Не нашла другого выхода как

Я думаю, что все правильно в этом предложении, потому что у союзного слова КАК есть вот такое значение (оно просто встречается нечасто):
7. (после отрицательных и вопросительных слов и выражений). Употребляется для обозначения ограничения; кроме, только. Кто, как не мы. Больше некому, как тебе. [= Больше некому, кроме тебя.]

Отмечу, что предложение в вопросе приведено с ошибками. Правильная пунктуация такая (добавляем две запятые — перед каждым союзом «и»):
Уже четвертая волна прошла, и еще неизвестно, сколько волн будет впереди, и, конечно, выхода другого, как вакцинация, у нас нет. [= нет другого выхода, кроме вакцинации]

Пока они плыли, Давенант рассказал утреннюю историю, и, всесторонне обсудив ее, Петвек должен был признать, что другого выхода, как бегство, нет. [А. С. Грин. Дорога никуда (1929)]

Я не вижу другого выхода, как взятие Екатеринодара. [А. Н. Толстой. Хождение по мукам/ Книга вторая. Восемнадцатый год (1928)]

Так что другого выхода, как организация тихой милой беседы с ученым или на худой конец с его единственной лаборанткой, у нас, боюсь, нет. [Зиновий Юрьев. Смертельное бессмертие // «Наука и жизнь», 2007]

В Нацкорпусе: другого выхода, как

Дополнение
Вполне возможно, что непонятка возникла из-за особого порядка слов в предложении (инверсии): дополнение (выхода) стоит впереди сказуемого, согласованное определение (другого) — после определяемого слова.
При прямом порядке слов предложение выглядело бы так:
… и, конечно, у нас нет другого выхода, как вакцинация.

«Уже четвертая волна прошла и еще неизвестно, сколько волн будет впереди и, конечно, выхода другого, как вакцинация, у нас нет».

Автор хотел сказать: выхода другого, кроме вакцинации, у нас нет?
Или имеется в виду: нет выхода другого, как вакцинация (такого же, как вакцинация, — и какого же, интересно знать)?

Ответ
1. С одной стороны, нельзя сказать, что это грамматически неверная  конструкция. Конечно, у союза КАК нет значения исключения, указанного в словаре. Раньше использовались такие варианты: иного выхода, как только; иного выбора, кроме; иного выбора, кроме как.

2. Но грамматика стремится к упрощению; к тому же союз КАК – многозначный, а изъяснительное значение у него точно есть. И в Нацкорпусе можно найти много таких примеров:

Теперь у нее просто нет другого выхода, как сказать правду. У них нет другого выхода, как мириться. У нас нет другого выхода, как принять его.

3. Но интересно обратить внимание на такую деталь: обычно в приведенных примерах союз КАК относится к глаголам, а предложений с существительными не так уж много (другого выхода, как вакцинация, у нас нет).

4. А вот почему? Я могу предположить следующее: в таких предложениях сравнительное значение союза КАК проявляется слишком явно. А дословное прочтение конструкции , когда «выход» сравнивается с другим существительным, представляется пользователю некорректным и напрягает слух.

5. Поэтому я назвала бы это предложение стилистически неточным, разговорным. Соответственно, по возможности в таких случаях лучше использовать глаголы, а не существительные, например:

Уже четвертая волна прошла и еще неизвестно, сколько волн будет впереди и, конечно, другого выхода, как вакцинировать большую часть населения, у нас нет.