Как найти координаты точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса , а на втором — ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью « x » называется абсциссой точки « А », а с осью y называется ординатой точки « А ».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3) .
Запомните! 
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси « x »), а на втором — ординату (координату по оси « y ») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси « Oy », то её абсцисса равна 0 . Например,
точка С (0, 2) . - Если точка лежит на оси « Ox », то её ордината равна 0 . Например,
точка F (3, 0) . - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0) .
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2) , надо:
- Отметить на оси « Ox », точку с координатой « −4 », и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Ox ».
- Отметить на оси « Oy », точку с координатой 2 , и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Oy ».
- Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка. У неё абсцисса равна « −4 », а ордината равна 2 .
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси « x » влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит « − ». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит « + ».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.
«Координаты на прямой»
Технология Перевернутый урок – это такая педагогическая модель, в которой типичная подача лекций и организация домашних заданий представлены наоборот. Учащиеся смотрят дома короткие видео-лекции, изучают тему по учебнику в то время как в классе отводится время на выполнение упражнений, обсуждение и дискуссий по теме.
Перевернутое обучение предполагает изменение роли преподавателей, которые сдают свои передовые позиции в пользу более тесного сотрудничества и совместного вклада в учебный процесс.
Тема урока: «Координаты на прямой».
Тип урока: Урок закрепления нового знания.
Цели урока:
- Дать всесторонние представления о новых числах.
- Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой.
- Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате.
Регулятивные:
- Учить ставить учебные задачи;
- Планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;
- Осуществлять контроль по результату;
Познавательные:
- Осуществлять анализ при поиске информации;
- Устанавливать причинно-следственные связи;
- Учить аргументировано отстаивать свою точку зрения;
Коммуникативные:
- Учить работать в команде;
- Учить строить диалог с партнёром, договариваться и приходить к общему решению проблемы;
- Формировать учебно-познавательную мотивацию.
Просмотр содержимого документа
«Тема Координаты на прямой»
Разработка урока по математике на основе технологии перевёрнуты класс с использование проблемной ситуации.
Тема урока: «Координаты на прямой».
Тип урока: Урок закрепления нового знания.
Дать всесторонние представления о новых числах.
Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой.
Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате.
Регулятивные:
Учить ставить учебные задачи;
Планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;
Осуществлять контроль по результату;
Познавательные:
Осуществлять анализ при поиске информации;
Устанавливать причинно-следственные связи;
Учить аргументировано отстаивать свою точку зрения;
Коммуникативные:
Учить работать в команде;
Учить строить диалог с партнёром, договариваться и приходить к общему решению проблемы;
Формировать учебно-познавательную мотивацию.
План урока:
— Решите уравнение: 1) 5 х =100 2) х +6=10 3) х +2=1 Какая проблема возникла при решении последнего уравнения?
Чтобы решить эту проблему вспомним всё что вы изучили дома самостоятельно.
Для решения третьего уравнения не нашлось числа, которое является корнем уравнения, то есть необходимо ввести новые числа.
Выходя из дома и глядя на термометр, мы фиксируем различную температуру, в зависимости от времени года.
Вопросы (слайды №10-12)
— какую температуру показывает термометр, как можно сказать о температуре воздуха, а записать, чтобы было понятно тепло на улице или холодно? (Помогают слова ниже нуля, выше нуля).
Сформируем цели урока.
Моя цель на уроке: (4 слайд)
Я хочу узнать о новых …
Я хочу научиться записывать …
Я хочу узнать, где применяются …
Я хочу научиться отмечать на…
1. Оргмомент. Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром». Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами.
— Какие числа нам уже известны к сегодняшнему уроку (натуральные (какие это числа?), обыкновенные дроби, десятичные дроби)?
— Какие задачи помогают нам решать эти числа (сложение, вычитание, умножение деление, нахождение дроби от числа и числа по его дроби, решать различные уравнения и задачи)?
Сегодня мы переходим к изучению второй главы нашего учебника «Рациональные числа», где расширим наши знания о числах, а изучив всю главу «Рациональные числа» научимся выполнять с ними все известные вам действия.
Д
ома Вы самостоятельно изучили тему «Координаты на прямой»
ПРЯМУЮ С ВЫБРАННЫМИ НА НЕЙ НАЧАЛОМ ОТСЧЕТА, ЕДИНИЧНЫМ ОТРЕЗКОМ И НАПРАВЛЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ.
ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ, НАЗЫВАЮТ КООРДИНАТОЙ ЭТОЙ ТОЧКИ.
Историческая справка об отрицательных числах (слайд № 13-15)
Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков, примерно во 2 веке до н.э. Более точно сказать трудно, т.к. император Ши Хуан Ди, разгневавшись на учёных, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить.
Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг, недостача. Именно так трактовал отрицательные числа греческий учёный Диофант, живший в 3 веке нашей эры и индийские математики Брахмагупта (VII век) и Бхаскара (XII век), которые столкнулись с ними при решении уравнений.
В Европе отрицательными числами начали пользоваться с 12-13 вв., но до 16 в., как и в древности, они понимались как долги, большинство учёных считали их «ложными» в отличие от положительных чисел – «истинных».
В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Знаки “+” и “-” широко использовали в торговле: знак “-” означал убыль, знак “+” — прибыль. Чех Ян Видман в 1489 году написал сочинение «Быстрый и красивый счет для всего купечества», в нем впервые появились знаки «+» (плюс), «-» (минус).
Всеобщее признание отрицательные числа получили лишь в первой половине 18 в., когда была развита строгая теория положительных и отрицательных чисел.
Что нужно знать, чтобы определить положение белки на дереве? Достаточно ли знать лишь расстояние от дупла?
Достаточно ли знать только расстояние, чтобы определить точное положение «Метеора»?
(надо знать еще и направление)
Какую температуру показывает каждый термометр?
Наглядно представить себе дробь может каждый, но как представить себе отрицательное число? Зачем же нужны такие числа?
Работа в группах (Каждой группе раздается разрезанная таблица. Первая группа выбирают, что можно выразить отрицательным число, вторая – нулем, третья – положительным).
Отрицательным числом выражается
Числом нуль выражается
Положительным числом выражается
Расход (денег, воды, топлива и т.п.)
Приход (денег, воды, топлива и т.п.)
Убыток (в рублях, копейках)
Прибыль (в рублях, копейках)
Температура ниже нуля градусов (точки замерзания воды или точки таяния льда)
Температура таяния льда (замерзания воды)
Температура выше нуля градусов
Глубина ниже уровня океана
Высота выше уровня океана
Время до нашей эры (в годах, веках)
Начало христианского летоисчисления (начало нашей эры)
Время нашей эры (в годах, веках)
Начертите горизонтальную прямую.
Отметьте на ней точку О (примерно посередине).
Будем называть эту точку начало отсчёта
3. Выберите единичный отрезок и отложите его вправо и влево от начала отсчета
(одну или две клетки)
4. Под каждой точкой подпишите соответствующее число.
Чем неудобна эта шкала? (Одно и то же число стоит под двумя разными точками).
Как выйти из этого затруднения?
В математике принято числа, которые идут влево от начала отсчета, записывать со знаком минус “-”.
Введение понятия положительных и отрицательных чисел.
Направление вправо от начала отсчета называется положительным, и направление на прямой обозначают стрелкой. Числа, расположенные вправо от точки О, называются положительными.
Влево от точки О располагают отрицательные числа, и направление влево от точки О называется отрицательным (отрицательное направление не указывается).
Отрицательные числа пишутся со знаком “-”.
Читают: “Минус один”, “Минус два”, “Минус три” и т.д.
Число 0 – начало отсчета не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно отделяет положительные от отрицательных чисел.
Координатная прямая. Что же такое координатная прямая?
Найти определение в учебнике стр 154
Определение: прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называется координатной прямой.
Задание: назвать среди этих прямых прямую, которая является координатной.
Координата точки.
Определение: число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.
Закрепление нового материала.
Работа в группах:
1
) Найдите по шкале высоты гор и глубины и морей и океанов?
2) Древнегреческий ученый Аристотель родился в 384 году, а умер в 322 году. Историк Плутарх родился в 46 году, умер в 127 году. Пифагор родился в 570 году и умер в 500 году. Кто из этих ученых родился раньше? Сколько лет прожил каждый из них?
(Пифагор 70 лет Аристотель 62г Плутарх 81г) Начертить координатную прямую.
Задача 3
Написать координаты точек А, В, С, Е, К, О, М.
Прочитать получившиеся записи.
Задача 4 Игровой момент: “Найди ошибку”.
На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D. А (2), В (- 3), С (- 2), D (- 4).
П. 26, вопросы стр. 154
№ 9 18 , №9 20 ,№906,№917(1) выполните три по выбору
Самоанализ урока
Перевернутый урок – это такая педагогическая модель, в которой типичная подача лекций и организация домашних заданий представлены наоборот. Учащиеся смотрят дома короткие видео-лекции, изучают тему по учебнику в то время как в классе отводится время на выполнение упражнений, обсуждение и дискуссий по теме.
Перевернутое обучение предполагает изменение роли преподавателей, которые сдают свои передовые позиции в пользу более тесного сотрудничества и совместного вклада в учебный процесс.
Урок проводился в 6 «б» классе, где половина ребят имеют хорошие, прочные знания, умения и навыки. Работоспособность на хорошем уровне. Хотя есть и такие, у которых отсутствует познавательный интерес: у трех ребят пробелы в фактических знаниях; несколько ребят с ослабленным зрением..
Это 92 урок из курса математика 6 класс, 1 урок в блоке «Положительные и отрицательные числа».
Исходя из особенностей класса и темы урока, думаю, обучающий аспект цели урока можно сформулировать так:
Дать всесторонние представления о новых числах.
Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой.
Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате.
Я считаю, что поставленные в начале урока задачи, были выполнены в полном объёме.
Как находить координаты точек?
Навык находить координаты точки, понадобится не только для решения задач по математике, но и пригодится в жизни. Ведь это умение ориентироваться по карте, строить чертежи, работать в некоторых графических редакторах и даже играть в морской бой. В статье представлена информация о том, как находить координаты точек.
Математические оси
Координата точки — величины, которые определяют ее положение.Точка может располагаться на плоскости или в трехмерном пространстве. Любая плоскость имеет две величины. В математике это ось абсцисс и ординат, в географии – широта и долгота. На примере математической оси разберем, как находить координаты точек. Для того, чтобы найти координаты точки на плоскости необходимо сделать следующее:
- Чертим две оси, которые пересекаются под прямым углом. Точка их пересечения – это начала отсчета, то есть ноль. Горизонтальная ось соответствует оси абсцисс, она же ось X, а вертикальная – ось ординат или Y.
- Первой находим значение абсциссы. Для того этого опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось. Это и есть ваше значение. Координата может иметь вид положительного числа, если точка лежит справа от оси ординат и отрицательного – если она расположена слева. Бывает, что точка лежит на оси Y. Получается, что сама ось и есть наш перпендикуляр. То есть значение абсциссы равняется нулю.
- Приступаем к определению значения ординаты. Для этого проводим перпендикуляр на ось Y. При расположении точки выше оси Х, это значение будет положительным, а ниже отрицательным. Если точка лежит на оси Х, то ордината точки равняется нулю.
- Координаты точки записываем в виде значений Х, Y, взятых в скобки. Например, если абсцисса равна 3, ордината – 4,5, то точка имеет координаты (3;-4,5).
Если перед вами стоит задача, как найти координаты точки в пространстве, она не так сложна, как кажется на первый взгляд. Все чем отличается определение значений заключается в введении дополнительной оси. То есть ваша точка будет иметь не 2, а 3 координаты. Обычно в математике третью ось называют Z. Если вам надо найти координаты точки, опустите на оси Х, Y и Z по перпендикуляру. Это и будет искомые значения.
Координаты точек на карте
Очень похоже определяются координаты точек на карте или глобусе. Только в этом случае они обозначаются градусами. Наша планета условно поделена горизонтальными линиями – параллелями и вертикальными – меридианами. Значения параллели называют широтой, а меридианы – долготой.
Широта
За точку отсчета широт принят экватор – линия, которая делит планету пополам, он имеет 0 0 широты. Широты, расположенные выше экватора называют северными, а ниже – южными. Для того чтобы установить значение широты, посмотрите на значение параллели, на которой расположена точка.
Долгота
Точка отсчета долгот – нулевой меридиан. Все долготы, расположенные правее называют восточными, левее западными. Значение координаты определяется по числу меридиана, на котором расположена точка.
Значение географических объектов записывается с указанием широты (северной или южной) и долготы (восточной или западной). Например, координаты Москвы будут выглядеть следующим образом: 55 0 северной широты и 37 0 восточной долготы.
Первые пять заданий ОГЭ 2020 по математике объединяет одна картинка, на которой изображен план участка. Под картинкой располагается текст, описывающий расположение объектов на этой картинке.
Для успешного выполнения этих заданий потребуется внимательность, умение логически мыслить, вычислять площадь прямоугольника, и применять теорему Пифагора.
Рассмотрим задачу из ДЕМО-версии ОГЭ 2020 по математике.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
План участка.
На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево,3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева — гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м. Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м×1м. Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв. м, вымощенная такой же плиткой.
К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Таблица соответствия объектов номерам на картинке.
Задание №2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?
Задание №3. Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание №4. Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Задание №5. Хозяин участка планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического отопления?
Цены на оборудование и стоимость его установки.
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Содержание материала
- Как найти орт вектора
- Видео
- Линейные операции над векторами
- Сложение векторов
- Умножение вектора на число
- Координаты и компоненты вектора
- Линейные операции над векторами в координатах
- Проекция вектора на ось
- Основные свойства проекций
- Смешанное произведение векторов
- Геометрический смысл смешанного произведения
- Смешанное произведение в координатах
Как найти орт вектора
Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.
Вам понадобится
Для начала необходимо вычислить длину вектора. Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.
Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a’ будет являться единичным для вектора а.
Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a’. Длина вектора a’ равна: a’ = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a’ равна единице, значит орт найден верно.
Линейные операции над векторами
Сложение векторов
Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: 
= а. От полученной точки А отложим вектор b: 
= b. Полученный в результате вектор
называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.
Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство
а + b = b + а (рис.9).
Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор 
, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.
Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: 
= а; от полученной точки А отложим вектор b: 
= b; отточки В — вектор с: 
= с (рис. 11). По определению суммы 
— а + b и 
= (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство
(а +b) + с = а + (b + с),
т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:
а + b + с.
Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:
Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.
Пример:
Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.
По правилу замыкающего ломаную получаем
(рис. 15).
Умножение вектора на число
Определение:
Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).
Обозначение: а||b. Замечание:
Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.
Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, 
= n, 
= Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.
Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число. Определение:
Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что
- |Ь| = |λ| • |а|;
2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ < 0). Обозначение: b = λа.
При λ = 0 положим λа = 0.
Таким образом, векторы а и Ь = λа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а(а ≠ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число А такое, что h = λа.
Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:
(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы). Определение:
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1. Если а ≠ 0, то вектор
есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).
Координаты и компоненты вектора
Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что
Векторы 
коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,
поэтому найдутся числа х, у, z такие, что
и, следовательно,
а = xi + yj + zk. (2)
Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.
Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).
Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае
а = {х, y,z}.
Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.
Из вышеизложенного следует, что два вектора а = { х1, у1, z1 } и b = {х2, у2, z2} равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.
Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).
Линейные операции над векторами в координатах
Пусть имеем два вектора а = { х1, у1, z1} и b = { х2, у2, z2 },так что а = х1i, у1j+ z1k. b = х2i+ у2j+z2k. На основании правила сложения векторов имеем
или, что то же,
— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем
Далее,
или, что то же,
— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Пусть а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 } — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.
или (3)
Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.
Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Пример:
Найти координаты вектора 
начало которого находится в точке М1 ( х1, у1, z1 ). а конец — в точке M2 (х2, у2, z2). Из рис. 22 видно, что 
= r2 — r1 , где r2, r1 — радиус-векторы точек М1 и M2 соответственно. Поэтому
— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.
Проекция вектора на ось
Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.
Рассмотрим теперь произвольный вектор 
, определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).
Определение:
Проекцией вектора 
на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.
Обозначение: 
Основные свойства проекций
- Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
- Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.
Например,
(рис. 26).
Видео
Смешанное произведение векторов
Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:
([a, b], с).
Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).
Геометрический смысл смешанного произведения
Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.
Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем
где 
— площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).
Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что
Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что
Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,
(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).
Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:
{а, b, с компланарны} <=> (а, b, с) = 0.
Смешанное произведение в координатах
Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:
Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем
Откуда
Итак,
— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 }, c = { х3, у3, z3} запишется в следующем виде
Пример:
Проверить, компланарны ли векторы
a = {7, 4,-6}, b = {2, 1,1}, с ={19, 11,17}.
Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель
Разлагая его по элементам первой строки, получим
Теги
В данной публикации мы рассмотрим, чему равно расстояние между двумя точками, и по какой формуле оно считается (на плоскости и в пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Расчет расстояния между двумя точками
- Примеры задач
Расчет расстояния между двумя точками
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка (d), который получится, если их соединить.
Если точки A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:
Если точки A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется так:
Примеры задач
Задание 1
На плоскости даны две точки: A (2, 5) и B (-3, 7). Найдем расстояние между ними.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:
Задание 2
Найдем расстояние между точками A (-1, 0, 12) и B (2, 6, -4).
Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные нам значения:
