Обратная функция это как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Одной из важнейших составляющих алгебры является понятие обратной функции. Обратная функции обозначается как f^-1(х) и графически представляется как отражение графика исходной функции относительно прямой у=х. В этой статье мы расскажем вам, как найти обратную функцию.

Шаги

1
Убедитесь, что данная функция биективна. Только биективные функции имеют обратные функции.
- Функция биективна, если она проходит тест вертикальной и горизонтальной прямыми. Проведите вертикальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Потом проведите горизонтальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Если каждая прямая пересекает график функции только один раз, то функция биективна.
  - Если график не проходит тест вертикальной прямой, то он не задан функцией.
- Для алгебраического определения биективности функции подставьте f(а) и f(b) в данную функцию и определите, выполняется ли равенство a=b. В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = 3x+5.
  - f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
  - 3a + 5 = 3b + 5
  - 3a = 3b
  - a = b
- Таким образом, данная функция биективна.
2
В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) — другое написание «у».
- «f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную.
- Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
3
Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у».
- Возможно, чтобы найти значение выражения и упростить его, вам понадобятся алгебраические приемы вроде умножения дробей или разложения на множители.
- Решение нашего примера:
  - х = (4y + 3)/(2y + 5)
  - х(2y + 5) = 4y + 3 — избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5).
  - 2xy + 5x = 4y + 3 — раскройте скобки.
  - 2xy — 4y = 3 — 5x — перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения.
  - у (2x — 4) = 3 — 5x — вынесите «у» за скобку.
  - у = (3 — 5x)/(2x — 4) — разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.
4
Замените «у» на f^-1(х). Это есть обратная функция для исходной функции.
- Окончательный ответ: f^-1(x) = (3 — 5x)/(2x — 4). Это обратная функция для f(х) = (4x + 3)/(2x + 5) .
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 213 303 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой (y = f(x)), следует выразить (x) через (y), а в полученной формуле (x = g(y)) заменить (x) на (y), а (y) на (x).

Пример:

найти функцию, обратную для функции

y=x2,x∈0;+∞)

Функция

y=x2

возрастает на промежутке

0;+∞)

. Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения (x) принадлежат промежутку

0;+∞)

, то

x=y

. Заменим (x) на (y), а (y) на (x), получим обратную функцию

y=x,x∈0;+∞)

. Обратная функция определена на промежутке

0;+∞)

и её график симметричен графику функции

y=x2,x∈0;+∞)

относительно прямой (y=x).

Источник

Download Article

A mathematical function (usually denoted as f(x)) can be thought of as a formula that will give you a value for y if you specify a value for x. The inverse of a function f(x) (which is written as f^-1(x))is essentially the reverse: put in your y value, and you’ll get your initial x value back.^[1] Finding the inverse of a function may sound like a complex process, but for simple equations, all that’s required is knowledge of basic algebraic operations. Read on for step-by-step instructions and an illustrative example.

1
Write your function, replacing f(x) with y if necessary. Your formula should have y on one side of the equals sign by itself with the x terms on the other side of the equals sign. If you have an equation that’s already written in terms of y and x (for instance, 2 + y = 3x²), all you need to do is solve for y by isolating it on one side of the equals sign.^[2]
- Example: If we have a function f(x) = 5x — 2, we would rewrite it as y = 5x — 2 simply by replacing the «f(x)» with a y.
- Note: f(x) is the standard function notation, but if you’re dealing with multiple functions, each one gets a different letter to make telling them apart easier. For example, g(x) and h(x) are each common identifiers for functions.
2
Solve for x. In other words, perform the necessary mathematical operations to isolate x by itself on one side of the equal sign. Basic algebraic principles will guide you here: if x has a numeric coefficient, divide both sides of the equation by this number; if a certain number is added to the x term(s) on one side of the equals sign, subtract this number from both sides, and so on.^[3]
- Remember, you can perform any operation on one side of the equation as long as you perform the operation on every term on both sides of the equal sign.
- Example: To continue our example, first, we’d add 2 to both sides of the equation. This gives us y + 2 = 5x. We’d then divide both sides of the equation by 5, yielding (y + 2)/5 = x. Finally, to make it easier to read, we’ll rewrite the equation with «x» on the left side: x = (y + 2)/5.
Advertisement
3
Switch the variables. Replace x with y and vice versa. The resulting equation is the inverse of the original function. In other words, if we substitute a value for x into our original equation and get an answer, when we substitute that answer into the inverse equation (again for x), we’ll get our original value back!^[4]
- Example: After switching x and y, we’d have y = (x + 2)/5
4
Replace y with «f^-1(x).» Inverse functions are usually written as f^-1(x) = (x terms) . Note that in this case, the -1 exponent doesn’t mean we should perform an exponent operation on our function. It’s just a way of indicating that this function is the inverse of our original.^[5]
- Since taking x to the -1st power gives the fraction 1/x, you can also think of f^-1(x) as a way of writing «1/f(x),» which also signifies the inverse of f(x).
5
Check your work. Try substituting a constant into the original function for x. If you found the correct inverse, you should be able to plug the result into the inverse function and get your original x-value as the result.^[6]
- Example: Let’s substitute 4 for x in our original equation. This gives us f(x) = 5(4) — 2, or f(x) = 18.
- Next, let’s substitute our answer, 18, into our inverse function for x. If we do this, we get y = (18 + 2)/5, which simplifies to y = 20/5, which further simplifies to y = 4. 4 is our original x-value, so we know we’ve calculated the correct inverse function.

Add New Question

Question

Where do I use inverse functions?

For one thing, any time you solve an equation. To solve x+4 = 7, you apply the inverse function of f(x) = x+4, that is g(x) = x-4, to both sides (x+4)-4 = 7-4 . To solve 2^x = 8, the inverse function of 2^x is log2(x), so you apply log base 2 to both sides and get log2(2^x)=log2(8) = 3. To solve x^2 = 16, you want to apply the inverse of f(x)=x^2 to both sides, but since f(x)=x^2 isn’t invertible, you have to split it into two cases. If x is positive, g(x) = sqrt(x) is the inverse of f, but if x is negative, g(x) = -sqrt(x) is the inverse. So the solutions are x = +4 and -4.
Question

What inverse operations do I use to solve equations?

Danoyachtcapt

Top Answerer

The inverse of any number is that number divided into 1, as in 1/N.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Note that the inverse of a function is usually, but not always, a function itself.^[7]
You can freely substitute back and forth for f(x) = y and f^(-1)(x) = y when you’re performing algebraic operations on your functions. But keeping the original function and the inverse function straight can get confusing, so if you’re not actively working with either function, try to stick to the f(x) or f^(-1)(x) notation, which helps you tell them apart.

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 154,134 times.

Did this article help you?

Источник

Понятие обратной функции и ее определение в алгебре

Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет называться непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.

Обратная функция – это что такое? Дадим определение взаимно обратимой функции (что такое обратимая функция — определение).

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений. Также понятие особенностей обратных функций помогают в решении операций по извлечению n-ой степени (она обратна возведению в степень).

На самом деле это не является чем-то сложным. Онлайн, как и в нашем материале, вы можете найти много примеров обратной функции, которые помогут в этом убедиться.

Важно знать, что любая функция y = y (x) – это определенное правило, которое определяет соответствие между двумя значениями: x и y. К примеру, функция y = x² ставит соответственно каждому действительному числу его в квадрат. Можно сделать определенную таблицу, в которой будут располагаться значения этой функции для целых аргументов.

x	-2	-1	0	1	2
y = x²	4	1	0	1	4

Как найти функцию обратную данной

Как найти обратную функцию?

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным. Вот несколько примеров обратной функции.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?

Решение

Область определений и область значений линейной функции, данной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив x через y.

Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x — функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

y=13x-23

Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.

Обе взаимообратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

На графике мы находим симметричность обоих графиков относительно y=x (они отображаются симметрично). Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Что это позволило нам доказать? Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем онлайн-пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +∞. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.

В итоге этого примера у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y=log2x.

Графически обе функции будут выглядеть или иметь следующее отображение:

Также взаимно обратные функции можно рассматривать на примере теорем.

Предположим, мы имеем определенную, с возрастающей или убывающей монотонностью, а также непрерывную в определенном промежутке x функцию y = f(x). Значит, в промежутке значений y этой функции существует и обратная функция. Она также монотонно убывает или возрастает. Также ее можно определить как непрерывную (в промежутке y).

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства обратимых функций y=f(x) и x=g(y). Какими же свойствами обладают взаимообратные функции?

Определение 1

Первое (исходное) свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
Второе свойство вытекает из первоначального (первого) и означает, что область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
Графики обратных функций будут симметричными (находиться в симметрии) относительно y=x.
Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать, так как это не одно и тоже даже исходя из названий. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифмов не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте характеристику, что это верно только при положительном y.

А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, arcsinsin7π3≠7π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись

arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формуле привидения=arcsinsinπ3=π3

А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Замена букв будет давать соответственно y=xa и x=y1a.

Сделаем график. На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a, которое будет положительным числом, не равным 1.

Узнаем, какими будут графики для функций с a>1 и a<1. Они будут выглядеть так:

Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

Если построить график главной ветви косинуса и арккосинуса, то он будет выглядеть так:

Если строить график главной ветви арктангенса и тангенса, то он будет таким:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

В случае построения обратных ветвей, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Источник

Функция, обратная данной
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
Свойства взаимно обратных функций
Примеры

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2

Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.

Функцию $f: X xrightarrow{f} Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow{g} g X$ также является фунцией.

Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^{-1}$ называют обратной функцией к f.

Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g — обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow{f} Y$ и $Y xrightarrow{g} X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Например:

1) Пусть исходная функция $y = frac{x}{2}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac{y}{2}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac{-x+3}{2}$ — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = sqrt{x+1}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt{y+1}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt{frac{x-1}{2}}$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f — нечётная, то и g — нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Например:

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

а) y = 5x-4

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = frac{x+4}{5}$ — искомая обратная функция

б) y = -3x+2

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = frac{-x+2}{3}$ — искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Получаем: $y = frac{x-1}{4}$

Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac{x-1}{4} le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = frac{x-1}{4}$, где -3 $le x le 21$

г) $y=- frac{1}{2} x+7$, где $2 le x le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-frac{1}{2} y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$

$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ — искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

а) $y=x^2,x le 0$ Обратная функция $x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt{x}$ При этом $y le 0$ Поэтому выбираем $y = — sqrt{x}$ – искомая обратная функция
б) y = x-3, $-1 le x le 4$ Обратная функция $x = y-3 Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$ $Rightarrow -4 le x le 1$ y = x+3, $-4 le x le 1$ — искомая обратная функция
в) $y = frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = frac{1}{y+1} Rightarrow y = frac{1}{x} -1$
г) $y = 1+ sqrt{x-3}$ Область определения: $x ge 3$ Область значений: $y ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ sqrt{y-3} Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x ge 1$ Область значений: $y ge 3$

Источник