Нахождения минимального значения выражения
Найдите наименьшее значение выражения и значения и , при которых оно достигается.
Решение задачи
Данный урок показывает, как используя свойства квадрата функции, перевести квадратичное выражения, значение которого необходимо определить, в систему линейных уравнений с двумя неизвестными. При решении данного задания следует помнить, что минимальное значение квадрата любого выражения это нуль, а значит, минимальное значение выражения, которое записано внутри квадратичной функции, также обращается в нуль. Так как по условию задачи у нас сумма двух квадратов с двумя неизвестными, то и линейных уравнений мы получаем два – а это уже система двух линейных уравнений. Для решение данной системы можно использовать один из способов: метод сложения (сложение двух уравнений, приведя коэффициенты одной из неизвестных к одинаковому значению, но с противоположным знаком) или метод подстановки (выражение в одном уравнении одной неизвестной через другую и подстановка этого значения во второе уравнения, получая тем самым линейное уравнение с одной переменной). Нахождение значений неизвестных – это вторая часть вопроса, на первый мы уже ответили – минимальное значение суммы квадратов – это нуль.
Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 9-х классов при изучении темы «Системы уравнений» («Основные определения, примеры систем двух уравнений», «Метод подстановки», «Метод алгебраического сложения»). При подготовке к ОГЭ урок рекомендован при повторении темы «Системы уравнений».
Нахождения минимального значения выражения
Для решения данной системы можно использовать один из способов: метод сложения (сложение двух уравнений, приведя коэффициенты одной из неизвестных к одинаковому значению, но с противоположным знаком) или метод подстановки (выражение в одном уравнении одной неизвестной через другую и подстановка этого значения во второе уравнения, получая тем самым линейное уравнение с одной переменной).
При подготовке к ОГЭ урок рекомендован при повторении темы «Системы уравнений».
Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается.
Так как выражение содержит сумму квадратов, то его значение не может быть отрицательным.
То есть, его значение положительно либо равно нулю.
Следовательно, наименьшим значением выражения будет 0. Это возможно только в том случае, когда каждое слагаемое равно нулю.
Исходя из этого, составим систему уравнений.
Систему удобно решить способом сложения.
Умножим второе уравнение на (-4), затем сложим уравнения.
Решив данную систему, получим: x = 1, y = 2.
Ответ: (1; 2)
Смотрите видеоурок с подробным решением задачи.
Если вам понравился материал, не поленитесь нажать на кнопочки любимой социальной сети и поделиться с друзьями.
Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:
Общая информация
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
- Нахождение области определения функции (ОДФ).
- Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
- Умение решать уравнения.
- Знание графиков простых функций.
- Основные типы функций, полуинтервал и интервал.
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [—6;6].
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [—3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Видео
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
- Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
- Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
- Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
- Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b—f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b—f(x),limx→a+f(x).
- Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
- Если интервал выглядит как (—∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→—∞f(x).
- Если —∞; b, то считаем односторонний предел limx→b—f(x) и предел на минус бесконечности limx→—∞f(x)
- Если же —∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x), limx→—∞f(x).
- В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4—8 в первой части материала.
Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в :
x2+x-6=D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).
Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:
y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e-4=-1
Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
limx→-3-3e1x2+x-6-4=limx→-3-3e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-+3)(-3—2)-4==3e1(+)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e-4=-1
Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+3e1x2+x-6-4=limx→-3+3e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3++3(-3+-2)-4==3e1(-)-4=3e-∞-4=3·-4=-4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.
Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+3e1x2+x-6-4=-4limx→2-3e1x2+x-6-4=limx→-3+3e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-+3)(2—2)-4==3e1—4=3e-∞-4=3·-4=-4
Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.
На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.
limx→2+3e1x2+x-6-4=limx→-3+3e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2++3)(2+-2)-4==3e1(+)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e-4=-1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги
Теги
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания,
берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта
готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием
сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом
администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта
и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы
принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без
письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой
зрения авторов.
Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание 12
В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.
Итак.
Пример 1
Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+5)^5-5x на отрезке delim{[}{-4,5;0}{]}.
Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение x+5 в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, (x+5)^5>0 и отсюда x+5>0 .
Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим y=5ln(x+5)-5x.
Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)
y{prime}=5/{x+5}{(x+5)}{prime}-5=5/{x+5}-5
Найдем нули производной:
5/{x+5}-5=0
{5-5x-25}/{x+5}=0
{-5x-20}/{x+5}=0
-5x-20=0;~~x=-4
Определим знаки производной: (учитываем, что x+5>0)
И, соответственно, поведение функции:
В точке x=-4 производная меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:
Следовательно, в точке x=-4 функция y=ln(x+5)^5-5x принимает наибольшее значение на отрезке delim{[}{-4,5;0}{]}.
Найдем значение функции при x=-4: y(-4)=ln(-4+5)^5-5(-4)=ln1+20=20
Ответ: 20.
Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что x=-4, т.к. x+5=1 . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.
Пример 2.
Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции x<>-4. Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:
y=2ln{delim{|}{x+4}{|}}+2x+7
При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.
Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: x>-4 и x<-4. Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:
y=ln(x^2+8x+16)+2x+7
y{prime}={1/{x^2+8x+16}}*(x^2+8x+16){prime}+2={2x+8}/{x^2+8x+16}+2={2(x+4)}/{(x+4)^2}+2=2/{x+4}+2
Найдем нули производной:
2/{x+4}+2=0
{2+2x+8}/{x+4}=0
2x+10=0
x=-5;
В точке -4 производная не определена, но меняет знак.
Исследуем знаки производной:
В точке x=-5 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции.