Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.
Содержание
Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.
- Делимость натуральных чисел
- Простые и составные числа
- Признаки делимости натуральных чисел
- Разложение числа на простые множители
- Основное свойство дроби
- Сокращение дробей
- Наибольший общий делитель
- Наименьшее общее кратное
- Модуль числа
- Сложение и вычитание дробей
- Сложение и вычитание рациональных чисел
Делимость натуральных чисел
Если натуральное число 
делится нацело на натуральное число 
, то число называют кратным числа , число — делителем числа .
12 -кратное числам 1, 2, 3, 4, 6, 12.
1, 2, 3, 4, 6, 12 — делители 12.
Для любого натурального числа каждое из чисел
a · 1, a · 2, a · 3,…
является кратным числа .
Число 6. Кратные 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3, 6 · 4, … или по-другому запишем 6, 12, 18, 24, …
Наименьшим делителем любого натурального числа является число 
, а наибольшим — само число .
Число 6. Наименьший делитель: 1. Наибольший делитель: 6.
Среди чисел, кратных , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число .
Число 6. Наименьшее кратное: 6. Наибольшее кратное: нет.
Если каждое из чисел и делится нацело на число 
,то и сумма 
также делится нацело на число .
12 : 3 = 4 -целое, 6 : 3 = 2 — целое 12 и 6 делятся нацело на 3.
+ = 12 + 6 =18 18 : 3 = 6-целое. 18 делится нацело на 3.
Если число делится нацело на число , а число не делится нацело на число , то сумма также не делится нацело на число .
12 : 3 = 4 — целое, 7 : 3 = нецелое число. 7 не делится нацело на 3.
+ = 12 + 7 =19 19 : 3 = нецелое число. 19 не делится нацело на 3.
Простые и составные числа
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.
Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.
Числа 2, 3 , 5, 7 — простые. Каждое имеет 2 делителя: 1 и само число.
Числа 4, 6, 8 — составные. Делители 4: 1, 2, 4; 6: 1, 2, 3, 6; 8: 1, 2, 4, 8 — делителей больше 2-ух.
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 · 3.
Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 · 2 · 2.
Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.
Числа 7 и 15. Наибольший общий делитель этих чисел одновременно — это 1. 7 и 15 — взаимно простые.
Признаки делимости натуральных чисел
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.
100 делится на 10, так как оканчивается на 0.
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.
17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.
Если 17 разделить на 10, то остаток 7.
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.
Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.
Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому не делится на 2.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.
Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются на 0 или 5 соответственно.
Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.
Число 27 не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.
Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.
Число 117. 1 + 1 +7 = 9; 9 : 9 = 1; 9 нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.
Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
Число 110. 1 + 1 + 0 = 2; 2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.
Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.
Число 57. 5 + 7 = 12; 12 : 3 = 4. 12 нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.
Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.
Число 56. 5 + 6 = 11; 11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.
Разложение числа на простые множители
Разложить числа 12 и 16 на простые множители, представить числа в виде произведения простых множителей:
12631223 1684212222 12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 316 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24;;
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:
ab = a · nb · n
равенство сохраняется.
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:
a : nb : n = ab
равенство сохраняется.
Сокращение дробей
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.
3 — общий делитель чисел 9 и 24.
Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.
несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.
2436 = 24 : 1236 : 12=23
Есть общие делители чисел 24 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Но число 12 — наибольший общий делитель .
Наибольший общий делитель
Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.
Разложим на простые множители. Выбираем только те множители, которые есть и в первом, и во втором разложении
12631223 1684212222 НОД(12,16) = 2 · 2 = 4; Или другая запись: представим в виде произведения простых множителей12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ; НОД(12,16) = 2 · 2 = 4
Наименьшее общее кратное
Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16. Разложим числа на простые множители. Выпишем разложение первого числа. Дополним числами из разложения второго числа без повторений
12631223 1684212222 НОК(12,16) = 2 · 2 · 3· 2 · 2 = 24 · 3 = 48;
Другая запись : представим в виде произведения простых множителей
12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ; НОК(12,16) =2 · 2 · 3 · 2 · 2 = 48.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
- найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
- найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
524 и 136
1. Найти Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 — это число 72( 72 нацело делится и на 24, и на 36)
2. Посчитать дополнительные множители
72 : 24 = 3;72 : 36 = 2.3. 5324=5 · 324 · 3=1572;1236=1 ·2 36 · 2=272.
Целые числа. Рациональные числа
Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.
Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.
Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.
Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.
Модуль числа
Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.
Модуль числа < обозначают так:
a
(читают: «модуль a»).
Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному;
a = a, a≥0—a, a<0
Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Модули противоположных чисел равны:
a = —a
5 = 5, —5 = —(—5) = 5 или5 = —5 = 5
Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.
15 + 25 = 1 + 25 = 3567 — 27 = 6 — 27 = 47
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
15 + 25 = 1 + 25 = 3567 — 27 = 6 — 27 = 47
Сложение и вычитание рациональных чисел
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
- найти модули слагаемых;
- из большего модуля вычесть меньший модуль;
- перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем.
—17⏞—17=17+ ⏞>15⏞15=15= —(17 — 15) = —2;—12 + 15 =15 — 12 = 3 —здесь можно 2ое слагаемое вынести вперед и решить как простой пример на вычитание
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
- найти модули слагаемых;
- сложить модули слагаемых;
- перед полученным числом поставить знак «-».
— 17⏞—17=17—12⏞—12=12 = —(17 + 12) = —29
Сумма двух противоположных чисел равна нулю:
—a+a=0 или a—a=0
—5 + 5 = 0;5 — 5 = 0.
a+0 = 0+a = a
7 + 0 = 0 + 7 = 7.
Чтобы найти разность двух чисел можно
к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
15 — 3 = 15 + (—3) = 12.
Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.
Данная информация составлена на базе УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Примеры составлены мной Косыхиной Н.В.
Шестая ступень образования – это символический экватор школьной жизни. Он не приносит особого напряжения – в этом году не добавляются новые предметы, да и все знакомые науки не становятся слишком тяжелыми, просто углубляя знание ранее изученного. Но в работе с математикой наступает ответственный момент. В следующем классе предстоит её разделение на две чрезвычайно сложные дисциплины – алгебру и геометрию. И сейчас очень важно проверить, успешно ли освоен весь курс, не появились ли серьёзные пробелы. Уроки математики в школе позволяют не только сформировать навыки счета, но и научиться анализировать материал, а также развить логическое мышление. В шестом классе школьник уже может считать, читать и писать. Это время, когда кругозор ученика расширяется и он становится более самостоятельным в плане учёбы. В шестом классе проходят более сложные темы и задачи, в решении которых помогают онлайн-гдз, которые всегда можно отыскать на нашем сайте. Подросток сможет без труда подготовиться к любой контрольной работе, написанию тестов по любой теме. Таким образом, минимизируются стрессовые ситуации для детей во время самостоятельных.
Чем же так хорош онлайн-решебник по математике за 6 класс
Данное подспорье было разработано лучшими педагогами страны (именно: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, В. Шевкин, Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева). Авторы старались создать полезный решебник. По нему могут спокойно заниматься не только отличники и хорошисты, но и те школьники, которым эта дисциплина дается крайне тяжело. Благодаря данной замечательной книге ребята сумеют сэкономить драгоценные часы, и качественно выполнить домашнее задание, не переживая больше о своей успеваемости. Самое сложное в любой науке – точно понять уровень своих знаний, определить в них слабые места, и направить на них все усилия. Сделать это можно только с помощью профессионала. Но учитель не может успеть в течение каждого урока продиагностировать успехи абсолютно всех своих учеников. Тогда приходит на помощь виртуальный репетитор, который проанализирует все. Но самое главное – не просто выявит проблемные темы, а поможет подтянуть знания так, чтобы перейти к следующему учебному году без серьёзных проблем. Издание поможет шестикласснику понять алгоритм выполнения заданий по всем темам программы:
- противоположные числа;
- делители и кратные;
- разложение на простые множители;
- умножение и деление обыкновенных производных;
- нахождение дроби от числа;
- решение задач на координатной плоскости.
Все упражнения даны в двух вариантах, и полностью отражают разделы основного учебника текущего учебного года. Поэтому издание послужит отличным помощником и в седьмом классе, когда начнётся изучение сложнейшего материала, и понадобится повторить пройденный материал.
Лучший помощник – онлайн-сборник по математике для шестых классов
Пособие разработано не в качестве заурядной шпаргалки, из которой копируют готовый ответ. Цель издания – помочь получить твёрдые знания при самостоятельной и добросовестной работе шестиклассника. Справочник имеет массу полезных свойств, помогающих школьнику чувствовать себя увереннее на уроках по технической дисциплине:
- верные ответы на некоторые номера упражнений содержат уточняющие комментарии, а также полезные подсказки от мастеров своего дела;
- пятиклассники становятся более независимыми от помощи преподавателя или родителей, развивают в себе дисциплину;
- составлен под контролем федерального государственного образовательного стандарта второго поколения.
-
-
Отношение двух чисел
-
Пропорция. Основное свойство пропорции
-
Прямая и обратная пропорциональность
-
Решение задач с помощью пропорций
-
Разные задачи
-
-
-
Положительные и отрицательные числа. Определение координатной прямой
-
Противоположные числа. Модуль числа. Целые и рациональные числа
-
Сравнение рациональных чисел
-
Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой
-
Алгебраическая сумма. Свойства
-
Алгебраическая сумма рациональных чисел с одинаковыми знаками
-
Алгебраическая сумма рациональных чисел с разными знаками
-
Умножение и деление рациональных чисел
-
Умножение и деление обыкновенных дробей
-
Дробные выражения
-
Координаты. Координатная плоскость, координаты точки
-
-
-
Упрощение выражений, раскрытие скобок
-
Решение линейных уравнений
-
Этапы решения линейных уравнений
-
-
-
Начальные понятия и факты курса геометрии
-
Параллельность прямых
-
Центральная и осевая симметрия
-
Окружность и круг. Число Пи. Длина окружности. Площадь круга
-
Наглядные представления о шаре, сфере. Формулы площади поверхности сферы и объёма шара
-
-
-
Digital-олимпиада
-
Международная олимпиада ЯКласс
-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
-
ГДЗ
-
6 класс
- Математика
-
Математика 6 класс
Авторы:
Е. П. Кузнецова Г. Л. Муравьева -
Математика 6 класс
Авторы:
Н.Я. Виленкин В.И. Жохов -
Математика 6 класс
Авторы:
Никольский С.М. М.К. Потапов -
Математика 6 класс
Авторы:
Зубарева И.И. Мордкович А.Г. -
Математика 6 класс Самостоятельные и контрольные работы
Авторы:
А.П. Ершова В.В. Голобородько -
Математика 6 класс дидактические материалы
Авторы:
А.С. Чесноков К.И. Нешков -
Математика 6 класс
Авторы:
Е. А. Бунимович Л. В. Кузнецова -
Математика 6 класс
Авторы:
Л. Г. Петерсон Г. В. Дорофеев -
Математика 6 класс тетрадь тренажёр
Авторы:
Бунимович Е.А. Кузнецова Л.В. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Кузнецова Е.П. Муравьева Г.Л. -
Математика 6 класс сборник задач
Авторы:
Кузнецова Е.П. Муравьева Г.Л. -
Математика 6 класс
Авторы:
Бевз Г.П. Бевз В.Г. -
Математика 6 класс
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонський В.Б. -
Математика 6 класс
Авторы:
Г. М. Янченко В. Р. Кравчук -
Математика 6 класс
Автор: О.С. Істер
-
Математика 6 класс
Авторы:
Мерзляк А. Г. Номіровський Д. А. -
Математика 6 класс итоговые контрольные работы
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. -
Математика 6 класс
Авторы:
Тарасенкова Н.А. Богатырева И.М. -
Математика 5-6 класс сборник задач
Авторы:
Л.А. Латотин Б.Д. Чеботаревский -
Математика 6 класс
Авторы:
Л.А. Латотин Б.Д. Чеботаревский -
Математика 6 класс
Авторы:
Г.В. Дорофеев И.Ф. Шарыгин -
Математика 6 класс задачник
Авторы:
Е. А. Бунимович Л. В. Кузнецова -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. -
Математика 6 класс
Авторы:
А.Г. Мерзляк В.Б. Полонский -
Математика 6 класс
Авторы:
Муравин Г.К. Муравина О.В. -
Математика 6 класс
Автор: Истомина Н.Б.
-
Математика 6 класс дидактические материалы
Автор: Попов М.А.
-
Математика 6 класс сборник задач и упражнений
Авторы:
Гамбарин В.Г. Зубарева И.И. -
Математика 6 класс дидактические материалы
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь к учебнику Зубарева
Автор: Ерина Т.М.
-
Математика 6 класс контрольно-измерительные материалы
Автор: Попова Л.П.
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Истомина Н.Б. Редько З.Б. -
Математика 6 класс тематические тесты
Авторы:
Чулков П.В. Шершнев Е.Ф. -
Математика 6 класс
Авторы:
Виленкин Н.Я. Жохов В.И. -
Математика 6 класс
Авторы:
Герасимов В.Д. Пирютко О.Н. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Муравин Г.К. Муравина О.В. -
Математика 6 класс тематические тесты
Авторы:
Кузнецова Л.В. Минаева С.С. -
Математика 6 класс тетрадь-экзаменатор Арифметика. Геометрия.
Авторы:
Кузнецова Л.В. Минаева С.С. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Потапов М.К. Шевкин А.В. -
Математика 6 класс
Автор: Ткачева М.В.
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Бунимович Е.А. Кузнецова Л.В. -
Математика 6 класс контрольные работы
Авторы:
Кузнецова Л.В. Минаева С.С. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь Универсальные учебные действия к учебнику Виленкина
Авторы:
Ерина Т.М. Ерина М.Ю. -
Математика 6 класс
Автор: Башмаков М.И.
-
Математика 6 класс
Авторы:
Козлов В.В. Никитин А.А. -
Математика 6 класс контрольные работы
Авторы:
Жохов В.И. Крайнева Л.Б. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Автор: Рудницкая В.Н.
-
Математика 6 класс дидактические материалы
Авторы:
Кузнецова Л.В. Минаева С.С. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Козлов В.В. Никитин А.А. -
Математика 5-6 класс задачи на смекалку
Автор: Шарыгин И.Ф.
-
Математика 6 класс
Авторы:
Алдамуратова Т.А. Байшоланова К.С. -
Математика 6 класс тесты и самостоятельные работы
Авторы:
Козлова С.А. Рубин А.Г. -
Математика 6 класс текущий и итоговый контроль
Авторы:
Козлов В.В. Никитин А.А. -
Математика 6 класс контрольные работы
Авторы:
Козлова С.А. Рубин А.Г. -
Математика 6 класс
Авторы:
Козлова С.А. Рубин А.Г. -
Математика 6 класс математический тренажёр
Автор: Жохов В.И.
-
Математика 6 класс тесты
Автор: Ерина Т.М.
-
Математика 6 класс подготовка к всероссийским проверочным работам
Автор: Буцко Е.В.
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Автор: Ткачева М.В.
-
Математика 6 класс дидактические материалы
Авторы:
Потапов М.К. Шевкин А.В. -
Математика 5-6 класс тесты
Автор: Е. Е. Тульчинская
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь к учебнику Виленкина
Автор: Ерина Т.М.
-
Математика 6 класс контрольные измерительные материалы (ким)
Авторы:
Глазков Ю.А. Ахременкова В.И. -
Математика 6 класс тесты к учебнику Зубаревой
Автор: В.Н. Рудницкая
-
Математика 6 класс тесты к учебнику Виленкина
Автор: В.Н. Рудницкая
-
Математика 6 класс самостоятельные работы
Авторы:
Зубарева И.И. Лепешонкова И.П. -
Математика 6 класс тесты
Авторы:
С. Г. Журавлев В. В. Ермаков -
Математика 6 класс контрольные работы
Авторы:
Ю.П. Дудницын B.Л. Кронгауз -
Математика 6 класс контрольные и самостоятельные работы
Автор: М. А. Попов
-
Математика 6 класс контрольные и самостоятельные работы
Авторы:
С. Г. Журавлев С. А. Изотова -
Математика 6 класс контрольные работы
Авторы:
Зубарева И.И. Лепешонкова И.П. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Авторы:
Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь для контрольных работ
Автор: Рудницкая В.Н.
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь к учебнику Никольского
Автор: Ерина Т.М.
-
Математика 6 класс рабочая тетрадь
Автор: Зубарева И.И.
-
Математика 6 класс Для обучающихся с интеллектуальными нарушениями
Авторы:
Капустина Г.М. Перова М.Н. -
Математика 6 класс рабочая тетрадь Для обучающихся с интеллектуальными нарушениями
Авторы:
Перова М.Н. Яковлева И.М. -
Математика 6 класс
Авторы:
Виленкин Н.Я. Жохов В.И. -
Математика 6 класс Математические диктанты, Контрольные работы (из Методического пособия)
Авторы:
Буцко Е.В. Мерзляк А.Г. -
Математика 6 класс
Авторы:
Абылкасымова А.Е. Кучер Т.П. -
Математика 6 класс зачётные работы
Авторы:
В.А. Ахременкова Е.И. Писаренко -
Математика 6 класс Тетрадь контрольных тестовых работ
Автор: Г.В. Покатаева
-
Математика 6 класс проверочные работы
Авторы:
А.Г. Мерзляк М.С. Якир
Как записать число в виде десятичной дроби
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Пример 1. Записать данное число в виде десятичной дроби.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5, записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5. В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2·5; 100=2·5·2·5; 1000=2·5·2·5·2·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Пример 2. Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66… запишется так: 0,(6). Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5, обращается в смешанную периодическую дробь.
Пример 3. Записать в виде десятичной дроби числа:
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Пример 4. Записать в виде бесконечной периодической дроби числа:
Решение.
Деление рациональных чисел
Деление отрицательных чисел.
Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
Так как частное двух положительных чисел — это тоже число положительное, то делаем ВЫВОД:
Частное двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
Пример 1. Выполнить деление (устно):
а) -24:(-10); б) -370: (-1000); в) -253: (-11); г) -18,72: (-6).
Решение. Знак результата «+» (по правилу деления отрицательных чисел). В примерах а) и б)используем правило деления числа на 10, 100, 1000 и т. д. Если забыли — смотрите здесь. В примерев) вспомните, как умножается двузначное число на 11 (цифры двузначного числа раздвигаются и между ними ставится число, равное сумме двух крайних цифр).
а) -24:(-10)=2,4; б) -370: (-1000)=0,37; в) -253: (-11)=23; г) -18,72: (-6)=3,12.
Пример 2. Вычислить:
Решение. По правилу деления отрицательных чисел результат будет положительным числом. Модуль частного в примерах а) и б) вычисляем по правилу деления на десятичную дробь. Повторить это можно здесь. В примерах в) и г) вначале обращаем смешанные числа в неправильные дроби, а затем используем правило деления обыкновенных дробей. Если забыли, как это делается, смотрите здесь!
Деление чисел с разными знаками.
Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
ВЫВОД: и при умножении и при делении двух чисел с разными знаками — ответ будет со знаком «-».
Пример 3. Найти частное чисел:
Решение. Применяйте правила, решайте самостоятельно и только потом сверяйтесь с приведенным ниже решением.
Все получилось? Продолжим.
Пример 4. Вычислить:
Решайте и сверяйтесь!
Решение.
Желаю успехов в учебе!
Умножение рациональных чисел
Умножение отрицательных чисел.
Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел.
Так как произведение положительных чисел — это тоже положительное число, то сделаем ВЫВОД:
Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль этого числа равен произведению модулей данных чисел.
Пример 1. Выполните умножение (устно):
а) -12·(-10); б) -0,05·(-100); в) -3,5·(-2); г) -0,12·(-0,5).
Решение. При решении всех примеров пользуемся правилом произведения двух отрицательных чисел. При решением примеров а) и б) применяем правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. При решении примеров в) и г) применим правило умножения десятичной дроби на десятичную дробь. Если забыли, как это делается — смотрите здесь!
а) -12·(-10)=120; б) -0,05·(-100)=5; в) -3,5·(-2)=7; г) -0,12·(-0,5)=0,06.
Пример 2. Вычислить:
Решение. Смешанное число в примере б) обратим в неправильную дробь. В примере в) вторую степень дроби заменим произведением двух одинаковых дробей. В примере г) четвертую степень дроби представим в виде произведения четырех одинаковых множителей.
Умножение чисел с разными знаками.
Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел.
Пример 3. Вычислить устно:
а) -10·0,35; б) 4,1·(-100); в) 2,5·(-0,4); г) -0,05·200.
Решение. Применяем правило умножения двух чисел с разными знаками. Перемножим модули множителей и перед результатом поставим знак «минус».
а) -10·0,35=-3,5; б) 4,1·(-100)=-410; в) 2,5·(-0,4)=-1; г) -0,05·200=-10.
Пример 4. Вычислить:
Решение.
ЗАПОМНИЛИ:
Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное.
Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.
Сложение рациональных чисел
Сложение отрицательных чисел.
Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых.
Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.
К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.
Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.
Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.
Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?
Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».
Записывают обычно так: -23-42-54=-119.
Сложение чисел с разными знаками.
Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший.
Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.
1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.
Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:
— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.
2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.
— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.
Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.
Решение. а) сначала сложим все отрицательные числа (-4-9-6-3=-22), затем все положительные (5+2=7), а потом будем складывать числа с разными знаками (-22+7=-15). Записываем так:
— 4+5-9+2-6-3=-22+7=-15.
б) -10-20+15-25=-55+15=-40.
Модуль числа
Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.
Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: |0|=0.
По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0. Читают: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
Примеры.
1. Вычислить: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в) |-24| + |13|; г) |65|-|-45|.
Решение. а) |5|-2=5-2=3;
б) |-12| : 6=12 : 6=2;
в) |-24|+|13|=24+13=37;
г) |65|-|-45|=65-45=20.
2. Решить уравнение: а) |m|+4=10; б) 6-|x|=2.
Решение.
а) |m|+4=10;
|m|=10-4; из суммы вычли известное слагаемое;
|m|=6. Так как |-6|=6 и |6|=6, то m=-6 или m=6.
Ответ: -6; 6.
б) 6-|x|=2.
|x|=6-2;
|x|=4, отсюда х=-4 или х=4.
Ответ: -4; 4.
3. Записать перечислением элементов множество целых чисел А, модуль которых меньше числа 5.
Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.Числа -5 и 5 не подходят по условию.
Ответ: множество А={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
4. Записать перечислением множество натуральных чисел В, модуль которых меньше числа 5.
Решение. Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счете предметов. Ответ: B={1, 2, 3, 4}.
Множество и его элементы
I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
Для записи множества используют фигурные скобки: «{ »- множество открывается; «}» — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.
Примеры.
1. Записать множество А, состоящее из всех гласных букв в слове «математика».
Решение. А={а, е, и}. Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается, и буква «а» записывается только один раз. Множество Асостоит из трех элементов.
2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5.
Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:
Множество В состоит из четырех элементов.
II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
III. Множество В называют подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А.
3. Какое из двух данных множеств В и С является подмножеством множества К,
если В={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?
Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К, поэтому, множество Сявляется подмножеством множества К. Записывают:
IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В.
4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.
Решение.
V. Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В.
5. Показать с помощью кругов Эйлера объединение множеств Т и Р.
Решение.
Обратно пропорциональные величины
I. Обратно пропорциональные величины.
Пусть величина у зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.
Примеры.
1. Скорость и время при одинаковой длине пути. Если от А до В 200 км, то при скорости 50 км/ч понадобится 4 часа, а при скорости 40 км/ч понадобится 5 часов, т.е. если скорость уменьшается, то время увеличивается, а если скорость увеличивается, то время уменьшается. Это изобразится так:
2. Количество рабочих и время при определенном объеме работ. Если шести рабочим нужно на выполнение определенной работы 4 часа, то трем рабочим на выполнение той же работы потребуется 8 часов, т.е. чем меньше работников, тем больше нужно времени, чтобы выполнить определенную работу.
Смысл: во сколько раз стало меньше рабочих (в 2 раза), во столько же раз больше (в 2 раза) времени потребуется.
3) Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника. Если площадь участка прямоугольной формы с длиной 8 м, равна 48 м², то его ширина будет равна (48:8=6)м. Если же длину взять больше в 2 раза (16 м), то ширина уменьшится тоже в 2 раза (48:16=3)м.
II. Свойство обратной пропорциональности величин.
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Задача 1. Изготавливая по 42 детали в час, рабочий трудился 8 часов. Сколько времени ему понадобилось бы на эту же работу, если бы он делал в час по 48 деталей?
Решение. Составим схему по условию задачи:
42 детали в час ——— 8 часов.
48 деталей в час ——- х часов.
Имеем обратно пропорциональную зависимость: во сколько раз больше деталей в час рабочий будет изготавливать, во столько же раз меньше ему потребуется времени на одну и ту же работу. Используя свойство обратной пропорциональности, запишем:
Ответ: рабочий выполнит ту же работу за 7 часов.
Задача 2. Бассейн можно наполнять через одну из двух труб.Через первую трубу, со скоростью 2 литра в 1 секунду, бассейн наполняется за 45 минут. Какова скорость наполнения бассейна через вторую трубу, если весь бассейн наполняется через вторую трубу за 1 час 15 минут.
Решение.
По условию задачи через первую трубу в бассейн вытекает 2 литра за 1 секунду или 2·60=120 литров за 1 минуту (1 минута=60 секунд), и бассейн наполняется за 45 минут.
Через вторую трубу бассейн наполняется за 1 час 15 минут. Времени требуется больше, значит, скорость наполнения меньше. Имеем обратно пропорциональные величины: скорость наполнения и время наполнения бассейна. Обозначим скорость наполнения бассейна через вторую трубу через х.
120 литров в минуту ——— 45 минут;
х литров в минуту ——— 75 минут. (1 час 15 минут = 60 минут + 15 минут = 75 минут).
Во сколько раз скорость наполнения меньше, во столько раз больше потребуется времени для заполнения бассейна.
Мы нашли скорость наполнения бассейна через вторую трубу в литрах в минуту. Итак, через вторую трубу бассейн наполняется со скоростью 72 литра в минуту или 72:60=1,2 литров в секунду.
Ответ: через вторую трубу в бассейн вливается 1,2 литра в 1 секунду.
Масштаб
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
В соответствии со своим масштабом карты так и называют: пятитысячная, десятитысячная и т.д.
Пятитысячная карта, т. е. карта с масштабом 1:5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 смна местности. Но мы не меряем расстояния на местности в сантиметрах. Переводим 5000 см в метры. Так как 1 м = 100 см, то 5000 см=50 м. Следовательно, 50 м на местности изображены на пятитысячной карте отрезком, равным 1 см. Что же можно изобразить на пятитысячной карте? Например, наш сквер, имеющий прямоугольную форму с размерами 600 м х 200 м (длина сквера 600 метров, а ширина 200 метров). На карте с масштабом 1:5000 сквер будет изображен прямоугольником длиной 12 см(600:50=12) и шириной 4 см (200:50=4).
На десятитысячной карте, т.е. карте с масштабом 1:10000 можно изобразить лесопарк. 1 см на этой карте означает 10000 смили 100 м на местности.
Как «читать» эту карту? Найдем расстояние между интересующими нас объектами в сантиметрах и умножим на 10000 (см), а затем переведем в метры.
На двадцатипятитысячных, пятидесятитысячных картах изображают небольшие населенные пункты.
На стотысячных, двухсоттысячных картах можно изображать крупные города.
Одному сантиметру стотысячной карты соответствуют 100 000 см на местности. Переведем в метры:100 000 см = 1000 м, а затем в километры: 1000 м=1 км.
Итак, 100 000 см=1 км. Сделаем вывод: чтобы перевести число сантиметров в километры, нужно разделить это число на 100 000 (или просто «убрать» пять нулей). Теперь нам проще будет представить масштабирование 1:100 000. На 1 см на карте приходится 1 км на местности. Если расстояние от вашего города до дачного поселка составляет 10км (по прямой!), то на стотысячной карте это расстояние представляет собой отрезок длиной 10см.
На двухсоттысячной карте (М=1:200 000) в 1 см изображается фактическое расстояние, равное 2 км(200 000 см=2 км).
На трехсоттысячной карте с масштабом 1:300 000 под каждым сантиметром подразумевают фактическое расстояние в 3 км (300 000 см=3 км).
На пятитысячной карте 1 см соответствует 5 км на местности.
На миллионной карте 1 см соответствует 10 км на местности. На таких картах изображают области, края.
А на каких картах можно изобразить страны? Обычно карты стран, Республик имеют масштаб 1:8 000 000 или 1: 10 000 000.
Большая карта Мира, которую вы изучаете в школе, имеет масштаб 1: 25 000 000.
Чтобы напечатать эту карту в атласе нужно ее уменьшить. И тогда масштаб карты Мира в атласе может составить 1: 60 000 000 или 1:75 000 000, если атлас будет поменьше.
Задача 1. Пользуясь картой масштабом 1:12 250 000, найдите расстояние (по прямой) между Астаной и Таразом на местности.
Решение.
На карте 1 см соответствует 12 250 000 см или (делим число сантиметров на 100 000 — переносим запятую на 5 цифр влево) 122, 5 км.
Измерим линейкой расстояние между Астаной и Таразом на карте. Получилось 7,5 см. Нужно узнать, сколько километров соответствует отрезку на карте в 7,5 см. Итак:
1 см ———-122,5 км
7,5 см——- х км. Можно составить пропорцию, а можно рассуждать так: в 1 см — 122,5 км, тогда в 7,5 см — в 7,5 раз больше. Следовательно, 122,5·7,5=918,75. Округлим до целых: 918,75≈919.
Ответ: от Астаны до Тараза (по прямой) 919 км.
Задача 2. Найти масштаб карты, если расстояние от Астаны до Атырау (по прямой) на местности составляет 1500 км.
Решение.
Измеряем линейкой расстояние от Астаны до Атырау. Получилось 7,5 см. По условию можно записать:
7,5 см ———- 1500 км. Найти масштаб карты — означает узнать, сколько километров (а потом, обязательно, — сантиметров на местности) соответствуют отрезку в 1 см на карте. Запишем:
1 см ———— х км. Можно составить пропорцию: 7,5:1=1500:х, из которой найти ее крайний член х. А можно рассуждать так: 1500 км изображены отрезком в 7,5 см, значит, отрезок в 1 см будет соответствовать расстоянию в 7,5 раз меньшему, и нужно число 1500 разделить на 7,5.
х=1500:7,5;
х=15000:75;
х=200. Мы нашли, сколько км на местности приходится на 1 см на карте. Выразим 200 км в сантиметрах (для этого нам просто нужно приписать к числу 200 справа 5 нулей).
200 км=20 000 000 см. Масштаб карты 1:20 000 000.
Ответ: М=1:20 000 000.
Смотрите видео: «Масштаб».
Прямо пропорциональные величины
I. Прямо пропорциональные величины.
Пусть величина y зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Примеры.
1. Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.
2. Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.
3. Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше)
II. Свойство прямой пропорциональности величин.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?
Решение.
Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9) будет равно отношению взятого сахара (8:х). Получаем пропорцию:
12:9=8:х;
х=9·8:12;
х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.
Решение задачи можно было оформить и так:
Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.
(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12больше числа 9, во столько же раз число 8 больше числа х, т. е. здесь прямая зависимость).
Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.
Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км. За какое время он проедет 440 км, если будет ехать с той же скоростью?
Решение.
Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.
Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.
Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов?
Решение.
Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).
Задачи на пропорцию
Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:
3,3:300 или х:500.
Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):
3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)
х=(3,3·500):300;
х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.
Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:
или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.
Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6классе.
Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?
Решение.
Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.
5:100 или х:98. Получаем пропорцию:
5:100 = х:98.
х=(5·98):100;
х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?
Решение.
Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:
16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:
16,8:21=х:35.
Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.
Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).
Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение.
Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:
х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:
х:100 = 9:18.
Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.
Ответ: площадь всего поля 50 га.