Минимальный многочлен оператора как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен матрицы

Многочлен p(lambda) переменной lambda называется аннулирующим для квадратной матрицы , если при подстановке в многочлен матрицы вместо переменной lambda получаем нулевую матрицу, т.е. p(A)=O .

Напомним, что для любой квадратной матрицы многочлен $Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)$ называется характеристическим.

Теорема 7.7 Гамильтона–Кэли. Характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для нее, т.е. $Delta_{A}(A)=O$ .

В самом деле, обозначим через $(A-lambda E)^{+}$ матрицу, присоединенную к характеристической матрице . Тогда из (7.7) следует

$(A-lambda E)cdot(A-lambda E)^{+}=Delta_{A}(lambda)cdot E,quad (A-lambda E)^{+}cdot(A-lambda E)=Delta_{A}(lambda)cdot E.$

(7.27)

Правые части этих равенств можно рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый коэффициент характеристического многочлена умножается на единичную матрицу). Из (7.27) следует, что λ-матрица $Delta_{A}(lambda)E$ делится на (A-lambda E) слева и справа без остатка, т.е. остаток равен нулевой матрице. По обобщенной теореме Безу остаток равен левому и правому значениям многочлена $Delta_{A}(lambda)E$ при подстановке матрицы вместо . Отсюда получаем $Delta_{A}(lambda)E=O$ , т.е. $Delta_{A}(lambda)=O$ , что и требовалось доказать.

Пример 7.11. Показать, что характеристический многочлен матрицы $A=begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}$ является для нее аннулирующим.

Решение. Находим характеристический многочлен матрицы (см. пример 7.8)

$Delta_{A}(lambda)=det(A-lambda E)= begin{vmatrix}1-lambda&1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambdaend{vmatrix}= (1-lambda)^3+2-3(1-lambda)=3 lambda^2-lambda^3.$

Подставляя вместо переменной lambda матрицу , получаем

$Delta_{A}=3A^2-A^3= 3! begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1end{pmatrix}^2-begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}^3= 3! begin{pmatrix}3&3&3\3&3&3\ 3&3&3 end{pmatrix}- begin{pmatrix}9&9&9\9&9&9\9&9&9end{pmatrix}=O.$

что и требовалось показать.

Теорема Гамильтона-Кэли говорит о том, что для квадратной матрицы n-го порядка всегда найдется аннулирующий многочлен n-й степени (характеристический многочлен имеет n-ю степень). Возникает вопрос о существовании аннулирующего многочлена меньшей степени.

Минимальным многочленом матрицы называется ее аннулирующий многочлен наименьшей степени (со старшим коэффициентом, равным единице). Минимальный многочлен будем обозначать $mu_{A}(lambda)$ .

Свойства минимального многочлена матрицы

1. Любой аннулирующий многочлен матрицы делится на минимальный многочлен (без остатка). В частности, характеристический многочлен делится на минимальный многочлен.

Действительно, предположим противное, пусть аннулирующий многочлен p(lambda) делится на минимальный многочлен $mu_{A}(lambda)$ с остатком:

$p(lambda)=q(lambda)cdotmu_{A}(lambda)+r(lambda),$

причем степень остатка r(lambda) меньше степени делителя $mu_{A}(lambda)$ . Тогда, подставляя вместо lambda матрицу , получаем r(A)=O , так как p(A)=O и $mu_{A}(lambda)=O$ . Следовательно, — аннулирующий многочлен, степень которого меньше, чем степень минимального многочлена, что противоречит определению минимального многочлена. Таким образом, предположение оказалось ложным, т.е. любой аннулирующий многочлен делится на минимальный (без остатка). Поскольку по теореме Гамильтона-Кэли характеристический многочлен является аннулирующим, то он также делится на минимальный многочлен.

2. Для каждой квадратной матрицы минимальный многочлен единственный.

В самом деле, если бы существовали два минимальных многочлена, то они имели бы одну и ту же степень и делились бы друг на друга, т.е. отличались бы только постоянным множителем. Однако, старшие коэффициенты этих многочленов равны единице, поэтому такие многочлены совпадают.

3. Все собственные значения матрицы являются корнями минимального многочлена.

Действительно, из равенства $mu_{A}(lambda)=O$ следует, что λ-матрица $mu_{A}(lambda)cdot E$ делится (например, слева) на характеристическую матрицу (A-lambda E) , то есть $mu_{A}(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot S(lambda)$ , где — некоторая λ-матрица (левое частное). Найдем определитель левой и правой частей последнего равенства с учетом теоремы 2.2 и пункт З замечаний 2.2:

$[mu_{A}(lambda)]^n=Delta_{A}(lambda)cdotdet{S(lambda)}.$

(7.28)

Подставляя в равенство (7.28) любой корень lambda_i,~i=1,ldots,n характеристического многочлена, получаем $[mu_{A}(lambda_i)]^n=0$ , т.е. $mu_{A}(lambda_i)=0$ , что и требовалось показать.

4. Если характеристический многочлен имеет вид (7.24), то минимальный многочлен этой матрицы можно представить в форме

$mu_{A}(lambda)= (lambda-lambda_1)^{m_1}cdot (lambda-lambda_2)^{m_2}cdotldotscdot(lambda-lambda_k)^{m_k},$

(7.29)

где 1leqslant m_1leqslant n_1,~1leqslant m_2leqslant n_2 и т.д., причем m_1+m_2+ldots+m_k=mleqslant n .

Это утверждение следует из свойства 3.

5. Минимальный многочлен матрицы находится по формуле

$mu_{A}(lambda)=frac{(-1)^nDelta_A(lambda)}{d_{n-1}(lambda)},,$

(7.30)

где $d_{n-1}(lambda)$ — наибольший общий делитель миноров (n-1)-го порядка характеристической матрицы (A-lambda E) .

Действительно, по свойству 1 характеристический многочлен $Delta_{A}(lambda)$ делится на минимальный многочлен, т.е. $Delta_{A}(lambda)=(-1)^n p(lambda)mu_{A}(lambda)$ , где — некоторый многочлен со старшим коэффициентом, равным единице. Умножив обе части равенства $mu_{A}(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot S(lambda)$ (см. свойство 3) на , получим в левой части характеристический многочлен, умноженный на единичную матрицу:

$Delta_{A}(lambda)cdot E=(-1)^ncdot(A-lambda E)cdot p(lambda)cdot S(lambda).$

Сравним это равенство с (7.27):

$Delta_A(lambda)cdot E=(A-lambda E)cdot(A-lambda E)^{+}.$

(7.31)

При делении λ-матрицы Delta_A(lambda)cdot E слева на характеристическую матрицу (A-lambda E) частные (левые) должны совпадать в силу единственности деления. Поэтому

$(-1)^ncdot p(lambda)cdot S(lambda)=(A-lambda E)^{+},$

т.е. многочлен p(lambda) — делитель всех элементов присоединенной матрицы. Заметим, что степень многочлена должна быть максимальной, так как минимальный многочлен mu_A(lambda) имеет наименьшую возможную степень, а сумма степеней этих двух многочленов в силу равенства Delta_A(lambda)=(-1)^n p(lambda) mu_A(lambda) фиксирована и равна . Поэтому многочлен — это наибольший общий делитель элементов присоединенной матрицы $(A-lambda E)^{+}$ . Так как элементы присоединенной матрицы пропорциональны минорам (n-1)-го порядка характеристической матрицы, то $p(lambda)=d_{n-1}(lambda)$ .

Таким образом, $Delta_A(lambda)=(-1)^ncdot d_{n-1}(lambda)cdotmu_A(lambda)$ , откуда следует формула (7.30).

6. Минимальный многочлен матрицы совпадает с последним инвариантным множителем e_n(lambda) характеристической матрицы (A-lambda E) .

В самом деле, наибольший общий делитель $d_{n}(lambda)$ единственного минора n-го порядка характеристической матрицы (A-lambda E) отличается от определителя этой матрицы множителем (-1)^n , т.е. $Delta_A(lambda)=(-1)^n d_{n}(lambda)$ . Подставляя это выражение в (7.30), получаем

$mu_A(lambda)=frac{(-1)^ncdot(-1)^ncdot d_n(lambda)}{d_{n-1}(lambda)}=frac{d_n(lambda)}{d_{n-1}(lambda)}=e_n(lambda).$

Способы нахождения минимального многочлена матрицы

Пусть — квадратная матрица n-го порядка. Требуется найти ее минимальный многочлен.

Первый способ.

1. Составить характеристическую матрицу (A-lambda E) .

2. Привести ее к нормальному диагональному виду $(A-lambda E)sim operatorname{diag} Bigl(e_1(lambda),e_2(lambda), ldots,e_n(lambda)Bigr)$ .

Последний инвариантный множитель e_n(lambda) является минимальным многочленом матрицы (по свойству 6).

Второй способ.

1. Составить характеристическую матрицу (A-lambda E) .

2. Найти характеристический многочлен Delta_A(lambda)=det(A-lambda E) .

3. Найти наибольший общий делитель $d_{n-1}(lambda)$ миноров (n-l)-ro порядка λ-матрицы (A-lambda E) .

4. По формуле (7.30) получить минимальный многочлен.

Пример 7.12. Найти минимальный многочлен матрицы $A=begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}$ , используя минимальный многочлен, найти степень A^m с натуральным показателем minmathbb{N} .

Решение. Первый способ. 1. Составляем характеристическую матрицу

$A-lambda E=begin{pmatrix}1-lambda &1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambda end{pmatrix}!.$

(7.30)

2. Приводим эту λ-матрицу к нормальному диагональному виду. Поменяем местами первую и третью строки. Выберем в качестве ведущего элемента единицу, оказавшуюся в левом верхнем углу матрицы. При помощи ведущего элемента делаем равными нулю остальные элементы первой строки и первого столбца:

$A-lambda E=begin{pmatrix}1-lambda &1&1\1&1-lambda&1\1&1&1-lambda end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&1-lambda\1&1-lambda&1\1-lambda&1&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\0&-lambda&lambda\0&lambda&2 lambda-lambda^2 end{pmatrix}!.$

Берем в качестве ведущего элемент (-lambda) и делаем равными нулю все остальные элементы второй строки и второго столбца. Затем умножаем вторую и третью строки на (-1), чтобы старшие коэффициенты диагональных элементов оказались равными единице. Получим нормальный диагональный вид:

$A-lambda Esimbegin{pmatrix}1&0&0\0&-lambda&lambda\0&lambda&2 lambda-lambda^2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\ 0&-lambda&0\0&0&3 lambda-lambda^2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0\ 0&lambda&0\ 0&0&lambda^2-3 lambda end{pmatrix}!.$

Минимальный многочлен матрицы mu_A(lambda)=e_3(lambda)=lambda^2-3 lambda .

Второй способ. 1. Составляем характеристическую матрицу (7.32).

2. Находим характеристический многочлен Delta_A(lambda)=3 lambda^2-lambda^3 (см. пример 7.11).

3. Находим миноры второго порядка характеристической матрицы (A-lambda E) . Ограничимся минорами, расположенными в первых двух строках:

$M_{{}_{1,2}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1-lambda&1\ 1&1-lambda end{vmatrix}=lambda^2-2 lambda,quad M_{{}_{1,3}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1-lambda&1\ 1&1end{vmatrix}=-lambda,quad M_{{}_{2,3}}^{{}^{1,2}}=begin{vmatrix}1&1\ 1-lambda&1 end{vmatrix}=lambda.$

Выражения для остальных миноров совпадают с найденными. Наибольший общий делитель многочленов lambda^2-2 lambda,,(-lambda),, lambda равен lambda , т.е. d_2(lambda)=lambda .

4. По формуле (7.30) получаем: $mu_A(lambda)=frac{(-1)^3(3 lambda^2-lambda^3)}{lambda}= lambda^2-3 lambda$ .

Для проверки вычислим

$mu_A(A)=A^2-3A= begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}^2-3! begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}3&3&3\3&3&3\ 3&3&3 end{pmatrix}-3! begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}=O.$

Действительно, минимальный многочлен mu_A(lambda) является аннулирующим, т.е. mu_A(A)=O . Заметим, что для матрицы минимальный и характеристический многочлены отличаются только множителем (-lambda) .

Найдем теперь степень A^m матрицы . Для этого рассмотрим многочлен lambda^m . Разделим его на минимальный многочлен mu_A(lambda) . Остаток от деления (многочлен степени не выше первой) представим в виде alpha,lambda+beta . Получим

lambda^m=p(lambda)(lambda^2-3 lambda)+alphacdot lambda+beta,

где p(lambda) — частное, а (alphacdotlambda+beta) — остаток. Найдем коэффициенты alpha и beta , подставляя в равенство корни минимального многочлена:

– при lambda=0 имеем: 0^m=p(lambda) cdot0+alphacdot0+beta ;

– при lambda=3 имеем: 3^m=p(lambda) cdot0+alphacdot3+beta ;

Следовательно, $alpha=3^{m-1},~beta=0$ . Поэтому $lambda^m=p(lambda) (lambda^2-3 lambda)+3^{m-1}lambda$ . Теперь подставим вместо переменной lambda матрицу

$A^m=p(A)cdot(A^2-3cdot A)+3^{m-1}cdot A=p(A)cdot O+3^{m-1}cdot A= 3^{m-1}cdot! begin{pmatrix}1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}!.$

Результат совпадает с полученным в примере 7.10.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Пусть L
– линейное
пространство над полем Р,

: L
L
– линейный оператор.

Определения.

1. Будем говорить,
что многочлен
f

P[t]
аннулирует
оператор ,
если f()
= 0.

2. Будем говорить,
что многочлен
f

P[t]
аннулирует
квадратную матрицу А,
если f(А)
= 0.

3. Аннулятором
л.о. 
называется множество многочленов Ann

= {f

P[t]
| f()
= 0 }. Аналогично,
аннулятором
квадратной матрицы А
называется множество многочленов Ann
А = {f

P[t]
| f(А)
= 0 }.

Из Теоремы
Гамильтона – Кэли следует, что Ann


0, Ann
А 
0.

Так как [f()]
= f([]),
то Ann

= Ann
[].

Определение.
Минимальным
многочленом
линейного
оператора 
называется ненулевой многочлен f_
наименьшей
степени из Ann

со старшим коэффициентом, равным
единице. Аналогично определяется
минимальный
многочлен

f_A

матрицы
A.

Утверждение.
Для л.о. 
(соответственно, для матрицы А)
минимальный многочлен определен
однозначно.

Доказательство.
Пусть f₁_
, f₂_
— два минимальных
многочлена для .
Тогда ст.f₁_= ст.
f₂_

ст.( f₁_ —
f₂_
)
ст.f₁_,
и f₁_ —
f₂_
Ann


f₁_ —
f₂_= 0 
f₁_ =
f₂_ .



Утверждение.
Если f

Ann
,
то f_
| f.

Доказательство.
Разделим f
на f_
с остатком:

f
= q
f_
+r,
ст. r

ст. f_

r()
= f()
— q()
f_()=
0 
r=
0.



16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.

Теорема.
Пусть Lⁿ
– линейное пространство над полем С,
п >1,

: Lⁿ

Lⁿ
— линейный оператор. Тогда в Lⁿ
существует одномерное —инвариантное
подпространство.

Доказательство
следует из замечания в п.16.4
и из того, что поле С
алгебраически замкнуто.

Теорема.
Пусть Lⁿ
– линейное пространство над полем R,
п >1,

: Lⁿ

Lⁿ
— линейный оператор. Тогда в Lⁿ
существует —инвариантное
подпространство размерности 
2.

Доказательство.
Пусть _(t)=р₁(t)р₂(t)…р_m(t)
— разложение
характеристического многочлена на
неприводимые множители над полем R.
Тогда все множители р_i(t)
имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона
– Кэли _(
)=0 
р₁(
)р₂(
)…р_m(
) = 0 
det(р₁(
)р₂(
)…р_m(
)) = 0 

det
р₁(
)det
р₂(
)…det
р_m(
)= 0 

i: det р_i(
)= 0.

а)
Пусть ст.
р_i(t)
= 1. Можно
считать, что р_i(t)
= t
— ₀


р_i(
)= 
— ₀
id,
det
(
— ₀
id)
= 0 
Ker
(
— ₀
id)

0 

Ker
(
— ₀
id)
s

0, s
– собственный
вектор, <s
> — одномерное
—инвариантное
подпространство.

б)
Пусть ст.
р_i(t)
= 2. Можно
считать, что р_i(t)
= t
²
+ аt
+ b,

р_i()=
²
+а
+ b
id.
Так как det
р_i(
)= 0, то Ker
р_i(
) 
0

 Ker
р_i(
) 
и 
0 
(
²
+ а
+ b
id)и
= 0 

 ²и
= — а
и — bu.
Пусть v
= 
и, V
= < и, v
>. Тогда V
— —
инвариантное
подпространство, так как 
и = v

V,

 v
= 
²и
= — а
и – bu
= — а v
— bu

V
(см. также
вывод 2 из п.16.1),
и dimV

2.



Упражнение.
Доказать, что в случае б) dimV
= 2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In linear algebra, the minimal polynomial μ_A of an n × n matrix A over a field F is the monic polynomial P over F of least degree such that P(A) = 0. Any other polynomial Q with Q(A) = 0 is a (polynomial) multiple of μ_A.

The following three statements are equivalent:

λ is a root of μ_A,
λ is a root of the characteristic polynomial χ_A of A,
λ is an eigenvalue of matrix A.

The multiplicity of a root λ of μ_A is the largest power m such that ker((A − λI_n)^m) strictly contains ker((A − λI_n)^m−1). In other words, increasing the exponent up to m will give ever larger kernels, but further increasing the exponent beyond m will just give the same kernel. Formally, m is the nilpotent index of A—λI_n.

If the field F is not algebraically closed, then the minimal and characteristic polynomials need not factor according to their roots (in F) alone, in other words they may have irreducible polynomial factors of degree greater than 1. For irreducible polynomials P one has similar equivalences:

P divides μ_A,
P divides χ_A,
the kernel of P(A) has dimension at least 1.
the kernel of P(A) has dimension at least deg(P).

Like the characteristic polynomial, the minimal polynomial does not depend on the base field. In other words, considering the matrix as one with coefficients in a larger field does not change the minimal polynomial. The reason for this differs from the case with the characteristic polynomial (where it is immediate from the definition of determinants), namely by the fact that the minimal polynomial is determined by the relations of linear dependence between the powers of A: extending the base field will not introduce any new such relations (nor of course will it remove existing ones).

The minimal polynomial is often the same as the characteristic polynomial, but not always. For example, if A is a multiple aI_n of the identity matrix, then its minimal polynomial is X − a since the kernel of aI_n − A = 0 is already the entire space; on the other hand its characteristic polynomial is (X − a)ⁿ (the only eigenvalue is a, and the degree of the characteristic polynomial is always equal to the dimension of the space). The minimal polynomial always divides the characteristic polynomial, which is one way of formulating the Cayley–Hamilton theorem (for the case of matrices over a field).

Formal definition[edit]

Given an endomorphism T on a finite-dimensional vector space V over a field F, let I_T be the set defined as

${displaystyle {mathit {I}}_{T}={pin mathbf {F} [t]mid p(T)=0}}$

where F[t ] is the space of all polynomials over the field F. I_T is a proper ideal of F[t ]. Since F is a field, F[t ] is a principal ideal domain, thus any ideal is generated by a single polynomial, which is unique up to units in F. A particular choice among the generators can be made, since precisely one of the generators is monic. The minimal polynomial is thus defined to be the monic polynomial which generates I_T. It is the monic polynomial of least degree in I_T.

Applications[edit]

An endomorphism φ of a finite-dimensional vector space over a field F is diagonalizable if and only if its minimal polynomial factors completely over F into distinct linear factors. The fact that there is only one factor X − λ for every eigenvalue λ means that the generalized eigenspace for λ is the same as the eigenspace for λ: every Jordan block has size 1. More generally, if φ satisfies a polynomial equation P(φ) = 0 where P factors into distinct linear factors over F, then it will be diagonalizable: its minimal polynomial is a divisor of P and therefore also factors into distinct linear factors. In particular one has:

P = X^k − 1: finite order endomorphisms of complex vector spaces are diagonalizable. For the special case k = 2 of involutions, this is even true for endomorphisms of vector spaces over any field of characteristic other than 2, since X² − 1 = (X − 1)(X + 1) is a factorization into distinct factors over such a field. This is a part of representation theory of cyclic groups.
P = X² − X = X(X − 1): endomorphisms satisfying φ² = φ are called projections, and are always diagonalizable (moreover their only eigenvalues are 0 and 1).
By contrast if μ_φ = X^k with k ≥ 2 then φ (a nilpotent endomorphism) is not necessarily diagonalizable, since X^k has a repeated root 0.

These cases can also be proved directly, but the minimal polynomial gives a unified perspective and proof.

Computation[edit]

For a nonzero vector v in V define:

${mathit {I}}_{{T,v}}={pin {mathbf {F}}[t];|;p(T)(v)=0}.$

This definition satisfies the properties of a proper ideal. Let μ_T,v be the monic polynomial which generates it.

Properties[edit]

Since I_T,v contains the minimal polynomial μ_T, the latter is divisible by μ_T,v.
If d is the least natural number such that v, T(v), …, T^d(v) are linearly dependent, then there exist unique a₀, a₁, …, a_d−1 in F, not all zero, such that

${displaystyle a_{0}v+a_{1}T(v)+cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0}$

and for these coefficients one has

${displaystyle mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.}$
Let the subspace W be the image of μ_T,v(T ), which is T-stable. Since μ_T,v(T ) annihilates at least the vectors v, T(v), …, T^d−1(v), the codimension of W is at least d.
The minimal polynomial μ_T is the product of μ_T,v and the minimal polynomial Q of the restriction of T to W. In the (likely) case that W has dimension 0 one has Q = 1 and therefore μ_T = μ_T,v ; otherwise a recursive computation of Q suffices to find μ_T .

Example[edit]

Define T to be the endomorphism of R³ with matrix, on the canonical basis,

${begin{pmatrix}1&-1&-1\1&-2&1\0&1&-3end{pmatrix}}.$

Taking the first canonical basis vector e₁ and its repeated images by T one obtains

${displaystyle e_{1}={begin{bmatrix}1\0\0end{bmatrix}},quad Tcdot e_{1}={begin{bmatrix}1\1\0end{bmatrix}}.quad T^{2}!cdot e_{1}={begin{bmatrix}0\-1\1end{bmatrix}}{mbox{ and}}quad T^{3}!cdot e_{1}={begin{bmatrix}0\3\-4end{bmatrix}}}$

of which the first three are easily seen to be linearly independent, and therefore span all of R³. The last one then necessarily is a linear combination of the first three, in fact

T³ ⋅ e₁ = −4T² ⋅ e₁ − T ⋅ e₁ + e₁,

so that:

μ_T, e₁ = X³ + 4X² + X − I.

This is in fact also the minimal polynomial μ_T and the characteristic polynomial χ_T : indeed μ_T, e₁ divides μ_T which divides χ_T, and since the first and last are of degree 3 and all are monic, they must all be the same. Another reason is that in general if any polynomial in T annihilates a vector v, then it also annihilates T ⋅v (just apply T to the equation that says that it annihilates v), and therefore by iteration it annihilates the entire space generated by the iterated images by T of v; in the current case we have seen that for v = e₁ that space is all of R³, so μ_T, e₁(T ) = 0. Indeed one verifies for the full matrix that T³ + 4T² + T − I₃ is the zero matrix:

${displaystyle {begin{bmatrix}0&1&-3\3&-13&23\-4&19&-36end{bmatrix}}+4{begin{bmatrix}0&0&1\-1&4&-6\1&-5&10end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}1&-1&-1\1&-2&1\0&1&-3end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}-1&0&0\0&-1&0\0&0&-1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0end{bmatrix}}}$

References[edit]

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

Источник