Наиб общий делитель как найти

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

  1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
  2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
  3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

При решении задач по математике в начальных классах иногда требуется найти наибольший общий делитель, или сокращенно — НОД. Однако не все учащиеся знают правильный алгоритм этой операции, а также путают ее с НОК (наименьшим общим кратным). Чтобы не совершать таких ошибок, специалисты-математики разработали универсальные алгоритмы отличия и нахождения искомых значений.

Оглавление:

  • Признаки делимости
  • Разложение на простые элементы
  • Нахождение НОД
  • Определение НОК

При решении задач по математике в начальных классах иногда требуется найти наибольший общий делитель, или сокращенно — НОД. Однако не все учащиеся знают правильный алгоритм этой операции, а также путают ее с НОК (наименьшим общим кратным). Чтобы не совершать таких ошибок, специалисты-математики разработали универсальные алгоритмы отличия и нахождения искомых значений.

Как найти наибольший общий делитель для двух чисел

Общие сведения

Специалисты перед обучением рекомендуют составить список базовых знаний, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Он состоит из таких элементов:

Наибольший общий делитель

  1. Определения величин.
  2. Признаки делимости чисел.
  3. Разложение на простые элементы или множители.
  4. Алгоритмы или методики нахождения.

НОД — максимальное значение величины, на которую делятся 2 или большее количество чисел. НОК — параметр, характеризующий наименьшее общее делимое. Чтобы понять разницу между этими терминами, нужно разобрать операцию деления двух чисел.

Первый элемент — делимое, т. е. оно делится на определенный элемент (делитель). Результатом является частное. Математики называют последнее частным двух или более значений. Далее нужно разобрать признаки делимости.

Признаки делимости

В математике существуют 2 понятия: цифры и числа. Главное отличие — при комбинации цифр получаются числа. Кроме того, каждое значение состоит из разрядов (единиц, десятков, сотен, тысяч). Последние читаются слева направо, т. е. 657 состоит из единиц (7), десятков (5) и сотен (6). Если объединить их, получится искомая величина. Операция имеет такой вид: 7+50+600=657.

Признаками делимости называются критерии, на основании которых число можно разделить на искомое значение без остатка. К ним относятся следующие правила:

Признаки делимости

  1. R (любое действительное число).
  2. Последняя цифра — четная, т. е. 24/2 — делится, т. к. 4 — четное.
  3. Сумма цифр, составляющих число, возможно разделить на 3. Пример: 36/3={3+6=9/3=9}=12.
  4. Последние 2 цифры можно разделить на 4, т. е. 844/4={44/4=11}=211.
  5. Последний разряд эквивалентен одному из двух значений (0 или 5), 810/5={0}=162.
  6. Для числа 6 одновременно выполняются второй и третий пункт. Пример: 96/6={6-четное} и {9+6=15/3=15}=16.
  7. 7: расчет по формуле [a*b*c*d+e]/7, где e — разряд единиц, а все остальные (слева направо) — десятки, сотни, тысячи и десятки тысяч. Правило справедливо и для величин с разным количеством разрядов. Пример: 861/7={(8*6+1)/7=49/7=7}=123.
  8. Деление на 8 осуществляется по второму и четвертому признакам одновременно, т. е. 184/8={4 — четное} и {84/4=21}=23.
  9. Сумму разрядов можно разделить на 9. Пример: 108/9={1+0+8=9/9=1}=12.
  10. Последняя цифра эквивалентна 0, т. е. 140/10={0}=14.
  11. 2 разряда равны между собой (11, 22, 33 и т. д. ) или величина, образованная разрядами сотен и десятков без единиц, делится на 11 (121={(12−1)/11=1}).

Однако признаков делимости недостаточно для перехода к соответствующим алгоритмам. Следующий этап — разложение числа на простые элементы натурального типа.

Разложение на простые элементы

Простые множители — числа, которые делятся только на единицу или на эквивалентную величину, т. е. 7/1 и 7/7. Разложение величины на простые элементы — найти совокупность чисел, произведение которых и будет составлять искомое значение. Например, 30=3*5*2. Для выполнения этой операции математики разработали специальный алгоритм:

  1. Написать значение.
  2. Определить по признакам делимости первый множитель.
  3. Выполнить операцию деления.
  4. Подобрать второй множитель для величины, полученной в 3 пункте.
  5. Реализовать пункты со 2 по 4 включительно.

Однако для понимания принципа работы алгоритма, нужно выполнить разложение на простые значения на практике. Например, для 176 реализация методики имеет следующий вид:

Ученики решают

  1. 176.
  2. 2: 176/2=88.
  3. 11: 88/11=8.
  4. 2: 8/2=4.
  5. 2: 4/2=2.
  6. 2: 2/2=1.

Следовательно, 176=2*11*2*2*2. Однако результат можно записать в более упорядоченной форме: 176=11*2*2*2*2*2. Далее следует перейти к алгоритмам, посредством которых можно вычислить НОК и НОД.

Нахождение НОД

Найти НОД двух чисел можно следующими способами: разложением на простые множители или посредством алгоритма Евклида. Первый имеет такой вид:

  1. Раскладываются первое и второе значения на простые множители.
  2. Выбираются общие множители и перемножаются между собой.

Для реализации методики на практике нужно разобрать нахождение НОД 86 и 92. Она имеет такой вид:

  1. 92: 92/2=46/2=23, т. е. 92=23*2*2.
  2. 86: 86/2=43*2.
  3. НОД: 2.

Наиболее простой является методика Евклида для нахождения НОД. Она позволяет быстро найти искомое значение и имеет такой вид:

Нахождение НОД

  1. Разделить большее значение на меньшее (записать отдельно целую часть и остаток).
  2. Если есть остаток, искомое большое число нужно на него разделить.
  3. Выполнять пункты алгоритма, пока остаток не будет равным 0. Результат — это и есть НОД.

Чтобы понять смысл, нужно применить ее к числам 92 и 86. Это выглядит следующим образом:

  1. 92/86=1{6}.
  2. 86/6=14{2}.
  3. 14/2=7{0}.
  4. НОД=2, т. к. в третьем пункте нет остатка от деления.

Далее нужно рассмотреть методику нахождения НОК, чтобы окончательно понять отличие от НОД.

Определение НОК

НОК находится также посредством разложения на множители, но алгоритм существенно отличается от НОД. Он имеет следующий вид:

  1. Разложить величины на множители.
  2. Взять наименьшее и дополнить его недостающими элементами.
  3. Вычислить искомое значение НОК.

Чтобы понять принцип работы алгоритма, его нужно реализовать на практике. Для числовых значений 18 и 12 он имеет такой вид:

  1. 18=3*3*2.
  2. 12=2*2*3.
  3. НОК=12*3=36.

Следовательно, наименьшим общим кратным двух чисел является 36. Искомую величину нужно находить в алгебре для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю при выполнении арифметических операций сложения и вычитания. Следует отметить, что операцию можно выполнять не только для двух, но и для трех чисел. При этом алгоритм существенно усложняется.

Примеры решения

Одной из сложных задач является следующая: найти наибольший общий делитель чисел 32, 66 и 84. Для решения можно воспользоваться одним из способов. Оптимальным из них является разложение на множители:

  1. 32=2*2*2*2*2.
  2. 66=11*3*2.
  3. 84=2*3*2*2*2*2.
  4. НОД=2.

По методике Евклида решать не рекомендуется, т. к. это усложнит вычисления. Основной принцип физико-математических дисциплин — оптимизация расчетов, т. е. нужно искать способ с наименьшим количеством преобразований и расчетов.

В следующей задаче требуется осуществить поиск НОД для 66, 121, 77 и 110. В этом случае также рекомендуется разложить на простые множители все 4 числа. Поиск решения выполняется по такой методике:

Решение примеров

  1. 66=11*3*2.
  2. 121=11*11.
  3. 77=11*7.
  4. 110=11*5*2.
  5. НОД=11.

Если рассмотреть 2 этих примера, можно сделать вывод, что считать НОД довольно просто. Далее нужно найти НОК для 22 и 32. Это осуществляется по такой методике:

  1. 22=11*2.
  2. 32=8*4=2*2*2*2*2.
  3. НОК=11*2*2*2*2*2=22*16=352.

Еще одним типом задачи является одновременное нахождение НОД и НОК для чисел 45, 85, 94 и 96. Решение имеет следующий вид:

  1. 45=5*3*3.
  2. 85=17*5.
  3. 94=2*47.
  4. 96=2*2*3*2*2*2.
  5. НОД=1 (нет общих множителей, кроме единицы).
  6. НОК=5*3*3*17*2*47*2*2*2*2*2=1150560.

В математике встречаются более сложные задачи. Одна из них имеет такую формулировку: НОД двух чисел эквивалентен 9, первое число равно 90 и больше второго. Необходимо найти второе ближайшее целое значение. Решается задание по такому алгоритму:

  1. 90=9*10.
  2. 81=9*9.
  3. НОД=9.

Задача решается методом подбора, поскольку по условию ближайшая целая величина эквивалентна 81.

Таким образом, нахождение НОД является довольно простой операцией, если следовать алгоритму и иметь базовые знания.

Как найти НОД

  • Нахождение путём разложения на множители
  • Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

как найти наибольший общий делитель

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

наибольший общий делитель двух чисел

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

как найти нод чисел

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) для определенного количества чисел может быть легкой задачей, если вы умеете это делать.

  1. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 1

    1

    Найдите делители чисел. Начните с поиска всех делителей первого и второго числа.

  2. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 2

    2

    Сравните делители обоих чисел и найдите самое большое число, которое есть в списке делителей как первого, так и второго числа. Это число равно НОД.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 3

    1

    Разложите каждое число на простые множители. Простое число — это число, большее 1 и которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 5, 17, 97, 331.

  2. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 4

    2

    Найдите общие простые множители. Общий простой множитель может быть только один, или их может быть несколько.

  3. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 5

    3

    Если у двух чисел есть только один общий простой множитель, то он равен НОД. Если у двух чисел есть несколько общих простых множителей, то их произведение равно НОД.

  4. Изображение с названием Find the Greatest Common Factor Step 6

    4

    Изучите пример. Чтобы продемонстрировать этот метод, изучите пример, приведенный на рисунке.

    Реклама

Советы

  • Простое число — это число, которое делится только на 1 и на само себя.
  • Знаете ли вы, что в третьем веке до н.э. математик Евклид создал алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и двух многочленов?

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 7409 раз.

Была ли эта статья полезной?

Запомните!
!

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2. Однако нет последнего простого числа. В
разделе «Для учёбы»
вы можете скачать таблицу простых чисел до 997.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например:

  • число 12
    делится на 1,
    на 2, на 3, на 4,
    на 6, на 12;
  • число 36
    делится на 1,
    на 2,
    на 3,
    на 4,
    на 6,
    на 12,
    на 18,
    на 36.

Числа, на которые число делится нацело
(для 12 это
1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются
делителями числа.

Запомните!
!

Делитель натурального числа a — это такое
натуральное число, которое делит данное
число «a» без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и
36 имеют общие делители.
Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Наибольший из делителей этих чисел — 12.

Общий делитель двух данных чисел «a» и «b» — это число, на которое делятся без остатка
оба данных числа «a» и «b».

Запомните!
!

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел
«a» и
«b» — это наибольшее число, на которое оба
числа «a» и
«b» делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел «a» и «b» записывают так:

НОД (a; b).

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример.

Д (7) = {1, 7}

Д (9) = {1, 9}

НОД (7; 9) = 1

Числа
7 и 9 имеют
только один общий делитель — число 1.
Такие числа называют взаимно простыми числами.

Запомните!
!

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только
один общий делитель — число 1. Их НОД
равен 1.

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

  1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое,
справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

разложение чисел на простые множители и нахождение НОД

  1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.

    28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;

    НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами:
в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД

Найти НОД 48 и 36.

запись поиска НОД
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Второй способ записи НОД

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

НОД (10; 15) = 5


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

15 ноября 2016 в 17:18

Олеся Ткаченко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Олеся Ткаченко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Как найти нод чисел 

 и

  ???

0
Спасибоthanks
Ответить

15 ноября 2016 в 21:01
Ответ для Олеся Ткаченко

Антон Ершов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Антон Ершов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

0
Спасибоthanks
Ответить

17 ноября 2016 в 10:07
Ответ для Олеся Ткаченко

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


Если интересно, есть урок на эту тему.

0
Спасибоthanks
Ответить

12 октября 2015 в 17:28

Илья Ткачёв
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Илья Ткачёв
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

НОК чисел 12 6 4 и объяснить как ты это сделал! :D

0
Спасибоthanks
Ответить

1 июля 2016 в 17:09
Ответ для Илья Ткачёв

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


Методика подробно и понятно изложена вот на этой странице http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/find_nod_and_nok/find_nod.php

А ответ к твоей задаче можно получить в супер решателе на сайте: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/calculators/find_nok_online.php

И он 12 =) Удачи и учитесь пользоваться поиском =)

0
Спасибоthanks
Ответить

2 октября 2015 в 17:37

Булат Махмудов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Булат Махмудов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Как найти НОК двух чисел если известно их произведение и НОД

0
Спасибоthanks
Ответить

9 июня 2016 в 14:26
Ответ для Булат Махмудов

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


a · b = НОД(a; b) · НОК(a; b)

0
Спасибоthanks
Ответить

21 сентября 2015 в 22:37

Angelina Vorontsovskaya
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Angelina Vorontsovskaya
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

27=3,3,3. 36=3,3,3.
Наименьшее общее кратное — ?

0
Спасибоthanks
Ответить

22 сентября 2015 в 19:32
Ответ для Angelina Vorontsovskaya

Ольга Морозова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ольга Морозова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1


27=3,3,3
36=2,2,3,3
НОК=3 · 3=9

0
Спасибоthanks
Ответить

6 мая 2015 в 9:20

Сергей Михель
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Сергей Михель
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Часиное двух чисел равно наибольшему общему делителю чисел 12 и 16.Сумма этих чисел равна наименьшему общему кратному чисел 50 и 75. Найдите эти числа

0
Спасибоthanks
Ответить

16 апреля 2016 в 8:49
Ответ для Сергей Михель

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


Вот тут можно найти объяснение темы НОД и НОК : http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/find_nod_and_nok/find_nod.php

А вот тут можно найти математический кальклятор: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/calculators/calculators.php

Решение:
Найдём НОД чисел 12 и 16. Это число 4
Найдём НОК чисел 50 и 75. Это число 150
Обозначим искомые числа как Х и Y и составим уравнения:

x: y=4
x + y=150
x=150-y
150-y: y = 4
y?0
150-y=4y
5y=150
y=30
x=150-30
x=120

Проверка:
120:30=4
4=4
120+30=150
150=150
Ответ: эти числа 120 и 30

0
Спасибоthanks
Ответить


Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Звук только в одном динамике как исправить
  • Как найти телефон хуавей по imei
  • Как составить проект по психологии
  • Как найти телефон если потерял бесплатно
  • Как найти норму амортизации формула