Maple как найти область определения функции

5

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА № 7-2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

С помощью первой
и второй производных можно определить
характер изменения и поведения исходной
функции. В точках равенства нулю первой
производной функция может иметь локальный
экстремум (оптимум). Интервалы её
знакопостоянства определяют диапазоны
возрастания и убывания исходной функции.
Знак второй производной в точке,
подозрительной на локальный экстремум
(стационарной точке), определяет, будет
ли это максимум (значение отрицательно)
и минимум (значение положительно). Точки
равенства нулю второй производной
определяют точки перегиба функции, т.е.
точки, в которых функция изменяет
направление выпуклости. Все это можно
наблюдать, если на одном рисунке
отобразить графики функции и её первых
двух производных:

>
plot([y(x),diff(y(x),x),diff(y(x),x$2)],x=-Pi..Pi,

thickness=2,
color=black, linestyle=[1,4,7]);

На
этом рисунке график функции отображается
сплошной линией, первой производной
штриховой, а второй производной точечной
линией. В точке x=0
первая производная равна нулю, и в этой
же точке функция имеет локальный
максимум, тогда как в точках x=,
в которых опять-таки первая производная
принимает нулевое значение, функция
достигает локальных минимумов. В точках
x-0.788
и x0.788
вторая производная обращается в нуль,
а функция в этих точках меняет направление
выпуклости.

Пример.
Исследовать функцию

и построить ее график. Зададим функцию:

>
y:= x -> (2*x-1)/(x-1)^2;

Решение.
Будем исследовать функцию в соответствии
с общепринятой в математике схемой:

1. Область
   определения функции и её характерные
   точки (граничные, точки разрыва, точки
   пересечения графика с осями координат).

2. Определение
   чётности, нечётности или периодичности
   функции.

3. Промежутки
   знакопостоянства.

4. Промежутки
   возрастания/убывания функции и локальные
   экстремумы.

5. Промежутки
   выпуклости функции вверх и вниз и точки
   перегиба.

6. Вертикальные,
   горизонтальные и наклонные асимптоты.

7. График.
   Мы ещё будем строить совместные графики
   самой функции, её первой и второй
   производных.

1.
Функция определена на всей числовой
оси за исключением точки x=1,
в которой её знаменатель обращается
нуль. В этой точке функция имеет разрыв
второго рода, так как

>
Limit(y(x),x=1,left)=limit(y(x),x=1,left);

>
Limit(y(x),x=1,right)=limit(y(x),x=1,right);

Найдём
корни функции. Для этого решим уравнение
y(x)=0
относительно х:

>
solve(y(x)=0,x);

Функция
имеет единственный корень в точке x=1/2.

2.
Проверим чётность/нечётность функции.
Для этого необходимо вычислить её
значение при -x
и сравнить с помощью команды evalb
со значением при x.
Если они равны, то функция чётная, если
не равны – нечётная:

>
evalb(y(x)=y(-x));

>
evalb(y(x)=-y(-x));

Функция
является функцией общего вида, так как
тест на чётность/нечётность не прошёл.

3.
Для определения промежутков знакопостоянства
следует решить два неравенства y(x)>0
и y(x)<0:

>
solve(y(x)>0,x);

>
solve(y(x)<0,x);

Записывая
результаты решения неравенств в привычной
математической нотации, получаем, что
функция положительна в области (1/2, 1) 
(1, )
и отрицательна на интервале (-,
1/2).

4.
Для нахождения участков монотонности
функции следует вычислить её первую
производную и определить промежутки,
где она положительна (на них функция
возрастает) и отрицательна (на них
функция убывает):

>
solve(diff(y(x),x)>0,x);

>
solve(diff(y(x),x)<0,x);

Результаты
определения участков монотонности
таковы: на промежутке (0,1) функция
возрастает, а на интервалах (-,
0) и (1, )
функция убывает.

Чтобы
определить подозрительные на экстремум
точки, следует приравнять нулю первую
производную и найти корни полученного
уравнения:

>
solve(diff(y(x),x)=0,x);

Единственная
подозрительная на экстремум точка x=0.
Для определения, является ли эта точка
минимумом или максимумом, можно вычислить
в ней значение второй производной
функции. Если результат будет положительным,
то в этой точке минимум, если отрицательным,
то максимум, если равен нулю, то следует
использовать информацию о промежутках
монотонности функции:

>
eval(diff(y(x),x$2),x=0);

Полученное
положительное значение говорит о том,
что в точке x=0
наша функция имеет локальный минимум
со значением:

>
eval(y(x),x=0);

5.
Участки выпуклости определяются по
знаку второй производной. Если она
положительна, то функция на этом участке
выпукла вниз, если отрицательна, то
выпукла вверх:

>
solve(diff(y(x),x$2)>0,x);

>
solve(diff(y(x),x$2)<0,x);

На
интервале (-,
-1/2) функция выпукла вверх, а на интервалах
(-1/2,1) и (1, )
выпукла вниз.

Чтобы
определить точки перегиба, необходимо
знать корни уравнения y^’’(x)=0
и проверить, меняет ли вторая производная
знак при переходе через них:

>
solve(diff(y(x),x$2)=0,x);

С
учётом найденных участков выпуклости
вверх и вниз можно утверждать, что точка
x=-1/2
является точкой перегиба.

6.
Коэффициенты a,
b
уравнения наклонной асимптоты y=ax+b
определяются через вычисление пределов:

или
,

или
.

Если
указанные пределы существуют, то
существуют и наклонные асимптоты для
соответствующих бесконечный ветвей
графика функции (при стремлении x
к плюс или минус бесконечности). Вычислим
эти пределы для исследуемой нами функции:

>
alpha[1]:=limit(y(x)/x, x=+infinity);

>
alpha[2]:=limit(y(x)/x, x=-infinity);

>
a:=alpha[1];

>
beta[1]:=limit(y(x)-a*x, x=+infinity);

>
beta[2]:=limit(y(x)-a*x, x=-infinity);

>
b:=beta[1];

Анализ
значений пределов показывает, что у
графика исследуемой функции одна
горизонтальная асимптота ось абсцисс:

Замечание.
При присваивании коэффициентам а
и b
значений 
и 
следует выбирать вещественное значение,
если оно существует.

Вертикальными
асимптотами для графика функции могут
быть только прямые вида x=x₀,
где x₀
является точкой разрыва второго рода,
причем следует проверять пределы при
стремлении независимой переменной к
точке разрыва второго рода справа и
слева. Для нашей функции вертикальной
асимптотой будет прямая x=1
(см. нахождение области определения
функции).

7.
Построим график с помощью команды
plot().
Вертикальную асимптоту x=1
построим с помощью параметрического
задания.

>
plot([y(x),[1,t,t=-2..9]],x=-3..6,-2..9,

color=black,
thickness=2, linestyle=[1,7]);

Этот
же график можно построить с помощью
команды
implicitplot
пакета
plots:

>
with(plots):

>
implicitplot([y=(2*x-1)/(x-1)^2,x=1],x=-3..6,y=-2..9,

>
color=[red,black], thickness=2, linestyle=[1,7], numpoints=1500);

ЗАДАНИЯ.
1. Исследуйте по заданной схеме функцию

.

2.
Исследуйте функции своего варианта.

Соседние файлы в папке ЛАБ MAPLE ИС

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  15.02.2015160.34 Кб44полярная система координат.mw

• #

Важным разделом математики является исследование аналитических функций. Оно обычно заключается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек перегибов, разрывов и т. д.

Maple 16, как и более ранние версии этого пакета, позволяют студенту полностью исследовать функции и строить их графики.

С помощью функции fsolve легко находятся значения независимой переменной x функций вида f(x), при которых f(x)=0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции solve) изолировать корни функции f(x) указанием примерного интервала их существования. Ряд функций служит для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности.

Для исследования функций на непрерывность Maple 16 имеет функцию iscont, записываемую в ряде форм: iscont(expr, x=a..b), iscont(expr, x=a..b, ‘closed’) и iscont( expr, x=a.. b, ‘open’).

Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. В Maple 16 функция discont(f, х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменениях от $$-infty$$ до $$infty.$$ Результаты вычислений могут содержать особые экстра переменные с именами вида _Zn- и _NNn-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций.

Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular(ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.

Функция extrema позволяет найти экстремумы выражения ехрr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constraints и переменных vars, по которым ищется экстремум: extrema(expr, constraints), extrema(expr, constraints, vars) и  extrema(expr, constraints, vars, ‘s’).

Ограничения constraints и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной ‘s’. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список {}.

Функция extrema возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюдаются.

Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрr служат функции стандартной библиотеки: minimize(expr, opt1, opt2, …, optn) и maximize(expr,  opt1, opt2, …, optn).

Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций optl, opt2, … , optn можно указывать дополнительные данные для поиска.

Для вычисления пределов функции f в точке x=a используются следующие функции: limit(f,  x=a,  dir) и Limit(f,  x=a, dir).

Здесь f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, dir – параметр, указывающий на направление поиска предела (left — слева, right — справа, real — в области вещественных значений, complex — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).

Для нахождения производной применяют дифференциальный оператор, который можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Этот оператор позволяет сократить запись, т.е. D(f)=unapply(diff(f(x), x), x) а в форме D(f)(x) = diff(f(x), x). Для нахождения  n–й производной используют ([email protected]@n)(f).

Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде: plot(f, h, v) и plot(f, h, v,…) ,где f — визуализируемая функция (или функции), h — переменная с указанием области ее изменения по горизонтали, v — необязательная переменная с указанием области изменения функции по вертикали, далее может следовать параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.). Обычно записывают plot(f(x), x=a..b). Диапазон изменения независимой переменной x задается как a..b, где a и b — минимальное и максимальное значение x, .. (две точки) — составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя.

Помимо построения самой кривой f(x) необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика — специальных указаний для Maple. Графики обычно (хотя и не всегда) строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь, по крайней мере начинающий, может о них ничего не знать. Однако язык Maple 16 позволяет задавать управляющие параметры и в явном виде.

Пример

Исследовать функцию и построить график

$$y=frac{x^3}{x-1}$$

Исследуем функцию средствами Maple 16:

Построим график функции при помощи Maple 16:

Система Maple — патриарх в семействе систем
символьной математики. И поныне это весьма
привлекательная система для
математика-аналитика и научного работника. Даже
в среде MS-DOS Maple имеет неплохой интерфейс и
превосходно организованную обширную базу данных
помощи. Полнота ядра системы, хранящего более 2700
математических функций (у последней реализации
Maple их уже свыше 3000!) и правил их преобразования,
вполне заслуживает большого уважения. Весьма
привлекательное свойство этой системы —
подробная встроенная помощь и множество
примеров ко всем встроенным в нее функциям и
прикладным пакетам. Эти примеры легко
скопировать в окно редактирования системы и тут
же решить.

Рис. 1

На рис.1 приведен интерфейс системы Maple.
Разобраться в работе с системой не так сложно.

Достойна восхищения и математическая графика
системы Maple, в частности возможность изображения
пересекающихся трехмерных фигур с
функциональной окраской. Новейшие системы Maple
для Windows по возможностям графики стоят на одном
уровне с системами Mathematica.

К сожалению, фирма Waterloo Maple Inc. (Канада) —
разработчик системы Maple — больше блистала
математической проработкой своего проекта, чем
уровнем его коммерческой реализации. В силу
этого система Maple была доступна в основном узкому
кругу профессионалов. Сейчас эта фирма работает
совместно с более преуспевающей в коммерции и
проработке пользовательского интерфейса
математических систем фирмой MathSoft, Inc. —
создательницей весьма популярных и массовых
систем для численных расчетов Mathcad, ставших
международным стандартом для технических
вычислений.

Приведенные ниже примеры мы думаем вам помогут
получить первоначальные сведения о работе с
системой и как нам кажется не нуждаются в
комментариях для тех, кто хоть немного знаком с
компьютером.

Для начала приведем примеры применения функции
Maple, которые используются при исследовании
функций.

Примеры уравнений, систем уравнений:

1.> solve(x^3-2*x+1,x);
> evalf(%);
2.> eq := x^4-5*x^2+6*x=2;
> solve(eq,x);
3.> sys:={4*x1+7*x2-x3+3*x4=11, -2*x1+2*x2-6*x3+x4=4, x1-3-3*x2+4*x3-x4=0.3,3*x1-5*x2-7*x3+5*x4=8}; >
> solve(sys,{x1,x2,x3,x4});

Примеры анализа функций на непрерывность(
-функция непрерывна, -имеет разрыв, closed — показывает,
что конечные точки должны проверяться):

1.> iscont( 1/x, x=1..2 );
2.> iscont( 1/x, x=-1..1 );
3.> iscont( 1/x, x=0..1 );
4.> iscont( 1/x, x=0..1, ‘closed’ );

Примеры определения точек нарушения
непрерывности:

Примеры нахождение экстремума:

Примеры нахождение минимального значения- (minimize
— минимальное значение , maximize — максимальное
значение):

Примеры вычисления приделов (infinity —
бесконечность, — несуществует):

1.> limit(sin(x)/x, x=0);
2.> limit(exp(x), x=infinity);
3.> limit(exp(x), x=-infinity);
4.> limit(1/x, x=0, real);
5.> Limit(sin(x), x=0);

Примеры вычисления производных:

1.> diff(sin(x),x);
2.> diff(x*sin(cos(x)),x);
3.> diff(tan(x),x);
4.> Diff(tan(x),x);
5.> Diff(tan(x),x) = diff(tan(x),x);

Примеры вычисления неопределенных
интегралов:

Пример вычисления определенного интеграла:

> int( sin(x), x=0..Pi );

Примеры построение графиков:

1.> plot(cos(x) + sin(x), x=0..Pi);

2. > plot([sin(t), cos(t), t=-Pi..Pi]);

>

3.> plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1);

>

Задача 1. Найдем наибольшее и наименьшее
значения функции y=x³ — 1,5x² — 6x + 1 на
отрезке [-2; 0].

Решение.

1. Решаем задачу графически

> y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1;
> plot(y(x),x=-2..0);

2. Решаем задачу аналитически, т.е.
исследованием функции.

Находим и исследуем критические точки.

> y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; >
> diff(y(x),x);
> solve(3*x^2-3.0*x-6,x);
> x:=-2.;
> y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1;
> x:=-1.;
> y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1;

3. Проверяем функциями нахождения max и min.

Изложенные методы поиска наибольших и
наименьших значений функции применимы к решению
разнообразных прикладных задач. При этом
действуют по следующей схеме:

задача “переводится” на язык функций. Для
этого выбирают удобный параметр х, через который
интересующую величину выражают как функцию;

средствами анализа ищется наибольшее или
наименьшее значение этой функции на некотором
промежутке;

выясняется, какой практический смысл (в
терминах первоначальной задачи) имеет
полученный результат (на языке функций).

Задача 2. Из квадратного листа жести со стороной
а надо изготовить открытую сверху коробку,
вырезав по углам (рис.2) квадратики и загнув
образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона
основания коробки, чтобы ее объем был
максимальным?

Рис. 2

Решение. 1) Обозначим через х длину стороны
основания коробки. Тогда, длины сторон
вырезанных квадратиков равны (a-x)/2, а объем
коробки равен (a-x)x²/2. (Рис.3)

Рис. 3

По смыслу задачи число х удовлетворяет
неравенству 0 < х < a, т.е. принадлежит
интервалу (0; а). Таким образом, задачу мы свели
к следующей задаче: найти наибольшее значение
функции V(x)=(a-x)x²/2 на интервале (0;а).

Примем значение а=10.

Решение в системе Maple. Решаем тремя
предложенными способами:

• графически;
• исследованием функции;
• нахождением max.

> > diff(v(x),x);
> solve(-x^2/2+(10.0-x)*x,x);
> x:=0;
> v(x):=(10-x)*x^2/2;
> x:=6.66666;
> v(x):=(10-x)*x^2/2;
> maximize(v(x),x=0..10);

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 3. Дано бревно с круглым сечением
диаметра d. Требуется обтесать его так, чтобы
получилась балка с прямоугольным сечением
наибольшей прочности.

Указание. В теории сопротивления материалов
устанавливается, что прочность прямоугольной
балки пропорциональна произведению bh² , где
b — основание прямоугольника в сечении балки, в h —
его высота (Рис. 4).

Рис. 4

Задача 4. Пусть электрическая лампочка может
передвигаться (например, на блоке) по
вертикальной прямой OB (рис.) На каком расстоянии
от горизонтальной плоскости ОА ее следует
поместить, чтобы в точке А этой плоскости
получить наибольшую освещенность (угол ВАО — ) ? Рис.
5.

Указание. Освещенность J пропорциональна sinи
обратно пропорцианальна квадрату расстояния
r=АВ, т.е.

J=c sin/r² , где с зависит от силы
лампочки.

Рис. 5

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред.
   шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и
   др.; Под ред А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1993.
   -320с.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического
   анализа. Т. I: Учебник. -7-е изд. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.
   -416с.
3. Дьконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. — 672с.

2