Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева, или уравнение состояния идеального газа. Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь — пара примеров задач:
Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона
-
В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе? - Некоторое количество гелия при 78 градусах Цельсия и давлении 45,6 атмосфер занимает объем 16,5 литров.
Вопрос: Каков объем этого газа при нормальных условиях? (Напомню, что нормальными условиями для газов считается давление в 1 атмосферу и температура 0 градусов Цельсия)
В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.
Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Теперь немного формул.
Уравнение Клапейрона-Менделеева
где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль
Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также
где n — число молей газа
И как нетрудно заметить, соотношение
есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.
И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы — законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.
Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.
Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры
Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры
Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.
Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.
Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:
Уравнение состояния идеального газа
Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.
Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м3 под давлением 8,3∙105 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.
Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:
Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.
Подсказки к задачам
| Давление возросло на 15% | p2 = 1,15p1 |
| Объем увеличился на 2% | V2 = 1,02V1 |
| Масса увеличилась в 3 раза | m2 = 3m1 |
| Газ нагрелся до 25 оС | T2 = 25 + 273 = 298 (К) |
| Температура уменьшилась на 15 К (15 оС) | T2 = T1 – 15 |
| Температура уменьшилась в 2 раза |  |
| Масса уменьшилась на 20% | m2 = 0,8m1 |
| Выпущено 0,7 начальной массы |
Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому: m2 = 0,3m1 |
| Какую массу следует удалить из баллона? | Нужно найти разность начальной и конечной массы:
m1 – m2 |
| Газ потерял половину молекул |  |
| Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы |  |
| Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ) | M (O3) = 3Ar (O)∙10–3 кг/моль
M (O2) = 2Ar (O)∙10–3 кг/моль |
| Открытый сосуд | Объем V и атмосферное давление pатм остаются постоянными |
| Закрытый сосуд | Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины |
| Нормальные условия | Температура T0 = 273 К
Давление p0 = 105 Па |
| Единицы измерения давления | 1 атм = 105 Па |
Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.
2,8 МПа = 2,8∙106 Па
1,5 МПа = 1,5∙106 Па
Так как половина молекул была выпущена, m2 = 0,5m1. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:
Преобразим уравнения и получим:
Приравняем правые части и выразим искомую величину:
Задание EF19012
На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.
Алгоритм решения
1.Указать, в каких координатах построен график.
2.На основании основного уравнения МКТ идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона выяснить, как меняются указанные физические величины во время процессов 1–2 и 2–3.
Решение
График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:
T=2−Ek3
Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
pV=νRT
Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:
νR=p1V1T1=p2V2T2
Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.
Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.
Ответ:
• Участок 1–2 — изобарный процесс. Температура увеличивается, давление постоянно.
• Участок 2–3 — изотермический процесс. Температура постоянно, давление увеличивается.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22473
На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10–9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.
Ответ:
а) 8,31⋅ 10–11 кг/м3
б) 1,38⋅ 10–9 кг/м3
в) 3⋅ 10–10 кг/м3
г)29⋅ 10–8 кг/м3
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона.
3.Выразить из уравнения плотность.
4.Подставить известные данные и сделать вычисления.
Решение
Запишем исходные данные:
• Давление воздуха на высоте 200 км: p = 10–9∙105 Па. Или p = 10–4 Па.
• Температура воздуха на этой же высоте: T = 1200 К.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
pV=mMRT
Плотность определяется формулой:
ρ=mV
Следовательно, масса равна произведению плотности на объем. Перепишем уравнение состояния идеального газа, учитывая, что объем сократится слева и справа:
p=ρMRT
Молярная масса воздуха — табличная величина, равная 28,97 г/моль. Переведем в СИ и получим 28,97∙10–3 кг/моль.
Выразим и вычислим плотность:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22749
Одноатомный идеальный газ в количестве ν моль помещают в открытый сверху сосуд под лёгкий подвижный поршень и начинают нагревать. Начальный объём газа V0, давление p0. Масса газа в сосуде остаётся неизменной. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь. R– универсальная газовая постоянная.
Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими газ, и формулами, выражающими их зависимость от абсолютной температуры T газа в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать уравнение состояния идеального газа и выразить из него объем. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.
2.Определить, от чего зависит внутренняя энергия идеального газа.
3.Записать основное уравнение МКТ и выразить внутреннюю энергию идеального газа. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.
Решение
Уравнение состояния идеального газа имеет вид:
pV=mMRT
Учтем, что отношение массы к молярной массе есть количество вещества.Отсюда объем равен:
V=νRTp
Следовательно, первой цифрой ответа будет «1».
Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех молекул этого газа:
E=N−Ek
Запишем основное уравнение МКТ:
p=nkT
Отсюда температура газа равна:
T=pnk
Но температура прямо пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа:
T=2−Ek3k
Следовательно:
pnk=2−Ek3k
−Ek=3p2n
E=N−Ek=N3p2n
Но концентрация определяется отношением количества молекул к объему. Следовательно:
E=N3pV2N=3pV2
А произведение давления на объем можно выразить через уравнение Менделеева — Клапейрона. Следовательно:
E=32νRT
Вторая цифра ответа будет «3».
Ответ: 13
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22795
На рисунке показан график зависимости давления газа в запаянном сосуде от его температуры. Объём сосуда равен 0,25 м3. Какое приблизительно количество газообразного вещества содержится в этом сосуде? Ответ округлите до целых.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Выбрать любую точку графика и извлечь из нее дополнительные данные.
3.Записать уравнение состояния идеального газа.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные. Объем сосуда равен: V = 0,25 м3. На графике выберем точку, соответствующую температуре T = 300 К. Ей соответствует давление p = 2∙104 Па.
Запишем уравнение состояния идеального газа:
pV=νRT
Отсюда количества вещества равно:
ν=pVRT=2·104·0,258,31·300≈2 (моль)
Ответ: 2
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17664
Зависимость объёма идеального газа от температуры показана на VТ-диаграмме (см. рисунок). В какой из точек давление газа максимально? Масса газа постоянна.
Ответ:
A
B
C
D
Алгоритм решения
1.Записать уравнение состояния идеального газа.
2.Установить, как зависит давление от объема и температуры газа.
3.На основании графика, отображающего изменение температуры и объема газа, установить, в какой точке давление газа максимально.
Решение
Запишем уравнение состояния идеального газа:
pV=νRT
Отсюда видно, что давление прямо пропорционально температуре. Это значит, что с ростом температуры давление увеличивается.
Также видно, что давление обратно пропорционально объему. Следовательно, давление увеличивается с уменьшением объема.
Отсюда следует, что давление будет максимальным в той точке, в которой температура максимальна, а объем минимален. Такой точкой является точка D.
Ответ: D
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18093
В камере, заполненной азотом, при температуре 
К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда 
см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры 
К. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T0. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным 
см (см. рис. 3). Чему равно h? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения физических величин в СИ.
2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона и применить его ко всем состояниям газа.
3.Определить условие равновесия пробки.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Начальная температура азота: T0 = 300 К.
• Высота сосуда: L = 50 см.
• Температура азота после охлаждения: T1 = 240 К.
• Высота столба азота после нагревания: H = 46 см.
50 см = 0,5 м
46 см = 0,46 м
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
pV=νRT
Так как количество азота не меняется, можем принять, что:
pVT=const
Применим уравнение Менделеева — Клапейрона для всех трех состояний азота. Учтем, что
p0V0T0=p1V1T1=p2V2T2
Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда. Тогда объемы столба азота для каждого из состояний будут равны:
V0=SL
V1=Sh
V2=SH
Известно, что в состоянии 3 температура азота поднимается до первоначальной. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона примет вид:
p0SLT0=p1ShT1=p2SHT0
p0LT0=p1hT1=p2HT0
Неизвестными остались только давления. Их можно определить, записав условие равновесия пробки.
В состоянии 1 сила давления азота на пробку определяется формулой:
p0S=pатмS
В состоянии 2 на пробку действует сила давления со стороны азота и атмосферного давления, я а также сила трения, направленная вверх. Следовательно:
p1S=pатмS−Fтр=p0S−Fтр
В состоянии 3 на пробку действуют те же силы, но сила трения теперь действует не вверх, а вниз. Поэтому:
p2S=pатмS+Fтр=p0S+Fтр
Выразим из этих уравнений силу трения:
Fтр=p0S−p1S
Fтр=p2S−p0S
Приравняем правые части и получим:
p0S−p1S=p2S−p0S
Отсюда:
p0−p1=p2−p0
2p0=p2+p1
p0=p2+p12
Подставим это значение в уравнение Менделеева — Клапейрона и получим:
p2+p12LT0=p1hT1=p2HT0
Отсюда:
p2+p12L=p2H
p2L+p1L=2p2H
p1L=2p2H−p2L=p2(2H−L)
p1=p2(2H−L)L
Отсюда:
p2(2H−L)LhT1=p2HT0
Давление слева и справа взаимоуничтожается. Остается:
T0(2H−L)Lh=HT1
Отсюда выразим h:
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18873
В сосуде неизменного объёма при комнатной температуре находилась смесь неона и аргона, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль аргона. Как изменились в результате парциальное давление неона и давление смеси газов, если температура газов в сосуде поддерживалась неизменной?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
- увеличилась
- уменьшилась
- не изменилась
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Установить характер изменения парциального давления неона.
3.Применить закон Менделеева — Клапейрона, чтобы установить характер изменения общего давления смеси газов.
Решение
Исходные данные:
• Количество неона: ν1 = 1 моль.
• Количество аргона: ν2 = 1 моль.
• Количество впущенного аргона: ν4 = 1 моль.
Сначала парциальное давление неона и аргона равно. Это объясняется тем, что давление газов при неизменном количестве вещества зависит только от объема и температуры. Эти величины постоянны.
Когда из сосуда выпустили половину газовой смеси, в нем оказалось по половине моля каждого из газов. Затем в сосуд впустили 1 моль аргона. Следовательно, в сосуде стало содержаться 0,5 моль неона и 1,5 моль аргона. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
pV=νRT
Из уравнения видно, что давление и количество вещества — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если количество неона уменьшилось, то его парциальное давление тоже уменьшилось.
Общая сумма количества вещества равна сумме количеств вещества 1 (неона) и 2 (аргона): 0,5 + 1,5 = 2 (моль). Изначально в сосуде тоже содержалось 2 моль газа. Так как количество вещества, температура и объем сохранились, давление тоже осталось неизменным.
Ответ: 23
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 6.5k
Уравнение Менделеева-Клапейрона
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 83.
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 83.
Одним из важных соотношений, связывающим макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой) является уравнение Менделеева-Клапейрона. Рассмотрим его подробнее.
Уравнение Клапейрона
Теоретической основой для формулы состояния идеального газа является молекулярно-кинетическая теория.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление идеального газа с концентрацией и среднеквадратичной скоростью молекул:
$$p={1over 3}nm_0overline {v^2},$$
где:
- $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема);
- $m_0$ – масса молекулы;
- $overline {v^2}$ – среднеквадратичная скорость молекулы.
Если известна среднеквадратичная скорость материальной точки, то ее энергия равна $overline E = {m_0overline {v^2}over 2}$, а значит:
$$p={2over 3}noverline E$$
Средняя энергия молекулы газа прямо пропорциональна температуре (коэффициент $k$ – постоянная Больцмана):
$$overline E = {3over 2}kT$$
Подставим это выражение в предыдущее, и получим:
$$p = nkT$$
Выведенная формула означает, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул любого газа одинакова.
Концентрация молекул газа равна отношению количества молекул газа к его объему:
$$n={Nover V}$$
А значит, если число молекул постоянно, то отношение произведения давления и объема к температуре для идеального газа будет постоянным:
$${pVover T} = const$$
Данное соотношение называется уравнением Клапейрона. (Оно было выведено Б.Клапейроном)
Уравнение состояния идеального газа
Количество молекул газа в уравнении Клапейрона можно получить, зная количество вещества (каждый моль вещества содержит одинаковое число молекул, равному числу Авогадро $N_A=6×10^{23}$). Оно равно отношению массы газа $m$ к его молярной массе $М$. Умножив это значение на число Авогадро, можно получить количество молекул газа. А поделив на объем – концентрацию. Следовательно:
$$n={mover M}{1over V}N_A$$
Подставим найденное значение концентрации в формулу давления, и получим:
$$p = nkT={mover M}{Tover V}kN_A$$
Произведение постоянной Больцмана $k$ и числа Авогадро $N_A$ называется универсальной газовой постоянной, которая равна $R=8.31$ и имеет единицу измерения $Дж over моль × К$. Подставив эту постоянную в уравнение, окончательно имеем:
$$pV ={mover M}RT$$
Полученное соотношение связывает макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой). Оно было получено Д.Менделеевым, и называется уравнением Менделеева-Клапейрона.
Парциальное давление и Закон Дальтона
Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно сделать вывод, что макроскопические газовые параметры зависят от значения молярной массы газа. В реальных задачах очень часто газ (например, воздух) представляет собой смесь газов различных молярных масс. В этом случае расчет производится для каждой компоненты смеси отдельно, как если бы компонента занимала весь объем газа при той же температуре. Давление, получаемое для каждой компоненты в этом случае, называется парциальным. А общее давление смеси газов находится из закона Дальтона: «Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений»:
$$p_{общ} = p_{парц 1} + p_{парц 2} + p_{парц 3} …$$
Что мы узнали?
Формула уравнения Менделеева-Клапейрона связывает макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой), и является основным уравнением состояния идеального газа. Если газ является смесью газов различной молярной массы, используется понятие парциального давления и Закон Дальтона.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 83.
А какая ваша оценка?
to continue to Google Sites
Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more