Максимальное ускорение при гармонических колебаниях как найти

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.

Например, в случае механических гармонических колебаний:.

В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0 – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ+π/2 полностью совпадают.

гармоническими колебаниями

гармоническими колебаниями

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0  смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: фаза колебания.

Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

фаза колебания

Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.

Величина  максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости) — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

 максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости)

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: для скорости при гармоническом колебании,  а для случая нулевой начальной фазы для случая нулевой начальной фазы  (см. график).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени — вторая производная от координаты по времени. Тогда: Ускорение при гармоническом колебательном движении.

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).

Величина максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем

— максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: для ускорения имеем, а для случая нулевой начальной фазы: для случая нулевой начальной фазы (см. график).

максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях   и    Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях.

Можно записать: вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению —

т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению

Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде:  уравнения для колебаний,

где – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Аналогично для скорости и ускорения.

 уравнения для колебаний

Сила
Кориолиса равна:

,

где

точечнаямасса,векторугловой
скорости
вращающейся системы
отсчёта,
вектор скорости движения точечной массы
в этой системе отсчёта, квадратными
скобками обозначена операциявекторного
произведения
.

Величина
называется
кориолисовым ускорением.

24 вопрос

По физической природе

  • Механические(звук,вибрация)

  • Электромагнитные(свет,радиоволны,
    тепловые)

  • Смешанного типа— комбинации
    вышеперечисленных

По характеру взаимодействия с окружающей средой

  • Вынужденные
    колебания, протекающие в системе под
    влиянием внешнего периодического
    воздействия. Примеры: листья на деревьях,
    поднятие и опускание руки. При вынужденных
    колебаниях может возникнуть явлениерезонанса:
    резкое возрастание амплитуды колебаний
    при совпадениисобственной
    частоты
    осциллятораи частоты внешнего воздействия.

  • Свободные (или собственные)
    это колебания в системе под действием
    внутренних сил, после того как система
    выведена из состояния равновесия (в
    реальных условиях свободные колебания
    всегдазатухающие).
    Простейшими примерами свободных
    колебаний являются колебания груза,
    прикреплённого к пружине, или груза,
    подвешенного на нити.

  • Автоколебания
    колебания, при которых система имеет
    запаспотенциальной
    энергии
    , расходующейся на
    совершение колебаний (пример такой
    системы —механические
    часы
    ). Характерным отличием
    автоколебаний от вынужденных колебаний
    является то, что их амплитуда определяется
    свойствами самой системы, а не начальными
    условиями.

  • Параметрические
    колебания, возникающие при изменении
    какого-либо параметра колебательной
    системы в результате внешнего воздействия.

  • Случайные
    колебания, при которых внешняя или
    параметрическая нагрузка является
    случайным процессом.

Гармонические
колебания
— колебания, при которых
физическая (или любая другая) величина
изменяется с течением времени по
синусоидальному или косинусоидальному
закону. Кинематическое уравнение
гармонических колебаний имеет вид

или

,

где
х— смещение (отклонение)
колеблющейся точки от положения
равновесия в момент времени t;А
амплитуда колебаний, это величина,
определяющая максимальное отклонение
колеблющейся точки от положения
равновесия;ω— циклическая
частота, величина, показывающая число
полных колебаний происходящих в течение
2π секунд;
полная фаза колебаний,
начальная фаза колебаний.

Обобщенное
гармоническое колебание в дифференциальном
виде

(Любое
нетривиальное[1]решение этого дифференциального
уравнения — есть гармоническое
колебание с циклической частотой)

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость
– это производная от координаты по
времени

Таким образом, мы видим, что скорость
при гармоническом колебательном движении
также изменяется по гармоническому
закону, но колебания скорости опережают
колебания смещения по фазе на p/2.

Величина
— максимальная скорость колебательного
движения (амплитуда колебаний скорости).

Следовательно, для скорости при
гармоническом колебании имеем:
,

а для случая нулевой начальной фазы
(см. график).

Согласно определению ускорения, ускорение
– это производная от скорости по времени:

вторая производная от координаты по
времени. Тогда:
.

Ускорение при гармоническом колебательном
движении также изменяется по гармоническому
закону, но колебания ускорения опережают
колебания скорости на p/2
и колебания смещения наp(говорят, что колебания происходятв
противофазе)
.

Величина

— максимальное ускорение (амплитуда
колебаний ускорения). Следовательно,
для ускорения имеем:
,

а для случая нулевой начальной фазы:
(см. график).

Из анализа процесса колебательного
движения, графиков и соответствующих
математических выражений видно, что
при прохождении колеблющимся телом
положения равновесия (смещение равно
нулю) ускорение равно нулю, а скорость
тела максимальна (тело проходит положение
равновесия по инерции), а при достижении
амплитудного значения смещения –
скорость равна нулю, а ускорение
максимально по модулю (тело меняет
направление своего движения).

25 вопрос

Гармонические
колебания
— колебания, при которых
физическая (или любая другая) величина
изменяется с течением времени по
синусоидальному или косинусоидальному
закону. Кинематическое уравнение
гармонических колебаний имеет вид

или

,

где
х— смещение (отклонение)
колеблющейся точки от положения
равновесия в момент времени t;А
амплитуда колебаний, это величина,
определяющая максимальное отклонение
колеблющейся точки от положения
равновесия;ω— циклическая
частота, величина, показывающая число
полных колебаний происходящих в течение
2π секунд;
полная фаза колебаний,
начальная фаза колебаний.

Обобщенное
гармоническое колебание в дифференциальном
виде

(Любое
нетривиальное[1]решение этого дифференциального
уравнения — есть гармоническое
колебание с циклической частотой)

26 вопрос

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С течением времени смещение груза уменьшается относительно Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

здесь: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – начальная фаза, (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) фаза колебания с течением времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами.
Из математики известно, что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – время одного полного колебания:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами)

б) частота колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Единица Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
c) циклическая частота Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний за Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами секунд:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Найти:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула и решение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — масса шарика, закрепленного на пружине, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — проекция ускорения шарика вдоль оси Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — жесткость пружины, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами— постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами фаза колебания, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Сила тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и перпендикулярная нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Сила натяжения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и составляющая силы тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами «пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в проекциях на ось ОХ:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Приняв во внимание, что:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для уравнения движения математического маятника получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — длина математического маятника (нити), Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — ускорение свободного падения, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами также соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (а).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а колебания смещения на

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами имеет максимальное значение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а в точке равновесия максимальна: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

b) для математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами    (2)

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу I (2), получим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами груза в точке с

координатой х:    

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами маятника и амплитуду Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебаний. Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см. рис. 10) находим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу (2), получим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и (4) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В крайних положениях, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами модуль скорости маятника Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом выражений для координаты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и проекции скорости груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а также для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами находим его потенциальную энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, начальное смещение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную потенциальную, а начальная скорость Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите период Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебании маятника.
Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение

По закону сохранения механической энергии

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №2

Груз массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Его смешают на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите потенциальную Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение Потенциальная энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Кинетическая энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Циклическая частота:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
В начальный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами координата груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Отсюда начальная фаза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерамиГармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

Характеристики колебательного процесса

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Колебательное движение — одно из самых распространенных движений в природе и технике. Колеблются деревья в лесу, струны музыкальных инструментов, вагоны на стыках рельсов, в природе наблюдаются приливы и отливы, возникают землетрясения, колеблются атомы в кристаллической решетке и т. д. Физическая природа колебаний может быть различной. Например, качание маятника в часах — это механические колебания, колебания напряжения в сети переменного тока — это электрические колебания. Однако, различные колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями и имеют одинаковые характеристики. Характеристиками колебательного процесса являются: T — период, ν — частота, ω — круговая частота, A — амплитуда, φ — фаза.

Периодом T называется время одного полного колебания.

Частотой ν  называется число колебаний в единицу времени.

Связь между частотой и периодом дается формулой

В системе СИ период измеряется в секундах, а частота в герцах, .

Круговой или циклической частотой называется число колебаний за промежуток времени 2π секунд. Связь между круговой частотой ω и частотой ν выражается формулой

Связь ω с периодом T  дается уравнением

Амплитудой называется наибольшее отклонение (смещение) колеблющейся величины от положения равновесия.

Фазой называется величина, определяющая отклонение (смещение) колеблющейся величины в данный момент времени

где α — начальная фаза.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний

В природе и технике существует множество самых разнообразных колебаний. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид

или

где x — смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Уравнение гармонических колебаний, описываемое формулой (3.5) или (3.6), является решением так называемого дифференциального уравнения гармонических колебаний.

На рисунке представлен график зависимости смещения от времени для гармонических колебаний. На нем показаны амплитуда A и T период .

Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении

Пусть тело совершает колебания вдоль оси х, т. е.

Скорость в этом случае равна производной от координаты по времени

Из этой формулы видно, что скорость тоже меняется по гармоническому закону с амплитудой скорости

Максимальное значение скорости при гармонических колебаниях равно

Ускорение равно производной от скорости по времени

Ускорение тоже меняется по гармоническому закону. Амплитуда ускорения равна

Максимальное значение ускорения при гармоническом колебании равно амплитуде ускорения

Значение возвращающей силы находится по II закону Ньютона

Энергия гармонических колебаний

Колеблющееся тело обладает кинетической и потенциальной энергией.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки с массой m вычисляется по формуле:

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей колебания под действием упругой силы вычисляется по формуле

Полная энергия гармонических колебаний равна

Учитывая, что   

   получим

Из формулы следует, что полная энергия при гармонических колебаниях не зависит от времени, т. е. остается постоянной. Следовательно, выполняется закон сохранения механической энергии.

Второй важный вывод: энергия при гармонических колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Векторная диаграмма

При рассмотрении многих вопросов, в частности, при сложении колебаний одинакового направления и частоты бывает удобно гармоническое колебание представить в виде векторной диаграммы. Векторная диаграмма строится следующим образом: надо изобразить вектор, длина которого равна амплитуде, угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0, равной круговой частоте колебаний, то проекция его конца на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону.

На рисунке представлена векторная диаграмма для гармонического колебания

в момент времени t = 0.

Метод векторных диаграмм удобен при сложении колебаний одинаковой частоты.

Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Пусть надо сложить два колебания, которые определяются уравнениями

Представим каждое колебание в виде вектора и найдем по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 3.4).

Результирующее колебание равно сумме складываемых колебаний, т. е.

Так как угловая скорость ω0 у складываемых векторов одинакова, то результирующий вектор тоже вращается со скоростью ω0. Тогда уравнение результирующего колебания имеет вид

Результирующую амплитуду можно найти по теореме косинусов

По формулам приведения в тригонометрии

Тогда квадрат результирующей амплитуды равен

Результирующая амплитуда равна

Проанализируем выражение для амплитуды. Это выражение показывает, что значение амплитуды результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Если разность фаз (α2 — α1) = 2, где n = 0, 1, 2, …, то A = A1 + A2 — это максимальное значение для результирующей амплитуды. Если разность фаз (α2 — α1) = (2n+1)π, где n = 0, 1, 2, …, то A = A1 — A2 — это минимальное значение амплитуды. Следовательно, колебания в зависимости от разности фаз могут усиливать или ослаблять друг друга. Этот важный вывод используется при описании интерференции волн.

Задачи:

  1.  Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.
  2. Частота колебаний крыльев комара 600 Гц, а период колебаний крыльев шмеля 5 мс. Какое из насекомых сделает при полете больше взмахов крыльями за 1 мин и на сколько?
  3.  Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.
  4.  Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника при увеличении длины нити в 3 раза?
  5. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?
  6. Определить по графику, приведенному на рисунке амплитуду, период и частоту колебаний.

Найти максимальную силу, действующую на тело массой 100 грамм

7. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

8. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

9. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать 3/4 длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

10. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Задания и вопросы для самоконтроля

  1. Что называется колебаниями?
  2. Дайте определение периода, частоты, фазы, циклической частоты, амплитуды.
  3. Какие колебания называются гармоническими?
  4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника.
  5. Как вычислить скорость и ускорение гармонических колебаний?
  6. От чего зависит энергия гармонических колебаний?
  7. Как строится векторная диаграмма?
  8. Как сложить два гармонических колебания одинакового направления и частоты? От чего зависит результирующая амплитуда?

Механические колебания – то повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму. Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны cволнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования.

Отличие колебания от волны

Период колебаний T – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Частота колебаний ν – число полных колебаний в единицу времени. В системе СИ выражается в герцах (Гц).

Период и частота колебаний связаны соотношением:

Циклическая (или круговая) частота ω = 2πν. Она связана с периодом отношением:

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой:

где x0 – амплитуда, ω – циклическая частота, φ0 – начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:

где  – ускорение тела. Величина ω0 называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно 

Рис. 1. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Рис. 2. Смещение, скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Рис. 3. Пружинный маятник

В качестве примеров свободных колебаний можно привести пружинный и математический маятники. Пружинный (гармоническиймаятник – груз массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно. Круговая частота колебаний груза равна:

а период:

Рис. 4. Математический маятник

Математический маятник – тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной l. Круговая частота математического маятника равна:

а период колебаний:

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и свободные колебания становятся затухающими.

Рис. 5. График затухающих колебаний

Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

Если частота ν внешней силы совпадет с частотой  свободных колебаний системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Рис. 6. Чем меньше трение, тем больше амплитуда резонансных колебаний и тем острее пик на резонансной кривой

Костин Виталий

Источники информации: https://ru.wikipedia.org 

http://www.physbook.ru

                                        http://files.school-collection.edu.ru  

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Интернет мтс без доступа к интернету как исправить
  • Памятка как составить план сочинения
  • Если неправильно указан стаж в сзв стаж как исправить
  • Как найти что нибудь на странице
  • Электронная трудовая книжка как найти свои данные