Найти точку пересечения прямых как решать - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке,^[1] задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками, вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

1

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.
2

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Наша задача — найти точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
3

Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если это невозможно, перейдите в конец этого раздела).
4

Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
5

Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
6

Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
7

Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

Реклама

1
Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, $x^{2}$ или $y^{2}$ . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
- Если уравнение включает выражение в скобках, раскройте их, чтобы удостовериться, что функция является квадратичной. Например, функция является квадратичной, так как, раскрыв скобки, вы получите $y=x^{2}+3x.$
- Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ .^[2]^[3] Если у вас возникли проблемы при решении задач с такой функцией, перейдите в раздел «Советы».
2

Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
3

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
4

Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
5
6

Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. В спешке можно забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
7

Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
8

Подставьте найденное значение переменной «х» в уравнение (любое) кривой. Так вы найдете значение переменной «у». Если у вас есть два значения переменной «х», проделайте описанный процесс с обоими значениями «х».
9

Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух графиков. Если вы определили по два значения «х» и «у», запишите две пары координат, не перепутав соответствующие значения «х» и «у».

Реклама

Советы

Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ . Для нахождения точки (точек) пересечения окружности и прямой вычислите «х», используя линейное уравнение.^[4] Затем подставьте найденное значение «х» в функцию, описывающую окружность, и вы получите простое квадратное уравнение, которое может не иметь решения или иметь одно или два решения.
Окружность и кривая (квадратичная или иная) могут не пересекаться или пересекаться в одной, двух, трех, четырех точках. В этом случае необходимо найти значение x² (а не «х»), а затем подставить его во вторую функцию. Вычислив «у», вы получите одно или два решения или вообще не получите решений. Теперь подставьте найденное значение «у» в одну из двух функций и найдите значение «х». В этом случае вы получите одно или два решения или вообще не получите решений.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 94 840 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

И вот вам, кстати, геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще

всего) прямые. И реже:
– если система несовместна (без решений), то прямые параллельны;
– если , то прямые

совпадают, то есть, фактически нам дано не два, а одно уравнение.

Задача 77

Найти точку пересечения прямых

Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Искомая точка: .

Для проверки следует подставить её координаты в уравнение каждой прямой, они должны подойти и там,

и там. Графический способ, конечно, неплох, но существует и заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на

правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться

где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим

методом. Решим систему, уравнения проще всего сложить

почленно:

Ответ:

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы. К слову, этой задачей мы

заодно рассмотрели графический способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задача 78

Найти точку пересечения прямых , если известны координаты точек

Это задача для самостоятельного решения, которое удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что нужно:

1) составить уравнение прямой ;
2) составить уравнение прямой ;
3) выяснить взаимное расположение прямых ;
4) если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

В первой части параграфа мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, и сейчас

избушка на курьих ножках разворачивается на 90 градусов:

2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Point of intersection is the point where two lines or two curves meet each other. The point of intersection of two lines of two curves is a point. If two planes meet each other then the point of intersection is a line. More precisely it is defined as the common point of both the lines or curves that satisfy both the curves which can be derived by solving the equation of the curves.

If we consider two lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 the point of intersection of these two lines is given by:

Point of Intersection (x, y) = ((b₁×c₂− b₂×c₁)/(a₁×b₂− a₂×b₁), (c₁×a₂− c₂×a₁)/(a₁×b₂− a₂×b₁))

Point of intersection

Derivation of point of intersection of two lines:

Given equations:

a1x + b1y + c1 = 0 -> eq-1

a2x + b2y + c2 = 0 -> eq-2

Solving the equations using cross multiplication method:

x y 1

b1 c1 a1 b1

b2 c2 a2 b2

On cross-multiplying the constants we obtain:

x/(b1*c2 – b2* c1) = y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

Solving for x:

=> x/(b1*c2 – b2* c1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

=> x = (b1*c2 – b2* c1)/(a1*b2-a2*b1)

Solving for y:

=> y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

=> y=(c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1)

Hence point of intersection:

(x,y) = ((b₁×c₂− b₂×c₁)/(a₁×b₂− a₂×b₁), (c₁×a₂− c₂×a₁)/(a₁×b₂− a₂×b₁))

If two lines are parallel they never intersect each other:

Condition for two lines a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 to be parallel

a1/b1 = a2/b2.

Sample Problems

Question 1: Find the point of intersection of line 3x + 4y + 5 = 0, 2x + 5y +7 = 0.

Solution:

The point of intersection of two lines is given by :

(x, y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5

a2 = 2, b2 = 5, c2 = 7

(x,y) = ((28-25)/(15-8), (10-21)/(15-8))

(x,y) = (3/7,-11/7)

Question 2: Find the point of intersection of line 9x + 3y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0.

Solution:

The point of intersection of two lines is given by :

(x,y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

a1 = 9, b1 = 3, c1 = 3

a2 = 4, b2 = 5, c2 = 6

(x, y) = ((18-15)/(45-15), (54-12)/(45-15))

(x, y) = (1/10, 7/5)

Question 3: Check if the two lines are parallel or not 2x + 4y + 6 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Solution:

To check whether the lines are parallel or not we need to check a1/b1 = a2/b2

a1 = 2, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8

2/4 = 4/8

1/2 = 1/2

Since the condition is satisfied the lines are parallel and can’t intersect each other.

Question 4: Check if the two lines are parallel or not 3x + 4y + 8 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Solution:

To check whether the lines are parallel or not we need to check a1/b1 = a2/b2

a1 = 3, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8

3/4 is not equal to 4/8

Since the condition is not satisfied the lines are not parallel.

Question 5: Check whether the point (3, 5) is point of intersection of lines 2x + 3y – 21 = 0, x + 2y – 13 = 0.

Solution:

A point to be a point of intersection it should satisfy both the lines.

Substituting (x,y) = (3,5) in both the lines

Check for equation 1: 2*3 + 3*5 – 21 =0 —-> satisfied

Check for equation 2: 3 + 2* 5 -13 =0 —-> satisfied

Since both the equations are satisfied it is a point of intersection of both the lines.

Question 6: Check whether the point (2, 5) is point of intersection of lines x + 3y – 17 = 0, x + y – 13 = 0

Solution:

A point to be a point of intersection it should satisfy both the lines.

Substituting (x,y) = (2,5) in both the lines

Check for equation 1: 2+ 3*5 – 17 =0 —-> satisfied

Check for equation 2: 7 -13 = -6 —>not satisfied

Since both the equations are not satisfied it is not a point of intersection of both the lines.

Question 7: Find the point of intersection of lines x = -2 and 3x + y + 4 = 0

Solution:

On substituting x = -2 in 3x + y + 4 = 0

-6 + y + 4 = 0;

y = 2;

So the point of intersection is (x,y) = (-2,2)

Last Updated :
20 Dec, 2021

Like Article

Save Article

Источник

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:

графический
аналитический

Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1
y = -3x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (-3x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = 5x — 2
y = -3x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5x = 2
y = -3x + 1
=>

x = 25 = 0.4
y = -3x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4
y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1
x = 2t + 1
y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2t + 1) — 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = 4t + 1
x = 2t + 1
y = t
=>

-3t = 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = -13
x = 2t + 1
y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = -13
x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13
y = -13

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2x + 3y = 0
x — 23 = y4

Из второго уравнения выразим y через x

2x + 3y = 0
y = 4·x — 23

Подставим y в первое уравнение

2x + 3·4·x — 23 = 0
y = 4·x — 23
=>

2x + 4·(x — 2) = 0
y = 4·x — 23
=>

2x + 4x — 8 = 0
y = 4·x — 23
=>

6x = 8
y = 4·x — 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·x — 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·4/3 — 23 = 4·-2/3 3 = -89

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = 2x + 1.

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k₁ = k₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2x — 1
y = 2x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (2x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = -2
y = -3x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3x — 2.

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

1 = 1

1 = 3·1 — 2 = 1

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6. Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и x — 3-2 = 2 — y = z.

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a
y — 1 = a
z — 1 = a
x — 3-2 = b
2 — y = b
z = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
x — 3-2 = b
2 — y = b
z = b

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a + 1 — 3-2 = b
2 — (a + 1) = b
a + 1 = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
a + 1 + (1 — a) = b + b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = 1
1 — a = 1
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2 = -2
a = 0
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a = 0
a = 0
b = 1

x = 0 + 1 = 1
y = 0 + 1 = 1
z = 0 + 1 = 1
a = 0
a = 0
b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых
x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
и
x = t + 1
y = 3t — 2
z = 3
.

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
x = a + 1
y = 3a — 2
z = 3

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
2t — 3 = a + 1
t = 3a — 2
—t + 2 = 3

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
2t = a + 4
t = 3a — 2
t = -1

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3
y = (-1)
z = -(-1) + 2
2·(-1) = a + 4
-1 = 3a — 2
t = -1

x = -5
y = -1
z = 3
a = -6
a = 13
t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое точка пересечения двух прямых, и как найти ее координаты разными способами. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Нахождение координат точки пересечения
Пример задачи

Нахождение координат точки пересечения

Пересекающимися называются прямые, которые имеют одну общую точку.

M – точка пересечения прямых. Она принадлежит им обоим, значит ее координаты одновременно должны удовлетворять обоим их уравнениях.

Для нахождения координат этой точки на плоскости можно использовать два способа:

графический – чертим графики прямых на координатой плоскости и находим их точку пересечения (не всегда применимо);
аналитический – более универсальный метод. Мы объединяем уравнения прямых в систему. Затем решаем ее и получаем требуемые координаты. От количества решений зависит то, каким образом ведут себя прямые по отношению друг к другу:
- одно решение – пересекаются;
- множество решений – совпадают;
- нет решений – параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример задачи

Найдем координаты точки пересечения прямых y = x + 6 и y = 2x – 8.

Решение

Составим систему уравнений и решим ее:

В первом уравнении выразим x через y:
x = y – 6

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение вместо x:
y = 2 (y – 6) – 8
y = 2y – 12 – 8
y – 2y = -12 – 8
-y = -20
y = 20

Значит, x = 20 – 6 = 14

Таким образом, общая точка пересечения заданных прямых имеет координаты (14, 20).

Источник