) — максимум

При имеем (1;-1) — минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Объемы подобных фигур

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Построение графиков функции с помощью производной

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Лекции:

Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
Доказательство неравенств
Системы уравнений
Максимальные и минимальные значения функции
Действия с корнями
Отрицательное биномиальное распределение
Длина дуги кривой
Вычислить несобственный интеграл
Градиент функции: пример решения
Интеграл натурального логарифма

Источник

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.

О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы.

Функция y(x) = 3x² + 2x – 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка – это х₀=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y₀ = 3*(-1/3)² + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х₀ меняется с «плюса» на «минус», то х₀ есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х₀ ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х₀ мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = —arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = —arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = —arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = —arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

f_х? (x,y) = 0, f_у? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р₀(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f(x,y) – f(a,b)

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р₀. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р₀ имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р₀ экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Источник

Содержание:

Необходимое условие экстремума
Первое достаточное условие экстремума
Второе достаточное условие экстремума

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) geq fleft(x_{0}right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{prime}left(x_{0}right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
$f^{prime}left(x_{0}right)=0$ или $f^{prime}left(x_{0}right)$ не существует;
производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:

найти производную $f^{prime}(x)$;
найти критические точки, то есть такие значения $x$,
в которых $f^{prime}(x)=0$ или
$f^{prime}(x)$ не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y^{prime}=left(x^{4}-1right)^{prime}=4 x^{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{prime}(x)=0$:

$y^{prime}=4 x^{3}=0 Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-infty ; 0)$ производная
$y^{prime}(x) lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+infty)$ производная
$y^{prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
первая производная $f^{prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
$f^{prime prime}(x) neq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{prime prime}left(x_{0}right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{prime prime}left(x_{0}right) lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y^{prime}(x)=left(frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}right)^{prime}=frac{2 xleft(x^{2}+1right)-left(x^{2}-1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y^{prime}(x)=0 Rightarrow frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=0 Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y^{prime prime}(x)=left(frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}right)^{prime}=frac{4left(x^{2}+1right)^{2}-4 x cdot 2left(x^{2}+1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{4}}=$

$=-frac{4left(3 x^{2}-1right)}{left(x^{2}+1right)^{3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{prime prime}(0)=-frac{4 cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{min }=y(0)=frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при
достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и,
наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой
максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x)
при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой
окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого
значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой
функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений,
приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это
означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки,
прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и
представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она
достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной
функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать
следующим образом:

y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно
переписать равенство в следующем виде:

4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ — 3x² + 3x — 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после
перемены местами слагаемых:

(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x — 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x — 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x — 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является
точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для
функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся
уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D < 0

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что
невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки
производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать
вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает
значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в
соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее
максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график
производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в
это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также
изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если
же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из
положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется
на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно
приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем
виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x < 3/2, то производная y’ < 0, и при этом функция убывает.

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой
минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с
которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не
существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не
может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции
подразумевается та точка, при пересечении с которой производная
приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует
в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно
дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых
х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее
производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x<0, тогда:

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Источник

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох.

Такие точки называют стационарными. Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то функция принимает локальный минимум. Если с «+» на «-» должны локальный максимум.

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках

Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1)
2)
3)
4)
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

Источник

Как найти критические точки по уравнению

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

2. Отыскание точек экстремума

Теория:

Теорема 3. Если функция (y=f(x)) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (X) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) > 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы:

1. найдём производную f ′ ( x ) .

2. Определим стационарные и критические точки.

3. Нанесём стационарные и критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы (1), (2) и (4), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /₂, f(3)=3 8 /₈₁
Ответ: f_min= 5 /₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

источники:

http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/proizvodnaia-primenenie-proizvodnoi-dlia-issledovaniia-funktcii-9147/issledovanie-funktcii-na-monotonnost-i-ekstremumy-11226/re-8c9017fb-9609-45ff-addb-15e7a264bda1

http://math.semestr.ru/math/minmax.php

Источник