Область значения функции гиперболы как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$

(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{1}{x}$$

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=frac{1}{x}$$

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Источник

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Источник

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b ), где ( kne 0), ( xne 0) и ( xne а)

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

( Dleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или, что то же самое, ( Dleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right})

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент ( displaystyle k)

( displaystyle k) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента ( displaystyle k) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если ( displaystyle k>0), то ветви гиперболы расположены в ( displaystyle I) и ( displaystyle III) четвертях;

если ( displaystyle k<0), то во ( displaystyle II) и ( displaystyle IV).

Коэффициент ( displaystyle a)

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что ( displaystyle a) – это такое число, которому не может равняться ( displaystyle x).

То есть ( x=a) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент ( b)

Число ( b) отвечает за смещение графика функции вверх на величину ( b), если ( b>0), и смещение вниз, если ( b<0).

Следовательно, ( y=b) – это горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика функции ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b)

Определяем коэффициенты ( displaystyle k), ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
Строим график функции ( displaystyle y=frac{k}{x}) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
График должен быть сдвинут вправо на ( displaystyle a). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Oy) сдвигаем влево на ( displaystyle a).
График должен быть сдвинут вверх на ( displaystyle b). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Ox) сдвигаем вниз на ( displaystyle b).
Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Что такое функция

Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость?

Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную.

Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Ну и на всякий случай немного повторим…

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому значению»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость. Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x}), где ( kne 0).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

Давай определим область определения. Чему может быть равен ( x)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это ( 0), поэтому ( xne 0):

( Dleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right))

или, что то же самое,

( Dleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right})

Такая запись означает, что ( x) может быть любым числом, кроме ( 0).

Знак «( mathbb{R})» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел.
Знаком «( backslash )» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»).
Число ( 0) в фигурных скобках означает просто число ( 0).

Получается, что из всех возможных чисел мы исключаем ( 0)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если ( kne 0), то на что бы мы его не делили, ( 0) не получится:

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

Также возможны некоторые вариации формулы ( y=frac{k}{x}). Например, ( y=frac{k}{x+a}) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.

Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

( Dleft( y right)=left( -infty ;-a right)cup left( -a;+infty right))
( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)).

Давай посмотрим на такую функцию: ( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}).

Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении ( x) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально?

Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=frac{x-5}{left( x-5 right)left( x+5 right)}=frac{1}{x+5},text{ }xne 5).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: ( xne 5).

Почему так? А потому, что выражение ( left( x-5 right)) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение ( x=5) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому ( x) никак не может быть равен ( 5).

Но почему тогда мы также не пишем ( xne -5)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому — зачем лишний раз писать? Да-да, математики — народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Решения

Пример 1

( displaystyle y=1-frac{3}{x+2})

Пример 2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: ( displaystyle {{x}_{1}}=-5), ( displaystyle {{x}_{2}}=1). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=left( x+5 right)left( x-1 right)), следовательно:

( displaystyle y=frac{x+5}{left( x+5 right)left( x-1 right)}=frac{1}{x-1},text{ }xne -5)

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас ( displaystyle 2x), а в знаменателе – просто ( displaystyle x).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на ( displaystyle left( x+2 right)), поэтому в числителе следует вынести ( displaystyle 2) за скобки (чтобы в скобках ( displaystyle x) получился уже без коэффициента):

( displaystyle y=frac{2{x}-3}{x+1}=frac{2left( x-frac{3}{2} right)}{x+1}=2cdot frac{x-1,5}{x+1}=2cdot frac{x+1-1-1,5}{x+1}=…) дальше сам.

Ответ: ( displaystyle y=2-frac{5}{x+1}).

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Составим таблицу.

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

( displaystyle mathbf{x})	( displaystyle -3)	( displaystyle -2)	( displaystyle -1)	( displaystyle -0,5)	( displaystyle 0,5)	( displaystyle 1)	( displaystyle 2)	( displaystyle 3)	( displaystyle 4)
( displaystyle mathbf{y})	( displaystyle -frac{1}{3})	( displaystyle -frac{1}{2})	( displaystyle -1)	( displaystyle -2)	( displaystyle 2)	( displaystyle ;1)	( displaystyle frac{1}{2})	( displaystyle frac{1}{3})	( displaystyle frac{1}{4})

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям ( displaystyle Ox) и ( displaystyle Oy), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как ( displaystyle xne 0), график не может пересекать ось ( displaystyle Oy). Но и ( displaystyle yne 0), так что график никогда не коснется и оси ( displaystyle Ox).

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

( displaystyle y=frac{1}{x};text{ }y=frac{2}{x};text{ }y=frac{4}{x};text{ }y=-frac{1}{x};text{ }y=-frac{3}{x}):

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси ( displaystyle Ox).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, ( displaystyle y=frac{1}{x-1}+2)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная ( displaystyle y=frac{1}{x}), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен ( x)? Правильно, ( xne 1). Значит, график никогда не достигнет прямой ( x=1).

А чему не может быть равен ( y)? Теперь ( yne 2). Значит, теперь график будет стремиться к прямой ( y=2), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые ( x=1) и ( y=2) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Обратная пропорциональность в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

И правда, вспомним формулу скорости: ( displaystyle v=frac{S}{t}), где ( v) – скорость, ( t) – время в пути, ( S) – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: ( displaystyle t=frac{S}{v})

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью ( 40) км/ч, и доезжает за ( 1) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью ( 60) км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

( displaystyle 60) км/ч – ( 60) мин.

( displaystyle 60) км/ч – ( x) мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

( displaystyle frac{40}{x}=frac{60}{60}text{ }Rightarrow text{ }x=40)(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

( displaystyle tleft( v right)=frac{S}{v}).

Известно, что ( tleft( 40 right)=60), тогда:

( frac{S}{40}=60text{ }Rightarrow text{ }S=40cdot 60=2400).

Нужно найти ( tleft( 60 right)):

( displaystyle tleft( 60 right)=frac{2400}{60}=40) (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.

Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Принципы построения графика обратной пропорциональности (гиперболы)

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – ( displaystyle y=frac{k}{x}).

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу ( displaystyle y=frac{3}{x}).

Составим таблицу из ( 4) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

( x)	( frac{1}{2})	( displaystyle 1)	( displaystyle 3)	( displaystyle 6)
( y)	( displaystyle 6)	( displaystyle 3)	( displaystyle 1)	( frac{1}{2})

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы

Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь?

Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы.

Вот:

Еще один полезный факт.

Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны ( sqrt{k}) для правой ветви гиперболы, и ( -sqrt{k}) для левой.

Для функций, у которых ( k) – точный квадрат (например, ( 1), ( 4) или ( displaystyle frac{1}{4})), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить.

В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции ( displaystyle y=frac{4}{x})

Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви.

Точка симметрии: ( displaystyle x=y=2). Выберем еще одну точку, например, ( displaystyle x=1), ( displaystyle y=4). У третьей точки координаты будут наоборот: ( displaystyle x=4), ( displaystyle y=1).

Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если ( displaystyle k<0)?

Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным ( displaystyle k), то нужно просто отразить его относительно оси ( displaystyle Ox)

То есть правая ветвь теперь будет ниже оси ( displaystyle Ox) (в ( displaystyle IV) четверти), а левая – выше (в ( displaystyle III) четверти).

Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили в один алгоритм:

Источник

Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.

Что же такое область значений функции? Это та «часть» оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие функции. То есть можно сказать, что если область значений найдена, то все точки функции находятся в ней, не выше и не ниже. Это почти тоже самое, что и область определения, только теперь это «область определения по оси ординат». Здесь никаких особых ограничений нет, поэтому, чтобы найти область значений, нужно иметь представление об элементарных функциях — например, как выглядят парабола или гипербола, как определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз и т.п. Все это рассказано и показано здесь.

Ну, поехали!

Примеры.

1. Найдите область значений функции

Решение: функция – квадратичная, представляет собой параболу с положительным старшим коэффициентом, ветви направлены вверх. Понятно тогда, что весь график располагается выше координаты своей вершины (вершина — самая низшая точка). Ордината вершины: $y_0=-D/{4a}=-100/4=25$ , тогда .

2. Найдите область значений функции $y=sqrt{x^2+4x-21}$

Решение: область определения функции D(f)= ( ] union [).

В точках (-7) и (3) двучлен обращается в ноль. Поскольку результат извлечения корня — величина положительная, то вся функция располагается выше оси абсцисс, и ее область значений E(f)= [)

3. Найти область значений функции $y=-1/{x^4}$

Область определения – вся числовая ось, кроме ноля. Можем подставить любое число из области определения, при этом функция всегда отрицательна.

Из графика также видно, что

4. Найти область значений функции: $y=1/{3^{sqrt{2x-x^2}}}$

Решение. Область определения:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-x^2>=0} {3^{sqrt{2x-x^2}}<>0}}}{ }$

0<=x<=2
На концах отрезка функция принимает значение 1, под корнем имеем квадратный двучлен, наибольшее значение он принимает в вершине, при x=1 , значит, функция будет принимать в этой точке наименьшее значение.

Подставив 1, получаем y=1/3

Ответ:

5. Найдите область значений функции: $y=x^2+5delim{|}{x}{|}-6$

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы , область значений которой легко найти: ветви направлены вверх, поэтому низшая точка – вершина параболы. Однако заметим также, что если аргумент функции под знаком модуля, то график такой функции может быть построен с помощью отражения части графика, лежащей в правой вертикальной полуплоскости, в левую полуплоскость(см. рисунок). Тогда от нашей параболы останется только часть, лежащая правее оси ординат, и именно она будет отражена относительно оси y, и тогда низшей точкой окажется та, в которой график пересечет ось ординат, а это — значение свободного члена (коэффициента с), который у нас равен (-6).

Область значений нашей функции E(f)= [)

6. Найдите область значений функции: $y=delim{|}{x^2+5x-6}{|}$

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы . Так как все выражение находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить такой график, нужно отразить всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх, поэтому E(f)= [).

7. Найдите область значений функции:

Данная функция получена преобразованием обычной гиперболы. Данная функция не существует при 4x+1=0 , или . При второе слагаемое обращается в ноль, и функция стремится к значению y=2 , причем можно заметить, что при положительных больших значениях х данная функция приближается к 2 снизу, а при отрицательных — сверху.

Ответ:

8. Найти область значений функции: $y={0,7}^{sqrt{x+7}}$

Решение. Область определения:

x+7>=0

x>=-7

При x=-7 функция принимает наибольшее значение y=1 ,

При x, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю. Но мы запишем область значений от меньшего к большему:

Ответ: E(f)= ( 0;1 ]

Источник

Определение

Графиком функции у=kx, где k≠0 число, а х – переменная, является кривая, которую называют гиперболой.

Гипербола имеет две ветви и может располагаться в 1 и 3 координатных четвертях, либо во 2 и 4. Это зависит от знака числа k. Рассмотрим данную кривую на рисунке, где показано ее расположение в зависимости от знака k.

Свойства гиперболы (у=kx)

График функции симметричен относительно начала координат (0;0). Поэтому функцию еще называют – обратная пропорциональность.

Область определения – любое число, кроме нуля.
Область значения – любое число, кроме нуля.
Функция не имеет наибольших или наименьших значений.

Построение графика функции

Для построения графика функции необходимо подбирать несколько положительных и несколько отрицательных значений переменной х, затем подставлять их в заданную функцию для вычисления значений у. После этого по найденным координатам построить точки и соединить их плавной линией. Рассмотрим построение графиков на примерах.

Построить график функции у=10x.

Для этого построим две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число 10 на них делилось

х	1	2	4	5	10
у

х	–1	–2	–4	–5	–10
у

Теперь делим на эти числа 10, получим значения у:

х	1	2	4	5	10
у	10	5	2,5	2	1

х	–1	–2	–4	–5	–10
у	–10	–5	–2,5	–2	–1

Выполняем построение точек, они будут располагаться в первой и третьей координатных четвертях, так как число k положительное.

Теперь для построения гиперболы соединим точки плавной линией.

Построить график функции у=−5x.

Для этого построим также две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число минус 5 на них делилось. Выполняем деление и получаем значения у. При делении обращаем внимание на знаки, чтобы не допускать ошибок.

х	1	2	5	10
у	–5	–2,5	–1	–0,5

х	–1	–2	–5	–10
у	5	2,5	1	0,5

Теперь отмечаем точки во 2 и 4 координатных четвертях (число k отрицательное) и соединяем их для получения ветвей гиперболы.

Задание OM1104o

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

5oge 1) y = x²

2) y = x/2

3) y = 2/x

Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно:

y = x² – парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1

x/2 – прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0, а = 1/2

y = 2/x – гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая – В.

Ответ:

А 1

Б 3

В 2

Ответ: 132

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1102o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = -3/x

Б) y = 3/x

В) y = 1/(3x)

Графики:

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Общие правила:

если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости

и наоборот:

чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 11.7k

Источник