Общая информация
У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.
Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.
В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.
Основные понятия
Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».
Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.
Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x 2 — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x 2 — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b 2 — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).
Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.
Типы функций
Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:
- (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
- [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
- (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
- [-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
- [0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
- [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).
Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.
Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.
Важные свойства
Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:
- В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
- Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
- При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.
Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.
Методы нахождения
Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:
- Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
- Оценочный.
- Учет непрерывности и монотонности.
- Взятие производной.
- Использование max и min функции.
Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.
Для каждого элемента
Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:
- Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
- Разбить выражение на элементы.
- Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
- Произвести замену.
- Анализ.
- Результат решения.
Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:
- Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
- Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
- Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
- Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность <= t <=4).
- Анализ: поскольку E (f) на луче (-бесконечность;4) совпадает с интервалом (0;4), то функция непрерывна и убывает. Необходимо отметить, что интервал (0;4) получен при пересечении луча (-бесконечность;4) с областью определения функции логарифмического типа (0;+бесконечность). На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. Если t>0, то она стремится к бесконечности. Когда t = 4, ее значение равно -2.
- Результат решения — искомый интервал: E (f) = (-2;+бесконечность).
Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.
Оценочный способ
Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:
- Доказать непрерывность.
- Составить неравенство или неравенства для нескольких функций.
- Узнать оценку.
- Записать интервал.
Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:
- Функция вида y = cos (x) является непрерывной.
- Неравенства: -1<=cos (7x)?1 и -5<=5 * cos (x)?5.
- Оценка получает при объединении неравенств: -6<=y?6. При значениях независимой переменной x = Pi и x = 0 функция принимает значения -6 и 6 соответственно (нижняя и верхняя границы). Функция состоит из двух элементов, следовательно, она является линейной и непрерывной.
- Интервал: E (y) = [-6;6].
Метод позволяет найти решение без использования дополнительных вычислений. Но при его использовании легко ошибиться.
Учет непрерывности и монотонности
Одним из простых способов решения, который специалисты рекомендуют новичкам, является метод учета непрерывности и монотонности. Для этого существует специальный алгоритм:
- Упростить выражение.
- Выполнить замену при необходимости.
- Найти вершину графика.
- Определить промежуток.
- Вычислить максимальное и минимальное значения.
- Записать E (f).
Например, существует некоторая функция y = cos (2x) + 2cos (x). Необходимо найти ее E. Искать следует по алгоритму решения методом учета монотонности и непрерывности:
- Упростить (по формуле двойного угла): y = 2 * (cos (x))^2 + 2cosx — 1.
- Замена t = cos (x): y = 2 * t 2 + 2 * t — 1 = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
- Показательная функция является параболой. Она монотонна, непрерывна и имеет вершину по оси ОУ -1,5. Промежуток, который рассматривается — [-1;1], поскольку E (cos (x)) = [-1;1].
- Минимальное значение равно -1,5, так как ветви направлены вверх. Максимальное на промежутке [-1;1] — MAX (y) = 3. Для его нахождения нужно построить график параболы y = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
- Искомый интервал — E (cos (2x) + 2cos (x)) = [-1,5;3].
Чтобы построить график параболы, нужно найти ее вершину и точки пересечения с осью абсцисс. Последние находятся при решении уравнения 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5 = 0. Однако существует способ намного проще. Для этого следует привести выражение к виду 2 * (t + 0,5)^2 = 1,5. Отсюда t = — 0,5. Следовательно, координаты вершины — (-0,5;-1,5). Корни уравнения при его решении: t1 = -[(1 + (3)^0.5)] / 2 и t2 = -[(1 — (3)^0.5)] / 2.
Производная, min и max
Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:
- Найти производную.
- Анализ.
- Указать MAX (f) и MIN (f).
- Запись интервала в формате (MIN (f);MAX (f)).
Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:
- Производная: y’ = [arcsin (x)]’ = 1 / [(1 — x 2 )^0.5].
- Функция возрастает на интервале (-1;1).
- Минимум и максимум на отрезке (-1;1): MIN (arcsin (-1)) = -Pi/2 MAX (arcsin (1)) = Pi/2.
- Интервал: E (arcsin (x)) = [-Pi/2;Pi/2].
В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:
- Производная: y’ = [sin (x)]’ = cos (x).
- Период функции равен 2Pi. Следует взять отрезок [0;2Pi]. Для нахождения множества значений на нем нужно приравнять производную функции к 0, т. е. cos (x) = 0. Найти х = Pi/2 + Pi * к, где «к» принадлежит Z. Точки экстремума равны Pi/2 и 3Pi/2.
- Минимум и максимум на отрезке [0;2Pi): MIN ([sin (3Pi/2)]) = -1 и MAX ([sin (3Pi/2)]) = 1.
- E (sin (x)) = [-1;1].
Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.
Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции.[1]
-
1
Определите тип данной вам функции. Областью значений функции являются все допустимые значения «х» (откладываются по горизонтальной оси), которым соответствуют допустимые значения «у». Функция может быть квадратичной или содержать дроби или корни. Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции.
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
f(x) = 2x2 + 3x + 4 - Функция, содержащая дробь: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x — 1) (и так далее).
- Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
-
2
Выберите соответствующую запись для области определения функции. Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции; если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ «U».[3]
- Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
-
3
Постройте график квадратичной функции. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Так как парабола возрастает или убывает на всей оси Х, то областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Другими словами, областью определения такой функции является множество R (R обозначает все действительные числа).[4]
- Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
- Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
- Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.
-
4
Если функция содержит дробь, приравняйте ее знаменатель к нулю. Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю, вы найдете значения «х», которые не входят в область определения функции.[5]
- Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1)/(x — 1).
- Здесь знаменатель: (х — 1).
- Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х — 1 = 0; х = 1.
- Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
- Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.
-
5
Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение «х», при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.[6]
- Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
- Подкоренное выражение: (х + 3).
- Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
- Найдите «х»: х ≥ -3.
- Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).
Реклама
-
1
Убедитесь, что вам дана квадратичная функция. Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Существуют различные методы нахождения области значений квадратичной функции.[7]
- Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.
-
2
Найдите координату «х» вершины графика функции. В случае квадратичной функции найдите координату «х» вершины параболы. Помните, что квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c. Для вычисления координаты «х» воспользуйтесь следующим уравнением: х = -b/2a. Это уравнение является производной от основной квадратичной функции и описывает касательную, угловой коэффициент которой равен нулю (касательная к вершине параболы параллельна оси Х).[8]
- Например, найдите область значений функции 3x2 + 6x -2.
- Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1
-
3
Найдите координату «у» вершины графика функции. Для этого в функцию подставьте найденную координату «х». Искомая координата «у» представляет собой предельное значение области значений функции.
- Вычислите координату «у»: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5
- Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).
-
4
Определите направление параболы, подставив в функцию по крайней мере одно значение «х». Выберите любое другое значение «х» и подставьте его в функцию, чтобы вычислить соответствующее значение «у». Если найденное значение «у» больше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вверх. Если же найденное значение «у» меньше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вниз.
- Подставьте в функцию х = -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
- Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
- Область значений этой функции: [-5, ∞)
-
5
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[9]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
-
1
Постройте график функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив ее график. Областью значений многих функций с корнями является (-∞,0] или [0,+∞), так как вершина параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси Х. В этом случае область значений включает все положительные значения «у», если парабола возрастает, или все отрицательные значения «у», если парабола убывает. Функции с дробями имеют асимптоты, которые определяют область значений.[10]
- Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
- Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
- Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.
-
2
Найдите минимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет минимальное значение. Если наглядного минимума нет, то он не существует, а график функции уходит в -∞.
- Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).
-
3
Определите максимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, то он не существует, а график функции уходит в +∞.
-
4
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[11]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 352 576 раз.
Была ли эта статья полезной?
Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$.
Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.
Определение 2
Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.
Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.
Как определить область значения функции
Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.
Определение множества значений функции графическим методом
Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.
Пример 1
Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом
На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.
Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.
«Множество значений функции» 👇
Метод нахождения области значения функции через производную
Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.
Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.
Пример 2
Дана функция $f(x)=sqrt{16-x^2}$. Найдите область её значений.
Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.
При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.
Теперь найдём производную функции:
$(sqrt{16-x^2})’=-frac{x}{sqrt{16-x^2}}$
Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.
Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.
Метод поиска минимума и максимума
Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.
Пример 3
Определите область значений функции:
$y=6-4sinx$
Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=frac{π}{2}$. Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$.
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Определение 3
Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.
Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание материала
- Что такое функция в алгебре
- Видео
- Область определения показательной функции
- Области определения основных элементарных функций
- Как найти область значений функции по уравнению
- Методы нахождения
- Перебор значений
- Графический метод
- Учет непрерывности и монотонности
- Производная, min и max
- Дробная функция
- Разница между областью значения и областью определения функции
Что такое функция в алгебре
Определение
Функция в алгебре — некое математическое выражение y=f(x), где каждому значению переменной x соответствует одно значение переменной y.
Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.
Определние
Множество значений функции y=f(x) — совокупность значений переменной y, которые она принимает при переборе всех значений переменной x на заданном отрезке X.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Областью значений функции y=f(x) называется такое множество значений, которые функция y принимает при переборе всех значений аргумента x из области определения. Область значений обозначается как E(f).
Определение
Область допустимых значений (область определения) функции — такое множество всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается.
Область значений функции вместе с областью ее определения формирует границы для отображения данной функции в виде графика.
Видео
Область определения показательной функции
Показательная функция записывается как: y=kx
где значение x — показатель степени;
k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.
Область определения показательной функции — это множество значений R.
Основные примеры показательных функций:
Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = xy и другие.
А области их определения изучаем, как свойства.
Как найти область значений функции по уравнению
Нахождение области значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.
Рассмотрим два случая:
- Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором заданном отрезке.
- Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором интервале. Сюда же отнесем случаи, когда функция не существует в какой-либо точке. Например, точка нуля знаменателя, в которой функция не существует, а область определения терпит разрыв.
Алгоритм поиска области значений для первого случая:
- Находим производную функции.
- Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки.
- Отмечаем корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определяем знаки производной на каждом получившемся промежутке.
- Находим минимумы и максимумы функции. Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум.
- Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычисляем через пределы по формулам: limx→x1—f(x) и limx→x1+f(x).
- Записываем область значений функции.
Для второго случая:
- Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом промежутке.
- Определяем значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в граничных точках, а также в точках разрыва или точках, в которых производная не существует, вычисляем пределы функции аналогично указанным в пункте 5 для первого случая.
- Определяем и записываем область значений.
Методы нахождения
Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.
Перебор значений
Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел (xin(a;;b)). В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.
Графический метод
Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику.
Примечание
Если по условию задачи необходимо найти область значений функции на определенном промежутке значений переменной x, то на графике максимальные и минимальные точки становятся очевидными. Это могут быть как общие точки экстремума, так и локальные максимальные и минимальные значения.
Учет непрерывности и монотонности
Данный метод вытекает из предыдущего и позволяет делать некоторые прогнозы об области значений функции исходя из ее свойств. Если на графике видно, что функция не прерывается и монотонно убывает или возрастает на определенном промежутке, можно предположить, что эта тенденция сохранится и дальше.
Например, график квадратичной функции f(x)=x^2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем (xinlbrack-4;;4rbrack):
Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения
На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке (lbrack-4;;0rbrack) и монотонно возрастает на промежутке( lbrack0;;4rbrack). Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:
(mathrm E(mathrm f)=lbrack0;;+infty))
Производная, min и max
Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.
Определение
Согласно теореме Ферма, в точках локального экстремума производная исследуемой функции равняется нулю.
Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными. Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:
- если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
- если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
- если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.
Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:
Если (f»(x_1)>0), то (x_1) — точка минимума.
Если (f»(x_1)<0), то (x_1) — точка максимума.
Дробная функция
Определение:рациональной $f(x)=dfrac{a_nx^n+cdots+a_1x+a_0}{b_nx^n+cdots+b_1x+b_0}=dfrac{P(x)}{Q(x)}$ $D_f=mathbb{R} — lbrace x| Q(x)=0 rbrace$ Пример:Решение: $x^2-1=0 rightarrow x=pm 1$ $D_f=mathbb{R}- lbrace pm 1 rbrace$ $y(x^2-1)=x^2+1 rightarrow yx^2-x^2=y+1 rightarrow x^2=dfrac{y+1}{y-1} \ rightarrow x= pm sqrt{dfrac{y+1}{y-1}} rightarrow dfrac{y+1}{y-1} geq 0 \ rightarrow y leq -1 ,, or ,, y > 1 rightarrow R_f=(-infty,-1] cup (1,+infty).$ 
Пример:Решение: $x^2-2x+1=0 rightarrow (x-1)^2=0 rightarrow x=1 rightarrow D_f=mathbb{R}-lbrace 1 rbrace$ $y=dfrac{x^2+3x-4}{(x-1)^2}=dfrac{x+4}{x-1} rightarrow xy-y=x+4 rightarrow x=dfrac{y+4}{y-1} rightarrow R_f=mathbb{R}- lbrace 1 rbrace$ 
Пример:Решение: $x(x+1)(x^2-4)=0 rightarrow x=0 ,,,,, x=-1 ,,,,, x= pm 2 rightarrow D_f=mathbb{R}-lbrace 0,-1 , pm 2 rbrace$ $f(x)=dfrac{1}{x-2}$ $f(0)=-dfrac{1}{2} ,,,,, f(-1)=-dfrac{1}{3} ,,,,, f(-2)=-dfrac{1}{4}$ $y=dfrac{1}{x-2} rightarrow x=dfrac{1}{y}+2$ $R_f=mathbb{R}-lbrace -dfrac{1}{2},-dfrac{1}{3},-dfrac{1}{4},0 rbrace$ 
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Определение 3
Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.
Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений. В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Теги
subjects:mathematics:множество_значений_функции
Содержание
Математика ( Справочник )
-
-
Множество значений функции
-
Нахождение множества значений функции
Обозначения
-
D(f) — те значения, которые может принимать аргумент, т.е. область определения функции.
-
E(f) — те значения, которые может принимать функция, т.е. множество значений функции.
Способы нахождения областей значений функций.
-
последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
-
метод оценок/границ;
-
использование свойств непрерывности и монотонности функции;
-
использование производной;
-
использование наибольшего и наименьшего значений функции;
-
графический метод;
-
метод введения параметра;
-
метод обратной функции.
Рассмотрим некоторые из них.
Используя производную
Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).
В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:
-
найти производную данной функции f ‘(x);
-
найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;
-
вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;
-
среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;
-
Множество значений функции заключить между этими значениями.
Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.
Метод границ/оценок
Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства — определяют границы.
Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.
Свойства непрерывной функции
Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.
Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции
Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция
Области значений основных элементарных функций
| Функция | Множество значений |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^{2n}$ | E(y) = [0;+∞) |
| $y = x^{2n +1}$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = k/x$ | E(y) = (-∞;0)u(0;+∞) |
| $y = x^{frac{1}{2n}}$ | E(y) = [0;+∞) |
| $y = x^{frac{1}{2n+1}}$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = a^{x}$ | E(y) = (0;+∞) |
| $y = log_{a}{x}$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = sin{x}$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = cos{x}$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = {rm tg}, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = {rm ctg}, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = arcsin{x}$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = arccos{x}$ | E(y) = [0; π] |
| $y = {rm arctg}, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = {rm arcctg}, x$ | E(y) = (0; π) |
Примеры
Найдите множество значений функции:
Используя производную
НЕ используя производную
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
$f(x)=sin^{2}{x}+cos{x}-frac{1}{2}$
Используя метод границ/оценок
$y=5-4sin{x}$
$y=cos{7x}+5cos{x}$
$f(x)=1+2sin^{2}{x}$
$$
\ -1leqsin{x}leq 1
\ 0leqsin^{2}{x}leq 1
\ 0leq2sin^{2}{x}leq 2
\ 1leq1+2sin^{2}{x}leq 3
$$
Ответ: E(f) = [1; 3].
$f(x)=3-2^{3+{rm tg}^{2}, x}$
$$
\ -infty < {rm tg}, x < +infty
\ 0 leq {rm tg}^{2}, x < +infty
\ 3 leq 3+{rm tg}^{2}, x < +infty
\ 2^{3} leq 2^{3+{rm tg}^{2}, x} < +infty
\ -infty < -2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -8
\ -infty < 3-2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -5
$$
Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$f(x)=2+sqrt{16-lg^{2}{x}}$
$$
\ -infty < lg{x} < +infty
\ 0 leq lg^{2}{x} < +infty
\ -infty < -lg^{2}{x} leq 0
\ -infty < 16-lg^{2}{x} leq 16
\ 0 leq sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 4
\ 2 leq 2+sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 6
$$
Ответ: E(f) = [2; 6].
$f(x)=sqrt{2-x}+sqrt{2+x}$
$y=sin{x}+cos{x}$
Используя непрерывную функцию
Иные
Использованная литература
Статьи:
-
Область значения функций в задачах ЕГЭ, Минюк Ирина Борисовна
-
Советы по нахождению множества значений функции, Беляева И., Федорова С.
-
Нахождение множества значений функции
-
Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев
Рекомендуем
· Последние изменения: 2018/09/19 21:14 —
¶