Объясни как найти пройденный путь

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).

На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела

Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:

$S = upsilon t$.

Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.

Выразим время:

$t = frac{S}{upsilon}$.

Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела

При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.

Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:

$large S = upsilon_{ср} t$.

Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:

$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.

График скорости равномерного движения

Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.

На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.

Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.

Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.

Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.

Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.

$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.

График пути равномерного движения

Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.

Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.

Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,

$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.

Задачи

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.

$t-?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.

Упражнения

Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$

$upsilon — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$

$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Объясни как найти пройденный путь, зная скорость и время движения?, относящийся
к уровню подготовки учащихся 1 — 4 классов, вы открыли нужную страницу.
В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по
интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после
ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или
полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с
помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с
посетителями этой страницы.

Содержание:

Путь и перемещение:

Вы знаете, что любой вид движения совершается по определенной траектории.

Траектория — это линия, которую описывает материальная точка при своем движении в данной системе отсчета. Эта линия может быть и невидима, например, траектория движения рыбы в воде, самолета в небе, пчелы в воздухе и др., которые можно только вообразить. По форме траектории механическое движение делится на прямолинейное и криволинейное.

Движение, траектория которого представляет собой прямую линию относительно данной системы отсчета, называется прямолинейным движением (b), а движение, траектория которого кривая линия, — криволинейным (с).

Длина траектории движения материальной точки, называется пройденным путем. Пройденный путь является положительной скалярной величиной, обозначается буквой

Для полного описания движения материальной точки необходимо определить изменение его положения в пространстве с течением времени, т.е. определить изменение координат материальной точки, или же изменение его радиус-вектора.

Изменение любой физической величины равно разности его конечного и начального значений и обозначается знаком (буква греч. алфавита) перед этой величиной.

Изменение координат материальной точки во время движения

Изменение координат материальной точки во время движения может быть, как положительным, так и отрицательным. Например, предположим, что муравей, двигаясь по показанной на рисунке траектории, попадает из точки М в точку N (d). Так как координата муравья по оси X увеличивается то изменение координаты по этой оси будет положительным: Координата же муравья по оси У уменьшается поэтому изменение его координаты по этой оси будет отрицательным:

Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения

На следующем рисунке представлены радиус-векторы и  начального и конечного положения, материальной точки (муравья) соответственно (е). Вектор соединяющий концы этих радиус-векторов называют перемещением данной материальной точки за промежуток времени Согласно правилу сложения векторов: Из последнего выражения получается, или  где  — перемещение материальной точки.

Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущейся материальной точки с ее конечным положением. Перемещение — векторная величина.

Векторная величина — это величина, определяемая, кроме числового значения (модуля), также и направлением.

К вектору перемещения, как векторной величине, можно применить известные действия над векторами — сложение и вычитание векторов, определение результирующего вектора методом треугольника и параллелограмма.

Единицей измерения перемещения, как и пути, в СИ является метр, однако, перемещение имеет отличающийся физический смысл: перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении изменилось начальное положение материальной точки за данный промежуток времени.

Внимание! Только при прямолинейном движении без изменения направлении, модуль перемещения равен пройденному пути, во всех остальных случаях (при изменении направления прямолинейного движения, криволинейном движении) пройденный путь больше модуля перемещения (е).

Материальная точка прошла расстояние от точки М до точки N по прямой линии. В этом случае пройденный путь равен модулю перемещения:

Материальная точка прошла расстояние от точки М до точки N по прямой линии, а затем по этой же линии вернулась назад в точку В этом случае материальная точка прошла путь, равный а модуль перемещения равен нулю:

Если при движении материальной точки на плоскости известны его начальные координаты и вектор перемещения, то можно определить координаты конечного положения точки. Например, предположим, что материальная точка совершила перемещение  Опуская перпендикуляры на оси ОХ и OY из начала и конца этого вектора, получаем проекции перемещения  и  (h). Как видно из рисунка, эти проекции равны разности начальных и конечных координат материальной точки: 

Одинаковы ли путь и перемещение

Задача:

Велосипедист движется по круговому велотреку радиусом 80 м. Он стартует из точки А. Определите путь и перемещение велосипедиста при первом прохождении точки В (i).

Дано:

Решение:

Пройденный путь  равен длине дуги:

Модуль перемещения же равен диаметру окружности: 

Вычисление:

Что такое путь и перемещение

Автобус отправился из Москвы в 9 часов утра. Можно ли определить, где находился автобус в 11 часов, если известно, что он проделал путь

Конечно, нет. Ясно лишь, что в 11 часов он находился в месте, удаленном от Минска не более чем на 100 км (т. е. внутри окружности, изображенной на рисунке 37). Не исключено, что к 11 часам автобус вернулся в Москву.

Значит, для определения конечного положения тела недостаточно знать его начальное положение и пройденный им путь.

Мы нашли бы местонахождение автобуса в 11 часов, если бы знали траекторию его движения (зеленая линия на рисунке 38). Отсчитав 100 км от начальной точки маршрута вдоль траектории, найдем, что в 11 часов автобус прибыл в Борисов.

А можно поступить иначе. Конечное положение автобуса можно определить, зная его начальное положение и всего одну векторную величину, называемую перемещением.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).

Обозначим перемещение символом На рисунке 38 вектор — это перемещение автобуса из Минска в Мытищи, вектор — из Мытищь в Балашиху, а вектор — из Минска в Борисов.

Теперь, даже не зная траектории, по начальной точке и перемещению мы можем найти конечную точку для каждого из участков движения автобуса и для всего маршрута в целом.

Можно ли сравнивать путь S, пройденный телом, с его перемещением Нельзя, поскольку путь S — скаляр, а перемещение — вектор.

Сравнивать путь S можно с модулем перемещения который является скалярной величиной. Равен ли путь модулю перемещения?

В рассматриваемом примере путь, пройденный автобусом за два часа, Он равен длине траектории движения автобуса от Москвы через Мытищи до Балашихи (см. рис. 38). А модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Минска до Борисова: Путь автобуса больше модуля его перемещения:

Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус все время двигался по прямой, не изменяя направления движения.

Следовательно, путь всегда не меньше модуля перемещения:

Как складывают между собой пути и как — перемещения? Из рисунка 38 находим:

Пройденные пути складывают арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Равен ли при этом модуль сумме модулей Ответьте самостоятельно.

Мы выяснили, что путь и траектория относительны. Покажите на примерах, что перемещение тоже относительно, т. е. зависит от выбора системы отсчета.

При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Построим вектор перемещения куска мела по школьной доске из точки А в точку С (рис. 39). Из рисунка видно, что проекции вектора на координатные оси Ох и Оу равны разности координат конца и начала этого вектора:

Главные выводы:

1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
2. Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).
3. Путь не меньше модуля перемещения тела за то же время.
4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Пример:

Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 40). Размеры площадки 60 х 80 м. Определите модули перемещения конькобежца и пешехода и пути, пройденные ими.

Решение

Из рисунка 40 видно, что перемещения пешехода и конькобежца одинаковы. Модуль перемещения:

Путь конькобежца:

Путь пешехода: 

Ответ:

• Заказать решение задач по физике

Траектория движения

Возьмите лист бумаги и карандаш. Поставьте на листе точки А и В и соедините их кривой линией (рис. 7.1). Эта линия совпадает с траекторией движения кончика карандаша, то есть линией, в каждой точке которой последовательно побывал кончик карандаша во время своего движения.

Траектория движения — это воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка. Обычно мы не видим траектории движения тел, но иногда бывают исключения.

Так, в без­облачную погоду высоко в небе можно увидеть белый след, который во время своего движения оставляет самолет*. По этому следу можно определить траекторию движения самолета. Траектории движения каких тел можно восстановить по следам, изображенным на рис. 7.2? В каких случаях траекторию движения «заготавливают» заранее? Форма траектории может быть разной: прямая, окружность, дуга, ломаная и т. д. В зависимости от формы траектории разли­чают прямолинейное и криволинейное движе­ния тел (рис. 7.3).

Форма траектории движения тела зависит от того, относительно какой системы отсчета рассматривают движение. Приведем пример. У мальчика, едущего в автобусе, упало из рук яблоко (рис. 7.4). Для девочки, сидящей напротив, траектория движения яблока — короткий отрезок прямой. В этом случае система отсчета, относительно которой рассматривается движение яблока, связана с салоном автобуса. Но все время, пока яблоко падало, оно «ехало» вместе с автобусом, поэтому для человека, стоящего на обочине дороги, траектория движения яблока абсолютно другая. Система отсчета в таком случае связана с дорогой.

Чем путь отличается от перемещения

Вернемся к началу (см. рис. 7.1). Чтобы найти путь, который прошел конец карандаша, рисуя кривую линию, необходимо измерить длину этой линии, то есть найти длину траектории (рис. 7.5). Путь — это физическая величина, равная длине траектории. Путь обозначают символом l. Единица пути в СИ — метр: [l]= м. Используют также дольные и кратные единицы пути, например миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км):

Путь, пройденный телом, будет разным относительно разных систем отсчета. Вспомним яблоко в автобусе (см. рис. 7.4): для пассажиров яблоко прошло путь около полуметра, а для человека на обочине дороги — несколько метров. Вернемся к рис. 7.1. Соединив точки А и В отрезком прямой со стрелкой, получим направленный отрезок, который покажет, в каком направлении и на какое расстояние переместился конец карандаша (рис. 7.6).

Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением. Перемещение обозначают символом . Стрелка над символом показывает, что перемещение — это векторная физическая величина*. Чтобы правильно задать перемещение, необходимо указать не только его значение (модуль), но и направление.

Модуль перемещения, то есть расстояние, на которое переместилось тело в определенном направлении, также обозначают символом s, но без стрелки. Единица перемещения в СИ такая же, как и единица пути, — метр: [s]= м. В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела (рис. 7.7, а, б), поэтому путь, пройденный телом, обычно больше модуля перемещения. Путь и модуль перемещения равны только в том случае, когда тело движется вдоль прямой в неизменном направлении (рис. 7.7, в).

Итоги:

Воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел. Путь l — это физическая величина, равная длине траектории. Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела. Единица пути и перемещения в СИ — метр (м).

Физические величины, имеющие значение и направление, называется векторными а имеющие только значение — скалярными.

Формула скорости такова: скорость равна путь деленный на время. Записываем эту формулу

V=ST Нужно выразить S через V и T .

Делаем механически — V и S оставляем на своих местах, T переносим через знак равно с обратным знаком, было деление стало умножение.

Итак TV=S. Путь равен скорость умножить на время.

Но лучше всего запомнить,как вычислять пропорции. Тогда любое преобразование пойдет с легкостью.

Я эту же формулу запишу в немного другом виде. Представлю, что скорость тут делится на 1.

V1=ST

Получилась пропорция — у нее два деления через знак равно, совершенно нет сложения и вычитания. Можно применять правило: произведение средних равно произведению крайних.

Что такое крайние и средние понятно, VT крайние, Sи1 средние. Опять получаем, что путь равен скорость умножить на время.

И из этой же пропорции про время TV=S, T=SV