Определение сложной функции как найти ее производную

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Содержание:

• Что такое сложная функция?
• 
  «Распаковка» сложной функции
• 
  Внутренняя и внешняя функция
• 
  Производная сложной функции. Примеры

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, (cos⁡x). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

(x → 7^x → tg⁡(7^x))

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x ))

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
   — сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
   — сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   — сначала в логарифм по основанию (4), затем в степень (-2). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:

(y=5^{log_2⁡{sin⁡(x^4 )}})

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: (y=tg⁡(log_2⁡x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

(x → log_2⁡x → tg⁡(log_2⁡x ))

Еще пример: (y=cos⁡{(x^3 )}). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos⁡{(x^3 )}). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos⁡{(x·x·x)})), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cos⁡x·cos⁡x·cos⁡x)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin⁡{(2x+5)}). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin⁡{(2x+5)}). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

(x^7+ ctg x) — простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac{x^7}{ctg x}) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:

   (y=cos{⁡(sin⁡x)})

   (y=5^{x^7})

   (y=arctg⁡{11^x})

   (y=log_2⁡(1+x))

Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: (y=tg⁡(log_2⁡x )), функция (log_2⁡x) – внутренняя, а  — внешняя.

А в этом: (y=cos⁡{(x^3+2x+1)}),   (x^3+2x+1) — внутренняя,  а  — внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

Формула эта читается так:

И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция (y=sin⁡(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя  . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      (({sin⁡{x}})’=cos⁡{x}).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos⁡(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).

((x^3 )’=3x^2)

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции (y=(sin⁡x )^3).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sin⁡x → (sin⁡x )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sin⁡x), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sin⁡x), то производная внешней будет (3(sin⁡x)^2). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

(y’=((sin⁡x )^3 )’=3(sin⁡x )^2·(sin⁡x )’=3(sin⁡x )^2·cos⁡x)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).

Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln⁡(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x).            Внешняя: .  
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln⁡(x^2-x)’=) (frac{1}{x^2-x}).
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x) )’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1))

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x))’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1)=)(frac{2x-1}{x^2-x})

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sin⁡{(cos⁡x)}).
Вложенность функций: (x → cos⁡x → sin⁡{(cos⁡x)})
Внутренняя: (cos⁡x)    Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin{⁡(cos⁡x )}’=cos⁡{cos⁡x})
Производная внутренней: ((cos⁡x )’= -sin⁡x)
Имеем: (y’=(sin⁡{(cos⁡x)})’=cos⁡{cos⁡x}·(-sin⁡x )=-cos⁡{cos⁡x} ·sin⁡x)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos⁡{cos⁡x}) на (cos^2⁡x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2⁡x) — это комбинация простых функций (cos^ 2⁡x=cos⁡x·cos⁡x), а (cos⁡{cos⁡x}) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt{x^6} )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt{x^6})
Внутренняя: (x^6)      Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt{x^6}’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда (sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). С учетом этого получаем:

(y’=( sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5=)(frac{1}{2x^3})(·6x^5=)(frac{6x^5}{2x^3})(=3x^2)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда исходная функция приобретает вид: (y=sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: (y’=(sqrt{x^6})’=(x^3 )’=3x^2). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln⁡(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln⁡(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a⁡{b^c}=c·log_a{⁡b}). И тогда функция получается (y=ln⁡(x^3 )=3ln⁡x). Отлично! Берем производную:

(y’=(ln⁡(x^3 ) )’=(3ln⁡x )’=3(ln⁡x )’=3·)(frac{1}{x}=frac{3}{x})

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции (y=3^{sin⁡(x^4+1)}).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin⁡(x^4+1) → 3^{sin⁡(x^4+1)})
Внутренняя: (x^4+1)    Средняя:      Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^{sin⁡(x^4+1)}·ln⁡3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin⁡(x^4+1)’=cos⁡(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

((3^{sin⁡(x^4+1)})’=3^{sin⁡(x^4+1)} ·ln⁡3·cos⁡{(x^4+1)}·4x^3)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=tg⁡(7^x)).

Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg⁡(7^x)).
Внутренняя: (7^x)       Внешняя: (tg⁡(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  (frac{1}{cos^2⁡(7^x)}).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln⁡7).
И перемножаем результаты:

(y’=tg⁡(7^x)’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·ln⁡7)

И «причесываем»:   (y’=(tg⁡(7)^x))’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x )})( ·7^x·ln⁡7=)(frac{ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) и преобразуем нашу функцию к виду:

(y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5).    Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции:   . Получаем:   . Тогда в нашем случае будет: (frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})’=((x^5+2x-5)^{frac{2}{3}} )’=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^{-n}=)(frac{1}{a^n}). Получаем:

(y ‘=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(·)(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2))

А теперь применяем свойство корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) в обратную сторону. То есть, вот так (x^{frac{a}{b}}=sqrt[b]{x^a}). В результате имеем:

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2))

Ну, и перемножаем дроби.

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2)=)(frac{2(5x^4+2)}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})(=)(frac{10x^4+4}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})

ВСЁ!!! А теперь сам.

Найти производные функций:

a. (y=ctg⁡(x^7))
b. (y=e^{x^4+5x^3})
c. (y=sqrt{cos⁡x})
d. (y=log_5⁡{5^x})
e. (y=(tg⁡x)^3)
f. (y=sin⁡(ln⁡(x^2)))

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

(y=tg⁡(x^5))

(y=log^{-2}_{4}{⁡x})

(y=3^{cos⁡x})

(x → 1+x → log_2⁡{(1+x)} )

(x → 11^x → arctg⁡(11^x) )

(x → x^7 → 5^{x^7})

(x → sin⁡x → cos⁡(sin⁡x))

Сошлось? Красавчик!

1. Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.

Сложная
функция – функция от функции. Если z –
функция от у,
т.е. z(y),
а у,
в свою очередь, – функция от х,
т.е. у(х),
то функция f(x)
= z(y(x))
называется сложной
функцией (или композицией,
или суперпозицией
функций)
от х.

В
такой функции х – независимая,
а у – промежуточная
переменная.
При этом сложная функция определена
для тех значений независимой переменной,
для которых значения промежуточной
функции у входят
в область определения функции z(y).

Правило.

Если
функция f имеет производную в точке x0,
а функция g имеет производную в
точке y0 = f(x0),
то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет
производную в точке x0.

6) Теорема
Ро́лля (теорема
о нуле производной)
утверждает, что Если вещественная
функция непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b),
принимает на концах этого интервала
одинаковые значения, то на этом интервале
найдётся хотя бы одна точка, в которой
производная функции равна нулю.

Геометрический
смысл

Теорема
утверждает, что если ординаты обоих
концов гладкой кривой равны, то на кривой
найдется точка, в которой касательная
к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствие

Если
непрерывная функция обращается в ноль
в n различных
точках, то ее производная обращается в
ноль по крайней мере в n −
1 различных точках[1],
причем эти нули производной лежат в
выпуклой оболочке нулей исходной
функции. Это следствие легко проверяется
для случая действительных корней, однако
имеет место и в комплексном случае.

Теорема
Лагранжа

Пусть
функция f(x):

1. непрерывна
   на отрезке [a, b];

2. дифференцируема
   в интервале (a, b).

Тогда
существует точка с О (a,b)такая,
что

f(b) −f(a) = f ‘(c) · (b − a) .

(1)

Формула
(1) называется формулой
Лагранжа,
или формулой
конечных приращений

7) Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке .

Моното́нная
фу́нкция — это функция, приращение которой
не меняет знака, то есть либо всегда
неотрицательное, либо всегда
неположительное. Если в дополнение
приращение не равно нулю, то функция
называется стро́го моното́нной.
Монотонная функция — это функция,
меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция
возрастает, если большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции. Функция убывает, если большему
значению аргумента соответствует
меньшее значение функции.

Достаточное
условие.

Если
функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f/(x)≥0 (f/(x)≤0) на (a,b),
то f(x) не
убывает (не возрастает)
на (a,b).

Доказательство

Рассмотрим
случай когда f/(x)≥0.
Рассмотрим две точки x1,x2∈(a,b) и
применим формулу Лагранжа.
На[x1,x2] функция f(x) удовлетворяет
всем условиям этой теоремы. Следует,
чтоx1<x2:

f(x2)−f(x1)=f/(c)(x2−x1), где c∈(x1,x2) и
правая часть больше нуля,
значит f(x2)−f(x1)≥0 илиf(x2)≥f(x1) при x2>x1,
функция не убывает.

Теорема
доказана.

Экстремум функции

Экстре́мум в
математике
— максимальное или минимальное значение функции на
заданном множестве.
Точка, в которой достигается экстремум,
называется точкой
экстремума.
Соответственно, если достигается минимум
— точка экстремума называется точкой
минимума, а
если максимум — точкой
максимума.
В математическом
анализевыделяют
также понятие локальный
экстремум (соответственно минимум или
максимум).

Определения

Пусть
дана функция 
 и 
 —
внутренняя точка области определения f.
Тогда

• x0
  называется точкой локального максимума
  функции f,
  если существует проколотая
  окрестность 
   такая,
  что

• x0
  называется точкой локального минимума
  функции f,
  если существует проколотая
  окрестность 
   такая,
  что

Если
неравенства выше строгие, то x0
называется точкой строгого локального
максимума или минимума соответственно.

• x0
  называется точкой абсолютного
  (глобального) максимума, если

• x0
  называется точкой абсолютного минимума,
  если

Значение
функции f(x0)
называют (строгим) (локальным) максимумом
или минимумом в зависимости от ситуации.
Точки, являющиеся точками (локального)
максимума или минимума, называются
точками (локального) экстремума.

Необходимые
условия существования локальных
экстремумов

• Лемма
  Ферма.
  Пусть функция 
   дифференцируема
  в точке локального экстремума x0.
  Тогда:

 .

• Если
  в точке экстремума существует первая
  частная производная (по какому-либо
  аргументу), то она равна нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

п.1. Понятие сложной функции

Рассмотрим функцию (z(x)=sin^3⁡x)

Базовым аргументом этой функции является x. Сначала от x берется синус, а потом синус возводится в куб: $$ y=f(x)=sin⁡x, z=g(y)=y^3=(sin⁡x)^3=g(f(x)) $$

Применение одной функции к результату другой называют композицией функций или сложной функцией.
Обычно композицию вида (z=g(f(x))) обозначают (z=gcirc f).

п.2. Теорема о производной сложной функции

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции: $$ begin{cases} y=f(x)\ z=g(y)=gcirc f end{cases} Rightarrow frac{dz}{dx}=frac{dz}{dy}cdot frac{dy}{dx} $$

Доказательство:
По определению производная внешней функции в точке $y_0$ равна:
$$ g'(y_0)=lim_{triangle yrightarrow 0}frac{triangle z}{triangle y}=frac{dz}{dy} $$ Перепишем это выражение в виде: (triangle z=g'(y_0)triangle y+varepsilon(triangle y)cdottriangle y),
где отклонение (varepsilon(triangle y)) зависит от величины приращения (triangle y), причем: $$ lim_{triangle yrightarrow 0}varepsilon(triangle y)=varepsilon(0)=0 $$ Кроме того, т.к. внутренняя функция непрерывна: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}varepsilon(triangle y)=varepsilonleft(lim_{triangle xrightarrow 0}triangle yright)=varepsilon(0)=0 $$ Также, поскольку внутренняя функция дифференцируема, существует предел: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=frac{dy}{dx} $$ Составим отношение: $$ frac{triangle z}{triangle x}=g'(y_0)frac{triangle y}{triangle x}+varepsilon(triangle y)cdotfrac{triangle y}{triangle x} $$ Перейдем к пределу: begin{gather*} z'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle z}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}left(g'(y_0)frac{triangle y}{triangle x}+varepsilon(triangle y)cdotfrac{triangle y}{triangle x}right)=\ =g'(y_0)lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}+lim_{triangle xrightarrow 0}varepsilon(triangle y)cdot lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=g'(y_0)cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)cdot f'(x_0) end{gather*} Или: $$ frac{dz}{dx}=frac{dz}{dy}cdotfrac{dy}{dx} $$ Что и требовалось доказать.

п.3. Алгоритм дифференцирования сложной функции

Получаем результат: begin{gather*} z'(x)=frac{1}{tg^2(4x+1)}cdot 2tg(4x+1)cdotfrac{1}{cos^2(4x+1)}cdot 4=\ =frac{8}{tg(4x+1)}cdotfrac{1}{cos^2(4x+1)}=frac{8}{sin(4x+1)cos(4x+1)}=frac{16}{sinleft(2(4x+1)right)} end{gather*} Ответ: (frac{16}{sinleft(2(4x+1)right)})

п.4. Примеры

Пример 2. Найдите производную функции:
a) ( y=sin2x ) begin{gather*} xrightarrow 2xrightarrow sinboxdot end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=cos2xcdot 2=2cos2x end{gather*}

б) ( y=tg(x^2+2x-1) ) begin{gather*} xrightarrow (x^2+2x-1)rightarrow tgboxdot end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=frac{1}{cos^2(x^2+2x-1)}cdot(2x+2)=frac{2(x+1)}{cos^2(x^2+2x-1)} end{gather*}

в) ( y=sqrt{cos(2x+1)} ) begin{gather*} xrightarrow (2x+1)rightarrow cosboxdotrightarrow sqrt{boxdot} end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=frac{1}{2sqrt{cos(2x+1)}}cdot(-sin(2x+1))cdot 2=-frac{sin(2x+1)}{sqrt{cos(2x+1)}} end{gather*}

г) ( y=frac{3}{sqrt{cos(5x-3)}} ) begin{gather*} xrightarrow (5x-3)rightarrow cosboxdotrightarrow sqrt{boxdot}rightarrowfrac{3}{boxdot} end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=-frac{3}{cos(5x-3)}cdotfrac{1}{2sqrt{cos(5x-3)}}cdot(-sin(5x-3))cdot 5=frac{15tg(5x-3)}{2sqrt{cos(5x-3)}} end{gather*}

Пример 3*. Найдите значение производной в точке:
a) ( y=sqrt{frac{1-sinx}{cosx}}, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} xrightarrow frac{1-sinx}{cosx}rightarrowsqrt{boxdot} end{gather*} Ищем производную частного: begin{gather*} left(frac{1-sinx}{cosx}right)’=frac{(1-sinx)’cdot cosx-(1-sinx)cdot cos’x}{cos^2x}=\ =frac{-cosxcdot cosx+(1-sinx)cdot sinx}{cos^2x}=frac{-(cos^2x+sin^2x)+sinx}{cos^2x}=-frac{1-sinx}{cos^2x} end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=frac{1}{2sqrt{frac{1-sinx}{cosx}}}cdotleft(-frac{1-sinx}{cos^2x}right)=-frac{sqrt{1-sinx}}{2cosxsqrt{cosx}} end{gather*} Подставляем (x_0=fracpi 4): begin{gather*} y’left(fracpi 4right)=-frac{sqrt{1-sinfracpi 4}}{2cosfracpi 4sqrt{cosfracpi 4}}=-frac{1}{2cdotfrac{sqrt{2}}{2}}sqrt{frac{1-frac{sqrt{2}}{2}}{frac{sqrt{2}}{2}}}=-frac{1}{sqrt{2}}sqrt{frac{frac{sqrt{2}}{2}left(frac{2}{sqrt{2}}-1right)}{frac{sqrt{2}}{2}}}=-sqrt{frac{sqrt{2}-1}{2}}=\ =-frac12sqrt{2(sqrt{2}-1)} end{gather*} Ответ: (-frac12sqrt{2(sqrt{2}-1)})

б) ( y=left(frac{1-sinx}{1+cosx}right)^4, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} xrightarrow frac{1-sinx}{1+cosx}rightarrow boxdot^4 end{gather*} Ищем производную частного: begin{gather*} left(frac{1-sinx}{1+cosx}right)’=frac{(1-sinx)’cdot (1+cosx)-(1-sinx)cdot (1+cosx)’}{(1+cosx)^2}=\ =frac{-cosx(1+cosx)+sinx(1-sinx)}{(1+cosx)^2}=frac{-(cos^2x+sin^2x)+sinx-cosx}{(1+cosx)^2}=\ =frac{sinx-cosx-1}{(1+cosx)^2} end{gather*}

begin{gather*} y'(x)=4left(frac{1-sinx}{1+cosx}right)^3cdotfrac{sinx-cosx-1}{(1+cosx)^2}=frac{4(1-sinx)^3(sinx-cosx-1)}{(1+cosx)^5} end{gather*} Подставляем (x_0=fracpi 4): begin{gather*} y’left(fracpi 4right)=frac{4left(1-frac{sqrt{2}}{2}right)^3left(frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}-1right)}{left(1+frac{sqrt{2}}{2}right)^5}=-frac{4left(1-frac{1}{sqrt{2}}right)^3}{left(1+frac{1}{sqrt{2}}right)^5}=-frac{4(sqrt{2})^5(sqrt{2}-1)^3}{(sqrt{2})^3(sqrt{2}+1)^5}=\ =-frac{8(sqrt{2}-1)^3}{(sqrt{2}+1)^5}cdotfrac{(sqrt{2}-1)^5}{(sqrt{2}-1)^5}=-frac{8(sqrt{2}-1)^8}{1^5}=-8(sqrt{2}-1)^8 end{gather*} Ответ: (-8(sqrt{2}-1)^8)

в) ( y=sin(sin(sinx)), x_0=pi ) begin{gather*} xrightarrow sinxrightarrow sinboxdotrightarrow sinboxdot end{gather*}

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.