Найти указанные пределы как решать - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $

Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Пример 2

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$

Решение

Внимание «чайникам» Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется

Ответ

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3

Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Пример 4

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$

Пример 6

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Пример 1:

Вычислить пределы числовых последовательностей:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Вычислить пределы:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Найти предел:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Вычислить пределы числовых последовательностей:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить предел:

при x₀ = 2

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Вычислить предел функции

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить предел функции:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти пределы:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Вычислить предел функции

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить предел функции:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить предел функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 38:

Вычислите предел функции:

Решение от преподавателя:

Пример 39:

Вычислить предел:

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Найти предел:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить предел:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 42:

Вычислить предел:

Решение от преподавателя:

Пример 43:

Вычислить предел:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Вычислить предел:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Вычислите предел:

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислите предел или покажите, что он не существует

Решение от преподавателя:

Рассмотрим подпоследовательности при n = 4kи n = 4k + 2

То есть a₄_k = 3, a₄_k+2 = 1

Две подпоследовательности стремятся к разным пределам, 3 и 1.

Следовательно, предел исходной последовательности не существует.

Пример 61:

Найти предел:

Решение от преподавателя:

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=3, то 3 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — 3) .
Найдем корни первого многочлена:
x² -2 x — 3 = 0
D=(-2)² — 4*1(-3)=16

Найдем корни второго многочлена:
3 x² -8 x — 3 = 0
D=(-8)² — 4*3(-3)=100

Получаем:

Решение от преподавателя:

Пример 104:

Вычислить предел:

Решение от преподавателя:

Источник

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

Урок математики. Учительница говорит:

— Сегодня мы будем брать интегралы.

Вовочка спрашивает:

— А как это в жизни пригодится?

— Ты ебало-то завали.

Рассмотрим простейший пример:

Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение — эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень. Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле: (циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа — бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

В Хогвартсе такое не проходят.

Получилось вот что:

Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное.

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49. На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

Источник

Если в процессе трансформации, некоторая величина неограниченно приближается к числу a, то это число является пределом (lim) данной величины. Число а всегда находится в интервале определения функции.

Предел функции:
lim⁡x→af(x)=Alim limits _{x rightarrow a} {f(x)} = A

При бесконечном росте к функции 1/x1/x предел стремится к нулю:

lim⁡x→∞1x=0lim limits _{xrightarrow infty}{frac{1}{x}=0}

Правила решения пределов

предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций;
предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций;
предел частного двух функций равен частному пределов этих функций;
предел числа в степени (корня из числа) равен степени (корню) предела этого числа;
постоянный множитель (число) выносится за знак предела;
предел числа равен этому числу

Примеры задач в практическом применении пределов функции

Пример 1

Предел приближения к числу

lim⁡x→15×3+123x−8×4+x2=lim⁡x→15⋅13+123⋅1−814+12=5+123−84+1=15lim limits _{x rightarrow 1} {frac{5x^3+frac{12}{3x}-8^x}{4+x^2}}=lim limits _{x rightarrow 1} {frac{5{cdot1}^3+frac{12}{3cdot1}-8^1}{4+1^2}}=frac{5+ frac{12}{3}-8}{4+1}=frac{1}{5}

Однако не всегда предел приближения к числу разрешается. В некоторых случаях возможна неопределенность.

lim⁡x→1×2−2x+1x−1=lim⁡x→112−2⋅1+11−1=<00>lim limits _{x rightarrow 1}{frac{x^2-2x+1}{x-1}}=lim limits _{x rightarrow 1}{frac{1^2-2cdot1+1}{1-1}}= <frac{0}{0}>

Неопределенность вида <00><frac{0}{0}> возможно разрешить путем разложения числителя или знаменателя на множители.

lim⁡x→1×2−2x+1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x−1)x−1=lim⁡x→1(x−1)=1−1=0lim limits _{x rightarrow 1}{frac{x^2-2x+1}{x-1}}=lim limits _{x rightarrow 1}{frac{left(x-1right)left(x-1right)}{x-1}}=lim limits _{x rightarrow 1}{left(x-1right)=1-1=0}

Другой способ раскрытия неопределенности – правило Лопиталя (производная от числителя и знаменателя пока неопределенность не спадет)

lim⁡x→1×2−2x+1x−1=lim⁡x→1(x2−2x+1)‘(x−1)‘=lim⁡x→12x−21=lim⁡x→12x−2=lim⁡x→12⋅1−2=0lim limits _{x rightarrow 1}{frac{x^2-2x+1}{x-1}}=lim limits _{x rightarrow 1}{frac{left(x^2-2x+1right)^`}{left(x-1right)^`}}=lim limits _{x rightarrow 1}{frac{2x-2}{1}}=lim limits _{x rightarrow 1}{2x-2}=lim limits _{x rightarrow 1}{2cdot1-2=0}

Пример 2

Предел приближения к бесконечности

lim⁡x→∞x2−4x+21+x2=lim⁡x→∞∞2−4⋅∞+21+∞2=<∞∞>lim limits _{x rightarrow infty}{frac{x^2-4x+2}{1+x^2}}=lim limits _{x rightarrow infty}{frac{infty^2-4cdot infty+2}{1+ infty^2}}= <frac{infty} {infty}>

Неопределенность вида, <∞∞><frac{infty} {infty}> возможно разрешить только путем деления каждого члена функции на xx в большей степени (в данном примере максимальная степень x2x^2).

lim⁡x→∞x2x2−4xx2+2x21x2+x2x2=lim⁡x→∞1−4x+2x21x2+1lim limits _{x rightarrow infty}{frac{frac{x^2}{x^2}-frac{4x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{frac{1}{x^2}+frac{x^2}{x^2}}}=lim limits _{x rightarrow infty}{frac{1-frac{4}{x}+frac{2}{x^2}}{frac{1}{x^2}+1}}

Зная, что lim⁡x→∞1x=0lim limits _{x rightarrow infty}{frac{1}{x}=0},

причем в числителе дроби может быть любое число, а в знаменателе х любой степени, имеем

lim⁡x→∞1−4x+2x21x2+1=lim⁡x→∞1−4∞+2∞21∞2+1=lim⁡x→∞1−0+00+1=11=1lim limits _{x rightarrow infty}{frac{1-frac{4}{x}+frac{2}{x^2}}{frac{1}{x^2}+1}}=lim limits _{x rightarrow infty}{frac{1-frac{4}{infty}+frac{2}{infty^2}}{frac{1}{infty^2}+1}}=lim limits _{x rightarrow infty}{frac{1-0+0}{0+1}=frac{1}{1}}=1

Другие неопределенности

1∞1^infty – раскрытие через второй замечательный предел;
000^0, ∞0infty^0 – необходимо найти логарифм предела;
0⋅∞0cdotinfty, ∞−∞infty-infty – преобразование функции, правило Лопиталя.

Замечательные пределы (математические тождества)

lim⁡x→0sinxx=1lim limits _{x rightarrow 0}{frac{sinx}{x}=1}

lim⁡x→∞(1+1x)x=elim limits _{x rightarrow infty}{left(1+frac{1}{x}right)^x=e}

Примеры применения замечательных пределов

Пример 1

Вычислить предел функции lim⁡x→0sin3x9xlim limits _{x rightarrow 0}{frac{sin3x}{9x}}

lim⁡x→0sin⁡3x9x=<00>lim limits _{x rightarrow 0} frac{sin3x}{9x}=<frac{0}{0}>

Выполним преобразования

lim⁡x→0sin3x9x=lim⁡x→0sin⁡3×3⋅3x=13lim⁡x→0sin3x3x=13⋅1=13lim limits _{x rightarrow 0}{frac{sin3x}{9x}}=lim limits _{x rightarrow 0}{frac{sin3x}{3cdot3x}}=frac{1}{3}lim limits _{x rightarrow 0}{frac{sin3x}{3x}}=frac{1}{3}cdot1=frac{1}{3}

Пример 2

Вычислить предел функции

lim⁡x→∞(x+5x+4)(x+4)lim limits _{x rightarrow infty} (frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}

lim⁡x→∞(x+5x+4)(x+4)=<∞∞>∞lim limits _{x rightarrow infty} (frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= <frac {infty} {infty}>^ {infty}

Выполним преобразования (прибавление и отнимание единицы)

lim⁡x→∞(x+5x+4)(x+4)=lim⁡x→∞(1−1+x+5x+4)(x+4)=lim⁡x→∞(1−x+4x+4+x+5x+4)(x+4)=lim limits _{x rightarrow infty} (frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=lim limits _{x rightarrow infty} (1-1+frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= lim limits _{x rightarrow infty} (1-frac {x+4}{x+4} + frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=

lim⁡x→∞(1+x+5−x−4x+4)(x+4)=lim⁡x→∞(1+1x+4)(x+4)=elim limits _{x rightarrow infty} (1+frac {x+5-x-4}{x+4})^{(x+4)}= lim limits _{x rightarrow infty} (1+frac {1}{x+4})^{(x+4)}=e

Пределы находят практическое применение в различных областях математики, геометрии, экономики и финансов, поэтому умение разрешать такие задачи и быстро раскрывать неопределенности крайне необходимо для достижения иной главной цели.

Тест по теме «Примеры решения пределов»

Источник