Масштаб как найти длину отрезка

Длину отрезка
измеряем линейкой, рассчитывая по
формуле: d=l*M,
где l
– длина отрезка на карте в см,

М – знаменатель
масштаба.

D
– искомая длина в масштабе.

Сначала измеряем
данный отрезок обычной линейкой на
карте (более подробно в пункте 1.2). Таким
образом, мы получаем длину отрезка l
в см. Далее работаем с масштабом. В данном
случае он 1:50 000. Это значит, что 1 см на
карте соответствует 50 000 см на местности
или 500 м.

Теперь проведем
расчеты по формуле для отрезка А-В.

Его длина на карете
составляет 3 см, это соответствует 1 в
формуле:

А-В = l
_А-В
*M
= 3 см · 50 000см = 150 000см = 1 500м

Аналогично для
остальных отрезков.

С-D
= l
_С-D
*M
= 4 см · 50 000 см = 200 000см = 2 000м

M-N
= l
_M—N
*M
= 3 см · 50 000 см = 150 000см = 1 500м

E-F
= l
_E—F
*M
= 5 см · 50 000 см = 250 000см = 2 500м

O-L
= l
_O—L
*M
= 4 см · 50 000 см = 200 000см = 2 000м

1.4 Определение длин отрезков аналитическим способом

Определяем длины
отрезков аналитическим способом через
координаты конечных точек, на которые
опирается отрезок. Используем координаты
точек в прямоугольной системе координат
(результаты измерений прямоугольных
координат точек приведены в таблице
3).

Рассчитаем длину
отрезка А-В аналитическим способом.
Сначала вычтем координату Х_А
из Х_В
(руководствуемся правилом, что из
большего вычитаем меньшее число), т.е.

ΔХ = Х_В
— Х_А
= 6 082 200м – 6 081 000м = 1 200м

Теперь рассмотрим
координаты Y_А
и Y_В.
С ними проделаем ту же операцию, т.е.

ΔY
= Y_В
— Y_А
= 4 314 300м
– 4 313 400м = 900м

Чтобы найти длину
отрезка, надо извлечь корень квадратный
из суммы изменения соответствующих
координат, т.е.

А-В =
====1 500м

Аналогично для
остальных отрезков:

Для С-D:

ΔХ = Х_С
– Х_D
= 6 075 350м – 6 073 700м = 1 730м

ΔY
= Y_D
– Y_C
= 4 321 650м – 4 320 700м = 1000м

С-D
=====1 998м

Для M—N:

ΔХ = Х_N
– Х_M
= 6 081 700м – 6 080 500м = 1 200м

ΔY
= Y_N
– Y_M
= 4 308 200м – 4 307 300м = 900м

M-N
=====1 500м

Для E—F:

ΔХ = Х_E
– Х_F
= 6 074 000м – 6 072 400м = 1 600м

ΔY
= Y_F
– Y_E
= 4 317 400м – 4 315 480м = 1 920м

E-F
=====2 499м

Для O—L:

ΔХ = Х_O
– Х_L
= 6 080 820м – 6 080 200м = 620м

ΔY
= Y_L
– Y_O
= 4 321 100м – 4 319 200м =1 900м

O-L
=====1 998м

Таблица 2. Результаты
измерения отрезков.

2. Изучение условных знаков Условные знаки

На картах местность
изображают с помощью условных знаков,
которые делятся на пять видов:

1. Масштабные
   (площадные)
   – это условные знаки, которые изображают
   объекты, формы и размеры, которые могут
   передаваться в масштабе карты: земельные
   угодия (леса, луга, болота), водоёмы,
   улицы, здания населенных пунктов.

2. Внемасштабные
   – это условные знаки, изображающие
   объекты, которые необходимо занести
   на карту, но нельзя показать их в
   масштабе: колодцы, бензоколонки, пункты
   геодезической сети и т.д.

3. Линейные –
   это условные знаки, изображающие
   объекты, длина которых выражается в
   масштабе, а ширину невозможно показать
   в масштабе: линии электропередач,
   трубопроводы, неширокие реки.

4. Пояснительные
   — это условные знаки, которые представляют
   собой цифровые и буквенные надписи,
   характеризующие объекты. Например:
   глубина и скорость течения рек, порода
   леса, грузоподъемность и ширина мостов.
   Их проставляют на основании площадных,
   линейных, внемасштабных знаков.

5. Специальные
   – это условные знаки, которые составляют
   отдельные ведомства: геологии, почвоведы.

Копия условных
топографических знаков приведена на
странице 10.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Масштаб

Довольно часто в жизни мы пользуемся картами, чертежами, планами помещений, где все размеры значительно меньше натуральных. Потому что в натуральную величину изобразить, например, участки земной поверхности или планировку квартиры на небольшом листе бумаги невозможно. Вот и придумали изображать большие объекты в уменьшенном виде. Так, каждый отрезок на карте во много раз меньше соответствующего отрезка на местности. Чтобы соблюсти пропорции всех величин, ввели понятие «масштаб».

Масштаб это отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности, другими словами, к его реальной длине.

Определим масштаб карты, если известна действительная реальная длина отрезка и длина отрезка на чертеже или карте. Пусть длина отрезка на карте равна 1 см, а длина отрезка в действительности – 3 км.

3 км = 3000 м = 300000 см.

Тогда масштаб данной кары будет равен 1 : 300000. Говорят, что карта сделана в масштабе одна трехсоттысячная.

А как определить длину отрезка на карте, если указан масштаб и длина отрезка на местности?

Решим задачу:

Длина отрезка на местности равна 6,3 км. Найдите соответствующую длину отрезка на карте, сделанной в масштабе 1:100000. Такие задачи решаются с помощью пропорций. Поэтому вспомним, что такое пропорция.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Обозначим длину отрезка (в километрах) на карте буквой Х и составим пропорцию.

Х : 6,3 = 1 : 100000. Следовательно, х = 6,3 · 1 : 100000. Х = 0,000063 км.

0,000063 км = 6,3 см. Получаем, что длина отрезка на карте равна 6,3 см.

Рассмотрим еще одну задачу:

Длина отрезка на карте равна 2 см, масштаб карты равен 1:1000.

Необходимо найти длину отрезка на местности. Обозначим длину отрезка на местности через Х и найдем отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности, которое и будет равно масштабу карты. Т.е. составим пропорцию: 2 : Х = 1 : 1000. Решаем её: Х=2 · 1000 : 1. Х =2000 (см). Получаем, что длина отрезка на местности равна 2000 см, то есть 20 метров.

Определение расстояний и превышений по бумажной карте.
Определение расстояния.
Для определения горизонтального расстояния по обычной карте, следует измерить длину линии и пересчитать пропорционально масштабу. Прямую линию можно измерить линейкой или циркулем-измерителем, извилистую (например, при измерении длины дороги или реки) — курвиметром (прибором, который можно катать по карте, а «колесико» отчитывает сантиметры).
Пересчет измеренной длины ведется пропорционально масштабу:
например, измеренное расстояние 2,5 см, а масштаб карты 1:50000 (т.е. в 1 см — 500 метров), тогда
1 см = 500 м
2,5 см = x м
x = (2,5 см * 500 м) / 1 см = 1250 м (по свойству пропорции).

При определении расстояний по мелкомасштабной карте также можно опираться на следующие сведения:
длина дуги 1° экватора

≈ 111,3 км (длина экватора 40 075 км/ 360°);
длина дуги 1° параллели 15° ≈ 108 км, 30° ≈ 96 км, 45° ≈ 79 км, 60° ≈ 56 км, 75° ≈ 29 км
(длина дуги 1° экватора (111,3 км) * cos (угла широты параллели));
длина дуги 1° меридиана ≈ 111,1 км ≈ 111 км (длина меридиана 20 004 км/ 180°).

Определение превышений.
Превышения на топографической карте показывают горизонтали. Горизонтали — это изолинии, которые соединяют одинаковые уровни высот. Под масштабом указано через сколько метров проведены сплошные горизонтали (например, через каждые 10 метров, т.е. на уровнях 10м, 20м, 30 м и т.д.), пунктиром могут быть проведены полугоризонтали между основными (где необходимо подчеркнуть характер рельефа), каждая пятая горизонталь для улучшения восприятия утолщена, пики высот подписаны дополнительно. Подписи горизонталей принято размещать верхом текста в сторону повышения высот, а в сторону понижения склона размещаются черточки, прикреплённые перпендикулярно горизонталям — бергштрихи, указывающие куда со склона потечет вода.

На примере пунктирной линии превышение между ее концами примерно 73 метра. Правый край чуть выше 210 м (≈212 м), левый чуть ниже 140 м (≈139 м).
При построении профиля следует учесть, что чем ближе (чаще) расположены горизонтали друг к другу, тем круче спуск.
На мелкомасштабных физических картах вместо горизонталей используют цветовую высотную шкалу — зелеными тонами низины, коричневыми — горы.

Определение длины линии в трехмерном пространстве.
Если расстояние по горизонтали между точками 400 метров, а разница высот между этими точками 300 метров, то длина линии в трехмерном пространстве между точками будет составлять 500 метров (подсчёт аналогичен вычислению гипотенузы по теореме Пифагора).

Вести пересчёт имеет смысл только при построении маршрута в горном рельефе с резкими перепадами высот. При достаточно плоском равнинном рельефе или при измерениях по мелкомасштабным картам длина линии в трехмерном пространстве практически не будет отличаться от горизонтального расстояния, учитывать перепад высот в таких случаях не имеет смысла.
На заданиях ОГЭ/ЕГЭ и в школьных задачах под определением расстояния по прямой подразумевается расстояние по горизонтали, учитывать, что точки могут находиться на разных высотах и пересчитывать длину линии с учетом этого не нужно!Определение расстояний и превышений по электронной карте.
Большинство электронных карт имеют инструменты для измерения расстояний по прямой или по дорогам специальным функционалом, например, построением маршрута. При построении маршрута большинство электронных карт (например, Яндекс-карты) учитывают все изгибы дороги, но не пересчитывают расстояния с учетом перепада высот (к примеру, перейти через ущелье по подвесному мосту, или по кратчайшей прямой траектории, но без моста, спустившись вниз и затем поднявшись на другой берег — это разные расстояния). Некоторые приложения навигации (например Maps.me при переходе в режим пешеходной или велонавигации) просчитывают расстояния с учётом перепада высот и отображают превышения.

Точно таким же путем получим
длину отрезка a´b’ (см. рис. 8, в)

затем длины других отрезков
между перпендикуляром ОВ₁ и трансверсалью ОС: 6 м,     8 м, 10 м и т. д.

Для удобства пользования поперечным масштабом его
подписывают, как показано на рис. 1, в, снизу против перпендикуляров —
согласно А В = 200 м: 200, 0, 200, 400, 600 и т. д. и слева против
горизонтальных линий — согласно ab = 2 м: 0, 4, 8, 12 и т. д.

По этим подписям отсчитывают
расстояние, взятое с плана и отмеченное на рис. 1, в крестиками, при
этом одну ножку циркуля ставят на один из перпендикуляров с расчетом, что
другая ножка попадет на какую-либо трансверсаль и обе ножки должны стоять на
одной горизонтальной линии. Тогда определяемое расстояние между крестиками
(концами ножек циркуля-измерителя) будет

Поперечный масштаб при всех
его достоинствах не может обеспечить точность выше определенного предела,
зависящего от свойств человеческого глаза. Глаз человека в состоянии совмещать
острие ножки циркуля с точкой на плане, точку с точкой, штрих со штрихом с
точностью около 0,1 мм *, если они находятся на расстоянии 25 см от глаза. Из этого следует, что детали объектов местности (выступы, изгибы), выражающиеся на
плане линиями менее 0,1 мм, изобразить нельзя. Поэтому при изображении деталей
объектов местности на плане руководствуются точностью масштаба, которая
представляет длину горизонтального приложения линии на местности,
соответствующую 0,1 мм на плане. Например, точность масштаба 1 : 10
000 равна 1 м, масштаба 1 : 5000 — 0,5 м и др. В соответствии с точностью масштаба при изображении деталей объектов местности на плане и карте неизбежны
обобщения (генерализация).

Для определения точности
масштаба следует знаменатель численного масштаба М разделить на 10000. Для
карты масштаба 1:25000 точность  равна 2,5 м.

ЗАДАНИЕ №3

На условно увеличенном
графике нормального поперечногомасштаба утолщенными линиями обозначен раствор циркуля-измерителя, равный расстоянию между двумя точками
карты.

В табл.
4 приводятся номера линий и масштабы тех карт, на которых они измерены (рис. 2). Определить
длины соответствующих горизонтальных
проложений линий местности.

Решение. Основание
нормального поперечного масштаба равно 2 см. Влево от нуля оно разделено на 10 частей, следовательно, АВ
= 0,1 основания, т. е. АВ =
2 мм, a₁b₁= 0,01 основания =  0,1АВ = 0,2 мм, а₂b₂= 2а₁b₁ . . ., a₉b₉= 9а₁b₁.

Рис. 2 . Номограмма к заданию
№ 3

Если требуется
определить длину отрезка 1 из табл. 3 измеренного на карте масштаба
1 : 10 000, то вначале определяют расстояния на местности, соответствующие 2 см, 2 мм и 0,2 мм на карте в
масштабе 1 : 10 000 (2 см — 200 м, 2 мм — 20 м, 0,2 мм — 2 м), затем определяют  длину
отрезка 1. Она равна

2×200 м + 9х2 м +
6х20 м = 538 м.

Таблица  3

ЗАДАНИЕ №4

1. Построить поперечный масштаб
с помощью описания, изложенного в задании №2.

2. На топографической карте
(выдается преподавателем) определить с помощью двух ниже указанных способов и
поперечного масштаба длину объекта (участка дороги, реки и т.п.) или
расстояние, указанное преподавателем, представляющих собой:

1) 
ломаную линию;

2) 
извилистую линию.

Первый способ:

Длину ломаной линии
можно определить по сумме ее отрезков. Длину ломаной линии абвг на рис.
2, а  целесообразно измерять способом постепенного наращивания
раствора измерителя. Для этого устанавливают его иголки на длину l₁в точки а и б;
удерживая иголку в точке б и не изменяя раствора, поворачивают измеритель до продолжения отрезка вб
и закрепляют вторую иголку в точке а₁. Затем перемещают иголку
измерителя из точки б в точку в, получив в растворе измерителя суммарную длину
a₁б+,бв=l₁+l₂. Перемещая таким же образом иголку в точку а₂,
увеличивают раствор измерителя на
величину вг = l₃. Общую длину
ломаной линии,        выраженную в метрах местности, определяют по линейному или
поперечному
масштабу. Для контроля измерение выполняют в обратном направлении; при этом допустимое
расхождение двух результате определяют по
формуле

ΔS_доп=3·М·10^-4√n , где n – число установок измерителя.

Рис. 2. Два
способа измерения длины ломаной и извилистой линий

Длину извилистой линии можно измерить описанным выше
способом, разделив ее на
приблизительно прямолинейные отрезки.

Второй способ:

Длину извилистой линии можно определить путем многократного откладывания по кривой
постоянного раствора измерителя, величину
которого называют «шагом» (рис. 2, б) и выбирают в зависимости от извилистости линии порядка 2 — 5 мм. Длину вычисляют
умножением величины шага измерителя на число его полных перестановок плюс
остаток, измеренный с помощью поперечного масштаба. Контроль осуществляют измерением в обратном направлении.

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.