Математическое ожидание результата как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитать формула: M(X)=∑ Xi×Pi

M(X) = ∑ xi × pi
Где:
М — математическое ожидание,
X — случайная величина,
p — вероятность появления случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины рассчитать формула: M(X) = -∞+∞f(x) × x.dx

M(X) = ∫ f(x) × x.dx
Где:
М — математическое ожидание
f (x) — функция (которая будет предоставлена в условии задачи)
x — случайная величина
dx — элемент интегрирования

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.

Источник

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку «Вычислить».
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Источник

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое
среднее значение, вокруг которого
группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности
вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание Mдискретной случайной величины — это
среднее значение случайной величины,
равное сумме произведений всех возможных
значений случайной величины на их
вероятности.

Свойства математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной .
Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания .
Математическое ожидание произведения
двух независимых случайных величин
равно произведению их математических
ожиданий .
Математическое ожидание суммы двух
случайных величин равно сумме
математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных
свойств случайной величины необходимо
знание не только ее математического
ожидания, но и отклонения возможных ее
значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины— мера разброса случайной величины,
равная математическому ожиданию квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.

Принимая во внимание свойства
математического ожидания, легко показать
что

Казалось бы естественным рассматривать
не квадрат отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, а просто
отклонение. Однако математическое
ожидание этого отклонения равно нулю.
Это объясняется тем, что одни возможные
отклонения положительны, другие
отрицательны, и в результате их взаимного
погашения получается ноль. Можно было
бы принять за меру рассеяния математическое
ожидание модуля отклонения случайной
величины от ее математического ожидания,
но как правило, действия связанные с
абсолютными величинами, приводят к
громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

Дисперсия постоянной равна нулю.
Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
Если x и y независимые случайные величины
, то дисперсия суммы этих величин равна
сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением
случайной величины(иногда применяется
термин «стандартное отклонение случайной
величины») называется число равное.

Среднее квадратическое отклонение,
является, как и дисперсия, мерой рассеяния
распределения, но измеряется, в отличие
от дисперсии, в тех же единицах, которые
используют для измерения значений
случайной величины.

Решение задач:

1)Дана случайная величина Х:

x_i	-3	-2	0	1	2
p_i	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Найти М(х), D(X).

Решение:

=9=2,31.

2) Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2.
Найти математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9-XY.

Решение:М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.

Пример:Известно, чтоD(Х)=5,D(Y)=2. Найти
математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9.

Решение:D(Z)=6²D(Х)-2²D(Y)+0=180-8=172.

Тема 7. Непрерывные случайные величины

Задача 14

Случайная
величина, значения которой заполняют
некоторый промежуток, называется
непрерывной.

Плотностью распределениявероятностей непрерывной случайной
величины Х называется функцияf(x)– первая производная от функции
распределенияF(x).

Плотность
распределения также называют
дифференциальной
функцией.
Для описания дискретной случайной
величины плотность распределения
неприемлема.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что некоторая
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее интервалу (a,
b), равна определенному
интегралу от плотности распределения,
взятому в пределах от a
до b.

Функция распределения может быть легко
найдена, если известна плотность
распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная
функция.

2) Несобственный интеграл
от плотности распределения в пределах
от -доравен единице.

Решение задач.

1.Случайная величина подчинена
закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а,
определить вероятность того, что
случайная величина попадет в интервал
от 0 до.

Решение:

Для нахождения коэффициента авоспользуемся свойством.

2 .Задана непрерывная случайная
величинахсвоей функцией распределенияf(x).

Требуется определить
коэффициент А, найти функцию распределения,
определить вероятность того, что
случайная величинахпопадет в
интервал.

Решение:

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке
:

2) На участке

3) На участке

Итого:

Найдем вероятность попадания случайной
величины в интервал
.

Ту же самую вероятность можно искать
и другим способом:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Математическое ожидание

Чтобы определить такое понятие как математическое ожидание, представим себе некую случайную величину, которая имеет значения $ X_1, X_2 … X_n$. Каждое из значений может приниматься с определённой вероятностью. То есть каждому конкретному значению, соответствует своя вероятность и в целом они составляют ряд $ P_1, P_2 … P_n$

Определение 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины можно сложив числа, полученные умножением каждого значения величины на вероятность, соответствующую ей.

$M(X)= X_1cdot P_1 + X_2cdot P_2 + … + X_ncdot P_n$

Пример 1

Организован розыгрыш, в котором за каждый билет полагается приз. Всего есть 1000 билетов, призы в которых распределены следующим образом:

50 рублей — 300 призов
75 рублей — 200 призов
100 рублей — 200 призов
200 рублей — 150 призов
400 рублей — 100 призов
600 рублей — 50 призов

Какова величина среднего приза, который может быть получен по одному билету?

Решение

Вычислим средний выигрыш, который можно получить по билету как среднее арифметическое от всех выигрышей.

$ frac {50 cdot 300 + 75 cdot 200 + 100 cdot 200 + 200 cdot 150 + 400 cdot 100 + 600 cdot 50}{1000} = 150 $

Среднее арифметическое получается 150 рублей можно в среднем выиграть приобретя один билет. Интересно, что математически расчёт проводится практически точно так же, как вычисляется и математическое ожидание, ведь приведённое выше выражение можно представить в виде:

$ frac { 50 cdot 300}{1000} + frac { 75 cdot 200}{1000} + frac { 100 cdot 200}{1000} + frac { 200 cdot 150}{1000} + frac { 400 cdot 100}{1000} + frac { 600 cdot 50 }{1000}= 50 cdot frac { 300}{1000} + 75 cdot frac { 200}{1000} + 100 cdot frac { 200}{1000} + 200 cdot frac { 150}{1000} + 400 cdot frac { 100}{1000} + 600 cdot frac { 50 }{1000} $

И каждый из элементов $frac { 300}{1000}$, $ frac { 200}{1000}$, $ frac { 200}{1000}$, $ frac { 150}{1000}$, $ frac { 100}{1000}$, $ frac { 50 }{1000} $ соответствует вероятности, получить тот или иной приз. Таким образом, математическое ожидание приза, как случайной величины, имеет смысл среднего, наиболее вероятного, выигрыша.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Владелец завода решил выпускать новую продукцию. Рыночная цена нового изделия составит 300 рублей. Из этой суммы он получит 150 рублей, 100 рублей получит магазин, 50 рублей получат рабочие, которые трудятся на заводе. При этом, так как изделие новое, то неизвестно точно, сколько экземпляров удастся продать за конечный промежуток времени, например месяц. Есть только прогноз, что с определённой вероятностью будет продано некое определённое количество изделий:

500 штук будет продано с вероятностью 0,2, затраты на производство, не считая зарплаты рабочих, составят 100000;
1000 штук будет продано с вероятностью 0,4, затраты 150000;
2000 штук будет продано с вероятностью 0,25, затраты 200000;
3000 штук будет продано с вероятностью 0,10, затраты 250000;
4000 штук будет продано с вероятностью 0,05, затраты 300000;

Требуется вычислить прибыль, которую получит владелец завода.

Решение

Согласно условию «прибыль» является случайной величиной, так как она зависит от другой случайной величины — количества проданных изделий. Рассчитаем прибыль и математическое ожидание:

500 штук, прибыль $500 cdot 150 – 100 000=-25000$ вероятность 0,2;
1000 штук, прибыль $1000 cdot 150 – 150 000=0$ вероятность 0,4;
2000 штук, прибыль $2000 cdot 150 – 200 000=100 000$ вероятность 0,25;
3000 штук прибыль $3000 cdot 150 – 250 000=200 000$ вероятность 0,10;
4000 штук, прибыль $4000 cdot 150 – 300 000=300 000$ вероятность 0,05;

По полученным данным, рассчитаем математическое ожидание, согласно формуле из определения:

$M(X)= -25000cdot 0,2 + 0 cdot 0,4 + 100 000 cdot 0,25 + 200 000 cdot 0,10 + 300 000 cdot 0,05 = 55 000$

В результате получили, что математическое ожидание, которое характеризует среднюю ожидаемую прибыль в долгосрочной перспективе, составит 55 000 рублей.

Свойства математического ожидания

Свойство 1

Матожидание взятое от константы, то есть величины постоянной, будет равно самой этой же величине.

$E(C)=C$

Свойство 2

Если берётся матожидание от случайной величины умноженной на постоянную, то данную постоянную можно вынести за обозначение матожидания.

$E(CX)=Cdot E(X)$

Свойство 3

Матожидание от сложения или вычитания двух независимых случайных величин, можно представить как сложение или вычитание самих матожиданий от этих величин, взятых по отдельности.

$E(Xpm Y)=E(X) pm E(Y)$

Свойство 4

Если берётся матожидание от двух случайных величин умноженных друг на друга, то его можно представить как умноженные друг на друга математические ожидания от данных величин взятые по отдельности.

$E(Xcdot Y)=E(X) cdot E(Y)$

Свойство 5

Матожидание от суммы или разности случайной величины и константы, постоянной величины, можно представить в виде суммы или разности самого матожидания от случайной величины и этой же константы.

$E(Xpm С)=E(X) pm С $

Пример 3

Имеется три ёмкости заполненные белыми и чёрными шарами. Вероятность достать чёрный шар из первой ёмкости (событие $X_1$) составляет $P_1=0,4$, из второй ёмкости (событие $X_2$) $P_2=0,3$, из третьей ёмкости (событие $X_2$) $P_3=0,6$. Требуется рассчитать матожидание события X, при котором из всех ёмкостей будут вынуты только чёрные шары.

Решение

Событие заключающееся в том, что из ёмкости вынут чёрный шар является случайной величиной, которая может принимать исключительно два значения 1, если вынут чёрный шар, и 0, если вынут шар другого цвета. Поэтому математические ожидания от выполнения событий $X_1, X_2, X_3$ составят величины равные вероятностям данных событий. То есть

$M(X_1)=P_1=0,4$;

$M(X_2)=P_2=0,3$;

$M(X_3)=P_3=0,6$;

Событие состоящее в том, что из всех трёх ёмкостей вынуты только чёрные шары, тоже является случайной величиной и представляет собой сумму событий $X_1, X_2, X_3$:

$ X=X_1+ X_2+ X_3$

Значит можно записать:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)$

Согласно третьему свойству матожидания выражение примет вид:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)=M(X_1)+M( X_2)+ M(X_3)= 0,4+0,3+0,6=1,3$

Таким образом, математическое ожидание события X составляет 1,3.

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник

Азартные игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория, как и любая другая математическая теория, устанавливает свои законы и теоремы, которые приводят к некоторой путанице. Действительно, кажется странным, что случай может регулироваться законами, потому что если это так, и если мы знаем эти законы, мы можем выиграть в случайной игре — действительно несбыточная мечта. Первое, что нужно прояснить, это то, что случайной является игра, в которой игрок не может иметь никакого влияния на исход игры. Ни шахматы, ни спортивный бридж не являются случайными играми. А вот бросание монеты и рулетка — случайные игры.

Математическое ожидание

В некоторых играх, таких как обычная лотерея или бинго, игрок не принимает никакого участия, выходящего за рамки приобретения билета. Другие, такие как игры казино (рулетка и блэк джек), допускают более активное участие игрока, который может управлять ставками и выбирать тип игры. Вообще говоря, чем меньше участие, чем больше выигрыш.

В любом случае, у нас есть четкое ощущение, что в выигрыше всегда оказывается казино. Это потому, что с математической точки зрения, игра не является справедливой.

Понятие справедливой игры тесно связано с математическим ожиданием, которое впервые было введено голландским математиком Яном де Виттом (1625–1672) в трактате о пожизненной ренте (1671).

В игре, где известны вероятности событий, которые в ней происходят, математическое ожидание, обозначаемое буквой , представляет собой средний выигрыш за игру. Игра считается справедливой, когда математическое ожидание равно нулю. Посмотрим на примере, как найти математическое ожидание.

Предположим, что кто-то предлагает следующую игру: мы бросаем кости, если выпадает , то вы платите € , а если что-то другое, то вы выигрываете € . Первое, что нужно сделать, это вычислить вероятность каждого события.

Вероятность того, что выпадет , равна (один благоприятный случай из шести возможных), а вероятность выпадения любого другого числа равна .

Математическое ожидание рассчитывается как сумма всех вероятностей, умноженных на соответствующие доходы или убытки, (доход берем со знаком “плюс’’, убыток — со знаком “минус’’). В нашем случае математическое ожидание будет равно

Это сумма средней прибыли, которую получит наш противник, если мы согласимся на игру. Эта игра будет справедливой, если при выпадении чего-либо, отличного от , мы будем получать евро в случае подвижного, поскольку:

В некоторых случаях интуиция может помочь определить, является ли игра благоприятной, неблагоприятной или несправедливой, но существует много ситуаций, в которых эта интуиция не является полезным инструментом, и становится необходимым использовать карандаш и бумагу.

Есть множество примеров, которые показывают, как интуиция может ввести в заблуждение.

Например, на собрании, в котором участвуют человека, вероятность встретиться двум людям, имеющим день рождения в один и тот же день, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.

Вот еще один пример. Предположим, что два игрока и играют в следующую игру. Игрок случайным образом берет одну карту из колоды в карт.

Если у него валет, дама или король, игрок должен заплатить € , если туз, то игрок платит игроку €, и если любая другая карта, то также проигрывает , который должен заплатить игроку €. Кто выиграет? Сначала найдем вероятность каждого исхода.

В колоде 36 карт, из которых только валетов, королей и дам, поэтому вероятность вытянуть одну из этих карт:

Это средняя прибыль игрока . Ясно, что игра не является справедливой.

Источник: http://www.enriquegracian.com/articulos/esperanza-matematica

Источник: http://hijos.ru/2012/05/30/matematicheskoe-ozhidanie/

4.3.5. Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6.

Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx.

В данном случае Mx = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, …, xk с вероятностями p1, p2, …, pk. Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как . Записи и Mx эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей: Значит, Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph5/theory.html

Формула математического ожидания дискретной и случайной величины: расчет и пример

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

среднее значение;
средняя величина;
показатель центральной тенденции;
первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.
В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.
Оно может рассматриваться как:

средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

в случае, когда речь идет о постоянной величине С, ее математическое ожидание равно этой постоянной Мс=С;
вычисленное для суммы случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться сумме математических ожиданий данных величин M(х+у)=Мх+Му;
вычисленное для произведения случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться произведению математических ожиданий данных величин M(х•у)=Мх•Му;
при наличии постоянного множителя его можно располагать перед знаком математического ожидания М(СХ)=СМ(Х).

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина): 1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
полученную сумму делим на количество гномов: 6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Пример Б.
Рассчитать математическое ожидание для случайной дискретной величины при ее заданных значениях (х) и их вероятностях (р): х -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Рабочая формула — М(х)=4•0,2+6•0,3+10•0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов.

Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели.

Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете.

В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется.

В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

тактика управления капиталом;
стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW ) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

Источник: https://forex365.ru/indicators/formula-matematicheskogo-ozhidaniya.html

Оценки математического ожидания и дисперсии, их свойства. Примеры

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, при этом оба эти параметра неизвестны.

Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x1, x2, …, xN.

В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

Здесь в качестве xi рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через Xi случайную величину, являющуюся результатом i-го эксперимента, тогда реализациями Xi будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина Xi будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х. Также считаем, что случайные величины Xi и Xj являются независимыми при i, не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно истинному математическому ожиданию случайной величины m. Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

где — дисперсия оценки математического ожидания (2), а D — истинная дисперсия случайной величины X.

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

где вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом [1]:

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.

Тогда

Последнее равенство следует из того, что эксперименты независимы, а математическое ожидание случайной величины в каждом эксперименте равно 0. Подставляя (5) и (6) в (4), получим:

Отсюда следует, что оценка не является несмещенной — ее математическое ожидание равно не D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой вместо дисперсии D, мы получим систематическую ошибку. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину на (N-1)/N. Такую исправленную статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки:

Таким образом, если в результате N экспериментов мы располагаем набором N значений случайной величины
x1, x2, …, xN,
то для оценок математического ожидания и дисперсии необходимо воспользоваться следующими формулами:

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2016/01/blog-post_94.html

Математическое ожидание в спортивном беттинге

Нашел сегодня любопытную статью все с того же ресурса, где я чаще всего провожу свое время, когда дело касается ставок на спорт. Поэтому не мог не оставить ссылку на первоисточник сегодняшней статьи. А поговорим мы сегодня о том, что такое математическое ожидание в спортивном беттинге и какую роль оно играет в этой области азартных игр.

Математическое ожидание в ставках на спорт означает среднее (ожидаемое) значение размера выигрыша по сделанному пари. Вычисление данного показателя несет определенную ценность для беттора при сравнении котировок букмекерских контор. Далее в статье вы узнаете, как вычисление математического ожидания может помочь при прогнозировании выигрыша в спортивных ставках.

Математическое ожидание в спортивном беттинге – это сумма, которую беттор может выиграть или проиграть при многочисленном заключении пари с одинаковым коэффициентом.

Формула математического ожидания в ставках довольно проста и представляет собой следующее выражение: разность произведений значения вероятности выигрыша на сумму возможного выигрыша по ставке и значения вероятности проигрыша на сумму возможного проигрыша.

(Вероятность выигрыша * сумма выигрыша по ставке) – (вероятность проигрыша * сумма проигрыша по ставке).

Расчет математического ожидания наиболее просто увидеть в примере с подбрасыванием монетки. Допустим вы все время ставите на то, что выпадет решка. Вероятность выигрыша для вас составляет 50% (0.5), собственно аналогичному значению соответствует вероятность проигрыша, 50% (0.5). Сумма ставки соответствует 100 рублям. При выпадении решки ваш выигрыш составляет 110 рублей.

Рассчитываем математическое ожидание данной ставки: (0.5 * 110) – (0.5 * 100) = 5 рублей. Это означает, что если вы многократно будете ставить на то, что выпадет решка, ваш выигрыш в итоге в среднем составит 5 рублей.

Возьмем другой пример. Ожидается футбольный матч между командами Ливерпуль и Реал Мадрид. Букмекерская контора выставила на игру следующие котировки:

победа Ливерпуля – 3.30;
победа Реала Мадрид – 2.18;
ничья – 3.95.

Рассчитаем математическое ожидание для ставки на победу Ливерпуля. Стоит оговорится заранее, что в формуле будут использоваться значения вероятности, рассчитанные на основании коэффициентов букмекерской конторы. У типстера либо беттора может быть своя, отличная от букмекера, модель вычисления вероятности исходов в матче.

Рассчитать вероятность, используя котировки оператора спортивных ставок, довольно просто. Для этого необходимо единицу разделить на коэффициент исхода:

вероятность победы Ливерпуля – 1 / 3.30 = 0.303 или 30.3%;
вероятность победы Реала Мадрид – 1 / 2.18 = 0.459 или 45.9%;
вероятность ничьи – 1 / 3.95 = 0.253 или 25.3%.

Определили вероятность победы команды Ливерпуль, 0.303. Соответственно значение вероятности проигрыша составит 0.459 + 0.253 = 0.712. Сумму ставки, для примера, определим в 1 000 рублей. Тогда возможный выигрыш составит: 3.30 * 1 000 рублей – 1 000 рублей = 2 300 рублей.

Полученные данные добавим в формулу и вычислим математическое значение для нашей ставки: 0.303 * 2300 – 0.712 * 1000 = 696.9 – 712 = -15.1 рублей. Мы получили отрицательное математическое ожидание для данной ставки. Это означает, что в среднем размер проигрыша для такого пари в 1 000 рублей составляет 15.1 рублей.

Так в чем же истинная польза математического ожидания?

Необходимо понимать, что отрицательное математическое ожидание по ставке вовсе не означает, что данная ставка непременно окажется проигрышной. Также помните, что котировки букмекерских контор по своей природе являются субъективными.

Если вычисленная вами вероятность исходов матча по собственной модели (к примеру, близкая к распределению Пуассона) отличается от значений вероятности исходов, заложенных в коэффициентах букмекера, то возможно вы сможете найти ставку с положительным математическим ожиданием и это повысит вероятность выигрыша от такой сделанной ставки.

Также, используя расчеты математического ожидания ставок, бетторы смогут дополнительно почерпнуть информацию о ценности котировок, предлагаемые их букмекером. Ставки с минимальным отрицательным математическим ожиданием означают, что данный букмекер закладывает в коэффициенты низкую маржу.

Источник: стратегии ставок на Prognoznado.ru

Источник: https://www.sports.ru/tribuna/blogs/teoriavbettinge/1722875.html

Источник