Наименьшее значение функции как найти 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №17. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,

2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,

3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Найти производную f‘ (x).
  3. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
  4. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).
  5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

  1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
  2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
  3. Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

  1. Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
  2. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 2 на отрезке [0; 3]

Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.

1) D(f) = (-∞; +∞).

2) f (x) = 6x2 – 18x + 12

3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.

4) f(0) = -2

f(3) = 7

f(1) = 3

f(2) = 2

5) fнаим.=f(0) = -2

fнаиб.=f(3) = 7.

Ответ: fнаим= -2

fнаиб.= 7.

№2.Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.

Решение.

Пусть первое число равно х,

Тогда второе число —

Следовательно,

Произведение этих чисел равно х(16 – х).

Составим функцию:

f(x) = x(16 – x)

x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.

Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.

Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.

Ответ: 8 и 8

Источник

Образовательные задачи урока.


  • повторить необходимые и достаточные условия
    существования точек экстремума, понятия:
    стационарные и критические точки;
  • ввести алгоритм нахождения наибольшего и
    наименьшего значения функции на отрезке
  • сформировать умение решать задачи на
    нахождение наибольшего и наименьшего значения
    степенной функции на отрезке с помощью
    производной.
  • разобрать прототипы задач № 1 В14
    экзаменационной работы в формате ЕГЭ.
  • Продолжить формирование общеучебных умений и
    навыков: навыков самоконтроля, умения писать
    необходимом темпе.

Воспитательные задачи:


  • cодействовать в ходе урока формированию
    основных мировоззренческих идей (материальность
    мира, познаваемость мира и его закономерностей,
    обусловленность развития науки потребностям
    производства);
  • cодействовать воспитанию у учащихся таких
    нравственных качеств, как коллективизм;
  • cодействовать профилактике утомляемости
    школьников, используя разнообразные виды работы
    на уроке.

I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.

II. Актуализация знаний учащихся.

Повторить с учащимися основные понятия прошлых
уроков: точки экстремума, каково достаточное
условие точек экстремума, стационарные точки и
критические точки (учащихся отвечают с места)

Повторить таблицу производных основных
функций и основные правила нахождения

III. Изучение нового материала.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке

(учащиеся записывают себе в тетрадь).

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на
отрезке , то
для нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке нужно:

  1. найти производную функции, найти стационарные
    точки (решаем уравнение, приравнивая производную
    к нулю)
  2. среди полученных стационарных точек выбрать те,
    которые принадлежат отрезку
  3. найти значение в стационарных точках и в концах
    отрезка, то есть и .
  4. среди полученных значений выбрать наибольшее
    или наименьшее.

Записать схему нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке в
тетради (учитель оформляет схему на доске):

Пусть
непрерывна на
и дифференцируема. Тогда, для нахождения или :

  1. Находим находим
  2. Проверяем принадлежность отрезку
  3. Находим , , .
  4. Среди полученных значений выбираем или .
  5. Записываем ответ (Акцентировать внимание, что в
    ответе должно быть записано либо целое число,
    либо конечная десятичная дробь).

Пример № 1. Найти наименьшее значение функции
на отрезке . (Учитель
совместно с учащимися записывает решение на
доске последовательно проговаривая каждый пункт
алгоритма).

Решение:

Ответ:

Пример № 2. Найти наибольшее значение
функции на
отрезке

Решение:

Ответ: 23

Пример № 3. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке .

Решение:

Ответ: -3

Пример № 4. Найдите наибольшее
значение функции на отрезке .

Решение:

Упростим функцию

Ответ: 1

IV. Закрепление материала.


  1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

V. Итоги урока.


  1. Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
    наименьшего значения функции на отрезке.
  2. Выставить отметки за урок.

VI. Домашнее задание:


  1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  5. Найти наибольшее значение функции на отрезке

Урок № 2. “Нахождение наибольшего и
наименьшего значения функций и на отрезке .

Тип урока: комбинированный.

Образовательные задачи:


  • обеспечить повторение в ходе урока алгоритма
    нахождения наибольшего и наименьшего значения
    функции на отрезке;
  • продолжить формирования навыка применения
    этого алгоритма при решении второго типа задач
    экзаменационных вариантов ЕГЭ;
  • продолжить формирование общеучебных умений и
    навыков: навыков самоконтроля, умения в
    необходимом темпе читать и писать, анализировать
    условия задачи.

Воспитательные задачи:


  • содействовать в ходе урока формированию
    основных мировоззренческих идей (материальность
    мира, познаваемость мира и его закономерностей,
    обусловленность развития науки потребностям
    производства);
  • содействовать воспитанию у учащихся таких
    нравственных качеств, как коллективизм. умение
    слушать товарищей;
  • содействовать профилактике утомляемости
    школьников.

I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.

II. Проверка домашнего задания. Фронтальная
проверка домашнего задания. Если у большинства
учащихся возникли вопросы, разобрать на доске
решение конкретного задания, если лишь у
некоторых, объяснить в индивидуальном порядке,
предварительно схематично обговорив решение у
доски.

III. Актуализация знаний. Повторить еще раз
алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке с оформлением схемы
на доске.

Повторить следующие формулы для дальнейшего
изучения материала:

, ,

Решить на повторение примеры (1 учащийся пишет
решение на доске с комментариями по решению,
остальные записывают себе в тетради).

IV. Решение новых прототипов задач (разбирает
решение учитель)

Пример № 1. Найти наименьшее значение
функции на
отрезке

Решение

Ответ: —1

Пример № 2. Найти наименьшее значение
функции на
отрезке

Решение. Преобразуем и упростим функцию , используя
свойство логарифмов

Ответ: -6

V. Закрепление материала (самостоятельное
решение задач учащимися у доски).

Пример № 3. Найти наибольшее значение функции
на отрезке

Решение.

Ответ: 51

Пример № 4. Найти наименьшее значение функции
на отрезке

Решение.

(, так как )

Ответ: 4

Пример № 5. Найти наименьшее значение функции
на отрезке

Решение

Ответ: -1

Пример № 6. Найти наибольшее значение функции
на отрезке

Решение:

Ответ: 1

Пример № 7: Найдите наибольшее значение
функции на
отрезке

Решение

Ответ: 36

VI. Итоги урока.


  1. Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
    наименьшего значения функции на отрезке.
  2. Проговорить основные алгоритмы решения тех
    примеров, которые изучены на уроке.

VII. Домашнее задание по вариантам.

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2} будет при том же x_0, что и точка максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}left({ x}right).

Заметим, что точку максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции tleft(xright) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение tleft(xright) достигается в вершине параболы, то есть при x=-frac{8}{2}=-4.

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции tleft(xright)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при xin [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции yleft(xright). Точка x_2=frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке left[0,3;1right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{ln left(9xright)}+3 на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{ln left(9xright)}+3=9x-{ln 9-{ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11 на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-frac{7}{{cos}^2x}=0.

{cos}^2x=frac{1}{2}.

{cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}. Поскольку xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y если x=pm frac{pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

При x=frac{pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=frac{pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-frac{pi }{3} и x =frac{pi }{4}.

yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;

Мы нашли, что y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -frac{pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{left(e^{cx}right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). yleft(ln4right)=4^2-8cdot 4+9=16-32+9=-7.

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi +6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}.right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6sqrt{3};

sinx=frac{sqrt{3}}{2}.

По условию, xin left[0;frac{pi }{2}right]. На этом отрезке условие sinx=frac{sqrt{3}}{2} выполняется только для x=frac{pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=frac{pi }{3}.

В точке x_0=frac{pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=frac{pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке left[0;frac{pi }{2}right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}sqrt{{ 3}}{ }pi { +6} на отрезке left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right] достигается при { x=}frac{pi }{{ 3}}.

y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosxle 1, получим, что  для всех x, и функция yleft(xright)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при xin left[0;frac{pi }{2}right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right], то есть при x=0.

y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Наибольшее и наименьшее значения функции можно найти по графику функции. Иногда это значения удаётся найти, используя свойства функции. В общем случае наибольшее и наименьшее значения функции находятся с помощью производной. Для этого сформулируем некоторые теоремы.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

Пусть функция (f(x)) напрерывна на отрезке ([a; b]), тогда:

1) находим производную функции f′(x);

2) приравниваем производную к нулю, определяем точки экстремума функции, отбираем из них те, которые принадлежат отрезку ([a; b]);

3) находим значения функции y=f(x) в отобранных точках, и в конечных точках отрезка (a) и (b); выбираем среди полученных значений наименьшее (yнаим) и наибольшее (yнаиб).

А что делать, если нужно найти наибольшее или наименьшее значения функции, непрерывной на интервале? Один из вариантов — графический метод, который подразумевает построение графика функции и  определение наименьшего или наибольшего значения функции по нему. Однако не всегда этот способ удобен, целесообразнее использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке (X) и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:

а) если x=x0 — точка максимума, то yнаиб=f(xo);

б) если  x=x0 — точка минимума, то yнаим=f(xo).

На рисунках продемонстрированы геометрические иллюстрации данной теоремы.

                       min_.png                         max.png

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $

План решения

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $

  1. Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
  2. Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
  3. Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
  4. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
  5. Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $

Примеры решений

Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $
Решение

Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $.

Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$

Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки:

$$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$

Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $:

$$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$

Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $:

$$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 — 3 cdot 0^2 — 4 = -4 $$

$$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 — 3 cdot 1^2 — 4 = -5 $$

$$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 — 3 cdot 2^2 — 4 = 0 $$

Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ M = 0, m = -5 $$
Пример 2
Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $
Решение

Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $.

Выполняем нахождение производной:

$$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$

$$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$

Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки:

$$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$

Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $.

Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $:

$$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$

$$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$

$$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$

Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $.
Ответ
$$ m = 0, M = 1 $$
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти свою половинку на одноклассниках
  • Как найти углы прямоуг треугольника
  • Как найти работу девушке в декрете
  • Как найти мощность в электротехнике формула
  • Как найти номер заблокированной карты сбербанка