Мцс теоретическая механика как найти

Рассмотрим формулы и примеры определения положения мгновенного центра скоростей (МЦС) для различных твердых тел и механизмов при плоскопараллельном движении.

Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра.

В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.

Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например P_V, C_V.

Рисунок 2.16

При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: V_M = V_Cv + V_MCv , где точка C_V выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и V_Cv=0, то скорость любой точки определяется как скорость при вращении вокруг мгновенного центра скоростей:

V_M=V_Cv+ V_MCv=V_MCv , V_M=V_MCv=ω∙C_VM,
V_N=V_Cv+ V_NCv=V_NCv , V_N =V_NCv=ω∙C_VN,
V_K=V_Cv+ V_KCv=V_KCv , V_K=V_KCv=ω∙C_VK.

Из рисунка 2.16 видно, что МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведённых к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение:

V_M/C_VM=V_N/C_VN=V_K/C_VK=ω

Рисунок 2.17

На рисунке 2.17 показаны примеры определения положения МЦС детали кривошипно-шатунного механизма и приведены формулы для расчета скоростей точек.

C_V совпадает с точкой B, V_B=0. Шатун вращается вокруг точки B,
ω_AB=V_A/AC_V=V_A/AB;
V_A/AC_V=V_B/BC_V=ω_AB;
МЦС лежит в «бесконечности»:
V_A/∞=V_B/∞=ω_AB=0, V_B=V_A;
V_A/AC_V=V_B/BC_V=ω_AB.

На рисунках 2.18 — 2.21 приведены примеры определения положения МЦС.

V_A/AC_V=V_B/BC_V=ω

Рисунок 2.18

V_B||V_A

В этом случае МЦС находится в «бесконечности», т.е.

ω=V_A/∞=V_B/∞=ω_AB=0, V_B=V_A

Рисунок 2.19

Рисунок 2.20

V_A/2R=V₀/R=V_M/(R√2)=ω,
V_A/2R=V₀/R=V_B/(R+r)=ω,
V_A/(R+r)=V₀/r=V_N/(R-r)=ω

Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке C_V.

а б

Рисунок 2.21

Для «а»:

V_M=V_A
V_M/MC_V=V₀/OC_V=V_N/NC_V=V_K/KC_V=ω₂

Для «б»:

V_A=V_M
V_M/MC_V=V₀/OC_V=V_N/NC_V=ω₂

Примеры решения задач >
Ускорение точки в плоскопараллельном движении >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

Рис.12

Способы нахождения мгновенного центра скоростей

Для определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры необходимо знать только направления скоростей двух ее точек.

Указанные свойства позволяют определить положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры в различных случаях.

	VA		1. Если скорости двух точек не параллельны,
А	В	VB	то мгновенный центр скоростей лежит в точке
900	пересечения перпендикуляров к ним, что следует из
	900
			теоремы о существовании мгновенного центра ско-

Рростей (рис.12).

2. Если плоское движение осуществляется

качением без скольжения одного твердого тела по неподвижной поверхности другого, то точка их контакта Р имеет в данный момент скорость, равную нулю, и, следовательно, будет мгновен-

ным центром скоростей (рис.13).

3. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и с прямой, соединяющей эти точки, составляют прямые углы, то мгновенный центр скоростей Р находится как точка пересечения об-

Рщего перпендикуляра, восстановленного к скоро-

Рис.13	стям в данных точках, и прямой, проходящей через
концы векторов скоростей (рис.14 и рис.15).

4. Если скорости двух точек параллельны и с прямой, соединяющей точки образуют острые углы, то мгновенный центр скоростей не суще-

ствует (находится в бесконечности). В этом случае скорости всех точек плоской фигуры равны, а угловая скорость равна нулю (рис. 16).

А	VA	А		VA	А	VA
90	0	90	0

В 90V0B

Р VB

Р	900
В
	VB
Рис. 14	Рис. 15	Рис. 16

Решение задач с помощью мгновенного центра скоростей.

Задача 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна VC.

Определить скорости точек А, В, D и угловую скорость колеса.

Решение. Мгновенный центр скоростей

Р колеса находится (рис.177) в

точке контакта колеса с неподвижной плоскостью. Скорости точек А, В, D

перпендикулярны к отрезкам, соединяющим эти

точки с точкой Р, модули скоростей пропорцио-

нальны их длинам:

Расстояния точек А и В до мгновенного цен-

тра скоростей одинаковы,

следовательно, скоро-

сти этих точек равны

VA =VB =VC

Скорость точки D равна 2VC , так как рас-

стояние точки D

до мгновенного центра скоро-

Рис.17

VA =

стей в два раза больше расстояния СР .

; V

=V AP ;

AP = R 2, V

=V 2.

C CP

Угловая скорость колеса равна

ω =

Задача.2. Диск зажат между двумя рейками, (рис.18) которые движутся со скоростями V1 и V2 (V1 > V2).

Определить угловую скорость диска и скорость его центра, если его радиус равен R.

АVAa

С VC с

ВVB

Рис.18

Решение. Скорость точки А диска равна скорости верхней рейки, а скорость точки В – скорости нижней рейки. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р (рис.16). Скорость точки С является средней линией трапеции ВАав:

VC = V1 +2V2 .

Угловая скорость

ω = VAPA = VBPB = APVA −−VBPB = V12−RV2 .

Задача 3. Кривошипно-шатунный механизм

Угловая скорость кривошипа равна ωОА. Определить угловую скорость шатуна и скорости точек А,В, и С для трех положений механизма.

Кривошип ОА вращается вокруг точки О, шатун АВ совершает плоское движение в плоскости чертежа. Во всех случаях скорость точки А перпендикулярна кривошипу и равна VA =ωOA OA. , а скорость точки В направлена по

горизонтальной прямой.

1. Кривошип ОА образует острый угол с горизонтальной прямой

(рис.19). В этом случае мгновенный

центр скоростей шатуна находится в

точке Р, где пересекаются восстановлен-

ные в точках А и В перпендикуляры к

скоростям в этих точках.

= BP

VB =VA AP .

Скорость точки С направлена перпенди-

кулярно отрезку РС и находится из про-

порции:

CP .

Угловая скорость шатуна равна

Pис.19

ωAB =

2. Кривошип и шатун расположены на одной прямой (рис.20).

В этом положении мгновенный центр скоростей находится в точке В,

поэтому скорость VB

равна нулю. Ско-

рость точки С находится из пропорции:

V =V

Угловая скорость шатуна равна

Рис.20

ωAB =

VA A

Кривошип

занимает

вертикальное положение (рис.21). В

этом случае мгновенный центр скоростей

шатуна находится в бесконечности, скоро-

VВ

сти всех его точек равны, угловая скорость

шатуна равна нулю.

Рис. 21

Задача 4. Определить скорости точек А, В, Р подвижного блока 3 (рис.22) и его угловую скорость, если скорость тела 1 равна V1

Решение. Подвижный блок совершает плоское движение. Скорость точки контакта Р подвижного блока с неподвижной нитью равна нулю: VР = 0, т.е. точка Р – мгновенный центр скоростей подвижного блока.

Скорость точки С перпендикулярна отрезку, соединяющему ее с мгновенный центром скоростей: VC CP .

			2
		О
	VС	VА

Р С	А	1

3	B

	Рис.22	V1

Скорости точек при плоском движении пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей

VC = CP .

VA AP

VA = V1, так как точка А и тело 1 связаны нерастяжимой нитью, тогда

VC = 0,5R .

V1 R

Следовательно, VC = 0,5 VA = 0,5 V1.

Задача 5. Определить угловую скорость и скорости точек А, В, С и Р катушки 3 (рис.23), если скорость груза 1 равна V1.

VA	A	3

VC	С	R
r
	P	B VB	2

		O

Рис.23

Решение. Скорость точки В катушки равна скорость груза 1, так как они связаны нерастяжимой нитью: VВ = V1.

При качении без скольжения в точке контакта катушки с рельсом находится мгновенный центр скоростей Р. Скорости точек А и С перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей и пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, поэтому

	VC	=	CP	;	VC	=	r	.
V	BP	V	R −r

	B				B

Отсюда			VC	= VB	r	= V1	r
		R − r	R

Аналогично определим скорость точки А.
VA =	AP	;	VA =	r +R	.
BP
V		V		R −r
B			B

Следовательно,

V		=V	r +R	=V	r +R	.
	B R −r
	A		B R −r

Задача 6. Определить угловую скорость и скорости точек А, В, D, E шестерни 3 (рис.24), которую приводит в движение кривошип ОА, вращающийся вокруг оси О неподвижной шестерни 1 с угловой скоростью ωОА.

	3			VD
	D
В VA		В		D
А	VВ	VA
		VE
1	Е
		А	Е
ωАВ			P
2

Решение. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу ОА, перпендикулярна кривошипу и равна VA = ωAB AB.

Шестерня 3 совершает плоское движение, ее мгновенный центр скоростей находится в точке зацепления Р с неподвижной шестерней 1 (рис. 24а). Скорости точек В, Е и D перпендикулярны отрезкам, соединяющим их с мгновенным центром скоростей.

VB BP , VD DP , VE EP .

Скорости точек пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей Р.

VB =VE , так как расстояния этих точек до мгновенного центра скоростей равны: ВР = ЕР.

		VA	= AP ; откуда VB =VA BP	=VA	R	2	=VA 2.
	V		R
	BP	AP
			B
Аналогично определяем скорость точки D.
	VA	=	AP ;	откуда VD =VA DP =VA 2R	= 2VA.

V	DP	AP	R
	D

Задача 7. Определить скорости точек А, В, С, D и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 25, если угловая скорость криво-

шипа ОА равна ωОА.

Решение. Во всех вариантах скорость точки А, являющейся концом кривошипа ОА, равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу.

Звенья ОА и ОВ механизма (рис.25) совершают вращательное движение. Скорость точки А, являющейся концом кривошипа ОА, равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу.

Скорость VB OB .Звенья АС и ВD совершают плоское движение. Звено

Р2

СD движется

поступательно, по-

этому скорости точек C и D равны:

VC = VD .

Мгновенный

центр

скоростей

звена АС лежит в точке Р1 пересе-

ωOA O

чения перпендикуляров к скоростям

в точках А и С.

VC С

1 .

A AP

Угловая скорость звена АС равна

ωAC =

Рис.25

Р1

AP1

Проведем

перпендикуляры к

скоростям VВ

и VD , точка их пересечения Р2

— мгновенный центр скоростей

VB	BP2			BP
звена ВD. V	= DP , откуда	2
VB =VD DP .
D	2			2
Угловая скорость звена ВD равна
	ωBD =	VB	.

		BP2

Задача 8. Определить скорости точек А, D и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 26, если угловая скорость кривошипа ОА

равна ωОА.

Скорость точки А равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу ОА. Звено АВ совершается плоское движение, скорость точки В направлена вертикально вниз. Мгновенный центр в данный момент находится в бесконечности, поэтому скорости всех его точек равны, а угловая скорость ωAB = 0 .

Скорость точки D перпендикулярна кривошипу О2D, следовательно, мгновенный центр скоростей звена ВD совпадает с точкой О2.

					Тогда	VD =	DO2 ;	откуда
О1	А			D			VB	BO2
				DO2 .
	ωОА	VD	90	0	V	=V
		D	B	BO2
	VA	В		О2					BD
		Угловая скорость	звена

					равна ωBD =	VB	= VD .
		VB					BO2	DO2

	Угловая скорость кривошипа O2D равна ωBD	= VD .
								DO2
	Задача 9. Определить скорости точек А, С, D и угловые скорости звень-
ев механизма, изображенного на рис. 25,	если угловая скорость кривошипа
ОА равна ωОА (рис.27).
	Решение. Звенья О1А и О2В совершают вращательные движения, поэто-
му скорость точки А направлена перпендикулярно кривошипу О1А и равна
	VA = ωОА· OA.
	Скорость точки D перпендикулярна звену О2D.
	Звено АD совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей
этого звена лежит в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных в
			VD	точках А и D к скоростям VA и VD.
		VC	Скорость точки D находим из про-
VA	А	D
С	порции	VD		DP	. VD	=VA DP .
				=
ωОА					VA		AP		AP
		Соединим	точек	С с мгновенным
	О1
	О2		центром скоростей Р, скорость точки С

				будет направлена перпендикулярно от-
	Р			резку СР.
	Рис.27			Модуль этой скорости найдем из
			пропорции		VC	= CP	, VC =VA CP .

								VA	AP	AP
	Угловая скорость звена АD равна ωAD =	VA .
						AP	VD .
	Угловая скорость кривошипа равна	ω		=
	O2D		O2 D

Задача 10. Определить скорости точек А, В, С, и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 28, если угловая скорость криво-

шипа ОА равна ωОА.

Решение. Звенья ОА и DB совершают вращательные движения, поэтому

VA OA , VB

ωОА А

BD . Скорость точки А равна VA = ωОА· OA. Звено совершает

VВ	плоское движение, так как скорости точек А и В
		В	параллельны, то мгновенный центр скоростей

С	этого звена находится в бесконечности, поэтому
скорости всех его точек геометрически равны

	VA = VB = VC.
	Угловая скорость звена AВ равна нулю. Уг-
D	ловая скорость кривошипа ВD равна
	ωBD = VB .
	BD

Рис.28

	Задача 11. Определить скорости точек А, В, С, D и угловые скорости
звеньев механизма, изображенного на рис. 29,	если угловая скорость криво-
	Р	D		шипа ОА равна ωОА.
	О2	Решение.	Скорость точки А
VA	А
VD		перпендикулярна	кривошипу	и
			равна VA = ωОА· OA. Звено АВ со-

	VC	С		вершает	плоское	движение,	ско-
ωОА		рость VВ точки В направлена гори-

	О1	VВ	В	зонтально влево. В данном положе-
			нии	мгновенный	центр скоростей
		Рис.29		звена АВ находится в бесконечно-
			сти, поэтому скоростей всех	его
точек геометрически равны: VA = VB = VC.
	Звено CD совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей
этого звена лежит в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных к
	скоростям в точках С и D. Скорость точки D найдем из пропорции
		VC =	CP	, VD =VC	DP .
		V	DP		CP
		D
Угловая скорость звена СD равна ωCD = VC .
				CP	= VD .
Угловая скорость кривошипа О D равна	ω
			2		O2D	DP

Задача 12. Определить скорость точки С и угловую скорость подвижного блока 3 (рис.30), если скорость тела 1 равна V1, r = 0,5R.

Решение. Блок 2 вращается вокруг точки О, скорость его точки В по ве-

личине равна скорости тела 1, так

как они связаны нерастяжимой ни-

r O

тью: VB = V1.Скорость

точек

при

вращательном

движении пропор-

циональны

их

радиусам

вращения,

поэтому

0,5R

= 0,5 .

Сле-

довательно, VA = 0,5 VB.

Подвижный

блок 3 совершает

плоское движение,

при этом

VD =

VB, VК = VA, так как соответствую-

щие точки связаны нерастяжимыми

нитями.

Рассмотрим движение блока 3.

	Рис.30	Мгновенный центр скоростей нахо-
	дится в точке пересечения Р общего

		17

перпендикуляра, проведенного к скоростям VD и VК , и прямой, проходящей через концы этих векторов. Конец вектора скорости VС точки С лежит на прямой, соединяющей концы векторов скоростей VD и VК .

VК = VA = 0,5VB, VD = VB , тогда VК = 0,5VD.

Составим пропорцию:

VK = KP

VD DP .

Обозначив СР = х, тогда KP = R — x, DP = R + x. Подставив эти значения в пропорцию, получим

0,5 V	R − x		R
V	D =	,	откуда x =	.
R + x
3
D

Тогда расстояние точки К до мгновенного центра скоростей Р равно KP = R – x = 2/3 R, т.е. расстояние точки С до мгновенного центра скоростей в два раза меньше, чем то же расстояние до точки К, поэтому скорость точки будет в два раза меньше скорости точки К. VC = 0,5· VK = 0,5 VA = 0,25 V1.

Угловая скорость блока 3 равна ω3 = CPVC = 0,25RV1 3 = 0,75VR1 .

Скорость груза 4, подвешенного на нити в точке С, равна скорости точки С.

V4 = VC = 0,25 V1.

Задача 13. Определить скорость точки С и угловую скорость кривошипа ОС указанного на рис.31 механизма, если скорость тела 1 равна V1 (радиусы тел 3 и 5 заданы).

Решение. Данный механизм со-

стоит из пяти, соединенных между

собой тел.

1. Тело 1, двигаясь вниз по на-

клонной плоскости, сообщает телу 3

вращательное движение вокруг точ-

ки О.

Рис.31

В свою очередь тело 3, находясь

в зацеплении с телом 5, сообщает

ему плоское движение.

Точка С тела 5 приводит в движение кривошип ОС, кото-

рый вращается вокруг точки О.

2. Рассмотрим движение тела 3 (рис.31а). Скорость

точки А равна скорости груза 1, так как они связаны не-

растяжимой нитью. Определим скорость точки К.

Скорости точек вращающегося тела относятся как

их радиусы вращения:

Рис. 31 а

Отсюда скорость

VC	P	VK =VA	R	=V1	R	.
r
	5			r
K	C	3. Рассмотрим движение тела 5 (рис.31
б).	Точка Р является мгновенным центром

скоростей, так как в этой точке тело 5 находится в зацеплении с неподвижной шестер-

3ней 2. Скорость точки находим из пропорции

Рис. 31 б

=VK

=V1 R .

VC =VK

C 5

2r3

2 r

4. Кривошип вращается (рис.31в) вокруг точки О

определим по форму-

с угловой скоростью, которую

ле

ωOC =

Рис. 31 в

Задача 14. Кривошип ОС соединяющий центры трех шестерен одинакового радиуса R (рис.32), вращается вокруг точки О с угловой скоростью ω.

			VС	Шестерня	1 закреплена	неподвижно,
			шестерни 2 и 3 приводятся в движение
			D
			кривошипом. Определить скорости точек
		VA	С	контакта	между шестернями, скорость
		точки D и угловые скорости подвижных
ω
	А	3	шестерен.
О			2	Решение.
		1. Рассмотрим движение кривошипа.
	1
		Скорости точек А и С (рис.32) на-

				правлены	перпендикулярно	кривошипу

	Рис.32		ОС и равны

VA = ω·OA = 2 ω R, VC = ω·OC = 4 ω R.

2. Рассмотрим движение шестерни 2.

Шестерня 2 совершает плоское движение, (рис.32 а) скорость точки А известна. В точке контакта с неподвижной шестерней 1 находится мгновенный центр скоростей Р.

Скорость VK направлена перпендику-

лярно отрезку КР,

модуль ее определяет-

VК

VС

ся из пропорции

= 2 ,

откуда VK = 2 VA = 4ω R.

О Р

Угловая скорость шестерни 2 равна

ω2

2ω R

= 2ω .

Рис.32 а

3. Определим характер движения шес-

терни 3.

Скорости точек С и D шестерни 3 равны по модулю и параллельны, следовательно, шестерня 3 совершает поступательное движение, угловая скорость такого движения равна нулю.

Упражнения.

Определить с помощью мгновенного центра скоростей скорости точек А, В и С в механизмах, представленных на чертежах

А									В
				А

				300	C					300

	30	0	В	ωОА	О	300	В			C
					О
	VВ
Рис.1			Рис.2				300

											А
				В						Рис. 3
	A		C			ωОА
				O	A
ωОА
									C
O	450			450					30	0	В
							Рис.5

	Рис.4

				B			А	C		В

								600
O	ωОА		450					О
		A								20

Ускорения точек плоской фигуры.

Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, принимаемой за полюс, и вращательное движение вокруг этого полюса.

Следовательно, ускорение любой точки при плоском движении равно

геометрической сумме двух ускорений: ускорения выбранного полюса, и ускорения, полученного данной точкой при ее вращательном движении вокруг полюса.

Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры, тогда ускорение другой точки этой фигуры будет равно (рис.33).

aB = aA + aBA ,

где ускорение вращательного движения точки А вокруг точки В раскладывается на нормальное и касательное ускорения:

aBA = aBAτ + aBAn .

a BA a n a BAτ

BA B

Рис.33

Касательное ускорение вращательного движения точки вокруг полюса направлено перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и равно

aτBA = ε BA.

Нормальное ускорение направлено по отрезку ВА к полюсу А и равно

aBAn =ω2 BA.

Окончательно, полное ускорение точки В равно геометрической сумме трех ускорений: ускорения выбранного полюса А, нормального и касательного ускорений вращательного движения точки В вокруг этого полюса:

aB = aA +aBAn +aBAτ .

Мгновенным центром ускорений называется точка, принадлежащая связанной с плоской фигурой плоскости, ускорение которой в данный момент равно нулю.

Если за полюс выбрать мгновенный центр ускорений, то ускорение произвольной точки плоской фигуры определяется как ускорение вращательного движения вокруг мгновенного центра ускорений (рис.34).

	aA = aAL = aALn + aALτ ,
где L –мгновенный	центр ускорений, aALn	—
нормальное		τ	касательное ус-	А
ускорение, aAL —	aALτ	ε aALn
корение точки А вращательного движения пло-
ской фигуры вокруг мгновенного центра уско-		L
рений.	aALn =ω2 AL,	aτAL =ε AL.		aA

Ускорение aALn	— направлено по AL , уско-
рение aALτ	— перпендикулярно AL. Ускорение		Рис.34
aA точки А образует угол α с отрезком AL со-

единяющим точку А с мгновенным центром ускорений и равно (рис.35)

aA = (aALn )2 +(aτAL )2 = AL ω4 +ε2 ,
tgα = aτAL	=	ε	.	L
aALn		ω2	А	ε

Таким образом, если известно ускорение точки А плоской фигуры, то, чтобы найти положение мгновенного центра ускорений, следует это ускорение повернуть вокруг точки А на угол α в сторону вращения фигуры и на полученной прямой отложить расстояние

Если известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, то мгновенный центр ускорений определяется как точка пересечения получен-

ных поворотом этих ускорений на один и тот же угол α = arctq ωε2 в сторону вращения.

Задача1. Центр колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, в данный момент имеет скорость VC = 2 м/c и ускорение аC = 1,6 м/c. Радиус колеса R = 0,4 м. Определить точек В и Р (рис. 36).

Решение. Так как скорость и ускорение точки С известны, то принимаем точку С за полюс.

	С	aC	В	aC	Тогда aB = aC +aBCn +aBCτ
	aP = aC +aPCn +aPCτ ,
			VC
aPCn			a n	где
					BC
τ						aBCn = ω2 BC = ω2 R,	aPCn = ω2 PC = ω2 R,

aPC	Р	aC		τ	= ε BC = ε R,	τ
Рис. 36				aBC	aPC = ε BC = ε R.

Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р – точке каса-

ния колеса с неподвижной плоскостью, поэтому

VC = ωCP =ω R, откуда ω =

, при t = 1c, ω =ω =

=5 (1/ c).

0,4

Угловое ускорение колеса

ε =

dω

dVC

, при t =1 c, ε =

1,6

= 4 (1/ c2 )

0,4

Тогда

aτBC = ε R =

R = aC ,

aτPC = ε R =

R = aC .

Ускорение точки Р будет направлено к центру колеса точке С и равно

aP = aBCn =ω2 R = 52 0,4 =10 (м/ c2 ) .

Для определения ускорения в точке В спроектируем векторное равенство aB = aC +aBCn +aBCτ на горизонтальную ось x и вертикальную ось у:

aBx	= aC − aBCn = aC −ω2 R =1,6 −52 0,4 = −8,4 ( м/ с2 )
aBy	= −aτDC = −aC = −1,6 ( м/ c2 )
aB =	aBx2 + aBy2 = (−8,4)2 +(−1,6)2 ≈ 8,55 ( м/ c).

Задача 2. Колесо радиуса R = 0,4 м катится без скольжения так, что центр колеса имеет постоянную скорость VC =2 м/c. Определить ускорения точек Р и М обода колеса(рис.37)

Решение. Так как скорость центра колеса является постоянной, то его

ускорение рений.

aMτ

aMn

aC = 0 , следовательно, точка С будет мгновенным центром уско-

aMC VC

Мгновенный центр скоростей находится в точке Р – точке контакта с неподвижной плоскостью. Значит

ω = CPVC = VRC = const.

Отсюда следует,

&	tgα =	ε	= 0, α = 0.

чтоε =ω = 0,	ω	2

Следовательно, ускорения всех точек колеса будут направлены к центру колеса и равны

	aM =ω2	2
Рис.37	CM = ω2 R = VC .

			R

Ускорение точки М, находящейся на ободе колеса, являясь полным ускорением криволинейного движения, раскладывается на касательное, направленное по скорости в этой точке, и нормальное ускорение, направленное по перпендикуляру к скорости, т.е. по прямой, соединяющей точку М с мгновенным центром скоростей. (рис.37.).

aM = aMn + aMτ ; aMn = aM cosα, aτM = aM sin α.

Задача 3. Определить скорости точек А, В, С и ускорения точек А и В кри- вошипно-шатунного механизма (рис.38), если кривошип вращается с посто-

y							янной угловой скоростью ωОА = 2
	А					1/с, ОА = АВ = 0,6 м, МВ = 0,3 м, ϕ

				C				=300.

О		ϕ	ϕ			В x	Решение. Скорость точки А
					(рис. 39) перпендикулярна криво-


			Рис.38					шипу ОА и равна
								VA =ωOA OA =1,2 м/c.

	Звено АВ совершает плоское движение/ Скорость точки В направлена
горизонтально, что обусловлено направляющими, вдоль которых движется
ползун В.
	Для определения скоростей точек А и В, принадлежащих шатуну АВ, оп-
ределим положение мгновенного центра скоростей этого звена. Проведем
			P		перпендикуляры	к	скоростям	в
				точках А и В, мгновенный центр

y	VA				скоростей Р находится в точке их
	A			пересечения.

		VC				Скорости точек при плоском
			C		движении пропорциональны рас-
О	300	300	x	стояниями до мгновенного центра
			В		скоростей.
		VB			VB =	AP
	Рис.39				. В треугольнике АВР:
АР = ВР, следовательно, VB=VA=1,2 м/с.	VA	BP

	Скорость VC	точки С направлена перпендикулярно отрезку СР, соеди-
няющему точку С с мгновенным скоростей. Значение скорости VC находим
из пропорции: VC	= CP . Из треугольника АСР:	СР =AP sin 60.
	VA	AP
	Следовательно, VC= VA sin 600 = 1,03 м/с.
	Угловая скорость шатуна равна	ωAB = VA	= 1,2	= 2	м/c.
					AP	0,6
		y		А
			aAn
				аВАn		aBAτ
		О	300
			aB		В	x


			Рис.40
	Ускорение точки А представляет собой нормальное ускорение аАn , на-
правленное по кривошипу (рис. 40)
	aAn =ωOA2	OA =2,4 м/c.
Ускорение точки В направлено по оси х и определяется векторным равенст-
вом:		aB = aAn +aBA = aAn +aBAn +aBAτ ,
					(а)
где векторы aBAn	и aBAτ	представляют собой составляющие ускорения вра-
щательного движения звена АВ вокруг точки А. Вектор	aBAn	направлен по
радиусу вращения ВА , ускорение aBAτ	— перпендикулярно АВ.
									25

Нормальное ускорение

aBAn =ωAB2 AB =2,4 м/с.

Таким образом, в уравнении (а) неизвестными являются ускорения aB и aBAτ . Для их определения спроектируем равенство (а) на оси х и у.

На ось х:

−aB

= −aAn cos 300

−aBAn cos 300

+ aτBA sin 300 .

(б)

На ось у:

0 = −aAn sin 300

+aBAn

sin 300 +aτBA cos300 .

(в)

Из уравнения (в) находим aτBA = aAn tg300 −aBAn

tg300 =0.

Угловое ускорение шатуна равно нулю.

Из уравнения (б) получаем aB =2,06 м/с.

Определим ускорение точки С (рис.41 ).

aC = aAn +aCA = aAn +aCAn +aCAτ

(г)

аАn

аCx

аCА

аn

300

аC

аCy

ВА В

Рис.41

Касательное ускорение

aCAτ = 0

Нормальное ускорение

aCAn =ω2 AC = 22 0,6 =1,2 (м/ c2 ).

Находим проекции уравнения (г)на оси Ох и Оу:

aCx = −aAn cos300 −aCAn cos300	= −1,82 (м/ c2 ).
aC y = −aAn sin 302 +aCAn sin 300 = −2,4 0,5 +1,2 0,5 = −0,6( м/ c2 ).
Ускорение точки С равно
aC = aCx2 +aCy2 = (1,82)2 +(−0,6)2	=1,91 ( м/ c2 )

Контрольрые вопросы

1.Определение плоскопараллельного движения.

2.Уравнения движения плоской фигуры.

3.Определение скоростей точек плоской фигуры.

4.Теорема Жуковского.

5.Мгновенный центр скоростей. Свойства м.ц.с.

6.Способы нахождения мгновенного центра скоростей.

7.Решение задач с помощью мгновенного центра скоростей.

8.Ускорения точек плоской фигуры.

Библиографический список

1.Бутенин Н.В и др. Курс теоретической механики.

Лань, 2002.- 736 стр.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, 2004. – 416 стр.

3.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Интеграл-Пресс, 2004. – 608 стр.

4.Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Интеграл-Пресс, 2004. – 384 стр.

Соседние файлы в папке Термех

Источник

Содержание:

Мгновенный центр скоростей:

В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если Обозначим ее

Для доказательства этой теоремы достаточно указать способ нахождения мгновенного центра скоростей, если известны по модулю и направлению скорость какой-либо точки плоской фигуры и угловая скорость этой фигуры в рассматриваемый момент времени. Пусть вращение происходит по часовой стрелке ( и ) (рис. 46). Скорость точки плоской фигуры равна нулю, если скорость полюса и скорость от вращения вокруг полюса в этой точке равны по модулю, но противоположны по направлению. Эти точки лежат на перпендикуляре к скорости в точке . В других точках векторная сумма двух векторов не может быть равна нулю.

Рис. 46

Итак, если , то .

следовательно,

Таким образом, мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости , проведенном из точки , на расстоянии .

Мгновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром является уже другая точка плоской фигуры.

Если мгновенный центр известен, то, приняв его за полюс и учитывая, что скорость его в этом случае равна нулю, согласно (3) и (4), для точки фигуры имеем

где —расстояние от точки до мгновенного центра скоростей.

По направлению скорость в этом случае перпендикулярна отрезку . Для точки , аналогично,

причем скорость перпендикулярна отрезку .

Из (5) и (6) имеем

Следовательно, если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своей плоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своего мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Для нахождения скоростей точек тела при его плоском движении обычно предварительно находят мгновенный центр скоростей. Но можно применить формулу, выражающую зависимость между скоростями двух точек тела.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей. Существует два основных способа его нахождения: из механических условий задачи и по скоростям точек плоской фигуры.

В некоторых случаях удается сразу указать точку плоской фигуры, скорость которой в рассматриваемый момент равна нулю. Эти точки в таких задачах и являются мгновенными центрами скоростей. Так, в случае качения без скольжения одного тела по поверхности другого неподвижного тела точка соприкосновения поверхностей тел и является мгновенным центром скоростей.

Рис. 47

Рис. 48

Например, при качении без скольжения колеса по неподвижной прямой линии (см. рис. 52) и одного колеса по неподвижному другому колесу (см. рис. 61) мгновенный центр скоростей находится в точках соприкосновения колеса с прямой и соответственно колеса с колесом. В общем случае, если известны скорости двух точек плоской фигуры (рис. 47), мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям этих точек.

В том случае, когда точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек, скорости точек параллельны и концы их лежат на одной прямой, проведенной через мгновенный центр скоростей (рис. 48 и 49), так как скорости точек пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей. Если скорости двух точек, расположенных на общем перпендикуляре к этим скоростям, еще и равны (рис. 50), то имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры, при котором скорости всех точек фигуры одинаковы по модулю и направлению. Угловая скорость плоской фигуры при мгновенном поступательном движении равна нулю, и в этом случае, согласно формуле (7), мгновенный центр скоростей находится в бесконечности.

Рис. 49

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Невозможен случай, когда скорости двух точек, не лежащих на общем перпендикуляре к скоростям, не равны друг другу по модулю, но параллельны (рис. 51), так как для него не выполняется теорема о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Пример:

Колесо радиусом (рис. 52) катится без скольжения по неподвижной прямой, имея скорость центра . Определить скорости точек , и обода колеса в данный момент времени.

Решение. Мгновенный центр скоростей в этом случае находится в точке соприкосновения колеса с прямой. Угловая скорость колеса определяется по формуле (7):

По формуле (5) для скоростей указанных точек имеем

так как

Скорости точек колеса направлены по перпендикулярам к отрезкам прямых, соединяющих мгновенный центр скоростей с рассматриваемыми точками.

Вычисление угловой скорости при плоском движении

Угловую скорость плоской фигуры при плоском движении можно вычислить, согласно ее определению, как

Затем ее можно определить по формуле (7):

Чтобы определить угловую скорость, надо скорость какой-либо точки плоской фигуры разделить на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей. Направление вращения определяем по направлению скорости какой-либо точки, считая, что плоская фигура в данный момент вращается вокруг мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Рис. 53

Угловую скорость при плоском движении можно вычислить путем предварительного нахождения скорости какой-либо точки плоской фигуры от вращения фигуры вокруг другой ее точки, принятой за полюс, например или . Тогда угловая скорость, согласно формуле (4),

Знак угловой скорости определяют по направлению относительной скорости какой-либо точки фигуры от вращения фигуры вокруг другой ее точки, выбранной за полюс.

Применяют и другие способы определения угловой скорости. Так, если предварительно установить зависимость угла поворота плоской фигуры от линейных и угловых величин других плоских фигур тождественным соотношением, то, дифференцируя его по времени, получаем соотношение, из которого иногда удается определить искомую угловую скорость. Этот способ используют часто для нахождения зависимости угловых скоростей отдельных звеньев плоских механизмов.

Пример:

В кривошипно-шатунном механизме (рис. 53) даны длины кривошипа , шатуна и расстояние от оси вращения кривошипа до направляющей ползуна . Установить зависимость между угловыми скоростями кривошипа и шатуна при любом положении механизма.

Решение. Положение кривошипа определяется углом , а шатуна — углом . До тех пор пока , справедливо тождество

Дифференцируя это тождество по времени, получим

Но ; следовательно,

Полученное соотношение и является искомой зависимостью между угловыми скоростями кривошипа и шатуна. При имеем частный случай кривошипно-шатунного механизма. Если дополнительно , то и .

Направления вращений кривошипа и шатуна противоположны. При вращении кривошипа против часовой стрелки шатун вращается по часовой стрелке.

Ускорения точек тела при плоском движении

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сложное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг , по теореме о сложении ускорений для точки имеем

Рис. 54

Так как переносное движение является поступательным вместе с точкой фигуры, то переносное ускорение

Относительное ускорение точки от вращения вокруг полюса обозначим . После этого формула (9) принимает вид

т. е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

Ускорение от относительного вращательного движения вокруг полюса, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из касательной и нормальной составляющих и :

причем

и _________

Касательное относительное ускорение направлено по перпендикуляру к отрезку в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 54, а). Нормальное относительное ускорение соответственно направлено по линии от точки к полюсу . Наконец, полное относительное ускорение составляет с отрезком угол , тангенс которого можно определить по формуле

Из формулы (15) следует, что угол для всех точек плоской фигуры одинаков. При угол от ускорения к отрезку надо откладывать против часовой стрелки. При его надо откладывать по часовой стрелке, т. е. во всех случаях, независимо от направления вращения фигуры, угол всегда надо откладывать в направлении дуговой стрелки углового ускорения. В соответствии с (10) и (11) можно построить в выбранном масштабе многоугольник ускорений для точки (рис. 54, б).

Формулу (10), определяющую зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей, справедливого в любой момент времени. Имеем

Продифференцируем по времени обе части этого равенства, учитывая изменения векторных величин относительно неподвижной системы координат (полные производные). Получаем

Здесь — ускорения точек и относительно неподвижной системы координат; — угловое ускорение плоской фигуры. У вектора постоянный модуль; следовательно, его производная по времени выражается в форме

Объединяя полученные результаты, получаем

Рассуждения, аналогичные тем, которые проведены для скорости , позволяют сделать вывод о том, что

т. е. являются соответственно касательным и нормальным ускорениями от вращения плоской фигуры вокруг точки . Следовательно,

Заказать решение задач по теоретической механике

Пример:

Колесо радиусом катится со скольжением по неподвижной прямой, совершая плоское движение (рис. 55). Ускорение центра колеса в рассматриваемый момент времени , а угловая скорость и угловое ускорение колеса и . Дуговые стрелки для и направлены по часовой стрелке, т. е. и . Определить в этот момент времени ускорения точек , и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров обода колеса.

Решение. Ускорение точки , приняв за полюс точку , определим по формуле

и аналогичным формулам для точек и . Для касательного и нормального ускорений точки от вращения колеса вокруг точки имеем

Рис. 55

Ускорение перпендикулярно отрезку и направлено в сторону, указываемую дуговой стрелкой , а ускорение направлено от точки к точке , принятой за полюс. Аналогично направлены ускорения для точек и .

Так как для точки ускорения и направлены по одной прямой, то, предварительно их сложив, получим две перпендикулярные составляющие ускорения и, следовательно,

Для точки

так как

Окончательно для точки имеем

Для точки соответственно

В том случае, когда колесо катится без скольжения, точка является мгновенным центром скоростей и скорость точки в любой момент времени равна нулю. Скорость точки в этом случае можно определить по формуле

Дифференцируя по времени обе части этого тождества и приравнивая результат дифференцирования, получим

или

так как точка движется прямолинейно, и

Учитывая, что

имеем

Следовательно, при качении колеса по прямой без скольжения

т. е. ускорение мгновенного центра скоростей, скорость которого равна нулю, не равно нулю.

Если угловое ускорение не задано, то при отсутствии скольжения колеса по прямой его можно определить по формуле

Мгновенный центр ускорений
Мгновенный центр вращения
Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
Сложное движение точки
Пространственная система сил
Центр тяжести
Кинематика точки
Плоское движение твердого тела

Источник

Мгновенный центр скоростей и способ его нахождения

Из построения плана скоростей вытекает, что в каждый момент существует точка плоской фигуры, скорость которой равна нулю. Этой точке плоской фигуры соответствует полюс на плане скоростей.

Точкой плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Условимся обозначать его буквой Р. Положение мгновенного центра скоростей можно определить двумя геометрическими способами: 1) по заданной скорости какой – либо точки плоской фигуры и мгновенной угловой скорости вращения этой фигуры; 2) по известным направлениям скоростей двух точек плоской фигуры.

Первый способ. Пусть заданная скорость υ_А точки А плоской фигуры и мгновенная угловая скорость ω вращения фигуры вокруг точки А (рис. 73, а). Тогда по формуле (ІІ.95) получим для мгновенного центра скоростей Р

υ_Р= υ_А+ υ_АР.

Но, по определению точки Р , υ_Р=0. Следовательно,

υ_АР= -υ_А

откуда

Способы нахождения мгновенного центра скоростей

Вычисление угловой скорости при плоском движении

Ускорения точек тела при плоском движении

Рекомендуемые материалы

Метод определения мгновенного центра скоростей