Общая производительность как найти

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

— введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

— алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

— отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

• Время выполнения всей работы вторым трактористом;
• Общая производительность обоих трактористов;
• Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Текстовые задачи на производительность

Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:

(A = Pt,)

где (A) – работа, (t) – время, (P) – производительность.

Через эту формулу можно выразить производительность и время:

(P = frac{A}{t})

(t = frac{A}{P})

С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.

Пример №1:

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

1. Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

(P = frac{A}{t} = frac{35}{5} = 7 деталей/день)

Ответ: 7.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.

Пример №2:

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

(P_{1} = frac{600}{10} = 60 )

(деталей в день делает первый завод)

1. Также найдем производительность для второго завода:

(P_{2} = frac{600}{15} = 40 )

(деталей в день делает второй завод)

1. Тогда за один день два завода вместе сделают:

(P_{общ} = 60 + 40 = 100 деталей в день)

Это производительность является общей для заводов.

1. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

(t_{общ} = frac{600}{100} = 6 дней)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6.

ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.

Пример №3:

Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.

1. Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:

1. При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:

1. Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:

(t_{1} = frac{110}{x})

(t_{2} = frac{110}{x + 1})

1. Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:

(frac{110}{x + 1} + 1 = frac{110}{x})

1. Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю ((x + 1)x). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

(frac{110x}{(x + 1)x} + frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = frac{110(x + 1)}{x(x + 1)})

(frac{110x}{(x + 1)x} + frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} – frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0)

(frac{110x + x^{2} + x – 110x – 110}{(x + 1)x} = 0)

1. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. (x neq –1) и (x neq 0):

(110x + x^{2} + x – 110x – 110 = 0)

(x^{2} + x – 110 = 0)

1. По т. Виета:

({x_{1} + x_{1} = –1 }{x_{1}x_{1} = –110})

Тогда:

(leftlbrack frac{x_{1} = 10}{x_{2} = –11} right. )

1. Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.

Ответ: 10.

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Задачи на  работу

В задачах на работу речь идёт о какой-то деятельности: трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят, копают и так далее. 

В таких задачах всегда присутствуют одни и те же величины, их три:
— первая величина — это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
— вторая величина — объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
— третья величина  — производительность.  По сути, это  скорость работы. Обозначим  производительность буквой П.

 Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности:  П = О : t.

Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?

5 деталей в час — производительность

7 часов — время работы

Найти объем. 

 5 · 7 = 35. 

Ответ: 35 деталей.

Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Ему нужно сделать 20 деталей. За какое время он выполнит эту работу?

Известны объем и производительность, найти время.

20 : 5 = 4.

Ответ: 4 часа

Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки.  Волк может съесть  24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка — 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке  30  пирожков, а у Красной Шапочки — 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?

Определим производительности Волка и Красной Шапочки. Волк съест 24 пирожка (объём работы) за 4 часа (время). Значит, его производительность: П = О:t = 24:4 = 6 пирожков в час.
Производительность Красной Шапочки: П = О:t = 35:7 = 5 пирожков в час.
Посчитаем сколько времени затратит каждый на свои пирожки.
У Волка 30 пирожков. Значит, затратил  времени: t = О:П= 30:6 = 5 часов.
Красная Шапочка потратила на свои 20 пирожков: t = О:П = 20:5 = 4 часа.
 Красная Шапочка опередила Волка  на один час.
Ответ: Красная Шапочка.

Как определить производительность в следующих задачах:
— труба заполняет бассейн за 3 часа… (объем работы — бассейн — 1 бассейн);
— бригада строителей строит дом за 150 дней…(объем работы — дом — 1 дом);

Пример. Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая — за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?

Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.
Для первой трубы, которая заполняет 1  бассейн за 4 часа: П = О:t = 1:4, т.е. за час первая труба заполнит 1/4 бассейна.
Для второй трубы: П = О:t = 1:6, т.е. вторая труба заполнит за час 1/6 бассейна.
Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час: 1/4 + 1/6 = 5/12 — две трубы за 1 час.
Объём работы 1 бассейн. Совместная производительность 5/12 бассейна в час.
t = О:П = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 (ч.)
Ответ:2,4 часа. 

---

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Одна труба заполняет бассейн за 3 ч, а вторая — за 5 ч. За какое время заполнится бассейн, если будут работать две трубы одновременно? Выберите правильное значение:

1) (4+2):2;       2) 1: (1/4+1/2);       3) 1: (4+2).

Решение:
а) Пусть х — время загрузки состава первым погрузчиком, тогда х+8 — время загрузки состава вторым погрузчиком.
Производительность первого погрузчика — 1/х, второго погрузчика — 1/(х+8). Совместная производительность 1/х+1/(х+8)=(2х+8)/(х(х+8)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+8) /(х(х+8))=х(х+8)/(2х+8).
По условию время равно 4 ч 12 мин = 4,2 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+8)/(2х+8)=4,2,
х(х+8)=4,2(2х+8),

х²+8х-8,4х-33,6=0,
х²-0,4х-33,6=0,
D=(11,6)²

х1=6 (ч) — понадобится первому погрузчику,  х2=(0,4-11,6):2=-5,6 — не подходит по условию задачи.
1) 6+8=14 (ч)  — понадобится второму погрузчику.
Ответ: 6 часов, 14 часов.

---

9. а) Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Через пер­вую трубу бассейн наполняется на 5 ч быстрее, чем через вто­рую. За какое время может быть наполнен бассейн через каждую трубу в отдельности?
    б) Бак наполняется через две трубы за 2 ч. Через первую трубу бак наполняется на 3 ч быстрее, чем через вторую. За какое вре­мя может быть наполнен бак через каждую трубу в отдельности? (№ 6.4.30 [7])

Решение:
а) Пусть первый работал х часов, второй — у часов. Производительность первого 1/х, второго 1/у. При совместной работе их время равно 1: (1/х+1/у) =12.
Если первый и второй делают по половине работы, то их время равно 0,5:(1/х) +0,5:(1/у)=25. Решим систему из двух уравнений:

(50-у)у-12(80-у)-12у=0,

50у-у²-600+12у-12у=0,

у²-50у+600=0

D=(10)²

у1=20 (ч) — работал второй, х1=50-20=30 (ч) — работал первый.
у2=30 (ч) — работал второй, х1=50-30=20 (ч) — работал первый.
Ответ: 20 часов, 30 часов.

---

11. а) Рабочий копал траншею. Когда он проработал 7 ч, к нему присоединился второй рабочий. Вместе они проработали 2 ч. За сколько часов может выкопать траншею каждый рабочий, работая отдельно, если первому нужно на это на 4 ч больше, чем второму?
     б) Один рабочий работал 9 ч, после чего к нему присоединился другой рабочий. После 7 ч совместной работы они выполнили всю работу. За сколько часов мог бы выполнить работу каждый рабочий, работая самостоятельно, если первому нужно для этого на 3 ч больше, чем второму?

      б) Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если открыть первый кран на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бас­сейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а вто­рой — на 15 мин, то заполнится — бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?

10. Вода из трех кранов заполнила резервуар за  12 минут, причем пер­вый кран был открыт  4 минуты, и за это время  было заполнено 40 % резервуара. За сколько минут заполнил бы резервуар каждый кран, если известно, что второй кран за 5 минут наливает столько воды, сколько третий кран за 6 минут?