Найдите тождество как решать

 

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно просто вычислить правую и левую части.

Пример. Доказать тождество ((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75).
Решение:

((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75)
( (2,5+) (frac{6}{3})()^2=20,25)
((2,5+2)^2=20,25) 
((4,5)^2=20,25) 
(20,25=20,25) 
Тождество доказано.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно: 

1. Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
2. Преобразовывать только левую или только правую часть.
3. Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
4. Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
5. Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример.
Доказать тождество ((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)).
Решение:

((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2))	Работаем с левой частью, не трогая правую. С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…
(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2))	…затем приводим подобные слагаемые,…
(2a^2+2b^2=2(a^2+b^2))	…после чего вынесем за скобку двойку.
(2(a^2+b^2 )=2(a^2+b^2))	Обе части равны — тождество доказано

Пример.
Доказать тождество (x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2).
Решение:

(x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2)	Преобразуем правую часть, не трогая левую. Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы,…
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2xcdotfrac{1}{x}+frac{1}{x^2} -2)	…упростим одно из слагаемых, сократив (x) и (frac{1}{x}), …
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2+frac{1}{x^2} -2)	… и приводим подобные слагаемые   ((2) и (-2)).
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+frac{1}{x^2})	Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

Смотрите также:
Тождество
Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

Решение:

выпишем отдельно левую часть равенства и преобразуем, т. е. попытаемся доказать, что она равна правой части.

При раскрытии скобок (обеих) знаки поменяем, т. к. перед скобками стоит знак минус.

2t−(17−(t−7))=2t−17+(t−7)==2t¯−17+t¯−7=3t−24=3(t−8).

Получили, что левая часть исходного равенства равна правой.

Значит, исходное равенство — тождество.

Как решать тождества

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• — бумага;
• — ручка.

Инструкция

Простейший пример таких преобразований – алгебраические формулы сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) кубов, куб суммы (разности)). Кроме того существует множество логарифмических и тригонометрических формул, которые по своей сути являются теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите выражение (a-b)^2 +4ab. (a-b)^2 +4ab= a^2-2ab+b^2 +4ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. В высшей математической школе, если разобраться, тождественные преобразования – первейшее из первейшего. Но там они считаются чем-то само собой разумеющимся. Цель их не всегда упрощение выражения, а иной раз и усложнение, с целью, как уже говорилось, достижения поставленной цели.

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей
Pm(x)/Qn(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+…+Ak/(x-a)^k+…+(M1x+N1)/(x^2+2px+q) +…+ (M2x+N2)/(x^2+2px+q)^s.

Пример. Тождественными преобразованиями разложить на простейшие дроби (x^2)/(1-x^4).

Разложите выражение 1-х^4=(1-x)(1+x)(x^2+1). (x^2)/(1-x^4)=A/(1-x) + B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+1)

Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители дробей в обеих частях равенства.
X^2=A(x+1)(x^2+1) +B(1-x)(x^2+1)+(Cx+D)(1-x^2)

Заметьте, что:

При х = 1: 1 = 4А, А = 1/4;
При х = — 1: 1 = 4В, В = 1/4.

Коэффициенты при x^3: A-B-C=0, откуда С=0
Коэффициенты при x^2: A+B-D=1 и D=-1/2
Итак, (x^2)/(1-x^4)=1/(1-x) + 1/(4(x+1)) – 1/(2(x^2+1)).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Тождественные преобразования

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Рассматриваемое равенство не является тождеством, а представляет собой уравнение. Для обозначения тождественного равенства принято использовать символ тройного равенства: ≡ .

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

Это уравнение верное только, когда ответ соответствует х = 10 .

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

В результате получили тождество, которое существует, если х ≠ 0 и х ≠ 1 . То есть необходимо исключить недопустимые значения, так как знаменатель слева не должен принимать нулевые значения:

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

• тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
• получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

x 2 – 1 x – 1 = x + 1

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Выполним сокращение на х — 1 :

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:

Данное равенство не является тождеством.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

128 × 32 = 32 × 128

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

76 – 15 – 29 = 76 + ( — 15 ) + ( — 29 )

42 ÷ 3 = 42 × 3 — 1

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

1. В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
2. Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
3. На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.

Пример 7

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

1040 – ( — 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Тождественные преобразования выражений

п.1. Соответственные значения

Рассмотрим два выражения с переменными:

$$ f(x)=x^2 — 4x + 20, g(x)=3x^2 — 10 $$

Вычислим их значения при x=2:

$$ f(2)=2^2 — 4 cdot 2 + 20 = 16, g(2)=3 cdot 2^2 — 10 = 2 $$

Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:

$f(3)=3^2 — 4 cdot 3 + 20 = 17, g(3) = 3 cdot 3^2 — 10 = 17$

Соответственные значения равны.

Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.

Соответственные значения могут быть:

• равны для отдельных значений переменных;
• равны при всех допустимых значениях переменных;
• неравны для любого из допустимых значений переменных.

п.2. Область допустимых значений

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных .

Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных , сокращённо ОДЗ ).

Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:

• Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.
• Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Например, выражение $ frac <1>$ не имеет смысла при a=4.
• Иррациональное выражение не имеет смысла, если выражение под корнем чётной степени или под знаком возведения в дробную степень отрицательно. Например, выражение $ sqrt $ не имеет смысла при всех a Тождественно равные выражения – это выражения, соответственные значения которых равны при всех допустимых значениях переменных.

Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.

Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Примеры тождеств: $a + b = b + a, frac <2a+2> <2>= a+1, x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$

Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.

Примеры числовых тождеств: $3^2 + 4^2 = 5^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.

Например: $x + 1 = frac <2x+2><2>$ — это тождество, которое истинно для всех действительных $x mathbb in R$. Выражение $x^2 + 1 = 2$ — это уравнение, которое истинно только для $x = pm 1$.

Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.

Например, сокращение дроби $ frac = frac ab $ является тождественным преобразованием.

Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.

Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством

1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.

Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.

Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством

Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.

п.4. Примеры

Пример 1. Докажите тождество 3(x+1)-2(x-1)-x=5(x+1)-5x

● Тождественные преобразования левой части:

Тождественные преобразования правой части:

Получаем: 5=5. Равенство является тождеством.

Что и требовалось доказать. ○

Пример 2. Тождественны ли выражения 1-(1-(1-b)) и 1-b?

Тождественные преобразования левой части:

Получаем: 1-b=1-b. Выражения тождественны.

Пример 3. Верно ли тождество |x|+1=|x+1|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при x=-1.

Равенство не является тождеством.

Пример 4. Является ли тождеством равенство |a+b|=|a|+|b|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при a=-1, b=1.