Найти значение выражения как считать

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Выражение в математике — это практически всё, с чем мы собственно и имеем дело в математике. Уравнения, дроби, примеры, формулы… 1+1 — это выражение, a+b+c — это выражение, уравнение 5x+12=37 — это 2 математических выражения, соединённые знаком равенства. Дробь — математическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя. Значение выражения — (не совсем понятен вопрос) это либо просто результат (ответ) решения примера, уравнения и т.д. Либо это числовое выражение, состоящее из цифр и математических знаков (то в котором нет букв, если буквы появились, то это уже переменное или алгебраическое выражение). 7-3 — числовое выражение, (12+5)-(15-5) — числовое выражение. Любая дробь — числовое выражение. Иногда числовые выражения не имеют смысла, например, (12+5):(48-12х4) — просто потому что на ноль делить нельзя. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Чтобы разобраться в этих терминах и правильно понять что к чему — разберем все по полочкам. Начнем с определения математического выражения: величины могут быть числами, могут быть буквами.Дадим определение, что такое значение числового выражения 5+6*9 — числовое выражение а+в+с — буквенное выражение Дадим определение, что такое значение буквенного выражения Значит — значение выражения это всегда число. И теперь на более сложном примере попробуем разобраться — где выражение, а где его значение Как видим, сначала есть очень большое буквенное выражение, мы его упрощаем (сокращаем) и получаем выражение поменьше. Чтобы найти значение выражения — подставляем вместо букв числа и находим его. Стоит отметить выражение может не иметь значения (не имеет смысла при делении на ноль); для удобства их могут обозначать одной буквой — например дискриминант. Ninaa­rc [482K] 5 лет назад  Выражение в математике — это совокупность чисел и букв, соединенных между собой различными знаками. Если в записи имеются только числа, которые соединены арифметическими действиями, то такое выражение называют числовым. Например: 280 – (32 + 4 ∙ Если в выражениях присутствуют латинские буквы, то такие выражения называют буквенными. Например: 40 — 2х. Значением выражения называют результат, которые получен после последовательного выполнения всех действий. По сути получить значение выражения — это означает решить пример. Например: 2·7 + 1 = 15. Полученное в результате вычислений число 15 и будет значением выражения. Людви­го [136K] 8 лет назад  Выражение в математике -широкое понятие, которое включает в себя формулы, примеры, уравнения. они могут быть как цифровыми, так и буквенными, или и цифровыми, и буквенными одновременно. У каждого выражения есть набор правил (которые обязательно нужно заучивать) и приемов, с помощью которых данное выражение решается. Примеры, 5+15=20 -это сложение простых чисел, где полученное число 20 является значением сложения двух слагаемых, (а+в)-с- алгебраическое выражение, применимое абсолютно для всех чисел. Ксарф­акс [156K] 6 лет назад  Выражение в математике — это определённая запись, которая состоит из величин и знаков действий. Выражения бывают нескольких видов: 1) Числовые выражения — в них входят только числа, знаки действий (например, плюс или минус) и скобки. Например, (3 + 2) / 6. 2) Алгебраические выражения — в них входят переменные. Например, 3x — 2. 3) Тригонометрические выражения — выражения, в которые включены тригонометрические функции. Например, 3tg30º — 2cos60º. Также нужно отметить, что выражения должны быть записаны так, чтобы они имели смысл и их можно было бы вычислить. Например, записи 7-+4 или 6 / (3-3) — не являются выражениями. Значение выражения Это результат, который получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения (cos60º + 5) * 2 = (0,5 + 5) * 2 = 11. Совсе­м Ку-ку [12.9K] 5 лет назад  Выражение в математике подразумевает под собой определённое отношение между величинами. Это может быть пример, уравнение, формула, обыкновенная дробь… (а-с)*х будет выражением. А значение выражения — это полученный результат примера/уравнения/др­­оби/формулы. Например: 12+5=17. В данном случае 12+5 будет выражением (это то, что обозначено до знака равенства), а 17 будет значением выражения (то есть то, что обозначено после знака равенства). gemat­ogen [29.9K] 8 лет назад  Значение выражения — это то что получится у вас в конце. Выражение — это сам пример, который вы решаете. Часто можно встретить вот такие вот выражения : x^2-x+2=0 И нужно их решить, написав корни уравнения. Выражением считают пример, у которого нужно что-то выразить, то есть что-то здесь является переменным. Часто говорят про выражения подобную фразу : Выполняется ТОГДА и только ТОГДА, когда x = 2 (например). Это значит что корень один — 2. Alexg­roovy [14.6K] 5 лет назад  Выражения представляет собой последовательности, составленные из букв, цифр и арифметических операций. Они являются основой математики. Выражения могут быть числовыми и буквенными. Первые состоят из цифр и знаков операций, а во вторых вместо цифр используются буквы (как правило латинского или греческого алфавита). В результате совершения последовательности действий, содержащейся в выражении, получают его значение. Есть такое понятие, как алгебраические величины. Это числа или буквы. Буквами обозначают неизвестное, например X или Y. Выражением называют соединённые между собой различными математическими действиями несколько таких величин. Например: 3*X+5*Y-18 Значение выражения — это то, чему это выражение равно. Например: 192-1=191 191 тут это значение выражения, а 192-1 — это само выражение и есть. morel­juba [62.5K] 6 лет назад  Если мы говорим о математике, то выражениями в математике можно назвать все действия производимые с числами и всевозможными буквами и символами, иначе выражение можно обозначить как пример. А вот значение выражения — это непосредственно результат всех действий в выражении, то есть ответ иначе говоря. alfaf­i [535] 10 лет назад  Числовые выражения составляют из чисел, с помощью знаков действий и скобок. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называется значением выражения. Знаете ответ?

Выражение.
Уравнение. Неравенство

Содержание

1.   Выражения
и их тождественные преобразования.

1. Числовые равенства
   и неравенства.
2. Уравнения с одной
   переменной.
3. Неравенства с
   одной переменной.

Основная
литература [1, 2, 3, 7, 10, 11, 16, 17, 19, 22, 23, 33, 34,
37, 38];

Дополнительная
литература [12, 28]

1. Выражения и их тождественные преобразования

Наряду с изучением операций
и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение,
уравнение, неравенство. Первоначальное зна­комство с ними происходит в
начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений,
чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в
употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств.
Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала
данного параграфа, — это уточнить и углубить знания о вы­ражениях (числовых и с
переменными), числовых равенствах и число­вых неравенствах, уравнениях и
неравенствах.

Изучение данных понятий
связано с использованием математиче­ского языка, он относится к искусственным
языкам, которые создаются, и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и
любой другой математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он буде
представлен частично, в связи с необходимостью больше внимания уделить
взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, •,
:;

3) знаки отношений <,
>, =, M;

4) строчные буквы латинского
алфавита, их применяют для обо значения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные
и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в
алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения
— числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с
переменными.

Как известно, записи 3 + 7,
24 : 8, 3 × 2 — 4, (25 + 3) ×2
-17 называются числовыми выражениями. Они образуются из
чисел, знаков действий, скобок. Если выполнить все действия, указанные в
выражении, получим число, которое называется значением числового
выражения. Так, значение числового выражения 3 ×2 —
4 равно 2.

Существуют числовые выражения,
значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не
имеют смысла.

Например,
выражение 8 : (4 — 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 —
4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если
рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве
значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2а + 3.
Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять
числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если а = 7, то 2×7 +
3;

если а = 0, то 2×0 +
3;

если а = — 4, то 2×(-
4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква
а называется переменной, а сама запись 2а + 3 — выражением
с переменной.

Переменную в математике, как
правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной
школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например
œ.
Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2ל + 3.

Каждому выражению с
переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается
числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью
определения выражения.

Например, область
определения выражения 5 : (х — 7) состоит из всех действительных чисел, кроме
числа 7, так как при х = 7 выражение 5 : (7 — 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают
выражения, содержащие одну, две и больше переменных.

Например, 2а
+ 3 — это выражение с одной пере­менной, а (3х + 8у) ×2 —
это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными
получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа,
принадлежащие области определения выражения.

Итак, мы выяснили, как
образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с
переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения — это слова
математического языка.

Но, используя алфавит
математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2))
— ×12 или 3х – у : + )8, которые нельзя назвать ни
числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о
том, что описание — из каких знаков алфавита математического языка образуются
выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий.
Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется
аналогично).

Определение. Если f и q —
числовые выражения, то (f) + (q), (f) — (q), (f) × (q),
(f) • (q)- числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым
выражением.

Если точно следовать этому
определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5)
или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько
выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева
направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся
несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо.

Например,
пишут так: 37 – 12 + 62 — 17+13 или 120 :15-7:12.

Кроме того, условились
сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем
действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12-4:3) +
(5-8:2-7) записывают так: 12 – 4 : 3 + 5 – 8 : 2 — 7.

Задача. Найти
значение выражения 3х (х — 2) + 4( х — 2) при х = 6.

Решение

1 способ. Подставим число 6
вместо переменной в данное выра­жение: 3 × 6-(6 — 2) + 4×(6
— 2). Чтобы найти значение полученного чи­слового выражения, выполним все
указанные действия: 3×6× (6 — 2) + 4× (6-2)= 18× 4
+ 4 × 4
= 72 + 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения Зх
(х- 2) + 4(х-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем
подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: Зх (х — 2) + 4(х — 2)
= (х — 2)(3х + 4). И затем, подставив в полученное выражение
вместо х число 6, выполним действия: (6 — 2) × (3×6 +
4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

Обратим внимание на
следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение
заменяли другим.

Например,
выражение 18×4 + 4×4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х
— 2) + 4(х — 2) — выражением (х — 2)(3х + 4), причем эти
замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение
данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные
преобразования выражений.

Определение. Два
выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных
из области определения выражений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных
выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10,
поскольку при любых действительных значениях х их значения
равны.

Если два тождественно равных
на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим
предложение, которое называют тождеством на этом
множестве.

Например,
5(х + 2) = 5х + 10 — тождество на множестве действительных
чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и
5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно
записать так: (« х Î R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами
считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно
равным ему на некотором множестве, называется тождественным
преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х +
2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное
преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются
они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения
выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда
возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя
тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них — свойства
алгебраических операций.

Задача. Разложить
на множители выражение ах — bх + аb — b².

Решение. Сгруппируем
члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ах — bх+
аb — b² = (ах-bх)+(аb-b²). Это преобразование
возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном
выражении из каждой скобки общий множитель: (ах — bх) + (аb — b²) =
х(а -b) + b(а — b) — это преобразование возможно на основании свойства
дистрибутивности умножения отно­сительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении
слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: х(а — b) + b(а — b) =
(а — b)(х -b). Основой выполненного преобразования является свойство
дистрибутивности умножения относительно сложения. Итак, ах — bх + аb — b² =
(а — b)(х -b) .

В начальном курсе математики
выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений.
Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и
умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме,
вычитания числа из суммы и др.

Например,
чтобы найти произведение 35 × 4, надо выполнить преобразования:
35 × 4
= (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140.
В основе выполненных преобразований лежат: свой­ство дистрибутивности умножения
относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35
= 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.

Как найти значение выражения

Числовые выражения составляются из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Если в таком выражении присутствуют переменные, оно будет называться алгебраическим. Тригонометрическим является выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций. Задачи на определение значений числового, тригонометрического, алгебраического выражений часто встречаются в школьном курсе математики.

Инструкция

Чтобы найти значение числового выражения, определите порядок действий в заданном примере. Для удобства обозначьте его карандашом над соответствующими знаками. Выполните все указанные действия в определенном порядке: действия в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. Полученное число и будет значением числового выражения.

Пример. Найдите значение выражения (34∙10+(489–296)∙8):4–410. Определите порядок действий. Первое действие выполните во внутренних скобках 489–296=193. Затем, умножьте 193∙8=1544 и 34∙10=340. Следующее действие: 340+1544=1884. Далее выполните деление 1884:4=461 и затем вычитание 461–410=60. Вы нашли значение данного выражения.

Чтобы найти значение тригонометрического выражения при известном угле α, предварительно формулы. Вычислите заданные значения тригонометрических функций, подставьте их в пример. Выполните действия.

Пример. Найдите значение выражения 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Упростите данное выражение. Для этого воспользуйтесь формулой tg α∙ctg α=1. Получите: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Известно, что sin 30º=1/2 и cos 30º=√3/2. Следовательно, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Вы нашли значение данного выражения.

Значение алгебраического выражения зависит от значения переменной. Чтобы найти значение алгебраического выражения при заданных переменных, упростите выражение. Подставьте вместо переменных определенные значения. Выполните необходимые действия. В итоге вы получите число, которое и будет значением алгебраического выражения при заданных переменных.

Пример. Найдите значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10. Упростите данное выражение, получите: a–2y. Подставьте соответствующие значения переменных и вычислите: a–2y=21–2∙10=1. Это и есть значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10.

Обратите внимание

Существуют алгебраические выражения, не имеющие смысла при некоторых значениях переменных. Например, выражение x/(7–a) не имеет смысла, если a=7, т.к. при этом знаменатель дроби обращается в нуль.

Источники:

• найдите наименьшее значение выражения
• Найди значения выражений при с 14

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?