Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!
Почему??? При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.
Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ ( displaystyle BD):
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?
Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).
Она называлась у нас ( displaystyle M).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?
Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике
Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Задача №1:
В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).
Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).
Рисуем:
Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!
Ура! Можно применить теорему Пифагора!
Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})
( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)
Ответ: ( AB=13)
А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?
Запомни очень важный факт:
Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.
Сложно? Смотри на рисунок:
Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.
Запомни:
- ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
- ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
- ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.
Доказательство теоремы о трех медианах треугольника
Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).
Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?
Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?
- ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
- ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).
Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:
- ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
- ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Что из этого следует?
- ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
- ( displaystyle NK=FG)
Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?
Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?
А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.
Получилось что:
Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам
Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.
Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.
Как с этим справиться?
Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.
ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.
ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия
Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.
Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.
И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство
Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
- Определение медианы треугольника
-
Свойства медианы
- Свойство 1 (основное)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Примеры задач
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
- BF – медиана, проведенная к стороне AC.
- AF = FC
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
- AO = 2OE
- BO = 2OF
- CO = 2OD
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
S1 = S2
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см2. Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Медиана треугольника
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 429.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 429.
Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Определение
Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.
Свойства медиан
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.
Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.
- Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
- Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Задачи
Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:
- В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.
Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенузу находим через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
$$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$
Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.
Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.
- В треугольнике известны значения сторон : a=8; b=7; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.
Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:
$$m^2 ={1over2}*(b^2+c^2-a^2)$$
Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.
Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(b^2+c^2-a^2)}$$
$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание – 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.
Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.
Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.
$$S={1over2}*6*8=24$$
Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Irina Semenova
10/10
-
Гульжан Дощанова
10/10
-
Татьяна Киприянова
10/10
-
Ольга Почивалова
9/10
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 429.
А какая ваша оценка?
What is a Median?
The Median is the middle value of a set of data. To determine the median value in a sequence of numbers, the numbers must first be arranged in ascending order.
- If there is an odd amount of numbers, the median value is the number that is in the middle, with the same amount of numbers below and above.
- If there is an even amount of numbers in the list, the median is the average of the two middle values.
Properties of Median:
- The Median is joined by the mean and the mode to create a grouping called measures of central tendency.
- The Median is an important measure (compared to the mean) for distorted data because the median is not so easily distorted. For example, median of {1, 2, 2, 5, 100) is 2, and the mean is 22.
- If the user adds a constant to every value, the mean and median increase by the same constant.
- If the user multiplies every value by a constant, the mean and the median will also be multiplied by that constant.
- The median is sometimes used as opposed to the mean when there are outliers in the sequence that might skew the average of the values.
DSA Self paced Course
How to calculate the Median of ungrouped data:
How to calculate the Median of grouped data:
How to find a median of an unsorted array?
Given an unsorted array arr[] of size N, the task is to find its median.
Median of a sorted array of size n is defined as below:
It is middle element when n is odd and average of middle two elements when n is even. Since the array is not sorted here, we sort the array first, then apply above formula.
Examples:
Input: arr[] = {1, 3, 4, 2, 6, 5, 8, 7}
Output: Median = 4.5
Explanation: Since number of elements are even, median is average of 4th and 5th largest elements. which means (4 + 5)/2 = 4.5Input: arr[] = {4, 4, 4, 4, 4}
Output: Median = 4
Approach: To solve the problem follow the below steps:
- First, simply sort the array
- Then, check if the number of elements present in the array is even or odd
- If odd, then simply return the mid value of the array
- Else, the median is the average of the two middle values
Below is the implementation for the above approach::
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double findMedian(int a[], int n)
{
sort(a, a + n);
if (n % 2 != 0)
return (double)a[n / 2];
return (double)(a[(n - 1) / 2] + a[n / 2]) / 2.0;
}
int main()
{
int a[] = { 1, 3, 4, 2, 7, 5, 8, 6 };
int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
cout << "Median = " << findMedian(a, n) << endl;
return 0;
}
Java
import java.util.*;
class GFG {
public static double findMedian(int a[], int n)
{
Arrays.sort(a);
if (n % 2 != 0)
return (double)a[n / 2];
return (double)(a[(n - 1) / 2] + a[n / 2]) / 2.0;
}
public static void main(String args[])
{
int a[] = { 1, 3, 4, 2, 7, 5, 8, 6 };
int n = a.length;
System.out.println("Median = " + findMedian(a, n));
}
}
Python3
def findMedian(a, n):
sorted(a)
if n % 2 != 0:
return float(a[n // 2])
return float((a[int((n-1)/2)] +
a[int(n / 2)])/2.0)
a = [1, 3, 4, 2, 7, 5, 8, 6]
n = len(a)
print("Median =", findMedian(a, n))
C#
using System;
class GFG {
public static double findMedian(int[] a, int n)
{
Array.Sort(a);
if (n % 2 != 0)
return (double)a[n / 2];
return (double)(a[(n - 1) / 2] + a[n / 2]) / 2.0;
}
public static void Main()
{
int[] a = { 1, 3, 4, 2, 7, 5, 8, 6 };
int n = a.Length;
Console.Write("Median = " + findMedian(a, n)
+ "n");
}
}
PHP
<?php
function findMedian(&$a, $n)
{
sort($a);
if ($n % 2 != 0)
return (double)$a[$n / 2];
return (double)($a[($n - 1) / 2] +
$a[$n / 2]) / 2.0;
}
$a = array(1, 3, 4, 2,
7, 5, 8, 6);
$n = sizeof($a);
echo "Median = " .
findMedian($a, $n);
?>
Javascript
<script>
function findMedian(a, n)
{
a.sort();
if (n % 2 != 0)
return a[parseInt(n / 2)];
return (a[parseInt((n - 1) / 2)] + a[parseInt(n / 2)]) / 2.0;
}
let a = [ 1, 3, 4, 2, 7, 5, 8, 6 ];
let n = a.length;
document.write("Median = " + findMedian(a, n));
</script>
Time Complexity: O(n Log n), as we need to sort the array first.
Auxiliary Space: O(1)
Basic Program related to Median:
- Maximize the median of an array
- Minimum Increment / decrement to make array elements equal
- Minimum sum of differences with an element in an array
- Median of two sorted arrays of different sizes | Set 1 (Linear)
- Median of two sorted arrays with different sizes in O(log(min(n, m)))
More problems related to Median:
- Median and Mode using Counting Sort
- Minimum number of elements to add to make median equals x
- Decode a median string to the original string
- Median after K additional integers
- Find median in row wise sorted matrix
- Find median of BST in O(n) time and O(1) space
- Median in a stream of integers (running integers
Recent Articles on Median!
Last Updated :
17 Aug, 2022
Like Article
Save Article
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
где
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
а) 11;
б) 5;
в) 10;
г) 5, 10, 11.
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
Поделиться в социальных сетях: