Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
План урока:
Производные некоторых элементарных функций
Основные правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производные некоторых элементарных функций
Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.
Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.
Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:
где k и b – некоторые постоянные числа.
Выберем произвольную точку х0 и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х0 + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:
Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:
Находим отношение ∆у/∆х:
Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х0. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:
Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.
Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:
Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:
Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид
где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:
Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.
Решение. Сначала вычислим первую производную:
Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.
Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х0 и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х0 и (х0 + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:
Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х0 + ∆х будет стремится к х0, то есть
Задание. Вычислите производные функции
Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:
Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.
Начнем со степенной функции у = хn, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:
Приведем примеры использования этой формулы:
Задание. Найдите производную функции у = х6 в точке х0 = 10.
Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t3. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.
Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:
Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу
По определению отрицательной степени мы можем записать, что
Задание. Вычислите производную функции
Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции
чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х0, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:
Ответ: х0 = 0,25.
Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:
Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.
Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х0 = π.
Решение. Мы знаем, что
Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.
Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:
Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:
Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х0 = π/6.
Решение. Для тангенса используется формула:
Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:
Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:
Напомним, что справедлива формула
Стоит обратить внимание, что функции у = ех при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.
Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = ех в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).
Решение. Используем формулы производных:
Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:
Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите производную функции у = 2х при х0 = 3.
Решение. Используем формулу
Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:
Основные правила дифференцирования
До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?
Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.
Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.
В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции
Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:
Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:
Покажем использование этого правила:
Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что
Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х0 = 1.
Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:
Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:
Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где
Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:
Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.
Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.
Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где
Задание. Продифференцируйте функцию
Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):
Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:
Например, пусть надо найти производную функции
С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:
Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:
Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции
чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.
Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:
Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:
Ответ: – 2 и 0.
Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию
Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:
У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:
Производная сложной функции
«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции
В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:
Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции
Она сконструирована из функции у = ex и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):
Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.
Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает
Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции
Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:
В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.
Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)1000.
Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:
Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.
1. Вычисление производной функции
Правила дифференцирования
Дифференцирование сложной функции
Таблица производных
2. Приложение производной
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0;f(x0)):
y=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0); f ‘(x0) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).
Достаточные признаки монотонности функции:
- если
f ‘(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале. - если
f ‘(x)<0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.
Необходимое условие экстремума: если x0 – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то f ‘(x0)=0.
Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.
Достаточные условия экстремума:
- если производная при переходе через точку
x0 меняет свой знак с плюса на минус, то
x0 – точка максимума. - если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то
x0 – точка минимума.
3. Первообразная функции
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого 
выполняется равенство F ‘(x)=f(x).
Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.
Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.
Правила нахождения первообразных
Пример 1. Найти производную функции 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 2. Найти 
, если 
.
Решение:
По правилу дифференцирования дроби имеем: .
.
Ответ: 
Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х2 + 2, в точке хо = – 1.
Решение:
Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке хо.
.
Ответ: – 2.
Пример 4. Найдите значение 3tg2t , если t – наименьший положительный корень уравнения 
.
Решение:
.
Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения 
. Тогда 
.
Ответ: 1.
Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение:
Область определения функции: x>0.
На области определения найдём критические точки функции :
Критические точки: 0; 1.
На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:
Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале 
возрастает.
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=ex+2-ex на промежутке [-2; 0].
Решение:
Функция y=ex+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.
1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:
2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:
3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:
наименьшее y|x=-1=2e наибольшее y|x=0=e2.
Ответ:
наименьшее y|x=-1=2e наибольшее y|x=0=e2.
Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x3, параллельной прямой y=3x+1,5.
Решение:
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х0 имеет вид:
.
Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x0)=3 .
f ‘(x)=3x2, следовательно, 
.
Ответ: 
.
Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции 
.
Решение:
Представим функцию в виде 
. Первообразная данной функции будет 
. Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет 
. Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: 
.
Ответ: .
Пример 9. Для функции 
найдите первообразную, график которой проходит через точку 
.
Решение:
Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.
Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: 
.
Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Производная функции
1) Найти производную функции f(x)=2ex+3x2 .
2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.
3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).
4) Вычислите производную функции y=9x2-cosx.
5) Найдите производную функции y=ex-x7 .
6) Вычислить производную функции 
.
7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x2-2x+1.
Найдите производную функции у = х2(3х5 – 2) в точке х0 = – 1.
9) Вычислите 
, если f(x)=(2x-1)cosx.
10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x2)(x2+6).
11) Вычислите f ‘(1), если f(x)=(x4-3)(x2+2).
12) Найдите значение производной функции 
в точке х0 = 0,5.
13) Найдите f ‘(4), если 
.
14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при 
.
15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при 
.
16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .
17) Определите промежутки возрастания и убывания функции 
.
18) Найдите максимум и минимум функции y=5x4-10x2+9.
19) Найти экстремумы функции у = – х3 + 6х2 + 15х + 1.
20) Найдите точки экстремума функции у = – х3 – 3х2 + 24х – 4 на промежутке 
.
21) Найдите наибольшее значение выражения 3х5 – 5х3 + 6 на отрезке [–2;2].
22) Написать уравнение касательной к параболе у = х2 – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.
23) Найдите максимум функции 
.
24) Найдите экстремальные значения функции 
.
25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х4 – 3х2 + 2.
26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции 
в его точке с абсциссой х0 = – 2.
27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х2 в точке с абсциссой х0 = 2.
28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой 
.
Найдите первообразные функций:
29) 
.
30) f(x)=-7sinx.
31) 
.
32) f(x)=1,2cosx.
33) f(x)=-7cosx.
34) f(x)=sinx-cosx.
35) 
.
36) 
.
37) 
.
Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:
38) 
.
39) 
.
40) 
.
41) 
.
Повышенный уровень
Производная функции
42) Найдите значение 
, если 
.
43) Найдите значение 
, если f(x)=sin4x-cos4x.
44) Найдите значение 
, если f(x)=cos23x .
45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.
46) Найдите значение 
, если 
.
47) Найдите значение , если 
.
48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)2.
49) При каком значении параметра а функция 
имеет минимум в точке x0=1?
50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если 
.
51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4х – 5∙2х + 3,25.
52) При каких значениях а функция 
убывает на всей числовой прямой?
53) На кривой у = 4х2 – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.
54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, 
.
Первообразная
55) Найдите значение первообразной функции 
, график которой проходит через данную точку 
.
56) Найдите значение первообразной функции 
, график которой проходит через данную точку 
.
57) Найдите значение первообразной функции 
при 
, график которой проходит через данную точку 
.
Задача о площади криволинейной трапеции
58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
урок 3. Математика ЕГЭ
Как найти производную от функции
Как считать производные?
Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?
Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.
Формулы производной
Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.
Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$
Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$
Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$
Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$
Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$
Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$
Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$
Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$
Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$
Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$
Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$
Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$
Свойства производной
Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.
Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$
Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$
Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$
Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$
Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$
Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$
Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$
Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$
Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$
Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$
Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$
Примеры нахождения производной
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.
Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$
Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$
Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$
Производная сложной функции
Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:
-
$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)). -
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))). -
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)). -
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).
Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.
Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$
Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$
Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$
Вывод формул производной функции
Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).
И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).
Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:
$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$
Рис.1. График произвольной функции
И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.
Нам это пригодится при выводе формул производной.
Производная квадратичной функции
Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$
Производная от третьей степени
Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.
Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.
Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной
Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции
Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.
Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.