Математика как найти билеты

Чтобы посчитать точное количество, заменим каждую из трёх последних цифр на дополняющую её до 9. D заменим на K = (9 – D), E на M = (9 – E), F на N = (9 – F). Так как исходно A + B + C = D + E + F, то теперь для числа ABCKMN:

A + B + C + K + M + N

=

A + B + C + 9 – D + 9 –E + 9 – F

=

27

Итак, количество счастливых билетов в точности равно количеству чисел от 000000 до 999999, сумма цифр которых равна 27. Стало немного легче, но предстоит ещё немало работы. Сперва вычислим искомое количество. Для этого нарисуем таблицу, в которой по горизонтали укажем количество используемых цифр, а по вертикали — искомую сумму. Таким образом мы последовательно ответим на все вопросы вида «Сколько существует способов представить число k в виде суммы n цифр». Делать это мы будем рекурсивно, то есть выражать большие значения через меньшие. Поехали!

Очевидно, что в первом столбце у нас будет по одному способу получить числа от 0 до 9 (с помощью одной цифры), а всё, что больше 9, — 0 способов.

Далее, если перейти ко второму столбцу и взять, допустим, число на пересечении второго столбца и шестой строки (k = 5), сколько существует способов представить 5 в виде суммы двух цифр? Логика тут простая. В качестве второй цифры мы можем выбрать любой из вариантов от 0 до 5. Если выбираем 0, то сумма всех цифр, кроме второй, должна быть равна 5 (да-да, понятно, что в данном случае «всех, кроме второй» — это только первая цифра, но давайте сразу составим алгоритм в общем виде). Если выбираем в качестве второй цифры 1, то сумма оставшихся должна быть равна 4 и т. д. Но ведь тогда мы просто должны сложить способы из предыдущего столбца — для всех чисел от 0 до 5! И получить 6 вариантов.

Ещё пример: допустим, я хочу заполнить во втором столбце поле для k = 11. Несложно увидеть, что тогда вторая цифра 0 или 1 не даёт ни одного варианта, так как первая не может быть больше 9. Иначе говоря, мы обращаемся к пустым ячейкам первого столбца, которые соответствуют k = 10 и k = 11. Впрочем, можно считать, что там не пустота, а нули — это не важно. Так или иначе, мы должны сложить все варианты из предыдущего столбца, от k = 2 до k = 11. Это даёт 8. Таким же образом заполняем второй столбец. Последнее число мы впишем при k = 18, так как максимальная сумма двух цифр равна 18.

Переходим к третьему столбцу. Давайте ещё раз посмотрим на примере, как он заполняется. Допустим, k = 15. Тогда, поскольку последняя цифра может быть от 0 до 9, сумма первых двух должна быть равна 6, 7, 8, 9, …, 15. А для всех этих чисел мы уже знаем количество способов представить их в виде суммы двух цифр. Берём эти значения из таблички (это числа 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5 и 4), складываем их и получаем результат: 73 способа представить 15 в виде суммы трёх цифр.

Действуя аналогично, продолжаем заполнять табличку. Занятие это весьма муторное, но конечное. Особенно если написать программу. Но можно сделать всё и руками — главное, нигде не обсчитаться. И если довести таблицу до шестого столбца, число, соответствующее k = 27, и будет искомым ответом. Если вы не ошибётесь, то получите ровно 55 252.

Решение задач про билеты лотереи

После разобранных вероятностных задач на выбор шаров из урны и деталей из ящика, перейдем к еще одной популярной задаче на гипергеометрическую вероятность — задаче о покупке лотерейных билетов. Общая постановка задачи следующая:

В лотерее из $N$ билетов $K$ выигрышные и $N-K$ — билеты без выигрыша. Куплено $n$ лотерейных билетов. Найти вероятность того, что из них ровно $k$ выигрышных (соответственно, $n-k$ безвыигрышных) билетов.

Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ билетов из общего числа $N$ продающихся билетов (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ выигрышных билетов из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ невыигрышных билетов из $N-K$ возможных — $C_{N-K}^{n-k}$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию — $C_K^k cdot C_{N-K}^{n-k}$.

Применяя классическое определение вероятности, то есть поделив число благоприятствующих событию исходов на общее число исходов испытания (покупки билетов), придем к искомой формуле:

$$
P=frac{C_K^k cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. qquad (1)
$$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про лотерейные билеты в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о покупке лотерейных билетов

Пример 1. Среди 100 лотерейных билетов 2 выигрышных. Вы покупаете 3 билета. Какова вероятность, что вы ничего не выиграете?

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из купленных 3 билетов ни один не выиграет) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе элементов из некоторого множества, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 3 билета из 100 возможных. Так как порядок выбора несущественнен, используем формулу сочетаний из 100 элементов по 3: $n=C_{100}^3$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих нашему событию исходов. Для этого нужно, чтобы из все 3 билета были без выигрыша. Всего таких билетов $100-2=98$, значит способов выбора $m = C_{98}^3$.

Искомая вероятность:

$$
P(A)=frac{m}{n}=frac{C_{98}^3}{C_{100}^3} = frac{152096}{161700} = 0.941.
$$

Вероятность остаться без выигрыша велика — 94,1% (при этом куплен не один, а целых 3 билета). Впрочем, любая лотерея заведома проигрышна для участника, помните об этом. Не стоит искать схемы и правила выигрыша в лотерею. Их не существует.

Пример 2. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того что среди них 2 выигрышных.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=4$ выигрышных билета, $N-K=8-4=4$ невыигрышных билета, всего $N=8$ билетов. Выбираем $n=5$ билетов, из них должно быть $k=2$ выигрышных и соответственно, $n-k=5-2=3$ без выигрыша. Получаем нужную вероятность:

$$
P=frac{C_{4}^2 cdot C_{4}^{3}}{C_{8}^5} = frac{6 cdot 4}{56} = 0.429.
$$

Пример 3. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных и 14 пустых. Найти вероятность того, что из трех вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным.

Введем исходное событие:
$A = $ (Среди 3 вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$overline{A} = $ (Все три выбранные билеты будут без выигрыша).

Будем искать вероятность события $overline{A}$. Выпишем значения параметров: $K=10$ выигрышных билетов, $N-K=14$ невыигрышных (пустых) билета, всего $N=24$ билета. Выбираем $n=3$ билета, из них должно быть $k=0$ выигрышных и соответственно, $n-k=3$ без выигрыша. Подставляем в формулу (1) и получаем:

$$
P(overline{A})=frac{C_{10}^0 cdot C_{14}^{3}}{C_{24}^3} = frac{1 cdot 364}{2024}= 0.18.
$$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышных билет), равна:

$$
P(A)= 1 — P(overline{A})= 1- 0.18 = 0.82.
$$

Пример 4. В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Какова вероятность остаться без выигрыша, приобретя 3 билета лотереи?

Подставляем в формулу (1) значения: $K=25$ выигрышных билетов, $N-K=100-25=75$ невыигрышных билета, всего $N=100$ билетов участвует в розыгрыше лотереи. Выбираем $n=3$ билета, из них должно быть $k=0$ выигрышных и соответственно, $n-k=3$ без выигрыша. Приходим к ответу:

$$
P=frac{C_{25}^0 cdot C_{75}^{3}}{C_{100}^3} = frac{1 cdot 67525}{161700} = 0.418.
$$

Полезные ссылки

• Задачи о лотерейных билетах в схеме Бернулли
• Онлайн учебник по теории вероятностей
• Решенные контрольные по теории вероятностей
• Заказать работу по теории вероятностей

Поищите готовые задачи в решебнике:

3 тренировочных варианта ОГЭ 2023 по математике 9 класс пробник формата реального экзамена с ответами и решением. Каждый вариант состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом.

• Скачать 1 тренировочный вариант
• Скачать 2 тренировочный вариант
• Скачать 3 тренировочный вариант
• Скачать ответы и решения

1variant_oge2023_mat_9klass

2 тренировочный вариант ОГЭ 2023 по математике 9 класс

2variant_oge2023_mat_9klass

3 тренировочный вариант ОГЭ 2023 по математике 9 класс

3variant_oge2023_mat_9klass

1 вариант заданий с ответами

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Справа от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора – дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение – гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2. Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.

3. Плитка для пола размером 40 см на 40 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол обеих лоджий?

4. На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

5. В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг. Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

7. На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений для этого числа является верным?

10. На экзамене 40 билетов, Серёжа не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

15. В треугольнике одна из сторон равна 18, а опущенная на нее высота -12. Найдите площадь треугольника.

16. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA=34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

17. Диагональ прямоугольника образует угол 69° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

19. Какие из следующих утверждений верны? 1)В параллелограмме есть два равных угла. 2)Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 3) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

21. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

23.Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 12, DC = 48, АС = 35.

24. В выпуклом четырехугольнике АВСD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

25. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника АВС.

2 вариант заданий с ответами

Серёжа летом отдыхает с папой в деревне Пирожки. В среду они собираются съездить на машине в село Княжеское. Из деревни Пирожки в село Княжеское можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Васильево до деревни Рябиновка, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Княжеское. Есть и третий маршрут: в деревне Васильево можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Княжеское, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Серёжа с папой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге – со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2. Сколько километров проедут Серёжа с папой от деревни Васильево до села Княжеское, если они поедут по шоссе через деревню Рябиновка?

3. Найдите расстояние от деревни Васильево до села Княжеское по прямой. Ответ дайте в километрах.

4. Сколько минут затратят на дорогу из деревни Пирожки в село Княжеское Серёжа с папой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

5. В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Пирожки, селе Княжеское, деревне Васильево и деревне Рябиновка. Серёжа с папой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба и 1,5 кг сыра «Российский». В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

7. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D. Одна из них соответствует числу 60 Какая это точка?

10. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 4 спортсмена из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из Норвегии.

14. В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

15. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 31, сторона BC равна 37, сторона AC равна 50. Найдите MN.

16. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 134°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

17. Площадь параллелограмма ABCD равна 148. Точка M – середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABMD.

18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

19. Какое из следующих утверждений верно? 1) Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов. 2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность. 3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. В ответ запишите номер выбранного утверждения.

21. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

23. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7 , CK =12 .

24. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. . Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60° . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Статград ОГЭ 2023 математика 9 класс варианты с ответами

Работа статград ОГЭ 2023 математика 9 класс варианты с ответами

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ