Значение частного двух чисел в математике
Содержание:
- Что такое частное чисел
-
Деление как операция
- Основные свойства деления
- Неполное частное
- Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя
-
Задачи, примеры вычисления частного
- Задача 1
- Задача 2
Что такое частное чисел
Частное чисел – это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, сколько раз число a содержится в числе b.
Деление как операция
Деление – арифметическая операция, обратная умножению, суть которой заключается в нахождении одного из сомножителей по произведению и другому множителю. В данном случае произведение переходит в делимое, имеющийся сомножитель – в делитель, искомый сомножитель – в частное.
Подобно тому, как неоднократно прибавить число – это значит умножить, так и неоднократно вычесть – это значит разделить.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
На письме данную операцию можно обозначать разными символами:
- : двоеточием;
- ÷ обелюсом;
- / косой чертой (слеш);
- — горизонтальной чертой (знак дроби).
Процесс деления имеет следующий вид:
(frac{делимое}{делитель}=частное)
В цифрах данное выражение можно записать так:
(15 : 5 = 3,)
(15 ÷ 5 = 3,)
(15/5 = 3,)
(frac{15}{5}=3.)
Основные свойства деления
Деление не коммутативно, то есть не перестановочно – от перемены мест элементов операции частное изменяется:
(a : b ≠ b : a;)
Деление не ассоциативно – то есть при последовательном выполнении деления трех или более чисел последовательность операций имеет значение, при смене порядка выполнения изменится результат:
((a : b):c ≠ a : (b : c);)
Деление дистрибутивно справа – на одном и том же множестве две бинарные операции имеют свойство согласованности:
((a + b): x = (a : x)+(b : x);)
Имеется единственный нейтральный элемент – число 1, при делении на единицу результатом является исходное число (делимое):
(а : 1 = а;)
Имеется единственный обратный элемент – число 1, при делении единицы на число результатом является число, обратное исходному (делителю):
(1 : а = а^-1, а ≠ 0;)
Существует единственный нулевой элемент – число 0, при делении нуля на любое число результатом будет нуль:
(0 : а = 0, а ≠ 0;)
Деление на нулевой элемент не определено:
(а : 0 = ∞, а ≠ 0;)
Деление на противоположный элемент дает минус единицу:
(а : (-а) = -1.)
Неполное частное
Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.
Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.
Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.
Например, 17 не делится без остатка на 5.
Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.
Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.
Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя
Изменение делимого:
- увеличение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:
((а * x) : b = c * x;)
- уменьшение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:
((a : x) : b = c : x.)
Изменение делителя:
- увеличение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:
(а : (b * x) = c : x;)
- уменьшение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:
(а : (b : x) = c * x.)
Частное не изменится, если делимое и делить одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз:
((а * x) : (b * x) = c;)
((а : x) : (b : x) = c;)
Задачи, примеры вычисления частного
Для того, чтобы проиллюстрировать данную арифметическую операцию, решим простые задачи.
Задача 1
В книге 891 страница. Она поделена на 9 равных глав. Узнайте, сколько страниц в одной главе.
Решение:
Для этого количество страниц разделим на количество глав:
891 : 9 = 99 (страниц)
Ответ: 99 страниц.
Задача 2
У Антона есть 22 апельсина. Он хочет приготовить из них компот. Для одного литра компота ему понадобится 3 апельсина. Нужно вычислить, сколько литров напитка сможет приготовить Антон и сколько апельсинов у него останется.
Решение:
22 : 3 = 7 (литров) (остаток 1)
Ответ: 7 литров, 1 апельсин останется.
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Задание
Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение
Рассмотрим N / (a+b+c)
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем 198. Сумма его цифр равна 18 и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем 11.
Докажем, что 11 — наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления N = (100a + 10b + с) на (a + b + c) равно k, где к <= 10 натуральное число, тогда:
(100a + 10b + с) / (a + b + c) = k
(100 — k)a +(10 — k)b = (k — 1)c
Так как число сотен не может быть равно нулю, то а >= 1. Так как к <= 10, то 100 — k >= 90, следовательно, (100 — k) * a >= 90. Так как b >= 0, то (10 — k) * b >= 0, следовательно, вся левая часть равенства >= 90.
Так как число единиц не может быть больше 9, то есть c <= 9, и (k — 1) <= 9, то (k-1) * c <= 9 * 9 = 81.
Следовательно, в нашем равенстве левая часть >= 90, а правая <= 81. Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и 11 — наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.
Ответ: 11
Определение частного чисел
Определение
Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел
$a$ и
$b$ будет число
$c$, которое равно
$c = a : b$ . При этом число
$a$ будет делимым, а число
$b$ — делителем.
Пример
Задание. Найти частное чисел:
1) $39 : 3$ ;
4) $124 : 4$
Ответ. $39 : 3 = 13$
$124 : 4 = 31$
Для нахождения частного больших чисел или
десятичных дробей используют способ
деления в столбик.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти частное чисел:
1) $564 : 12$ ;
2) $0,567 : 0,21$
Решение. Для нахождения частного в первом примере выполним деление в столбик.
Для этого запишем делимое и делитель следующим образом
Берем первую цифру слева, она не делится на 12, значит, берем две цифры: 56 и делим их на 12 с остатком.
Возьмем по $4 : 4 cdot 12 = 48$ . Записываем 48 под 56 и находим остаток:
$56 — 48 = 8$ . Восьмерку записываем под чертой и сносим к ней следующее
число из делимого, получим 84. Делим 84 на 12, получаем 7. остаток от деления 0 и цифр в делимом больше нет. Деление окончено.
Таким образом, $564 : 12 = 47$
Для нахождения частного во втором примере, сведем деление десятичных дробей к делению десятичной дроби на целое число.
Для этого будем передвигать запятую вправо у делимого и делителя до тех пор, пока делимое не станет целым числом. Далее
запишем полученные числа в столбик, как и в первом примере:
Берем в делимом первые две цифры слева и делим их на делимое с остатком. Получаем $56 : 21$ , можно взять по 2. Двойку записываем в частное.
И так как целая часть делимого закончилась, ставим в частном запятую. Умножаем $2 cdot 21 = 42$ , записываем 42 под 56 и вычитаем:
$56 — 42 = 14$ . Остаток 14 списываем к нему следующую
незадействованную цифру делимого 7. Полученное число 147 делим на 12, получаем 7. Записываем семерку в частное,
и, так как на этом делимое закончилось, а остаток после последнего деления 0, деление окончено.
Таким образом $0,567 : 0,21 = 2,7$
Ответ. $564 : 12 = 47$
$0,567 : 0,21 = 2,7$
Частное рациональных дробей находится по правилу
$$frac{m}{n}: frac{p}{q}=frac{m cdot q}{n cdot p}$$
Пример
Задание. Найти частное рациональных дробей:
1) $frac{2}{3}: frac{1}{3}$ ;
2) $1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}$
Решение. 1) Воспользуемся правилом вычисления частного рациональных дробей:
$$frac{2}{3}: frac{1}{3}=frac{2 cdot 3}{3 cdot 1}=2$$
Для вычисления частного во втором примере, сначала запишем дроби в виде неправильных дробей. Для этого целую часть
умножим на знаменатель и прибавим к числителю. Затем применим правило вычисления частного рациональных дробей:
$$1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}=frac{1 cdot 14+1}{14}: frac{1 cdot 7+3}{7}=frac{15}{14}: frac{10}{7}=$$
$$=frac{15 cdot 7}{14 cdot 10}=frac{15}{2 cdot 10}=frac{15}{20}=frac{3}{4}$$
Ответ. $frac{2}{3}: frac{1}{3}=2$
$1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}=frac{3}{4}$
Читать дальше: что такое иррациональное число.
Занимаясь с учениками младших и средних классов, я часто вижу у них затруднения в быстром нахождении нужной цифры частного при выполнении промежуточных вычислений действия деления или непосредственно деления многозначных чисел. А между тем, этот навык достаточно простой, и освоив его, любые вычисления, связанные с делением, станут более легкими и быстрыми.
Как узнать, будет ли частное однозначным
Прежде всего, нужно научиться узнавать, получится в результате деления однозначное или многозначное число?
Чтобы это определить, нужно в уме быстро умножить делитель на 10 (самое маленькое многозначное число).
Если полученное произведение больше делимого, тогда частное получится меньше десяти, а значит, оно – однозначное число, а если делимое окажется больше, то частное будет точно больше десяти, а значит, оно – многозначное.
Рассмотрим пример ( textcolor{red} {396 div 33}).
33 на 10 – это 330; так как 330 меньше чем 396, следовательно, частное от деления 396 на 33 обязательно не будет однозначным числом.
Теперь другой пример ( textcolor{red} {396 div 66}).
66 умножить на 10, будет 660, а это больше чем 396. Значит, результат деления 396 на 66 обязательно будет однозначным числом.
Как найти однозначное частное
Рассмотрим два случая, когда в результате деления двух чисел получается однозначное число:
- делитель – однозначное число;
- делитель – многозначное число.
В случае, если делитель и частное – однозначные числа, на помощь приходит таблица умножения.
Например, частное от деления 54 на 9 будет 6, так как ( textcolor{red} {6 cdot 9 = 54} ).
Если поделить 54 на 8, частное будет 6, поскольку ( textcolor{red} {6 cdot 8 = 48} ), что меньше 54, а следующий множитель 7 даст нам результат больше, чем 54, так как ( textcolor{red} {7 cdot 8 = 56} ) , что нам не подходит. Значит, частное от деления 54 на 8 будет именно 6, и при этом в остатке получится ( textcolor{red} {54 – 48 = 6} ).
Во втором случае, если делитель – многозначное число, а частное – однозначное, то это частное находится при помощи испытаний одной или нескольких цифр.
Рассмотрим на примере: найдем однозначное частное при делении 36924 на 5955.
Для начала удостоверимся, действительно ли частное будет однозначным, воспользовавшись приемом, о котором я написал выше. 59550 больше чем 36924. Значит, все в порядке.
Конечно, можно пытаться последовательно умножать делитель 5955 на 2, 3, 4 и т.д., сравнивая результаты с делимым, но этот путь зачастую очень длинный и требует большого количества вычислений.
Я научу вас более простому способу.
1. В делителе берем цифру самого большого разряда (первую слева), а остальные цифры мысленно отбрасываем.
То есть, в нашем случае оставляем только 5 тысяч, а три цифры младших разрядов отбрасываем.
2. В делимом также мысленно отбрасываем столько же цифр младших разрядов, сколько отбросили в делителе.
В нашем примере мысленно отбрасываем от делимого 36924 три цифры справа, и получаем 36 тысяч.
3. Пытаемся разделить полученные числа в уме: делимое на делитель. Иными словами, ищем при помощи таблицы умножения такое число, которое при умножении на делитель даст результат равный или меньший, но как можно ближе к делителю. Частное исходных чисел будет равным или меньшим найденному на этом этапе числу. Меньшим оно может получиться потому, что мы отбросили мысленно несколько цифр.
В рассматриваемом примере нужно 36 разделить на 5. По таблице умножения видно, что это число 7, потому что: ( textcolor{red}{;7 cdot 5 = 35} ), а ( textcolor{red}{ 8 cdot 5 = 40} ), что уже больше чем 36. Значит, искомое частное или равно 7, или меньше 7.
4. Начинаем испытывать с полученного на прошлом этапе числа: умножаем его на изначальный делитель и сравниваем результат с делимым; если он оказался больше делимого, значит, это число не годится, и нужно испытывать следующее за ним меньшее число.
Умножим 5955 на 7; если получится число больше 36924, то попробуем число на единицу меньшее, то есть, 6:
Произведение ( textcolor{red}{ 5955cdot7 = 41685} ), что больше нашего делимого 36924, а произведение ( textcolor{red}{ 5955cdot6=35730}) меньше делимого, значит частное от деления 36924 на 5955 будет 6, при этом получится остаток ( textcolor{red}{36924– 35730= 1194}) .
Обратите внимание! Иногда можно найти первую цифру для испытания еще более удобным способом.
Если вторая слева цифра в делителе больше 5, можно на первом этапе цифру самого старшего разряда увеличить на 1, отбросив цифры младших разрядов, и уже на нее делить укороченное делимое, получившееся на втором этапе.
При этом во время проверки нужно проверяемую цифру частного умножить на изначальный делитель, и полученное произведение вычесть из делимого. Если останется число, большее чем делитель или равное ему, значит проверяемое частное мало, и следует взять следующее за ним большее число.
Так, в нашем примере после цифры 5 стоит 9, значит, можно увеличить 5 на единицу, и на него уже делить число 36. Получается число 6, что как показала проверка в предыдущем способе, является правильным ответом. Таким образом, мы отыскали его на одно действие быстрее.
Как видите, в этом приеме нет ничего особо сложного. Попрактиковавшись определенное количество времени, вы без труда сможете быстро и достаточно легко проводить необходимые вычисления.
Вам также пригодится:
Математические действия.
Частное.
Введение.
Пройдемся по азам математики и узнаем, что такое частное и как его получить.
Определение.
Частное чисел — это результат, полученный делением одного числа, назовем его а), на другое число, названное б). При этом, сделаем разбор чисел.
На рисунке (1) показан пример деления одного числа (а) на другое число (б), в результате получается число с), где:
а) — делимое;
б) — делитель;
с) — частное.
Чтобы получить частное двух чисел, необходимо делимое поделить на делитель.
Можно совершать и обратные действия, скажем, получая путем умножения частного на делитель можно получить делимое.
Пример 1.
Приведем самый простой пример получения частного числа, на примере таблицы умножения.
Из примера: 2*4=8, получаем:
8:4=2, где
8- делимое;
4- делитель;
2- частное.
Пример 2.
Возьмем пример по сложнее, например, найти частное чисел 48:12, получаем
48:12=4
Частное чисел 48 и 12 равно 4.
Пример 3.
Найти частное чисел 120 и 15.
Чтобы решить данную задачу, составим пример и получаем:
120:15=8, где:
120 — делимое,
15 — делитель,
8 — частное.
Ответ — 8.
Пример 4.
Найти частное чисел 975 и 13.
Решаем задачку таким образом, как и предыдущие и получится:
975:13=75.
Ответ — 75.
Пример 5.
Найти частное двух чисел 102,06 и 12,6.
Решаем задачу таким образом, что составляем пример с делением одного числа на другое и получаем:
102,06:12,6=8,1.
Наш ответ — 8,1.
Если просят найти частное чисел больших, а так же десятичных дробей, тогда следует воспользоваться способом деления в столбик. При этом, может получиться не целое число, а число с остатком.
Такие примеры с делением начинаются в начальных классах, поэтому важно для себя не просто запомнить, как называется то или иное число в конкретном математическом примере, но и понять взаимосвязь. Так, как вы уже догадались, прослеживается связь делимого, делителя и частного и из одного вытекает другое.
Взаимосвязь.
Другими словами, чтобы получить частное, нужно делимое поделить на делитель. Чтобы получить делимое, нужно частное умножить на делитель. Чтобы получить делитель, необходимо делимое умножить на частное.
Из простых примеров становится понятно, что частное — самое маленькое из всех трех чисел в действии с делением.
Рисунок 2.
Наверху с числами множитель, множитель и произведение выполнено действие умножения. То есть первый множитель равен 3, второй множитель равен 2, в результате умножения между собой двух множителей получается произведение. Из этого примера очень просто совершить обратное действие между тремя числами, поменяв их местами, то есть сделав все в обратном порядке, но только заменив умножение на деление. Таким образом, 3*2=6, а
6:2=3, где
6 — делимое (которое в первом примере было произведением), самое большое число,
2 — делитель, которое в первом примере служило множителем, и было самым маленьким числом,
3 — частное, которое в примере с произведением было множителем.
Совершать математические действия умножения и деления просто, как и в примерах с вычитанием и сложением, только нужно во первых знать таблицу умножения, либо пользоваться способом деления чисел в столбик, особенно в случае с большими числами и числами с остатком.
Зная взаимосвязь чисел можно составлять самостоятельно примеры и действовать в любом порядке и в прямом или обратном направлении.
Произведение-это умножение
а частное-это деление!
Вот такие слова про математику, очень точную науку должен знать каждый и уважать правила математики. Ведь все в этой точной науке объясняется правилами. С помощью правил вы можете решить даже самые сложные задачи. Конечно, помимо правил, вы должны понимать, о чем речь и включать свою логику в решении сложных задач. Даже если на первый взгляд кажется, что задача перед вами стоит невыполнимая, подумайте и представьте мысленно в голове, о чем речь. Переведите непонятные на первый взгляд примеры в простые ассоциации и тогда вам станет гораздо легче ориентироваться.
Математика — точная наука.
Вопрос, может ли частное число быть меньше, чем делимое или делитель? Ответ: да, может.
Частное число может быть и меньше делителя. Частное двух чисел будет самым маленьким, если делимое меньше, чем делитель. То есть не обязательно делимое — самое большое число. Можно составить такую задачку, в которой делимое будет меньше делителя, например:
Найти частное чисел 8 и 16, где 8 — делимое, а
16 — делитель.
Тогда составляем пример:
8:16=0,5.
Вот и получается, что 0,5 — частное, которое и является самым маленьким числом и даже меньше, чем делитель, а делитель — не всегда самое маленькое число. Как вы видите из примера, 16 — делитель и его значение самое большое.
Давайте, раз уж мы заговорили обо всех примерах точной науки, напомним все названия компонентов действия.
Первое. При сложении. В примере со сложением у нас есть первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, полученная в результате сложения двух слагаемых. Обратное действие:
Второе. При вычитании. Уменьшаемое, вычитаемое и разность, где уменьшаемое — число, из которого вычитают, вычитаемое — второе число, которое вычитают и разность двух чисел уменьшаемого и вычитаемого. Разность.
Третье. Умножение. Первый множитель умножают на второй множитель и получают произведение.
Четвертое. При делении. Делимое «поделить» на делитель, получится частное.
А:Б=В.
В — частное.
А теперь повторите еще раз все действия в математике.
Объясните своими словами, какие действия нужно совершить, чтобы получить сумму? А чтобы получить Частное? Далее, произведение? И наконец, разность?
Вы теперь поняли, какое число называется Частным? А вы сможете своими словами объяснить, какие действия следует совершить, чтобы получилось частное двух чисел? Если да, то тогда составьте свой пример. Пускай он будет самым простым и будет взят из таблицы умножения, либо вы хотите потренироваться на более сложных числах? Тогда возьмите число в виде дроби или с остатком и произведите расчет частного двух чисел путем деления столбиком.
Математика любит точность. Поэтому понимайте правила, но, если на первый взгляд кажется сложным и нереальным решить задачку с умножением или делением, пользуйтесь подсказками и когда весь процесс решения задачи пойдет у вас на автомате, вам решать задачки понравится. Ведь всегда приятно найти разгадку, получить решение или ответ!
Заключение.
Зная азы математики, можно научиться очень ловко обращаться с числами, цифрами и вычислениями, тем более это умение вам пригодится в будущем. Точность никогда не будет лишней! А умение складывать, вычитать, умножать или делить в уме, сэкономит ваше время и сделает вас более эрудированным и грамотным человеком. Возможно ваша будущая профессия будет связана с математикой, именно поэтому со школьной скамьи вы должны научиться быстро и правильно считать в уме! А такие простые действия, как получение произведения или частного вам обязательно пригодятся!
Важно не просто зазубрить, но и понять смысл, и хотя математика называет себя точной наукой, при ее понимании можно тоже включать логику.
Поняли? Хотите больше информации по данной теме по частные числа? Тогда смотрите видеоматериал Математика 4 класса. 26 октября. Остаток от деления.
Видео обзор
| Все(5) |
|---|