Критерий пирсона число степеней свободы как найти

Критерий Пирсона.

Достоинством
критерия Пирсона является его
универсальность: с его помощью можно
проверять гипотезы о различных законах
распределения.

1.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении. Пусть
получена выборка достаточно большого
объема п
с большим количеством различных значений
вариант. Для удобства ее обработки
разделим интервал от наименьшего до
наибольшего из значений вариант на s
равных частей и будем считать, что
значения вариант, попавших в каждый
интервал, приближенно равны числу,
задающему середину интервала. Подсчитав
число вариант, попавших в каждый интервал,
составим так называемую сгруппированную
выборку:

варианты………..х₁
х₂
… х_s

частоты………….п₁
п₂
… п_s
,

где х_i
– значения середин интервалов, а п_i
– число вариант, попавших в i-й
интервал (эмпирические частоты). По
полученным данным можно вычислить
выборочное среднее

и выборочное среднее квадратическое
отклонение σ_В.
Проверим предположение, что генеральная
совокупность распределена по нормальному
закону с параметрами M(X)
=
,
D(X)
=
.
Тогда можно найти количество чисел из
выборки объема п,
которое должно оказаться в каждом
интервале при этом предположении (то
есть теоретические частоты). Для этого
по таблице значений функции Лапласа
найдем вероятность попадания в i-й
интервал:

,

где а_i
и b_i
— границы
i-го
интервала. Умножив полученные вероятности
на объем выборки п, найдем теоретические
частоты: п_i
=n·p_i.
Наша цель –
сравнить эмпирические и теоретические
частоты, которые, конечно, отличаются
друг от друга, и выяснить, являются ли
эти различия несущественными, не
опровергающими гипотезу о нормальном
распределении исследуемой случайной
величины, или они настолько велики, что
противоречат этой гипотезе. Для этого
используется критерий в виде случайной
величины

.
(7)

Смысл ее очевиден:
суммируются части, которые квадраты
отклонений эмпирических частот от
теоретических составляют от соответствующих
теоретических частот. Можно доказать,
что вне зависимости от реального закона
распределения генеральной совокупности
закон распределения случайной величины
(7) при

стремится к закону распределения

с числом степеней свободы k
= s
– 1 – r,
где r
– число
параметров предполагаемого распределения,
оцененных по данным выборки. Нормальное
распределение характеризуется двумя
параметрами, поэтому k
= s
– 3. Для
выбранного критерия строится правосторонняя
критическая область, определяемая
условием

(8)

где α
– уровень значимости. Следовательно,
критическая область задается неравенством

а область принятия гипотезы —
.

Итак, для проверки
нулевой гипотезы Н₀:
генеральная совокупность распределена
нормально – нужно вычислить по выборке
наблюдаемое значение критерия:

,
(7`)

а по таблице
критических точек распределения χ²
найти критическую точку
,
используя известные значения α и k
= s
– 3. Если

— нулевую гипотезу принимают, при

ее отвергают.

Пример.
Результаты исследования спроса на товар
представлены в таблице:

Стоимость, руб.	120–160	160–180	180–200	200–220	220–280
Кол-во, шт.	5	10	14	12	9

Выдвинуть
гипотезу о виде распределения и проверить
её на уровне значимости =0,01.

I. Выдвижение
гипотезы.

Для указания вида
эмпирического распределения построим
гистограмму

120
160 180 200 220 280

По
виду гистограммы можно сделать
предположение о нормальном законе
распределения изучаемого признака в
генеральной совокупности.

II.
Проверим выдвинутую гипотезу о нормальном
распределении, используя критерий
согласия Пирсона.

1.
Вычисляем
,
_В.
В
качестве вариант возьмём среднее
арифметическое концов интервалов:

;

.

2.
Найдём интервалы (Z_i;
Z_i+1):

;

.

За
левый конец первого интервала примем
(-),
а за правый конец последнего интервала
— (+).
Результаты представлены в табл. 4.

3.
Найдем теоретические вероятности Р_i
и теоретические частоты

(см. табл. 4).

Таблица
4

i	Граница интервалов	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi= Ф(Zi+1)-Ф(Zi)
	xi	xi+1	Zi	Zi+1
1	120	160	-	-1,14	-0,5	-0,3729	0,1271	6,36
2	160	180	-1,14	-0,52	-0,3729	-0,1985	0,1744	8,72
3	180	200	-0,52	0,11	-0,1985	0,0438	0,2423	12,12
4	200	220	0,11	0,73	0,0438	0,2673	0,2235	11,18
5	220	280	0,73	+	0,2673	0,5	0,2327	11,64

4.
Сравним эмпирические и теоретические
частоты. Для этого:

а)
вычислим наблюдаемое значение критерия
Пирсона.

Вычисления
представлены в табл.5.

Таблица
5

i
1	5	6,36	-1,36	1,8496	0,291
2	10	8,72	1,28	1,6384	0,188
3	114	12,12	1,88	3,5344	0,292
4	12	11,18	0,82	0,6724	0,060
5	9	11,64	-2,64	6,9696	0,599
	50	50

б) по
таблице критических точек распределения
²
при заданном уровне значимости =0,01
и числе степеней свободы k=m–3=5–3=2
находим критическую точку
;
имеем
.

Сравниваем

c

.

.
Следовательно,
нет оснований отвергать гипотезу о
нормальном законе распределения
изучаемого признака генеральной
совокупности. Т.е. расхождение между
эмпирическими и теоретическими частотами
незначимо (случайно). ◄

Замечание.
Интервалы, содержащие малочисленные
эмпирические частоты (n_i<5),
следует объединить, а частоты этих
интервалов сложить. Если производилось
объединение интервалов, то при определении
числа степеней свободы по формуле K=m-3
следует в качестве m
принять число оставшихся после объединения
интервалов.

Пример.
По выборке из 24 вариант выдвинута
гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности. Используя
критерий Пирсона при уровне значимости

среди заданных значений

= {34, 35, 36, 37, 38} указать: а) наибольшее, для
которого нет оснований отвергать
гипотезу; б) наименьшее, начиная с
которого гипотеза должна быть отвергнута.

Найдем число
степеней свободы

с помощью формулы:

,

где
—
число групп выборки (вариант),

— число параметров распределения.

Так как нормальное
распределение имеет 2 параметра (
и
),
получаем

.

По таблице
критических точек распределения
,
по заданному уровню значимости

и числу степеней свободы

определяем критическую точку
.

В случае а) для
значений
,
равных 34 и 35, нет оснований отвергать
гипотезу о нормальном распределении,
так как
.
А наибольшее среди этих значений
.

В случае б) для
значений 36, 37, 38 гипотезу отвергают, так
как
.
Наименьшее среди них
.◄

2.
Проверка гипотезы о равномерном
распределении.
При использовании критерия Пирсона для
проверки гипотезы о равномерном
распределении генеральной совокупности
с предполагаемой плотностью вероятности

необходимо, вычислив
по имеющейся выборке значение
,
оценить параметры а
и b
по формулам:

, (9)

где а*
и b*
— оценки а
и b.
Действительно, для равномерного
распределения М(Х)
=
,
,
откуда можно получить систему для
определения а*
и b*:
,
решением которой являются выражения
(9).

Затем, предполагая,
что
,
можно найти теоретические частоты по
формулам

Здесь s
– число интервалов, на которые разбита
выборка.

Наблюдаемое
значение критерия Пирсона вычисляется
по формуле (7`), а критическое – по таблице
с учетом того, что число степеней свободы
k
= s
– 3. После
этого границы критической области
определяются так же, как и для проверки
гипотезы о нормальном распределении.

3.
Проверка гипотезы о показательном
распределении. В
этом случае, разбив имеющуюся выборку
на равные по длине интервалы, рассмотрим
последовательность вариант
,
равноотстоящих друг от друга (считаем,
что все варианты, попавшие в i
– й интервал, принимают значение,
совпадающее с его серединой), и
соответствующих им частот n_i
(число вариант
выборки, попавших в i
– й интервал). Вычислим по этим данным

и примем в качестве оценки параметра λ
величину
.
Тогда теоретические частоты вычисляются
по формуле

Затем сравниваются
наблюдаемое и критическое значение
критерия Пирсона с учетом того, что
число степеней свободы k
= s
– 2.

Пример.
Для выборки, интервальный статистический
ряд которой имеет вид

Номер интервала	Границы интервала	Эмпирические частоты
1	2 – 5	6
2	5 – 8	8
3	8 – 11	15
4	11 – 14	22
5	14 – 17	14
6	17 – 20	5

проверить при
уровне значимости α
= 0,05 гипотезу о:

а) показательном;
б) равномерном; в) нормальном законе
распределения генеральной совокупности
с помощью критерия Пирсона.

Объем выборки п
= 70. Будем считать вариантами середины
частичных интервалов: х₁
= 3,5, х₂
= 6,5,…, х₆
= 18,5.

Найдем

= 11,43; σ_В
= 4,03; s
= 4,05.

а) Вычислим
теоретические частоты в предположении
о показательном распределении генеральной
совокупности при

аналогично


Наблюдаемое значение критерия

Критическая точка χ²(0,05;4)=9,5;

и гипотеза о показательном распределении
отклоняется.

б) Для равномерного
распределения

теоретические
частоты:

Наблюдаемое значение критерия
Критическая
точка

и гипотеза о равномерном распределении
отклоняется.

в) Теоретические
частоты для нормального распределения:

Так же вычисляются

Наблюдаемое значение критерия

Критическая точка

Поскольку

гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности принимается.
◄

Критерий
Колмогорова.

Этот критерий
применяется для проверки простой
гипотезы Н₀
о том, что независимые одинаково
распределенные случайные величины Х₁,
Х₂,
…, Х_п
имеют заданную непрерывную функцию
распределения F(x).

Найдем функцию
эмпирического распределения F_n(x)
и будем искать границы двусторонней
критической области, определяемой
условием

.
(10)

А.Н.Колмогоров
доказал, что в случае справедливости
гипотезы Н₀
распределение статистики D_n
не зависит от функции F(x),
и при

где

—
(11)

— критерий
Колмогорова, значения которого можно
найти в соответствующих таблицах.
Критическое значение критерия λ_п(α)
вычисляется по заданному уровню
значимости α
как корень уравнения
.

Можно показать,
что приближенное значение вычисляется
по формуле

,
где z
– корень уравнения

На практике для
вычисления значения статистики D_n
используется то, что

,
где

а

— вариационный ряд, построенный по
выборке Х₁,
Х₂,
…, Х_п.
Можно дать следующее геометрическое
истолкование критерия Колмогорова:
если изобразить на плоскости Оху
графики функций F_n(x),
F_n(x)
±λ_n(α)
(рис. 1), то гипотеза Н₀
верна, если график функции F(x)
не выходит за пределы области, лежащей
между графиками функций F_n(x)
-λ_n(α)
и F_n(x)
+λ_n(α).

Критерий согласия Пирсона

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $alpha =0,05$ — это $5 { % } $ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину begin{equation} label { eq1 } chi ^2=sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } qquad (1) end{equation}

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i’ -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $nto infty $ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило. Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $
2. По таблице критических точек распределения $chi ^2$ по заданному уровню значимости $alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $chi _ { кр } ^2 ( { alpha ,k } )$.
3. Если $chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие — то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $chi ^2$ в виде $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { n_i^2 } { n_i’ } -n } $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f( x )=frac { 1 } { b-a } xin left[ { a,b }right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $overline { x_b } $ и $sigma _b =sqrt { D_b } $. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = overline x _b -sqrt 3 sigma _b $, $b = overline x _b +sqrt 3 sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( { x_i ,x_ { i+1 } } )$ по формуле $ P_i =P( { x_i <X<x_ { i+1 } } )=intlimits_ { x_i } ^ { x_ { i+1 } } { f( x )dx=left. { frac { 1 } { b-a } x }right| { begin{array} { c } { x_ { i+1 } } \ { x_i } \ end{array} } } =frac { x_ { i+1 } } { b-a } -frac { x_i } { b-a } . $

3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n_i’ =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $alpha =0,05$ по таблицам $chi ^2$ найдём $chi _ { кр } ^2 $ по заданным $alpha $ и $k$, $chi _ { кр } ^2 ( { alpha ,k } )$.

5) По формуле $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $chi _ { набл } ^2 $.

6) Если $chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $overline x _b =13,00,,,sigma _b =sqrt { D_b } = 6,51$

2) $a=13,00-sqrt 3 cdot 6,51=13,00-1,732cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3) $P_i =P( { x_i <X<x_ { i+1 } } )=frac { x_ { i+1 } } { b-a } -frac { x_i } { b-a } $ $ P_1 =( { -1<X<3 } )=frac { 3 } { 22,55064 } -frac { -1 } { 22,55064 } =0,13303+0,04434=0,177375 $

$ P_2 =( { 3<X<7 } )=frac { 7 } { 22,55064 } -frac { 3 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_3 =( { 7<X<11 } )=frac { 11 } { 22,55064 } -frac { 7 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_4 =( { 11<X<15 } )=frac { 15 } { 22,55064 } -frac { 11 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_5 =( { 15<X<19 } )=frac { 19 } { 22,55064 } -frac { 15 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_6 =( { 19<X<23 } )=frac { 23 } { 22,55064 } -frac { 19 } { 22,55064 } =0,177375 $

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i’ =np_i $.

5) Найдём $sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $ и найдём $chi _ { набл } ^2 $.

Занесём все полученные значения в таблицу

begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } hline i& n_i & n_i’ =np_i & n_i -n_i’ & ( { n_i -n_i’ } )^2& frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } & Контроль~ frac { n_i^2 } { n_i’ } \ hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \ hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \ hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \ hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline & & & & & sum = chi _ { набл } ^2 =3,261119& chi _ { набл } ^2 =sum { frac { n_i^2 } { n_i’ } -n } =3,63985 \ hline end{array}

$chi _ { кр } ^2 ( { 0,05,3 } )=7,8$

$chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.

Предположим, что выполнено измерений некоторой случайной величины ξ : , …, , (4.4)

И есть основания полагать, что результаты распределены нормально с плотностью вероятности

. (4.5)

Параметры закона распределения и σ обычно неизвестны. Вместо неизвестных параметров подставляют значения их оценок, которые вычисляют по следующим формулам:

, (4.6)

. (4.7)

В качестве критерия проверки выдвинутой гипотезы примем критерий согласия Пирсона (критерий согласия “хи- квадрат”)

, (4.8)

Где – число интервалов, на которые разбито выборочное распределение, — частоты эмпирического распределения; – частоты теоретического распределения. Из формулы вытекает, что критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределений: чем меньше различаются и , тем меньше значение χ2.

Доказано, что при закон распределения случайной величины (4.8) независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения χ2 с степенями свободы. Число степеней свободы определяется равенством , где — число частичных интервалов; – число параметров предполагаемого распределения, которые были оценены. Для нормального распределения оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому .

В соответствии с процедурой проверки гипотезы следует вычислить наблюдаемое значение критерия. Чтобы вычислить частоты эмпирического распределения, весь интервал наблюдаемых значений делят на частичных интервалов (бинов) точками :

. (4.9)

определяют, подсчитав число измерений (4.4), которые попадают в — й интервал .

Используя теоретический закон распределения (4.5) можно рассчитать ожидаемое число Результатов измерений для каждого интервала . Вероятность того, что результат одного измерения попадает в интервал , равна

, (4.10)

Где – интегральный закон нормального распределения: . Учитывая, что функция распределения с параметрами и σ связана со стандартной нормальной функцией формулой , соотношение (4.10) можно записать в следующем виде:

. (4.11)

Поскольку проводится не одно, а измерений и эти измерения независимы, то их можно рассматривать как испытаний Бернулли, в которых “успехом” считается попадание результата измерения в интервал . Тогда числа вычисляются по формуле

(4.12)

(математическое ожидание числа “успехов” при испытаниях).

Для заданного уровня значимости по таблицам определяют критическое значение критерия. Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия делают, вывод о соответствии экспериментальных данных предполагаемому закону распределения.

Пример 4.1. Проверить с помощью критерия χ2 при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что выборка объема , представленная интервальным вариационным рядом в таблице 4.4, извлечена из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 4.4

Номер Интервала I	Границы Интервала	Частота
1	0 – 2	5
2	2 – 4	11
3	4 –6	17
4	6 – 8	10
5	8 – 10	7

Решение. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы: H0 – эмпирическое распределение соответствует нормальному; H1 — эмпирическое распределение не соответствует нормальному.

Для проверки нулевой гипотезы необходимо рассчитать наблюдаемое значение критерия χ2набл по формуле (4.8) и сравнить его с критическим значением χ2кр.

2. Определим параметры предполагаемого (теоретического) нормального закона распределения.

Найдем середины интервалов и относительные частоты . Получим следующие значения:

	1	3	5	6	7

Оценку математического ожидания найдем по формуле (4.1):

.

Оценки дисперсии и стандартного отклонения вычислим по формулам (4.2) и (4.3):

;

.

3. Выполним расчет теоретических частот по формуле (4.12). Для вычисления вероятностей по формуле (4.11) воспользуемся таблицей В Приложения со значениями нормальной стандартной функции распределения. При этом наименьшее значение, т. е. , полагаем равным , а наибольшее, т. е. , полагаем равным . Последовательно находим для интервала (-∞, 2)

и ;

Для интервала находим

и ;

Для интервала (4,6) соответственно :

;

Для интервала (6,8):

И ;

Для интервала вычислим

;

.

4. По формуле (4.8) найдем значение :

.

5. По таблице квантилей распределения χ2 (см. таблицу С Приложения) с числом степеней свободы находим, что χ2кр = 6,0 для .

Поскольку (), то можно считать, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит опытным данным.

Порядок выполнения лабораторной работы

В данной лабораторной работе задания 1 и 2 представляют собой контрольный пример, решение которого приводится ниже. Задания 3 и 4 составляют индивидуальное задание.

Задание 1. Для выборки из 40 значений случайной величины ξ, полученной в задании 1 работы 1, оценить близость эмпирического распределения к нормальному распределению:

А) построить интервальный вариационный ряд и гистограмму частот;

Б) построить на одном графике гистограмму относительных частот и график плотности нормального распределения.

Задание 2. При уровне значимостит 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием χ2 — критерия как критерия согласия.

Задание 3. Для выборки нормальной случайной величины, смоделированной в задании 3 работы 1, построить, на выбор, либо гистограмму частот, либо гистограмму относительных частот.

Задание 4. Пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли с нормальным распределением статистическое распределение из задания 3 работы 1.

Выполнение задания 1.

1. Подготовьте рабочий лист в EXCEL. Для этого выполните следующее:

· перейдите на новый лист и введите в ячейку B1 название таблицы ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ;

· назовите ярлык листа Гистограмма;

· разместите в ячейках A5:B24 выборку, которая была получена при выполнении задания 1.1 лабораторной работы 1 (40 значений нормальной случайной величины с параметрами и σ=0,5 ), либо выполнив копирование значений с листа Оценки, либо повторив процедуру моделирования выборки заданного закона распределения.

Создаваемая электронная таблица представлена в таблице 4.5 в режиме вычислений и в таблице 4.6 в режиме формул.

2. Для построения интервального вариационного ряда выполните следующие действия:

2.1. Произведите расчет длины частичных интервалов в ячейках C5:G5 по указанным в ячейках формулам и комментариям так, как указано ниже.

Ячейка Значение Ячейка Значение

C5 40 C4 объем выб.

D5 =МИН(A5:B24) D4 минимум

E5 =МАКС(A5:B24) E4 максимум

F5 =1+3,32*LOG10(C5) F4 k

G5 =(E5-D5)/F5 G4 вел. инт-ла

H5 =СРЗНАЧ(A5:B24) H4 оценка мат. ож.

I5 =СТАНДОТКЛОН(A5:B24) I4 несм. станд. откл.

2.2. Разместите массив значений границ интервалов в ячейках C9:D15 (в столбце С – значения левых границ, в столбце D – значения правых границ).

Выполните это так:

· для определения левой границы первого частичного промежутка введите в ячейку С9 формулу — =$D$5-$G$5/2;

· для определения правой границы введите в ячейку D9 формулу C9+$G$5;

· поскольку левая граница последующего частичного промежутка совпадает с правой границей предыдущего введите в ячейку С10 формулу — =D9;

· перенесите автозаполнением формулу из ячейки С10 на диапазон С11:C15, а формулу из D9 – в ячейки D10:D15;

· в ячейку С8 введите текст Левый кон, в ячейку D8 – Правый кон.

3. Для построения гистограммы частот воспользуемся инструментом анализа Гистограмма. Выполните команду Сервис – Анализ данных – Гистограмма. В окне “Гистограмма” задайте параметры;

· введите в поле Входной интервал $A$5:$B$24, в поле Интервал карманов – $D$9:$D$15, в Выходной интервал – $E$8;

· установите флажок Вывод графика;

· нажмите OK.

На экране появятся выходная таблица и гистограмма. В левом столбце таблицы размещен Карман – так в MS Excel называется набор граничных значений частичных интервалов. Правый столбец содержит вычисленные значения частот.

Поместите полученную диаграмму (выделите и перетащите) так, чтобы левый верхний конец находился в ячейке J8.

4. Подготовим исходные данные для построения гистограммы относительных частот и графика плотности вероятности.

4.1. Расчет относительных частот произведите в ячейках G9:G15, для этого введите в ячейку G9 формулу =F9/$C$5 и перенесите ее на диапазон G10:G15.

4.2. При построении гистограммы используются значения плотности относительных частот. Выполните расчет этих значений в ячейках H9:H15. Введите в ячейку H9 формулу =G9/$G$5 и скопируйте ее в ячейки H10:H15. Озаглавьте столбцы: введите в G8 текст Отн. част., в H8 – Плот. отн. част.

4.3. Сформируйте в ячейках I9:I15 массив значений плотности вероятности, по которым будет построен график. Указанные значения вычислите с использованием функции НОРМРАСП в граничных точках частичных интервалов, размещенных в ячейках D9:D15. Введите в I9 формулу

=НОРМРАСП(D9;$H$5;$I$5;0)

И перенесите ее на диапазон I10:I15.

5. Как отмечалось выше, площадь гистограммы относительных частот численно равна единице. Введите для контроля правильности вычислений в ячейку G16 текст Контроль, а в ячейку H16 – формулу =СУММ(H9:H15)*$G$5.

6. Для построения гистограммы и графика выполните следующие действия:

· выделите ячейки H9:I15, в которых размещены данные;

· нажмите кнопку Мастер диаграмм, откроется окно диалога;

· выберите вкладку “Нестандартные” и вид графика График! гистограмма, нажмите кнопку Далее;

· на втором шаге построения диаграммы выберите вкладку “Ряд”. Измените текст легенды (условного обозначения для рядов данных): в разделе Ряд выделите Ряд 1, перейдите в поле Имя и введите текст Плотность вероятности, затем выделите Ряд 2 и в поле Имя Наберите Плотность отн. частот;

· введите в поле “Подписи оси Х” диапазон D9:D15 и нажмите кнопку Далее;

· оформление гистограммы на третьем шаге можно опустить (либо выполните по своему желанию);

· на четвертом шаге задайте место размещения гистограммы –Имеющийся лист И нажмите OK.

Выполнение задания 2

1. Подготовьте рабочий лист. Для этого выполните следующие действия:

· перейдите на новый лист и введите в ячейку С1 название таблицы ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА;

· назовите ярлык листа Крит Пирсона;

· занесите в ячейку E2 значение заданного уровня значимости 0,05, а в С2 — Уровень значимости;

· перенесите содержимое столбцов A, B, C, D, а также четвертой и пятой строк с листа Гистограмма На лист Крит Пирсона.

Создаваемая электронная таблица представлена в таблице 4.7 в режиме формул и в таблице 4.8 в режиме вычислений.

Чтобы вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (4.7), для каждого частичного интервала необходимо найти значения эмпирической и теоретической частот.

2. Частоту появления значений выборки в построенных частичных интервалах (эмпирическую частоту) вычислите с помощью функции ЧАСТОТА, которая возвращает распределение частот в виде вертикального массива. Эта функция подсчитывает для данного множества значений и данного множества карманов (интервалов, в математическом смысле), сколько исходных значений попадает в каждый интервал. Выполните следующие действия:

· выделите ячейки E9:E15, в которые будет введена функция ЧАСТОТА (данная функция возвращает массив, поэтому она должна задаваться в качестве формулы массива);

· нажмите кнопку Вставка функции;

· в открывшемся окне диалога “Мастер функций” выберите функцию ЧАСТОТА из категории Статистические и нажмите кнопку OK;

· укажите в поле Массив данных диапазон $A$5:$B$24, в поле Двоичный массив – $D$9:$D$15 (массив верхних границ интервалов);

· не выходя из строки формул, одновременно нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter;

· введите в ячейку E7 текст Эмп. частота, в D16 – Число бинов, а в E16 – формулу для подсчета числа бинов

=СЧЕТ(E9:E15).

3. Расчет теоретической частоты по формулам (4.10) и (4.12) произведите в ячейках F9:H15. Выполните следующее:

· определите значения интегральной функции распределения на правом конце для каждого частичного промежутка, для чего введите в ячейку F9 формулу =НОРМРАСП(D9;$H$5;$I$5;1)

· и перенесите ее автозаполнением на диапазон F10:F14 (в ячейку F15 введите 1, поскольку );

· вычислите вероятность того, что результат одного измерения попадет в частичный интервал, для чего введите в ячейку G9 формулу: =F9-F8

И скопируйте ее на диапазон G10:G15;

· сосчитайте теоретические частоты, введя в ячейку H9 формулу:

=$C$5*G9

и автозаполнением перенесите ее на диапазон H10:H15;

Продолжение таблицы 4.7

K	Вел инт-ла	Оценка мат ож	Несм станд откл
=1+3,32*LOG10(C5)	=(E5-D5)/F5	=СРЗНАЧ(A5:B24)	=СТАНДОТКЛОН(A5:B24)
Ф р на пр конце	Вер	Теор частота
=НОРМРАСП(D9;$H$5;$I$5;1)	=F9-F8	=$C$5*G9	=(E9-H9)^2/H9
=НОРМРАСП(D10;$H$5;$I$5;1)	=F10-F9	=$C$5*G10	=(E10-H10)^2/H10
=НОРМРАСП(D11;$H$5;$I$5;1)	=F11-F10	=$C$5*G11	=(E11-H11)^2/H11
=НОРМРАСП(D12;$H$5;$I$5;1)	=F12-F11	=$C$5*G12	=(E12-H12)^2/H12
=НОРМРАСП(D13;$H$5;$I$5;1)	=F13-F12	=$C$5*G13	=(E13-H13)^2/H13
=НОРМРАСП(D14;$H$5;$I$5;1)	=F14-F13	=$C$5*G14	=(E14-H14)^2/H14
1	=F15-F14	=$C$5*G15	=(E15-H15)^2/H15
		Набл зн критерия	=СУММ(I9:I15)
		Крит зн критерия	=ХИ2ОБР($E$2;$E$16-3)

Таблица 4.8

		ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА
		Уровень значимости	0,05
Вариац. ряд	Объем выб.	Мин.	Макс	K	Вел. инт-ла	Оценка мат ожидания	Несм. станд. откл.
2,522	3,08504	40	2,52182	4,951854	6,318839171	0,3845703	3,904166	0,5240692
4,06	4,54702
4,475	3,99218	Левый кон.	Правый кон.	Эмп. частота	Ф. р. на пр..конце	Вер.	Теор. частота
2,868	4,18848
4,037	3,80175	2,3295	2,7141	1	0,011579055	0,0115791	0,463162	0,622233
4,496	3,86077	2,7141	3,09867	3	0,062146626	0,0505676	2,022703	0,4721948
4,173	3,9781	3,0987	3,48324	4	0,210934098	0,1487875	5,951499	0,6398973
4,163	3,29599	3,4832	3,86781	8	0,472348174	0,2614141	10,45656	0,577121
3,786	4,02087	3,8678	4,25238	15	0,746798016	0,2744498	10,97799	1,473542
3,549	3,96672	4,2524	4,63695	7	0,918983001	0,172185	6,887399	0,0018409
3,504	3,92577	4,637	5,02152	2	1	0,081017	3,24068	0,4749888
4,547	4,12434		Число бинов	7			Набл. зн. .критерия	4,2618178
4,318	4,30071						Крит. зн. критерия	9,487729
3,047	4,272
3,788	4,23425
4,13	3,98299
4,059	4,95185
3,184	3,20143
3,759	4,7737
3,766	3,43299

— поясните полученные результаты, для этого в ячейку F7 введите текст Ф. р. на пр. конце, в ячейку G7 – Вер., а в H7 – Теор. частота.

4. Вычислите слагаемые критерия Пирсона, для чего введите в ячейку I9 формулу

=(E9-H9)^2/H9

И автозаполнением перенесите эту формулу в ячейки I10:I15.

5. Наблюдаемое значение критерия вычислите по формуле (4.6) в ячейке I16, для чего введите формулу =СУММ(I9:I15).

6. Критическое значение критерия “хи-квадрат” для уровня значимости 0,95 и числа степеней свободы выведите в ячейке I17, набрав формулу

=ХИ2ОБР($E$2;$E$16-3).

Функция ХИ2ОБР возвращает обратную функцию для χ2-распределения.

В ячейку H16 введите текст Набл. зн. критерия, а в H17 – Крит. зн. критерия.

Так как наблюдаемое значение критерия, равное 4,26, меньше критического значения, равного 9,49, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергаем. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, смоделированные значения случайной величины согласуются с гипотезой о распределении случайной величины с заданным законом распределения.

Подготовить отчет:

1. Название работы и задание.

2. По две распечатки таблиц, созданных при выполнении заданий 3 и 4 (одна распечатка содержит результаты вычислений, другая – сами формулы).

3. Выводы по результатам выполнения задания 4.

< Предыдущая		Следующая >