Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как

2018-04-16   

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.

Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Решение:

Из уравнения идеального газа $p = frac{m}{M} frac{RT}{V}$

$frac{dp}{dt} = frac{RT}{MV} frac{dm}{dt}$ (1)

В каждом такте откачивается объем $nu$ газа, где $nu$ дается выражением

$nu = frac{V}{m_{N} } ( m_{N-1} — m_{N} )$

В случае непрерывной откачки, если $(m_{N-1})$ соответствует массе газа в сосуде в момент времени $t$, то $m_{N}$ — масса в момент времени $t + Delta t$, где $Delta t$ — время, в течение которого объем $nu$ газа вышел. Следовательно, скорость откачки $frac{ nu}{ Delta t}$ т.е.

$C = frac{ nu}{ Delta t} = — frac{V}{m(t + Delta t) } frac{m(t + Delta t) — m(t) }{ Delta t }$

В пределе $Delta t rightarrow 0$ получаем

$C = frac{V}{m} frac{dm}{dt}$ (2)

От (1) и (2)

$frac{dp}{dt} = — frac{C}{V} frac{mRT}{MV} = — frac{C}{V} p$ $frac{dp}{p} = — frac{C}{V} dt$

Интегрирование дает $int_{p_{0} }^{p } frac{dp}{p} = — frac{C}{V} int_{t}^{0} dt $ или $ln frac{p}{p_{0} } = — frac{C}{V}t$

Таким образом, $p = p_{0}e^{ -Ct/V}$

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как…

Похожие материалы

К сожалению, похожего ничего не нашлось!

Комментарии

Всего комментариев: 0

Библиографическое описание:

Имашева, Ш. К. Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики / Ш. К. Имашева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 50 (392). — С. 526-528. — URL: https://moluch.ru/archive/392/86273/ (дата обращения: 28.05.2023).



В статье рассматриваются примеры из физики из различных разделов физики. Объединяющим фактором этих примеров является экспоненциальный характер математического описания физических процессов.

Ключевые слова:



экспоненциальная зависимость, экспонента, число Е, скорость изменения физической величины, дифференциальное уравнение.

Одним из задач исследования прикладной математики является изучение физических процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна уже достигнутому значению самой этой

величины

.

Обозначим через

y(t)

значение рассматриваемой физической величины в момент времени

t

. Через

y

мы обозначим изменение величины

у

за малый промежуток

t

от

t

до

t+t

то есть

y = y(t+t)-y(t)

Скорость изменения величины

у

можно приближенно представить отношением

. Если для величины

y

скорость ее изменения в момент времени

t

пропорциональна достигнутому значению

y(t)

этой величины, то мы приходим к соотношению

 ky,

где

k

коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом, так и отрицательным.

При t это соотношение можно писать в таком виде:

= ky

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. С ним школьники старших классов знакомы с математики. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y(t) = y(0)

,

(1)

где

у(0)

называется начальным условием, т. е. значение величины

у

в момент времени

t=0

,

е

— основание натуральных логарифмов.

Функции в зависимости от некоторых величин, содержащие число «е», называют экспонентами. Формулу (1) в большинстве случаев пишут так:

y(t) = y(0) exp kt.

Экспоненциальные зависимости в


физических явлениях

Пример 1

. Катер массы

m

движется по озеру со скоростью



₀


. В момент

t=0

выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости

F = -r,

найти скорость катера в зависимости от времени.

Анализ:

После выключения двигателя катер движется только под действием силы сопротивления воды. Поэтому уравнение движения катера в скалярном виде:

—

r = ma -r = m

или

=

-(

)

Последнее выражение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Значит убывание скорости катера прямо пропорционально самой скорости катера.

Дифференциальное уравнение напишем в такой форме:

=-(

)dt

Интегрируя это выражение

=

получим

ln

=-(

) t

откуда

=

₀

Пример 2.

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки

t

. Объем сосуда

V

, первоначальное давление

p

₀


. Процесс считать изотермическим и скорость откачки, не зависящей от давления и равной

С

.

Примечание: Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Анализ:

За время dt объем откачки газа равен

dV=Cdt

Поскольку, процесс изотермически, напишем:

pV=const

Или

d(PV) = VdP + PdV = 0

откуда

Следовательно,

или

Проинтегрировав

—

найдем уравнение давления газа в зависимости от времени:

p=p

₀

Пример 3

. Найти закон радиоактивного распада как функцию времени t. В начальный момент (t=0) мы имели N

₀

атомов радиоактивных атомов. Из эксперимента известно, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов.

Анализ:

Из условия задачи мы можем написать следующие уравнения:

Знак минус перед скоростью распада означает, что идет убыль численности не распавшихся атомов.

Поскольку t0, последнее выражение напишем в форме дифференциального уравнения:

Отсюда найдем закон радиоактивного распада:

N=N

₀

Если принимается во внимание понятие периода полураспада Т, то этот закон примет вид

N=N

₀

Пример 4.

Известно, что при наличии разности температур между телом и окружающей средой теплоотдача тела за время t определяется формулой

Q k(T — T

_c

)t

Q — количество отдаваемой теплоты тела к окружающей среде за время t; Т — температура тела, T

_c

— температура окружающей среды, коэффициент k зависит от поверхности и природы тела.

Пусть тело нагрето до температуры Т

₀

; температуру окружающей среды считаем постоянной (Т

_с

Т

₀

). Найти зависимость температуры Т тела от времени охлаждения t.

Анализ:

При охлаждении тела количество отдаваемой теплоты выражается через Q=СT. Тогда мы можем написать следующее уравнение:

СT= — k(T — T

_c

)t

или

—

.

Следовательно,

—

Знак минус выбран потому, что возрастанием времени t температура Т тела уменьшается.

Разделяя переменные, получим

= —

Отсюда

= —

t +

Подставляя начальное условие T

<sub>t


=0</sub>

=T

₀

, найдем С. C = T

₀

-T

_C

.

Окончательно закон охлаждения тела в условиях постоянства температуры окружающей среды имеет вид

T=T

_c

+ (T

₀

-T

_C

)

В условиях T

_C

=0 получим

T=T

₀

Пример 5.

Установить формулу, характеризующую динамику цепной ядерной реакции в зависимости от времени, если известно следующие параметры данной реакции: скорость развития цепной реакции зависит от коэффициента

k

размножения нейтронов и от среднего времени  между двумя последовательными актами деления. Таким образом, коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость прироста нейтронов приблизительно равен

.

Анализ:

Прирост числа нейтронов за единицу времени характеризует следующее дифференциальное уравнение:

Интегрируя это уравнение, получим

N=N

₀

Пример 6.

Доказано, что параллельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменьшает свою интенсивность.

Если толщина слоя достаточно мала, то изменение интенсивности пучка пропорционально толщине слоя:

Ik

₁

l

А количество поглощенных квантов (или рассеянных частиц) пропорционально интенсивности пучка:

I = — k

₂

I

Коэффициенты k

₁

и


k

₂

зависят от свойств поглощающей среды. Найти закон ослабления интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду.

Анализ:

Объединяя обе формулы, приведенные в условии задачи, получим:

I — kIl

Отсюда:

I=I

₀

.

Литература:

1. Осятинский С. Д., Л. З. Румшиский. Экспонента // Квант. — 1972. — № 12. с.19–25.
2. Слободецкий И. Ш., Асламазов Л. Г. Задачи но физике.- М.: Наука, 1980.—(Библиотечка «Квант», вып. 5). — 198 с.

Министерство
образования и науки РФ

НИЖЕГОРОДСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Кафедра прикладной математики

Задачи по термодинамике

И молекулярной физике

Нижний
Новгород — 2005
г.

УДК
537. ЗАДАЧИ ПО
ТЕРМОДИНАМИКЕ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Сост.
В.Н. Комаров, А.Г. Панасенко

Нижний
Новгород:
ННГУ. 2004. 24
с.

«ЗАДАЧИ ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ
И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ»
пред­назначены
для студентов 2-3 курсов факультета ВМК.

Пособие предназначено в первую очередь
для студентов вечерней формы обучения
на факультете ВМК ННГУ. Задачи
подобраны в соответствии с учебной
программой по физикеи в течение
нескольких лет использовались авторами
для аудиторных занятий и самостоятельной
работы студентов вечернего отделения
ф-та ВМК ННГУ. В пособии собраны как
базовые задачи, так и контрольные вопросы
для закрепления материала и самопроверки.
Задачи служат закреплению материала
лекций и способствуют более глубокому
пониманию законов физики.

Составители:

Доктор
технических наук,

профессор
В.Н. Комаров,

кандидат
физ.-мат. наук,

доцент
А.Г.
Панасенко

Рецензент:

Доктор
физ.-мат. наук,

профессор
В.В. Новиков

Нижегородский государственный университет

им.
Н.И. Лобачевского, 2004

Предисловие

В настоящем пособии собраны задачи,
многие из которых использовались
авторами на практических занятиях по
курсу общей физики «Термодинамика и
молекулярная физика», предлагались
для самостоятельной работы студентов.
Эти задачи, охватывая бόльшую часть
разделов курса, должны способствовать
более глубокому усвоению материала.

На первых порах студенты могут пользоваться
приведенными в начале каждого раздела
основными формулами, используемыми при
решении задач. Постепенно же эти формулы
нужно запоминать, так как тогда основное
внимание можно уже сосредоточить на
физическом содержании задачи, не тратя
время на поиск подходящих формул.

Приведенные в пособии задач допускают
аналитическое решение, т. е. позволяют
получить расчетные формулы, в которых
неизвестные искомые величины выражены
через данные задачи. Обязательно
проверяйте размерность полученных
формул, пробуйте применить их к простейшим
предельным случаям, которые вы знаете,
и только после этого проводите численные
расчеты. Сравнение полученных результатов
с приведенными ответами к задачам,
позволит обнаружить ошибку, если она
есть, или убедиться в правильности
рассуждений и расчетов.

Успехов Вам!

P.S.Любые
Ваши замечания и пожелания, касающиеся
пособия, будут авторами внимательно
рассмотрены, если вы сообщите их на
кафедру прикладной математики факультета
ВМК ННГУ.

Составители

1. Уравнение состояния газа. Процессы.

• Уравнение
  состояния идеального газа:

,

где р
— давление: V
– объем; Т
— абсолютная температура; m
– масса; μ
— молярная масса; R
= 8,314 Дж/кмоль – универсальная газовая
постоянная.

• Уравнение
  состояния ван-дер-ваальсовского газа
  (для одного моля):

,

где V
— объем, занимаемый молем газа при данных
р
и Т,
а
и b
— посто­янные
Ван-дер-Ваальса для данного газа.

• Закон
  Дальтона:
  давление
  смеси идеальных газов равно сумме
  пар­циальных
  давлений
  (парциальное
  давление — это давление, которое ока­зывал
  бы на стенки сосуда один газ смеси в
  отсутствие остальных).

• Зависимость
  давления газа от высоты
  в поле силы тяжести в изо­термическом
  приближении дается барометрической
  формулой:

,

где р₀
— давление на высоте h
= 0,
g
= 9,8 м/с²
— ускорение свободного падения.

1.1.
Найти плотность ρ
двухатомного кислорода при давлении p
= 50
aтм
и температуре t
= 27° С.

Ответ:
ρ
= μр/RТ
= 0,065 г/см³.

1.2.
Каков
может быть минимальный объем баллона,
вмещающего 6,4
кг
кислорода, если его стенки при температуре
20^о
C
выдерживают давление в 17 н/см².

Ответ:

м³.

1.3.
Давление
воздуха внутри плотно закупоренной
бутылки при температуре 7^о
C
было равно 1 атм.
При нагревании бутылки пробка вылетела.
Найти, до какой температуры нагрели
бутылку, если известно, что пробка
вылетела при давлении воздуха в бутылке,
равном 1,3 атм.

Ответ:
390
К.

1.4.
Из
баллона вследствие неисправности
вытекает водород. Объем баллона 20 л.
Первона­чальное давление 10,2 атм в
результате убыли газа уменьшается до
4,957 атм. Вместе с этим газ охлаждается
с 127^o
C
до 27^o
C.
Определить, какое количество водорода
вытекло. Газ считать идеальным.

Ответ:
г.

1.5.
Из
баллона вследствие неисправности
вытекает водород. Объем баллона 20 л.
Первона­чальное давление 10,2 атм в
результате убыли газа уменьшается до
4,957 атм. Вместе с этим газ охлаждается
с 127^o
C
до 27^o
C.
Определить, сколько молекул газа ушло
из бал­лона. Газ считать идеальным.

Ответ:

1.6.
Плотность ρ
воздуха при температуре 0° С и давлении
760 мм рт. ст. равна 0,001293
г/см³.
Определить массу литра воздуха при
температуре 27,3°
С и давлении 750 мм рт. ст.

Ответ:
m
= 1,15 г.

1.7.
Электрическая газонаполненная лампа
накаливания наполнена азотом
при давлении в 600 мм рт. ст.
Емкость лампы 500 см³.
Какое количество
воды войдет в лампу, если у нее отломить
кончик под водой при
нормальном атмосферном давлении?

Ответ:
m
= 105
г.

1.8.
Найти
молекулярный вес смеси, состоящей из
20
весовых процентов кислорода, 70
весо­вых
процентов азота и 10
процентов углекислого газа. Определить
плотность этой смеси при нормальных
условиях.

Ответ:
кг/м³

где

1.9.
Смесь
газов состоит из 30 г азота и некоторого
количества углекислого газа, так что
мо­лекулярный вес смеси равен 32.
Определить количество углекислого газа
в смеси.

Ответ:
г.

1.10.
Давление
воздуха в велосипедной камере при
температуре 7^о
С
равно 150 см
ртутного
столба. Определить, каково будет давление,
если температура повысится до 32^о
С.
Счи­тать объем камеры неизменным.

Ответ:
см.
рт. ст.

1.11.
Подсчитать,
как сильно отличается масса автомобильной
шины летом, при t^о
= 30^о
С,
и зимой, при t^о
= —30^о
С.
Давление в шине зимой и летом 3 атм. Объем
шины считать не­изменным и равным 50
л. Масса одного литра воздуха при
нормальных условиях равна 1,29 г/л.

Ответ:
г.

1.12.
Конец
открытой стеклянной метровой (l
= 1 м) трубки, бóльшая часть которой
погружена в ртуть, выступает на h
= 12 см над поверхностью ртути. Трубку
закрывают и вынимают из ртути. Какую
часть трубки будет занимать ртуть после
поднятия? Атмосферное давление 750 мм рт
ст.

Ответ:

см.

1.13.
Узкая цилиндрическая трубка, закрытая
с одного конца, содер­жит
воздух, отделенный от наружного воздуха
столбиком ртути длиной h
(мм).
Когда
трубка обращена закрытым концом кверху,
воздух вну­три
нее занимает длину l,
когда же трубка обращена кверху открытым
концом, то воздух внутри нее занимает
длину l‘
< l.
Определить атмо­сферное
давление Н
(мм рт.
ст.).

Ответ:
Н
= h(l
+
l‘)/(l
— l‘).

1.14.
Два одинаковых баллона соединены трубкой
с клапаном, про­пускающим
газ из одного баллона в другой при
разности давлений Δ_p
≥
l,l
aтм.
Сначала
в одном баллоне был вакуум, а в другом
иде­альный
газ при температуре t₁
= 27° С и давлении р₁
= 1 атм. Затем оба
баллона нагрели до температуры t₂
= 107° С. Найти давление газа в баллоне,
где был вакуум.

Ответ:

0,1
атм.

1.15.
Сосуд объемом V
= 20 л содержит смеcь
водорода и гелия при температур
t
= 20° С и давлении р
= 2 атм. Масса смеси m
= 5 г. Найти
отношение массы водорода к массе гелия
в данной смеси.

Ответ:

(гр)

1.16. В
сосуде находится смесь m₁
= 7 г азота и m₂
= 11 г углеки­слого
газа при температуре Т
= 290 K
и давлении р₀
= 1 атм. Найти плотность
этой смеси, считая газы идеальными.

Ответ:

г/л

1.17.
При
одном качании компрессор захватывает
V₀
= 2 л воздуха при атмосферном давлении
и температуре t₁
= 3^о
С.
Сколько
качаний должен сделать компрессор,
чтобы увеличить вдвое давление в сосуде
емкостью V
= 1000 л, если температура воздуха в нем
поддерживается рав­ной t₂
= 27^о
С
и начальное давление вне и внутри сосуда
одинаково?

Ответ:

1.18. В
вертикальном, закрытом с обоих торцов
цилиндра, находится массивный
поршень, по обе стороны которого по
одному молю воздуха. При
Т₁
= 300 K
отношение верхнего объема к нижнему ŋ₁
= 4. При какой температуре
это отношение станет ŋ₂
= 3 ? Трение не учитывать.

Ответ:

.

1.19. В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе, име­ющей два разных сечения (см. рис.). находятся два поршня, соединен­ные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на ΔS = 10 см2 боль-	Рис. 1.
больше, чем нижнего. Общая масса поршней т = 5 кг. Давление наружного воздуха p0 = 1 атм. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на l = 5 см ? Ответ: ΔT = (mg + p0·ΔS) l/R = 0,9 K.

1.20.
Поршневым воздушным насосом
откачивают сосуд объемомV. За один
цикл (ход поршня) насос захватывает
объем ΔV. Через сколько циклов
давление в сосуде уменьшится в η раз?
Процесс считать изотер­мическим, газ
— идеальным.

Ответ:
п
= ^ln(η)/<sub>ln(l
+ ΔV/V)</sub>.

1.21.
Найти давление воздуха в
откачиваемом сосуде как функцию времени
откачкиt. Объем сосудаV,
первоначальное давлениеp₀.
Процесс считать изотермическим и
скорость откачки не зависящей от давления
и равной С.
(Скоростью
откачки называют объем газа, откачиваемый
за единицу времени, причем этот объем
измеряется при давлении газа в данный
момент).

Ответ:
p
= p₀exp(-ct/V).

1.22. Найти
максимально возможную температуру
идеального газа в каждом
из нижеследующих процессов:

а) р
= αр₀
V²;

б) p
= p₀
e^—
βV,

где р₀,
α,
β
— положительные постоянные; V
— объем моля газа.

Ответ:
a) ;
б) T_max
= p₀/eRβ.

1.23.
Допустим, давление р
и плотность ρ
воздуха связаны соотноше­нием ρ
= const∙р^п
независимо от высоты
(здесь п — постоянная).
Найти соответствующий
градиент температуры.

Ответ:

.

1.24.
Считая, что температура и молярная масса
воздуха, а также ускорение свободного
падения не зависят от высоты, найти
разность вы­сот, на которых плотности
воздуха при температуре 0° С отличаются:
а) в е раз;
б) на η
= 1%.

Ответ:
a)
h
= RT/μg
= 8 км; б)
h
= μRT/ηg
= 0,8 км.

1.25.
Какому давлению необходимо подвергнуть
углекислый газ при температуре Т
= 300 K,
чтобы его плотность оказалась равной
ρ
= 500 г/л? Расчет провести как для идеального
газа, так и для ван-дер-ваальсовского.

Ответ:
р_ид280
атм;р_ВдВ80
атм.

1.26. Один
моль азота находится в объеме V
= 1 л. Найти
температуру азота, при которой погрешность
в давлении, определяемом уравнением
состояния идеального газа, составляет
η
= 10% по
сравнению с давлени­ем ван-дер-ваальсовского
газа.

Ответ:
Т
= a(V — b)(1
+ η)/RV(ηV
+
b)
= 133 K.

1.27.
Изобразить для
идеального газа примерные графики
изохорического,
изобарического и изотермического
процессов на диаграммах: а) p,
V;
б) Т,
V;
в) Т,
р.
Графики изобразить проходящими через
общую для них точку.

1.28. На рисунке изображены две изотермы для одной и той же массы идеального газа. Какая из температур больше?
1.29. На рисунке изображен круговой процесс в координатах (р, V). Кри­волинейные участки – изотермы. Изобразить тот же процесс в коорди­натах (р, Т) и (V, Т).

1.30.
Пользуясь уравнением pV
= RT,
убедиться в справедливости соотношения

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #