Направление вогнутости как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение.
Кривая
называетсявыпуклой
(вогнутой) в
промежутке
,
если
она лежит ниже (выше) касательной в любой
точке этого промежутка.

Выпуклость
и вогнутость кривой, являющейся графиком
функции
,
характеризуется
знаком её второй производной: если
в некотором промежутке,
то кривая вогнута в этом промежутке;
если же,
то кривая выпукла в этомпромежутке.

Определение.
Точка
графика функции
,
разделяющая
промежутки выпуклости
и вогнутости этого графика, называется
точкой
перегиба.

Точками
перегиба могут служить только критические
точки,
принадлежащие
области определения функции у
= f(x),
в
которых
вторая производная обращается в нуль
или не существует.

Если
при переходе через критическую точку
вторая производная

меняет
знак, то график функции имеет точку
перегиба

(см.
рис.

Рис. 8

5. Асимптоты кривой

Определение.
Прямая
линия называется асимптотой
для кривой
,
если расстояние от точки
,
лежащей на кривой, до прямой стремится
к нулю при удалении точки
от начала координат в бесконечность.

Существует
три вида асимптот:

1)
вертикальные
асимптоты

Прямая
называется вертикальной асимптотой
графика функции
,если
хотя бы одно из предельных значений
илиравноили.

2)
горизонтальные
асимптоты

Если
,
то прямаяназывается горизонтальной асимптотой.

3)
наклонные
асимптоты

Если
существуют такие числа k
и b,
что
и,

прямая
называется
наклонной асимптотой.

6. Построение графиков функций

Общая
схема построения графиков функций:

1)
Найти область определения.

2)
Выяснить, не является ли функция четной,
нечетной или периодической.

3)
Найти точки пересечения с осями координат
(если это не вызывает затруднений).

4)
Исследовать функцию на непрерывность.
Найти точки разрыва (если они существуют)
и установить характер разрыва. Найти
асимптоты графика функции. Выяснить
поведение функции в бесконечности.

5)
Найти промежутки монотонности функции
и её экстремумы.

6)
Найти промежутки выпуклости и вогнутости
графика функции, точки перегиба.

7)
Построить график исследуемой функции.

Пример

Определить
интервалы монотонности функции f(x)
= x²
–
6x + 8.

Решение:

Найдем
производную функции
.

Точка
х = 3
, при которой
производная обращается в ноль, разбивает
числовую ось на два интервала монотонности
(–

, 3) и (3 , +).

Возьмем
какую-либо точку, например, х
= 0
из первого
интервала, в ней
.
Следовательно, на интервале (–

, 3) функция убывает.

Возьмем
какую-либо точку, например, х
= 4
принадлежащую
второму интервалу, и так как
,
то на нем
функция возрастает.

Пример

Определить
точки экстремума функции:

а)
f(x)
= x³
– 3x
+ 2 б)

Решение:

а)
Находим
.

Точки
х₁
= –1
и х₂
= +1
– являются
критическими, так как в них производная
обращается в ноль, Исследуем характер
этих точек с помощью достаточного
условия. Для этого составим таблицу:

(–,–1)

x = –1

(–1, 1)

x = 1

(1, +)

–

f(x)

максимум

f(x₁)
= 4

минимум

f(x₂)
= 0

б)
Находим

Критические
точки x₁
= 0 (в ней производная не существует) и х
= 2

(в
ней производная обращается в ноль).
Составим таблицу:

(–,
0)

x = 0

(0, 2)

x = 2

(2, )

не

сущ.

–

f(x)

максимум

f(0) = 0

минимум

Пример

Определить
точки перегиба и интервалы выпуклости
и вогнутости кривой
.

Решение:

Функция
определена и дважды дифференцируема
для всех х.
Точками
перегиба могут служить только критические
точки,
принадлежащие
области определения функции у
= f(x),
в
которых
вторая производная обращается в ноль
или не существует, поэтому найдем
.

Разложим
на множители и приравняем к нулю:

=0.

Точки
x₁
= 0;
x₂
= 1; x₃
= 3
–
являются
критическими точками II рода. Составим
таблицу знаков
:

x	–  < x < 0	x₁ = 0	0 < x < 1	x₂ = 1	1 < x < 3	x = 3	3 < x < 
	+	0	+	0	–	0	+
f(x)				ТП		ТП

На
первом интервале, например возьмем x
= –1, имеем
=
240 > 0. Значит,
на интервале (–

,0) функция вогнута. При переходе через
точку x₁
= 0 вторая
производная

знак не
меняет, поэтому точка x₁
= 0
не является
точкой перегиба. При переходе через
точки x₂
= 1; x₃
= 3
вторая
производная меняет знак. Эти точки
являются точками перегиба.

Найдем
значения функции в данных точках:

;

На
интервалах –

< x < 0,
0 < x < 1
и 3 < x < 
кривая выпукла. На интервале 1 <
x < 3 кривая
вогнута.

Пример

Исследовать
функцию и построить
ее график.

Решение:

1.Областью
определения функции являются все
действительные значения аргумента х,
то есть
.

2.
Установим, является ли данная функция
четной или нечетной.

Функцияи,
следовательно, функция есть функция
общего вида.

3.
Так как функция непрерывна на всей
числовой прямой, то ее график не имеет
вертикальных асимптот.

Выясним
наличие у графика заданной функции
наклонных асимптот. Для определения
уравнения наклонной асимптоты
воспользуемся формулами:и.

Тогда
.

Таким
образом, у графика заданной функции
наклонных асимптот нет.

4.
Определим интервалы возрастания и
убывания функции и точки экстремума.

Для
исследования функции на экстремум
найдем ее первую производную:

Найдем
критические точки, в которых производная
обращается в ноль
или не существует. Для этого приравняем
производную функции к нулю.
Решая данное уравнение, получаем две
стационарные точки
и
.

Разобьем
числовую ось найденными критическими
точками на интервалы:,,.
В первоми третьеминтервалах первая производная
положительна, следовательно, здесь
функция возрастает; во втором интервалепервая производная отрицательна и
данная функция убывает. При переходе
через точкупервая производная меняет свой знак с
плюса на минус, поэтому в этой точке
функция имеет максимум. Значение функции
в точке максимума.
Значит,– точка максимума.

При
переходе через точку
первая производная меняет свой знак с
минуса на плюс, поэтому в этой точке
функция имеет минимум. Значение функции
в точке минимума.
Значит,– точка минимума.

Знак

5.
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости
кривой и точки перегиба.

Для
определения точек перегиба графика
функции найдем вторую производную:

Найдем
критические точки, в которых производная
обращается в ноль
или не существует. Для этого приравняем
производную к нулю.
Решая данное уравнение, получаем
.

Разобьем
область определения полученной точкой
на два интервала,,.
В первом интервалевторая производная отрицательна,
следовательно, здесь функция выпукла;
во втором интервалевторая производная положительна и
данная функция вогнута. При переходе
через критическую точкувторая производная меняет свой знак,
поэтомуабсцисса точки перегиба. Значение
функции в точке перегиба.
Значит,– точка перегиба графика функции.

Знак

Построим
график исследуемой функции.

Пример

Исследовать
функцию
и построить ее график.

Решение:

1.
Область определения функции.

Функция
определена при всех значениях аргумента
х.

2.
Установим, является ли данная функция
четной или нечетной

Следовательно,
данная функция является нечетной, то
есть симметрична относительно начала
координат.

3.
Найдем асимптоты кривой.

А)
Исходная функция непрерывна, следовательно,
вертикальных асимптот нет.

Б)
Найдем наклонные асимптоты.

Для
определения уравнения наклонной
асимптоты
воспользуемся
формулами:и.

Тогда
.

Значит,
прямая
есть горизонтальная асимптота графика
исследуемой функции.

4.
Интервалы возрастания и убывания функции
и точки экстремума.

Для
исследования функции на экстремум
найдем ее первую производную:

Найдем
критические точки, в которых производная
обращается в ноль
и не существует. Для этого приравняем
числитель к нулю.
Решая данное уравнение, получаем две
стационарные точкии.

Приравняем
знаменатель к нулю
,
то есть.
Данное уравнение решений не имеет.

Разобьем
числовую ось найденными критическими
точками на три интервала:
,,.
В первоми третьеминтервалах первая производная
отрицательна, следовательно, здесь
функция убывает; во втором интервалепервая производная положительна и
данная функция возрастает. При переходе
через точкупервая производная меняет свой знак с
минуса на плюс, поэтому в этой точке
функция имеет минимум. Значение функции
в точке минимума.
Значит,– точка минимума.

При
переходе через точку
первая производная меняет свой знак с
плюса на минус, поэтому в этой точке
функция имеет максимум. Значение функции
в точке максимума.
Значит,– точка максимума.

5.
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости
кривой и точки перегиба.

Для
определения точек перегиба графика
функции найдем вторую производную:

Найдем
критические точки, в которых производная
обращается в ноль
и не существует. Для этого приравняем
числитель к нулю.
Решая данное уравнение, получаем,x
= 0,.

Приравняем
знаменатель к нулю
,
то есть.
Данное уравнение решений не имеет.

Разобьем
числовую ось найденными стационарными
точками на четыре интервала:
,,.
В первоми третьеминтервалах вторая производная
отрицательна, следовательно, здесь
функция выпукла; во второми четвертоминтервалах вторая производная положительна
и данная функция вогнута. При переходе
через стационарные точки,,вторая производная меняет свой знак,
поэтому,,– абсциссы точек перегиба. Значение
функции в точках перегиба,,.
Значит,,,– точки перегиба графика функции.

Построим
график исследуемой функции.

Пример

Найти
наименьшее и наибольшее значение функции
f(x)
= x³
–
3x²
+ 1 на отрезке [–1;
4] .

Решение:

1)
Найдем
критические точки, принадлежащие
заданному промежутку
[–1;
4], и
вычислим значения функции в этих точках.
Для этого вычислим производную функции
f’(x)
= 3x²
–
6x = 3x(x
– 2).

Для
нахождения критических точек приравниваем
полученную производную к нулю 3x(x
– 2)=
0,
тогда x₁
= 0,
x₂
= 2
– критические
точки. Обе точки принадлежат промежутку
[–1;
4] , поэтому находим значение функции в
обеих точках

f(0)
= 1; f(2)
= – 3.

2)
Вычислим значения функции на концах
промежутка: f(–1)
= –3;
f(4)
= 17

3)
Сравнивая
полученные значения, имеем:

Наибольшее
значение
на промежутке–
1

x

4 функция
принимает в правом конце отрезка при х
= 4.

Наименьшее
значение
достигается в двух точках: в точке
минимума функции и в левом конце интервала
прих = –1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#

26.08.2019499.2 Кб71,2,8,9,10,20,21,22,23,24,27,28,29,30.doc
#
#
#
08.04.2015273.14 Кб701.docx
#
#
#
#
#
#

Источник

Содержание:

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале
$(a ; b)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке
$x_{0} in(a ; b)$ вторую производную. Тогда, если
$f^{prime prime}(x)>0$ всюду на интервале
$(a ; b)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале,
если $f^{prime prime}(x) lt 0$, то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции $y=f(x)$
называется точка $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция $y=f(x)$ имеет перегиб в точке
$Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, то
$f^{prime prime}left(x_{1}right)=0$ или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

первая производная $f^{prime}(x)$
непрерывна в окрестности точки $x_{1}$;
вторая производная $f^{prime prime}(x)=0$ или не существует в точке $x_{1}$;
$f^{prime prime}(x)$ при переходе через точку $x_{1}$ меняет свой знак,

тогда в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$ функция $y=f(x)$ имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Найти вторую производную функции.
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
$y=frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1$

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

$y^{prime prime}=left(frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1right)^{prime prime}=left(frac{x^{2}}{2}-2 x+3right)^{prime}=x-2$

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
$y^{prime prime}(x)=0$:

$y^{prime prime}(x)=x-2=0 Rightarrow x=2$

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке $(-infty ; 2)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x) lt 0$, то на этом промежутке функция
$y(x)$ выпукла; в силу того, что на промежутке
$(2 ;+infty)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x)>0$ — функция вогнута. Так как при переходе через
точку $x=2$ вторая производная сменила знак, то
эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка $x=2$ — точка перегиба графика функции.

На промежутке $(-infty ; 2)$ функция выпукла, на промежутке
$(2 ;+infty)$ функция вогнута.

Читать дальше: асимптоты графика функции.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Точки перегиба графика функции

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки.

Точка перегиба функции — это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

Найти вторую производную функции $ y»(x) $
Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y»'(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y»'(x)$. Если $ y»'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка — это точка перегиба.

Примеры решений

Пример 1

Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $

Решение

Найдем первую производную, заданной функции:

$$ y’ = (2x^4 — 6x^2 + 1)’ = 8x^3 — 12x $$

Теперь получим вторую производную:

$$ y» = (y’)’ = (8x^3 — 12x)’ = 24x^2 — 12 $$

Приравниваем к нулю $ y» = 0 $ и решаем уравнение:

$$ 24x^2 — 12 = 0 $$

$$ x^2 = frac{1}{2} $$

$$ x_1 = -frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$

Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $:

$$ y»'(x) = (y»(x))’ = 48x $$

$$ y»'(x_1) = y»'(-frac{1}{sqrt{2}}) = -frac{48}{sqrt{2}} $$

$$ y»'(x_2) = y»'(frac{1}{sqrt{2}}) = frac{48}{sqrt{2}} $$

Так как $ y»'(x_1) $ и $ y»'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ x_1 = — frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$

Пример 2

Узнать, является ли для графика функции $ y = cos x $ точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точкой перегиба

Решение

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче:

$$ y'(x) = (cos x)’ = — sin x $$ $$ y»(x) = (-sin x)’ = -cos x $$ $$ y»'(x) = (-cos x)’ = sin x $$

Вычислим значения $ y»(x_0) text{ и } y»'(x_0) $:

$$ y»(x_0) = y»(frac{pi}{2}) = — cos frac{pi}{2} = 0 $$

$$ y»'(x_0) = y»'(frac{pi}{2}) = sin frac{pi}{2} = 1 $$

Так как $ y»(frac{pi}{2}) = 0 $, а $ y»'(frac{pi}{2}) neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = cos x $

Ответ

Точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точка перегиба

Источник

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

Найти вторую производную f’’(x).
Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x²–x³.

Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x², f ‘’(x) = 12 – 6x.

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.

f(2) = 6*2² – 2³ = 16

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).

Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x³-6x²+2x-1

Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x³-6x²+12x+4

Источник

Выпуклость и вогнутость графика функции

Содержание:

Выпуклость и вогнутость графика функции с точками перегиба
Достаточно условия существования точки перегиба

Выпуклость и вогнутость графика функции с точками перегиба

При исследовании функций с целью построения их графиков важную роль играют такие понятия как выпуклость и вогнутость кривых.

Рис. 12. Рис. 13.

Определение 1. Кривая y = f (x) называется выпуклой в точке , если в окрестности этой точки кривая находится под касательной к кривой, проведенной в этой точке (рис.12).

Определение 2. Кривая y = f (x) называется вогнутой в точке, если в окрестности этой точки кривая находится над касательной к кривой, проведенной в этой точке (рис 13).

Определение 3. Кривая y = f (x) называется выпуклой (вогнутой) на промежутке (a, b), если она выпуклая (вогнутая) в каждой точке этого промежутка.

Для установления промежутков, на каких график функции y = f (x) выпуклый, а на каких вогнутый, укажем теорему, которая дает достаточные условия выпуклости и вогнутости кривых на промежутке.

ТЕОРЕМА. Если на промежутке (a, b) вторая производная функции y = f (x) отрицательна, то ее график выпуклый на этом промежутке, если f » (x) положительная на (a, b), то график y = f (x) вогнутый.

Не приводя строгого доказательства, приведем геометрические соображения, которые объясняют теорему.

Если везде на промежутке (a, b) то это означает, что f ‘(x), как функция, для которой f «(x) является производной, будет убывающей. Значит, убывает в рассматриваемом промежутке угловой коэффициент касательной к кривой и убывает сам угол , образуемый касательной с положительным направлением оси Ox (рис. 12).

Очевидно кривая на промежутке (a, b) расположена под касательной. Если, то кривая будет вогнутой.

Определение 4. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, или наоборот, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба дает теорема.

ТЕОРЕМА. Если — точка перегиба непрерывной функции y = f (x), то вторая производная ее f» (x) в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, в которых f» (x) равна нулю или не существует, называют критическими точками
второго рода.

Однако условия теоремы не являются достаточными. Так для функции y = x⁴вторая производная равна нулю при x = 0 . Однако график ее вогнутый в этой точке (рис.14).

Рис. 14.

Достаточно условия существования точки перегиба

ТЕОРЕМА. Если вторая производная f» (x) в точке равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то точка с абсциссой является точкой перегиба кривой y = f (x).

Доказательство. Предположим, что в точке М с абсциссой вторая производная и при переходе через нее слева направо меняет знак с минуса на плюс. Тогда слева от М кривая выпуклая а справа кривая вогнутая Таким образом, в точке кривая меняет выпуклость на вогнутость, и поэтому точка М является точкой перегиба.

Пример. Найти точки перегиба и определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой (кривая Гаусса).
Находим производные:
Приравниваем вторую производную к нулю и находим критические точки второго рода:

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки (рис. 15). Находим знаки второй производной в этих промежутках.

Рис. 15. Рис. 16.

Итак, точки являются точками перегиба. На промежутке (-1; 1) кривая выпуклая, на промежутках кривая вогнутая (рис. 16).

Лекции:

Матанализ для чайников
Производные некоторых элементарных функций
Векторы
Объем конуса
Разложение на множители
Найдите координаты точки пересечения графиков
Геометрический смысл производной в точке
Двойной интеграл: примеры решения
Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций
Прямая линия на плоскости

Источник