Содержание:
- Определение произведения чисел
- Свойства произведения чисел
Определение произведения чисел
Произведение $p$ чисел
$a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_{1} cdot a_{2} cdot ldots cdot a_{n}$ .
В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то
Пример
Задание. Найти произведение чисел:
1) 1.2$cdot 3$ ; 2) 4$cdot 5 cdot 13$
Ответ.
$1,2 cdot 3=3,6$
$4 cdot 5 cdot 13=260$
Свойства произведения чисел
- Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$
-
Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.
- Дистрибутивность: $(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти произведение чисел удобным способом:
1) 5$cdot 17 cdot 2$ ; 2) 7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$
Решение. По свойства умножения имеем:
$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$
$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$
Ответ.
$5 cdot 17 cdot 2=170$
$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие
натуральные числа или
десятичные дроби.
Пример
Задание. Найти произведение чисел
1) 156$cdot 32$ ; 2) $4,71 cdot 3,1$
Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое,
полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем
под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в
столбик
Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби
перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после
запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе
нужно отделить справа три знака:
Ответ.
$156 cdot 32=4992$
$4,71 cdot 3,1=14,601$
Читать дальше: что такое простое число.
Определение
Произведением чисел в математике называется результат их умножения.
Пример: Найдите произведение чисел.
14×15=210
Здесь 14 и 15 называются — множители.
Свойства
1. Коммутативность.
Пример: Вычислить произведение чисел.
17×12=204 и 12×17=204
Переместительный закон: При перестановке множителей результат не меняется.
2. Ассоциативность.
Пример:
11×19×32=6688
(11×19)×32=6688
11×(19×32)=6688
Сочетательный закон: Если группу множителей заменить их произведением, результат не изменится.
3. Дистрибутивность.
Пример:
(15+12)×9=243 и 15×9+12×9=243
Распределительный закон: Умножая сумму на число, можно на это число каждое слагаемое умножить и результаты сложить.
Большие числа, а также десятичные дроби умножают в столбик.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Произведение цифр числа
Пример: найти произведение цифр числа 428
4×2×8=64
Произведение суммы и разности чисел
(23+14)×(23-14)=37×9=333
Наименьшее произведение чисел
При умножении любого числа на 0, получится ноль. Наименьшее произведение чисел равно нулю.
Сумма двух произведений чисел
(7×8)+(9×3)=56+27=83
Ответ: 83
Пример: Найди сумму и произведение чисел 14 и 72
Решение:
14+72=86 — сумма
14×72=1008 — произведение
Содержание материала
- Определение произведения чисел
- Видео
- Что такое множитель по математике?
- Основное свойство произведения
- Как называются числа при умножении?
- Переместительный закон умножения
- Умножение многозначного числа на однозначное
- Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей
- Умножение любого натурального числа на нуль
Определение произведения чисел
Произведение двух чисел это есть не что иное, как взятое одно из чисел в количестве другого числа.
Еще раз! Если произведение будет С, то номинальное значение одного из чисел пусть а, взятое в количестве b раз и будет этим произведением. Можно записать скажем так
С=а1+а2+а3+а4…+аb где 1,2,3,4…b будут индексом указывающим на то, какое это число а по порядку и не более того!
Пример Найти произведение чисел:
1) 1.2⋅3 ;
Ответ.1,2⋅3=3,6
2) 4⋅5⋅13
Ответ: 4⋅5⋅13=260
Видео
Что такое множитель по математике?
Компоненты умножения называются множители. Первый множитель показывает, какое число прибавляют, второй множитель показывает – сколько раз прибавляют это число. Результат умножения называется произведение.
Основное свойство произведения
Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.
Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:
Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.
Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.
Как называются числа при умножении?
Так же, как и при сложении и вычитании, числа при умножении тоже имеют свое название. Первое число при умножении называется первый множитель. Второе число при умножении называется второй множитель. Результат умножения называют произведение.
Переместительный закон умножения
Рассмотрим задачу:
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5. Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2. В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
2⋅5=5⋅2
Свойство переместительного закона умножения: От перемены мест множителей произведение не меняется. m⋅n=n⋅m
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.
Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых
следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.
При этом ход вычислений выражают словесно:
-
Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
-
Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
-
Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
-
Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.
Это действие выразится письменно:
Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:
-
Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
-
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
-
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
-
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
-
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.
Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей
Чтобы понять, что происходит с произведением чисел при изменении одного или нескольких сомножителей, нужно вспомнить, что действие умножения – это частный случай действия сложения, а также переместительный и сочетательный законы сложения.
Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, произведение также увеличится в это же число раз.
Рассмотрим пример 18 ∙2. Увеличив второй сомножитель, к примеру, в 3 раза, мы получим другое выражение: 18 ∙6.
Умножение любого натурального числа на нуль
6⋅0=0 или 0⋅6=0 a⋅0=0 или 0⋅a=0 При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел? Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение? Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения? Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5? Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение? Ответ: 0
Пример №1: Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3 Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2: Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с Решение: а)а+а+а+а=4⋅а б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1: Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама? Решение: В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки. 8+8+8=8⋅3=24 конфеты Ответ: 24 конфеты.
Задача №2: Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей? Решение: Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д. 7+7+7+7+7+7+7+7=56 Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение. 7⋅8=56 Ответ 56 карандашей.
Теги
Математика
6 класс
Урок № 26
Произведение целых чисел. Часть 2
Перечень рассматриваемых вопросов:
- На уроке мы научимся формулировать и узнавать свойства умножения.
- Находить квадраты и кубы целых чисел.
- Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия.
- Выполнять числовые подстановки в буквенные выражения и находить соответствующие им значения.
Тезаурус
Произведение любого целого числа a и нуля равно нулю.
Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.
Степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже изучали правила умножения целых чисел.
Сегодня рассмотрим свойства произведения целых чисел.
Умножение целых чисел на 0.
Произведение любого целого числа a и нуля равно нулю.
a ∙ 0 = 0
Рассмотрим примеры.
Найдите произведение целого положительного числа 209 и нуля.
Решение:
203 ∙ 0 = 0
Найдите произведение нуля и целого отрицательного числа (– 29).
Решение:
0 ∙ (– 29) = 0
Умножение целого числа на 1
Произведение целого числа и 1 равно cамому числу.
a ∙ 1 = a
Рассмотрим примеры.
Вычислите произведение положительного целого числа 64 и единицы.
Решение:
64 ∙ 1 = 64
Вычислите произведение единицы и отрицательного целого числа (– 475).
Решение:
1 ∙ (– 475) = – 475
Найдите произведение нуля и единицы.
Решение:
0 ∙ 1 = 0
Умножение на (– 1)
При умножении числа на (– 1) меняется только знак, то есть получается число, противоположное a.
a ∙ (– 1) = – a
Законы умножения
Переместительный и сочетательный законы умножения верны для любых целых чисел, и их можно применять для упрощения числовых выражений.
Переместительный закон умножения:
a ∙ b = b ∙ a
Сочетательный закон умножения:
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Умножение или произведение нескольких целых чисел
Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.
Вычислим произведение нескольких целых чисел:
9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1)
Решение:
9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1) = (9 ∙ (– 14)) ∙ 5 ∙ (– 1) = (– 126) ∙ 5 ∙ (– 1) = ((– 126) ∙ 5) ∙ (– 1) = (– 630) ∙ (– 1) = 630
Ответ: 630.
При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.
Выводы
1. Если в произведении нечётное количество отрицательных множителей, то произведение будет отрицательным.
2. Если в произведении чётное количество отрицательных множителей, то произведение будет положительным.
Степень целого числа a с натуральным показателем n
Определение: степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.
a ∙ a ∙ a ∙ a ·…∙ a = an
n множителей
Рассмотрим примеры.
1. Первая степень любого числа равна самому числу.
a1 = a
2. Вторая степень любого числа называется квадратом.
a2 = a ∙ a
3. Третья степень любого целого числа называется кубом.
a3 = a ∙ a ∙ a
Например,
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16
(– 5)3 = (– 5) ∙ (– 5) ∙ (– 5) = – 125
Итак, мы научились выполнять сложение, вычитание и умножение целых чисел. Рассмотрим, как найти значение выражения, которое содержит такие действия.
42 – 15 ∙ (– 6)
Решение
42 – 15 ∙ (– 6) = 42 – (15 ∙ (– 6)) = 42 – (– 90) = 42 + 90 = 132
Ответ: 132.
Дополнительный материал
Мы изучили правила и свойства умножения целых чисел.
Используя их, решим две задачи.
Задача №1
Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом (– 200) и оканчивающихся числом 200?
Решение
Между числами (– 200) и 200 находится 0, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от (– 200) до 200 равно 0.
Ответ: 0.
Задача №2
Чему равно произведение всех целых чисел?
Решение
Целые числа состоят из целых положительных, отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на ноль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.
Ответ: 0.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие законы представлены в формулах?
Законы умножения
- a ∙ b = b ∙ а
- а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с
Варианты ответов:
Сочетательный закон умножения
Переместительный закон умножения
Свойство 0
Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.
Правильный ответ:
1. Переместительный закон умножения
2. Сочетательный закон умножения
Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.
Чтобы найти … нескольких чисел, нужно найти произведение … чисел, … на третье число и так далее.
Варианты слов для вставки:
произведение
трёх
первого
двух первых
умножить
разделить
сложить
вычесть
Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.
Правильный ответ:
Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.
Как найти произведение двух чисел
Существуют методики, позволяющие развивать математические возможности человеческого мозга вообще и методики вычисления произведений многоразрядных чисел в частности. Равно как и существуют люди с мозгами, которые от рождения имеют такие возможности. Однако в абсолютном большинстве случаев находить произведения чисел приходится людям без продвинутых математических способностей. Ниже описаны наиболее простые и эффективные возможности, которые им доступны.
Инструкция
Используйте знание таблицы умножения и свою краткосрочную память — зачастую этого достаточно для нахождения произведения двух двухзначных чисел в уме. При необходимости можно множитель разбить на несколько разрядов, умножить множимое на получившиеся числа и сложить результаты. Например, если надо умножить 325 на 115, то множитель можно разбить на числа 100, 10 и 5. Не старайтесь удерживать все в памяти, записывайте промежуточные результаты, ведь ваша цель — решить задачу, а не соблюсти принцип умножения в уме.
Воспользуйтесь школьными навыками умножения в столбик, если они еще не выветрились из головы и под рукой есть пишущий инструмент и бумага.
Если у вас есть доступ к компьютеру, то это означает, что вам доступен и стандартный калькулятор, встроенный в операционную систему. В ОС Windows для его запуска нажмите клавишу win, перейдите в раздел «Все программы», раскройте подраздел «Стандартные», войдите в секцию «Служебные» и выберите пункт «Калькулятор». Интерфейс этого приложения очень прост и операция нахождения произведения двух чисел с его помощью сложности не представляет — введите множимое, нажмите клавишу со звездочкой, введите множитель и нажмите enter.
Если у вас есть доступ в интернет, то можно обойтись не только без калькулятора, но и без компьютера — вполне достаточно мобильного телефона. Перейдите на главную страницу поисковой системы Google и введите вместо поискового запроса арифметическую операцию, результат которой вам требуется узнать. Например, если надо найти произведение чисел 325 и 115, то введите 325 * 115. Встроенный в поисковик калькулятор рассчитает и покажет вам результат операции. Такой же калькулятор встроен и в поисковую систему Nigma.
Не забывайте и о наличии встроенного в мобильный телефон калькулятора — сегодня редко какая модель этого устройства его не имеет. Нахождение произведения двух чисел в этом случае осуществляется нажатием тех же клавиш, что и в описанном выше программном калькуляторе.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.