Математика как найти состав

Композиция функций | Функции

Зарегистрируйтесь для доступа к 15+ бесплатным курсам по программированию с тренажером

Композиция функций — это процесс объединения двух или более функций в одну функцию. Функция представляет собой некоторое действие. Возьмем приготовление хлеба и переведем этот процесс на язык математики:

• Мука —

• Приготовление теста из муки с помощью кухонного комбайна —

• Запекание хлеба в печи —

• Приготовление хлеба — выход
  надо поместить в функцию

• Готовый хлеб — функция
  , то есть композиция функций
  и

В этом уроке мы как раз изучим эту тему — посмотрим, что такое композиция функций в математике и как ее вычислить.

Что такое составные функции

В математике составная функция — это операция, при которой две функции порождают новую функцию. В некоторых источниках то же самое явление называется композицией функции.

Возьмем такой простой пример:

• У нас есть две функции —
  и

• Вместе они порождают функцию

• Составной функцией будет считаться

Как видите в примере выше, функция
применяется к функции
. Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.

Давайте посмотрим на математическое определение составной функции:

• Пусть
  и
  — две функции

• Тогда составная функция будет состоять из
  и
  — это обозначается как

• Составная функция
  определяется как функция

• Функция
  задается через

На рисунке ниже показано графическое представление составных функций:

Порядок функции является важным моментом при работе с композицией функций, потому что выражения
и
не равны между собой.

Это можно очень хорошо понять на примере. Представим машину, которая сначала запекает торт, а затем украшает его глазурью. Будем рассматривать эти действия как функции:

• Запекание — функция

• Украшение — функция

Машина будет производить торт, используя
— сначала печь, затем украшать. Но если функции поменять местами
, то машина сначала украсит сырой торт, а сожжет его в печке вместе со всеми украшениями. Такая перестановка действий не сработает, поэтому нам нужны оба домена.

Теперь рассмотрим, как обозначаются составные функции и их области:

• Символ: В обозначении составных функций используется символ, похожий на маленький круг. Так это выглядит на практике —

• Домен:
  читается как «
  от
  от
  ». В композиции
  домен функции
  становится

• Область: это множество всех значений, которые входят в функцию

• Пример

  : Если
  и
  , то
  от
  от

Обратите внимание, что будет, если мы обратим операцию над функцией. Например, если мы возьмем
от
от
, то в итоге получим
.

Свойства составных функций

У составных функций есть два основных свойства:

• Ассоциативное

• Коммутативное

Рассмотрим их подробнее.

Ассоциативное свойство:

Если есть три функции
и
, то составные функции считаются ассоциативными только тогда и только тогда, когда

Коммутативное свойство:

Две функции
и
коммутативны друг с другом тогда и только тогда, когда

Есть еще несколько свойств составных функций:

• Композиция функций один-к-одному всегда один к одному

• Композиция двух онто-функций всегда онто

• Обратная композиция двух функций
  и
  равна композиции обратных обеих функций, например,

Как решать составные функции

В математике решение составной функции — это получение композиции двух функций. Выполним следующие шаги, чтобы понять, как это выглядит на практике.

Шаг 1: Возьмем две функции:

Запишем их в виде составной функции:

Также ее можно записать как
.

Шаг 2: Возьмем переменную x, которая есть во внешней функции. Заменим ее внутренней функцией, взяв за основу отдельные функции:

Поскольку
, результат на этом шаге будет выглядеть так:

Шаг 3: Далее мы можем упростить функцию.

Поскольку
, результат на этом шаге будет выглядеть так:

Таким образом, мы за три шага решили составную функцию.

Композиция функции с самой собой

Также существуют составные функции, которые содержат композицию функции с самой собой.

Предположим, что
— это функция. Тогда композиция функции
с самой собой будет выглядеть так:

Давайте разберемся в этом на практике. Возьмем такой пример:

Условие:

Исходя из этого условия, попробуем найти
.

Решение будет выглядеть так:

Выводы

В этом уроке мы рассмотрели композицию функций — это действие, при котором функции
и
объединяются для получения новой функции. Эта новая функция
формулируется как
.

Это означает, что функция
применяется к функции
. Другими словами, когда функция применяется к выходу другой функции, она называется составной функцией.

---

Самостоятельная работа

Задача 1

По условию нам дано:

Найдите
, если
.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Сначала обращаемся к условию:

Вычисляем композицию
из
:

Теперь положим значение
:

Ответ:

Задача 2

По условию нам дано:

Найдите
для
.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Подставим значения из условия в выражение
:

Теперь положим
:

Ответ:

Задача 3

По условию у нас есть три функции:

Найдите композицию этих функций
для
.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Подставим функции из условия в выражение
:

Возьмем
:

(-1) = 6(-1) = -6]

Ответ:

---

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты.

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ

---

130

курсов

1000

упражнений

2000+

часов теории

3200

тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

• 130 курсов, 2000+ часов теории
• 1000 практических заданий в браузере
• 360 000 студентов

Электронная почта *

Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл «сквозное отображение» из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Рис. 1.30.Сквозное отображение из в

Таким образом, , при всех . Другое название композиции — сложная функция (так как сквозное отображение «сложено» из отображений и ).

        Пример 1.18   Пусть , , и , . Тогда , и определена композиция

        Упражнение 1.3   Покажите, что если заменить множество в предыдущем примере на , то композиция снова будет определена, но равна теперь , а не .     

        Пример 1.19   Пусть , , и , . Тогда определена композиция , заданная формулой . По известной формуле приведения полученная композиция — это косинус: при всех .     

        Замечание 1.5   Даже если для функций и имеют смысл обе композиции и (что бывает далеко не для любой пары функций и ), то функции и не обязаны совпадать; как правило, это не так.     

        Пример 1.20   Пусть и , . Тогда , а . Очевидно, что это разные функции: при всех , а принимает значение , например, при .     

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида и более длинные композиции.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

математических слов: композиция

математических слов: композиция

индекс: нажмите на букву индекс: предметные области
Состав Объединение двух функций путем замены формула одной функции на месте каждого x дюймов формула другой функции. Состав функций ф и г есть написано ф ° г , и читается вслух « f составлено из g ». Формула ф ° г пишется ( f ° g )( x ). Это читается вслух: « f составлено из g x ». Примечание. Композиция не коммутативна. То есть ( f ° g )( x ) обычно отличается от ( g ° f )( x ). Пример ниже иллюстрирует это. Example:     f ( x ) = 3 x 2 + 12 x – 1  and   g ( x ) = 4 x + 1   1 ( ф ° г )( х ) = 3(4 х + 1) 2 + 12(4 х + 1) – 1     = 3 (16 x 2 + 8 x + 1) + 48 x + 12 — 1 = 48 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 + 72 x 2 .   1 ( г ° f )( x ) = 4(3 х 2 + 12 х – 1) + 1     = 12 x 2 + 48 x – 4 + 1 = 12 x 2 + 48 x – 3 Видеть также Личность операции, личность функция, обратный, составной
эта страница обновлена 19 июля 17 Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления написано, проиллюстрировано и создано веб-мастером Брюсом Симмонсом Copyright © 2000 Брюс Симмонс Все права защищены

Композиция функций — определение, предметная область, составная функция

Композиция функций — это процесс объединения двух или более функций в одну функцию. Функция представляет некоторую работу. Возьмем приготовление хлеба. Пусть x — мука, кухонный комбайн выполняет функцию приготовления теста с использованием муки (и пусть эта функция равна g(x)) и пусть печь выполняет функцию приготовления хлеба (и пусть эта функция равна f (Икс)). Для приготовления хлеба выход g(x) нужно поместить в функцию f(x) (т. е. приготовленное тесто нужно поставить в печь). Результат обозначается f(g(x)) и представляет собой композицию функций f(x) и g(x).

Давайте посмотрим, что такое композиция функций в математике вместе с ее вычислением. Давайте также посмотрим, как найти его домен и диапазон.

1.	Какова композиция функций?
2.	Символ композиции функций
3.	Как решать составные функции?
4.	Нахождение составной функции на графике
5.	Поиск составной функции из таблицы
6.	Домен составных функций
7.	Диапазон составных функций
8.	Часто задаваемые вопросы о составе функций

Что такое композиция функций?

Состав функций f(x) и g(x), где g(x) действует первым, представляется как f(g(x)) или (f ∘ g)(x). Он объединяет две или более функций, чтобы получить другую функцию. В составе функций выход одной функции, находящейся внутри скобок, становится входом внешней функции. т. е.

• В f(g(x)), g(x) является входом f(x).
• В g(f(x)), f(x) является входом g(x).

Мы можем понять это, используя следующий рисунок:

т. е. чтобы найти f(g(x)) (что читается как «f от g от x»), мы должны сначала найти g(x), а затем подставить результат в f(x).

Символ композиции функций

Символ композиции функций — ∘. Его также можно показать без использования этого символа, но с помощью скобок. т. е.

• (f ∘ g)(x) = f(g(x)) и читается как «f of g of x». Здесь g — внутренняя функция, а f — внешняя функция.
• (g ∘ f)(x) = g(f(x)) и читается как «g of f of x». Здесь f — внутренняя функция, а g — внешняя функция.

Как решать составные функции?

Используя BODMAS, мы всегда сначала упрощаем то, что находится в скобках. Таким образом, чтобы найти f (g (x)), сначала необходимо вычислить g (x) и подставить его в f (x). Точно так же, чтобы найти g (f (x)), сначала нужно вычислить f (x) и подставить его в g (x). т. е. при нахождении составных функций порядок имеет значение. Это означает, что f(g(x)) НЕ может быть равно g(f(x)). Для любых двух функций f(x) и g(x) составную функцию f(g(a)) находим, используя следующие шаги:

1. Найдите g(a), подставив x = a в g(x).
2. Найдите f(g(a)) путем подстановки x = g(a) в f(x).

Мы можем понять эти шаги, используя приведенный ниже пример. Здесь мы находим f(g(-1)) при f(x) = x ² — 2x и g(x) = x — 5.

Мы можем обобщить этот процесс с помощью простых математических вычислений, как показано ниже. :

f(g(-1)) = f(-1-5)
= f(-6)
= (-6) ² — 2 (-6)
= 36 + 12
= 48

Нахождение составной функции по графику

Чтобы найти составную функцию двух функций (которые не определены алгебраически), показанную графически, мы должны вспомнить, что если (x, y) — точка на функции f(x), то f(x) = y. Используя это, найти f(g(a)) (т.е. f(g(x)) при x = a):

• Сначала найти g(a) (т.е. координату y на графике g (x), что соответствует x = a)
• Найти f(g(a)) (т.е. координату y на графике f(x), которая соответствует g(a))

Пример: Найдите f(g(5)) по следующему графику.

Решение:

f(g(5)) = f(3) (Поскольку g(5) = 3, поскольку (5, 3) находится на g(x))
= 2 (Поскольку f(3) = 2, так как (3, 2) принадлежит f(x))

Следовательно, f(g(5)) = 2.

Поиск составной функции из таблицы

Мы уже видели, как найти составную функцию, когда задан график функций. Иногда точки на графике функций изображают таблицами. Таким образом, мы применяем ту же процедуру, что описана в предыдущем разделе.

Пример: Найдите g(f(-3)) с помощью следующих таблиц.

х	ф(х)
-1	-4
-2	-3
-3	-2
-4	-1

x	г(х)
-4	1
-3	0
-2	-1
-1	-2

Решение:

Из таблицы f(x), f(-3) = -2.

Итак, g(f(-3))=g(-2).

Из таблицы g(x), g(-2) = -1.

Таким образом, g(f(-3)) = -1.

Область составных функций

В общем, если g : X → Y и f : Y → Z, то f ∘ g : X → Z, т. е. областью определения f ∘ g является X, а область значений — Z. Но когда функции определены алгебраически, вот шаги, чтобы найти область определения составной функции f (g (x)).

• Найдите область определения внутренней функции g(x) (пусть это будет A)
• Найдите область определения функции, полученной путем нахождения f(g(x)) (пусть это будет B)
• Найдите пересечение A и B и A ∩ B дает область определения f(g(x))

Пример: Найдите область определения f(g(x)) при f(x) = 1/(x+2) и g(x) = 1/(x+3).

Решение:

В f(g(x)) внутренней функцией является g(x), а ее областью определения является A = {x | х ≠ -3}.

Теперь вычислим f(g(x)).

(begin{выровнено}
f(g(x)) &=fleft(frac{1}{x+3}right) \
&=frac{1}{frac{1}{x+3}+2} \
&=frac{1}{frac{1+2 x+6}{x+3}} \
&=frac{x+3}{2x+7}
end{aligned})

Его домен B = {x : x ≠ -7/2}

Таким образом, домен f(g(x)) равен A ∩ B = {x : x ≠ — 3 и х ≠ -7/2}.

В интервальной записи это (-∞, -7/2) U (-7/2, -3) U (-3, ∞).

Диапазон составных функций

Диапазон составной функции вычисляется так же, как диапазон любой другой функции. Это не зависит от внутренних или внешних функций. Вычислим диапазон f(g(x)), показанный в последнем примере. Мы получили f(g(x)) = (frac{x+3}{2 x+7}). Предположим, что y = (frac{x+3}{2 x+7}). Это рациональная функция. Следовательно, мы решаем это для x и устанавливаем знаменатель не равным нулю, чтобы найти диапазон.

(2x + 7) y = x + 3

2xy + 7y = x + 3

2xy — x = 3 — 7y

x (2y — 1) = 3 — 7y

x = (3 — 7y ) / (2y — 1)

Для диапазона 2y — 1 ≠ 0, что дает y ≠ 1/2.

Следовательно, диапазон = {y : y ≠ 1/2}.

☛ Связанные темы:

• Производные сложных функций
• Алгебра функций
• Алгебраическая функция

Часто задаваемые вопросы о составе функций

Что такое определение составной функции?

Составная функция из двух функций объединяет данные две функции в заданном порядке. т. е. для любых заданных двух функций f(x) и g(x) может быть 4 составные функции:

• f(g(x)) которая заменяет g(x) в f(x)
• g(f(x)) который заменяет f(x) на g(x)
• f(f(x)), которая заменяет f(x) на себя
• g(g(x)), подставляющее g(x) в себя

Как найти состав функций?

Чтобы вычислить составную функцию f(g(x)) при некотором x = a, сначала вычислите g(a), подставив x = a в функцию g(x). Затем подставьте g(a) в функцию f(x), подставив x = g(a). Точно так же мы можем вычислить и g(f(a)).

Важен ли порядок в составных функциях?

Да, в составных функциях порядок действительно важен. т. е. f (g (x)) ≠ g (f (x)) (т. е. они могут не быть равными все время). Но иногда они могут быть равны.

Как найти область определения составной функции?

Чтобы найти область определения составной функции, найдите область определения внутренней функции и область определения результирующей функции. Возьмите пересечение обоих доменов.