Пифагоровы тройки таблица как найти

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников.

• Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел ( x , y , z ) , удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

  • х²+y²=z² , где x и y — катеты прямоугольного треугольника, а z — гипотенуза.

• При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя, видимо, открыты задолго до него и вообще не в Греции.
• Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.
• Очевидно, что при умножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x, y, z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если x , y , z являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1.

Таблица 16 примитивных пифагоровых троек с z ≤ 100. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами и гиппотенузой менее 100.

* Не все тройки с z ≤ 100 примитивны, например, (6, 8, 10) — в таблице не привена — получается умножением на два тройки (3, 4, 5).

Таблица — примитивные тройки с 100 < z ≤ 300. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами и гипотенузой от 100 до 300.

Пифагорово число (пифагорова тройка) — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: .

Свойства

Поскольку уравнение однородно, при домножении , и на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.

Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т. е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ().

Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности .

Любая примитивная пифагорова тройка однозначно представляется в виде для некоторых натуральных, взаимно простых , имеющих разную чётность. Наоборот, любая такая пара задаёт примитивную пифагорову тройку.Шаблон:Источник?

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 15, 17),
(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29),
(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),
(24, 32, 40),
(9, 40, 41),
(14, 48, 50),
(30, 40, 50)…

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Пифагора

be-x-old:Піфагорава тройка
bg:Питагоров триъгълник
da:Pythagoræiske tal
eo:Pitagora triopo
he:שלשה פיתגורית
hu:Pitagoraszi számhármasok
is:Pýþagórískur þríhyrningur
nl:Pythagorese drietallen
pl:Trójki pitagorejskie
scn:Terna pitagòrica
sl:Pitagorejska trojica
sv:Pythagoreisk trippel

Ещё примеры пифагоровых троек (где катеты меньше 1000, их 179):

3 4 5  9+16=25

5 12 13  25+144=169

7 24 25  49+576=625

8 15 17  64+225=289

9 40 41  81+1600=1681

11 60 61  121+3600=3721

12 35 37  144+1225=1369

13 84 85  169+7056=7225

15 112 113  225+12544=12769

16 63 65  256+3969=4225

17 144 145  289+20736=21025

19 180 181  361+32400=32761

20 21 29  400+441=841

20 99 101  400+9801=10201

21 220 221  441+48400=48841

23 264 265  529+69696=70225

24 143 145  576+20449=21025

25 312 313  625+97344=97969

27 364 365  729+132496=133225

28 45 53  784+2025=2809

28 195 197  784+38025=38809

29 420 421  841+176400=177241

31 480 481  961+230400=231361

32 255 257  1024+65025=66049

33 56 65  1089+3136=4225

33 544 545  1089+295936=297025

35 612 613  1225+374544=375769

36 77 85  1296+5929=7225

36 323 325  1296+104329=105625

37 684 685  1369+467856=469225

39 80 89  1521+6400=7921

39 760 761  1521+577600=579121

40 399 401  1600+159201=160801

41 840 841  1681+705600=707281

43 924 925  1849+853776=855625

44 117 125  1936+13689=15625

44 483 485  1936+233289=235225

48 55 73  2304+3025=5329

48 575 577  2304+330625=332929

51 140 149  2601+19600=22201

52 165 173  2704+27225=29929

52 675 677  2704+455625=458329

56 783 785  3136+613089=616225

57 176 185  3249+30976=34225

60 91 109  3600+8281=11881

60 221 229  3600+48841=52441

60 899 901  3600+808201=811801

65 72 97  4225+5184=9409

68 285 293  4624+81225=85849

69 260 269  4761+67600=72361

75 308 317  5625+94864=100489

76 357 365  5776+127449=133225

84 187 205  7056+34969=42025

84 437 445  7056+190969=198025

85 132 157  7225+17424=24649

87 416 425  7569+173056=180625

88 105 137  7744+11025=18769

92 525 533  8464+275625=284089

93 476 485  8649+226576=235225

95 168 193  9025+28224=37249

96 247 265  9216+61009=70225

100 621 629  10000+385641=395641

104 153 185  10816+23409=34225

105 208 233  11025+43264=54289

105 608 617  11025+369664=380689

108 725 733  11664+525625=537289

111 680 689  12321+462400=474721

115 252 277  13225+63504=76729

116 837 845  13456+700569=714025

119 120 169  14161+14400=28561

120 209 241  14400+43681=58081

120 391 409  14400+152881=167281

123 836 845  15129+698896=714025

124 957 965  15376+915849=931225

129 920 929  16641+846400=863041

132 475 493  17424+225625=243049

133 156 205  17689+24336=42025

135 352 377  18225+123904=142129

136 273 305  18496+74529=93025

140 171 221  19600+29241=48841

145 408 433  21025+166464=187489

152 345 377  23104+119025=142129

155 468 493  24025+219024=243049

156 667 685  24336+444889=469225

160 231 281  25600+53361=78961

161 240 289  25921+57600=83521

165 532 557  27225+283024=310249

168 425 457  28224+180625=208849

168 775 793  28224+600625=628849

175 288 337  30625+82944=113569

180 299 349  32400+89401=121801

184 513 545  33856+263169=297025

185 672 697  34225+451584=485809

189 340 389  35721+115600=151321

195 748 773  38025+559504=597529

200 609 641  40000+370881=410881

203 396 445  41209+156816=198025

204 253 325  41616+64009=105625

205 828 853  42025+685584=727609

207 224 305  42849+50176=93025

215 912 937  46225+831744=877969

216 713 745  46656+508369=555025

217 456 505  47089+207936=255025

220 459 509  48400+210681=259081

225 272 353  50625+73984=124609

228 325 397  51984+105625=157609

231 520 569  53361+270400=323761

232 825 857  53824+680625=734449

240 551 601  57600+303601=361201

248 945 977  61504+893025=954529

252 275 373  63504+75625=139129

259 660 709  67081+435600=502681

260 651 701  67600+423801=491401

261 380 461  68121+144400=212521

273 736 785  74529+541696=616225

276 493 565  76176+243049=319225

279 440 521  77841+193600=271441

280 351 449  78400+123201=201601

280 759 809  78400+576081=654481

287 816 865  82369+665856=748225

297 304 425  88209+92416=180625

300 589 661  90000+346921=436921

301 900 949  90601+810000=900601

308 435 533  94864+189225=284089

315 572 653  99225+327184=426409

315 988 1037  99225+976144=1075369

319 360 481  101761+129600=231361

320 999 1049  102400+998001=1100401

333 644 725  110889+414736=525625

336 377 505  112896+142129=255025

336 527 625  112896+277729=390625

341 420 541  116281+176400=292681

348 805 877  121104+648025=769129

364 627 725  132496+393129=525625

368 465 593  135424+216225=351649

369 800 881  136161+640000=776161

372 925 997  138384+855625=994009

385 552 673  148225+304704=452929

387 884 965  149769+781456=931225

396 403 565  156816+162409=319225

400 561 689  160000+314721=474721

407 624 745  165649+389376=555025

420 851 949  176400+724201=900601

429 460 629  184041+211600=395641

429 700 821  184041+490000=674041

432 665 793  186624+442225=628849

448 975 1073  200704+950625=1151329

451 780 901  203401+608400=811801

455 528 697  207025+278784=485809

464 777 905  215296+603729=819025

468 595 757  219024+354025=573049

473 864 985  223729+746496=970225

481 600 769  231361+360000=591361

495 952 1073  245025+906304=1151329

496 897 1025  246016+804609=1050625

504 703 865  254016+494209=748225

533 756 925  284089+571536=855625

540 629 829  291600+395641=687241

555 572 797  308025+327184=635209

559 840 1009  312481+705600=1018081

576 943 1105  331776+889249=1221025

580 741 941  336400+549081=885481

585 928 1097  342225+861184=1203409

615 728 953  378225+529984=908209

616 663 905  379456+439569=819025

620 861 1061  384400+741321=1125721

645 812 1037  416025+659344=1075369

660 779 1021  435600+606841=1042441

660 989 1189  435600+978121=1413721

696 697 985  484416+485809=970225

704 903 1145  495616+815409=1311025

705 992 1217  497025+984064=1481089

731 780 1069  534361+608400=1142761

744 817 1105  553536+667489=1221025

765 868 1157  585225+753424=1338649

799 960 1249  638401+921600=1560001

832 855 1193  692224+731025=1423249

884 987 1325  781456+974169=1755625

893 924 1285  797449+853776=1651225

Ссылки

Пифагоровы тройки чисел — Yaptro

Тема:
Пифагоровы тройки

Оглавление

Введение

Глава
1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия
Пифагоровых троек и их понятие

1.2. Способы получения
Пифагоровых троек

Глава
2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ
геометрических задач в 8-9 классе

2.2. Эффективность
применения Пифагоровых троек при решении задач

Заключение

Список
литературы

Введение

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического
применения в современной жизни.

Цель: заключается в изучении пифагоровых троек  и их применения для
решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение
понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы
формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать
возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема: Пифагоровы тройки
изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными
решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему
математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования:
Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие       

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

•      Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки -  упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. 

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. 

Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор Самосский - древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

·   Один из катетов должен быть кратным трём,

·   Один из катетов должен быть кратным четырём,

·   Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

·          Примитивными (все три числа-взаимно простые),

·          Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Итак, пифагоровы тройки - это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения
пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов
можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении
двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа,
которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

3, 4, 5

6, 8, 10

5, 12, 13

10, 24, 26

9, 12, 15

18, 24, 30

8, 15, 17

16, 30, 34

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30. 

1)                              По формуле Пифагора - сложим квадрат первых двух чисел:

2)                              Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

3)                              Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад. 

Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда  и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если a = 3, то; b=4;

; c=5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b=12;

; c=13; вторая тройка (5, 12, 13).

Если a = 7, то; b=24; 

; c=25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек. 

, где

2) 

3) 

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Для этого возьмем числа: .

1)                              Вычислим первую формулу тройки:

2)                              Вычислим вторую  формулу тройки:

3)                              Вычислим третью формулу тройки:

4)                              Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы  можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель - k. Тогда из уравнения получаем [2.91-95]

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении  задач с теоремой Пифагора.

·    Гипотенуза всегда:

o  лежит напротив прямого угла;

o  является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

o  обозначается как «с» в теореме Пифагора;

·    Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

·    Еще один момент - самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона - напротив наименьшего угла.

·    Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка - это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.

·    Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

·    Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. 

·    Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tg).

·    Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

·         Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Задача №1.

Дан прямоугольный треугольник ABC, C=90∘, AC=3, BC=4. Найдите длину AB.

Решение:

               Согласно теореме Пифагора: 

Ответ: АВ=5.

Задача №2. 

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8? 

Решение:                                                                                

Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ - диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС - прямоугольный. 

1) 

2) По теореме Пифагора 

Ответ: ВС=15.

Задача №3.

В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу  ВА, , , .

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

Найти: ВА=?, , , 

Решение:

По теореме Пифагора: 

.

Ответ: АВ=15, sin A=  , cos A= ,tg A=  .

Задача №4. 

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD=1,5; AC=2,5.

Решение:

1)                              Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB=CD и BC=AD. 

2)                               Далее, рассмотрим треугольник ADC, угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.

3)                    

BC=AD=2

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни. 

Задача №5.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы? 

Решение:

Можно решать сразу через т. Пифагора, т.к. дом и земля  перпендикулярны друг другу, и поэтому они образуют прямой угол. Пусть 5м - «у», 12м - «z», а за «х» возьмем длину лестницы.

По т. Пифагора: 

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2.
Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач       

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни. 

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же
применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые  украшают
зарубежные города:

Административное здание Kuggen, Гётеборг, Швеция.

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного
треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях
готического и романского стиля.

Романский стиль:                                      Готический
стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не
только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом
стиле.

Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры
шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины,  для
внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена
между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
этими окружностями, т. е. и,
следовательно, радиус равен.А тогда
становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.
Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут
равны  и . Радиус – p
внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника.
Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей,
равна , один катет
равен , а другой. По теореме
Пифагора имеем:

Из этого:

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

Заключение

Пифагоровы тройки представляют собой очень важный и интересный предмет изучения. Запомнив простые правила их нахождения, можно с легкостью решать задачи разного уровня, а также находить им хорошее применение в архитектуре и строительстве.  Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

Список
литературы

1.                
Книга «О Пифагоровой
жизни»-Ямвлих; перевод И.Ю. Мельникова. — Москва: Новый Акрополь, 2014г. —
186 cтр.

http://www.iprbookshop.ru/26960.html

2.               Учебник по геометрии 7-9 класс, Погорелов А.В. 7.Теорема Пифагора(п.62-70), изд.9-е., 2009г.

https://gdzputina.ru/po-geometrii/7-klass/pogorelov

3.                
 Учебник и практикум для среднего профессионального образования,
Ю. В. Павлюченко, Н. Ш. Хассан; под общей редакцией
Ю. В. Павлюченко. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва:
Издательство Юрайт, 2020. -238 с. — Профессиональное
образование). — ISBN 978-5-534-01261-3. -Текст: электронный // ЭБС
Юрайт [сайт].с. 41 — URL: https://urait.ru/viewer/matematika-449041#page/

 Научно-практическая конференция школьников

«Шаг в будущее»

Пифагоровы тройки

Коренева Кристина Дмитриевна,

МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1  г. Улан-Удэ

Класс 9 – а

Россия, Республика Бурятия, г.Улан-Удэ

Научный руководитель:

Бадинова Жанна Станиславовна, учитель математики.

 МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1  г.Улан-Удэ

2013 г.

                                                                                                                                                                                              2

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………………………………………….3

Глава I. Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения……………  4-7

Глава II. Практическое применение пифагоровых троек…………………………………………………8-9

Заключение…………………………………………………………………………………………………………………………10

Приложение 1………………………………………………………………………………………………………………………11

                                                                                                                                                                                              3

Введение

Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учеными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдет речь в данной работе – изучить свойства пифагоровых троек, способ их получения, а также выяснить их практическое применение. Данная проблема представляет особую актуальность, так как в школьной программе по геометрии эта тема практически не рассматривается, но при решении планиметрических задач часто встречается. И поэтому у школьников такие задачи, связанные с применением пифагоровых троек, вызывают затруднения.

Цель данной работы – обосновать теоретическую и практическую значимость пифагоровых троек в области математики и в жизнедеятельности человека.

 Задачи:

1. Установить способы  получения  пифагоровых чисел.
2. Изучить свойства примитивных пифагоровых троек, составить их таблицу.
3. Изучить материал, связанный с теоремой Ферма и попытками ученых всего мира доказать ее.
4. Выявить практическое применение пифагоровых троек.

Объект и исследования: уравнение Пифагора.

Предмет исследования: пифагоровы тройки.

Методы исследования: анализ и синтез полученных фактов  из  литературы по теме, систематизация полученных знаний, моделирование реальных ситуаций.

                                                                                                                                                                                4

Глава I.Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения.

1.Уравнение Пифагора и пифагоровы тройки.

    Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к одной из «величайших» проблем теории чисел – проблеме, ростки которой появились задолго до Пифагора – в Древнем Египте и Вавилоне. Задача Пифагора в современных терминах может быть сформулирована так: «решить в натуральных числах неопределенное уравнение x2 + y2 = z2» . Это уравнение называется «пифагоровым», так как выражает известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Геометрический смысл данного уравнения заключается в том, что для всякой тройки положительных чисел х, у и z, такой, что   x2 + y2 = z2 , существует прямоугольный треугольник с катетами х, у и гипотенузой z.

       Тройка натуральных чисел ( х, у, z), которая является решением данного уравнения называется пифагоровой тройкой, а прямоугольные треугольники с такими сторонами называются пифагоровыми треугольниками. Например, (3,4,5) является пифагоровой тройкой. Прямоугольный треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5, называется еще и египетским, так как (как известно из школьной программы геометрии) его использовали в Древнем Египте для построения прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Интересно, что площадь этого треугольниеа равна совершенному числу 6, а периметр равен 12 – число, которое считалось символом счастья и достатка. Пирамиды месопотамского  фараона Снофру (XXVIIв. до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Также сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. На них даже встречаются такие тройки, как (12709, 13500 и 18541). Нет сомнений, что такие числа были найдены не простым перебором, а по неким правилам.

2.Способы нахождения пифагоровых троек.

 Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением неопределенного уравнения  x2 + y2 = z2    ?

Способ первый:  Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив  их друг от друга запятой. Под каждой запятой подпишем разность между последовательными квадратами:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,  36 ,   49 ,  64  , 81 ,  100  ,   121  ,  144   ,   169   ,  196 ,…

   3 , 5 , 7 ,   9  ,  11 ,   13 ,  15 ,  17 ,  19  ,    21    ,   23   ,    25    ,    27  ,…

                                                                                                                                                                                              5

А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9 = 3^2 , над ними 16 = 4^2  и 25 = 5^2  — знакомая нам пифагорова тройка (3, 4, 5).

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдете 49 = 7^2 , этому числу отвечают в строке квадратов 576 = 24^2  и 625 = 25^2 . И действительно, 7^2  + 24^2  = 25  . Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.

Но, составлять такие последовательности довольно скучное и трудоемкое занятие. По формуле находить такие тройки и проще и быстрее.

Способ второй:  Эти формулы  были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Пусть (x, y, z,) – пифагорова тройка и x –нечетное число. Тогда    y = (x^2-1)/2  и  z =(x^2+1)/2.  По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если x = 3, то y =(3^2-1)/2=4 ,  z = 3^2+1/2=5, получилась  первая тройка  (3, 4, 5).

Если x = 5, то y = (5^2-1)/2 =12,  z = (5^2+1)/2=13, вторая тройка   (5, 12, 13).

Если x = 7, то y = (7^2-1)/2=24 ,  z = (7^2+1)/2=25, третья тройка   (7, 24, 25) и так далее.

Способ третий: Теперь установим правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

х^2 = z^2 – y^2  или   х^2 = (z – y)(z + y)

Это значит, что число x^2  должно раскладываться на два неравных множителя (z + y) и    (z–y), которые мы обозначим так, что получится система:

z + y = 2m^2,

z – y = 2n^2

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа m и n? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:

z = m^2 + n^2,  y = m^2 – n^2, тогда подставляя в равенство  для х^2, получаем, что x = 2mn, где m и n –  произвольно взятые взаимно простые натуральные числа, причем m>n.

                                                                                                                                                                                              6

Применяя указанные формулы, легко найти все решения уравнения x2 + y2 = z2    в натуральных числах. Например: пусть m = 9, n = 7 , где  m>n.

Решим уравнение по формулам:

x = 2mn,   x = 2* 9 *7 = 126;

y = m^2 – n^2,   y = 81 – 49 = 32;

z = m^2 + n^2, z = 81 + 49 = 130.

Действительно, 126 + 32 = 130, так как 15876 + 1024 = 16900

Ответ: 126, 32, 130.

3.Примитивные пифагоровы тройки и их свойства.

      Пифагоровы тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются примитивными (или простейшими). Например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41) и так далее. То есть, числа, входящие в примитивную тройку должны быть взаимно простыми.  Ясно,  если  (х, у, z) примитивная тройка, то для любого натурального  n – тройка (nx,ny,nz) тоже будет примитивной, то есть любую пифагорову тройку можно получить из примитивной  умножением каждого ее члена на натуральное число.

          Пифагор нашел формулы для нахождения примитивных троек, которые в современной символике могут быть записаны так:

х = 2n + 1,          y = 2n(n + 1),              z = 2n + 2n + 1,       где n- натуральное число.

Перечислим свойства примитивных пифагоровых троек:

Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.

Следствие: В примитивной пифагоровой тройке одно число может быть четным.

Свойство 2. В примитивной пифагоровой тройке (x, y, z) числа x и y не могут быть одновременно нечетными.

Свойство 3. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 3.

Свойство 4.Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 4.

Свойство 5.Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 5.

                                                                                                                                                                                              7

4. Великая теорема Ферма

        Начатое Пифагором исследование «безобидного» уравнения x2 + y2 = z2    привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел – исследование в целых числах уравнения  xn + yn = zn .     

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик Пьер Ферма высказал в 1637 году предположение, что для любого натурального  числа n, большего 2,  уравнение xn + yn = zn   не имеет решений в натуральных числах. Сам Ферма доказал эту теорему для случая n = 4, Эйлер в 1770 году доказал для случая n = 3,  Дирихле и Ленеандр в 1825 – для n = 5, Ламе – для n = 7, Кумер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов – любителей. И лишь в 1995 году (  после 7 лет напряженной работы) эту теорему окончательно доказал английский математик, профессор Пристанского университета Эндрю Уайлс.

Таким образом,, великая и неприступная на протяжении нескольких столетий теорема Ферма доказана.

Итак, обобщая сказанное в первой главе, можно сделать вывод  — теперь стало понятно как древние египтяне и пифагорейцы находили подобного рода тройки чисел, рассмотренные способы позволяют без труда составлять пифагоровы тройки и применять их при решении неопределенных уравнений второй степени с тремя неизвестными. В результате выявления свойств примитивных троек, а так же формул Пифагора, можно составить таблицу примитивных пифагоровых троек, которые в дальнейшем можно использовать для решения задач. (см. приложение 1).

                                                                                                                                                                                              8

 Глава II.  Практическое применение пифагоровых троек.

Пифагоровы тройки имеют огромное практическое применение. Рассмотрим для примера несколько задач:

Задача №1     Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.

Решение:  Спичка здесь – эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом, равным 12 спичкам. Среди примитивных пифагоровых троек  двух таких троек нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной. Но,  можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 и  с высотой 12 спичек.

Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4•3, 3•3, 5•3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14  и с высотой 12 спичек.

Оба решения показаны на рисунке:

Задача №2      Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.

Решение:  для решения данной задачи можно воспользоваться задачей №1.                                                                                                                                                                                        Задача №3        В треугольник, со сторонами 5, 12 и 13 проведена медиана к большей стороне. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые медиана разбивает этот треугольник.

Решение:  Заметив, что (5,12,13) – пифагорова тройка чисел, значит, треугольник с такими сторонами – прямоугольный. Воспользовавшись свойством медианы прямоугольного треугольника, легко увидеть, что получилось два равнобедренных  треугольника с вписанными в них окружностями, что

                                                                                                                                                                                              9

позволяет легко найти расстояние между центрами этих окружностей. Если не заметить, что данный в задаче треугольник прямоугольный, то решение будет намного длиннее.

Задача №4     Найти  cos, tg и ctg, если sin = 24/25, если  – угол второй четверти.

Решение:  Конечно, данную задачу можно решить с помощью тригонометрических тождеств, но с помощью пифагоровой тройки (7,24,25) решение будет намного быстрее.

Задача №5   При оформлении фасада дома мозаикой, требуются разноцветные равные прямоугольные треугольники из стекла, с целочисленными сторонами и с катетом 10 см. Требуется определить, какими должны быть другие стороны данных треугольников.

Решение: Заданный катет – четное число, значит х = 10 = 2mn, где m>n и они взаимно простые числа. Возможна единственная комбинация m и n –  это 5 и 1. Так как 2*5*1=10. Остальные стороны равняются у=m^2-n^2=24, z=m^2+n^2=26. Таким образом, ответ – это треугольники со сторонами 10см, 24 см и 26 см.

Задача №6     Известно, что угол наклона пандуса для передвижения инвалидов на колясках внутри и снаружи здания должен быть не больше 5 градусов и высотой, не превышающей 80 см. От жильцов дома, строительной организации поступил заказ — построить пандус для инвалида-колясочника. Какой длины должен быть пандус, удовлетворяющий этим требованиям?

                                                                                                                                                                                         Решение:  Можно считать, что пандус имеет форму прямоугольного треугольника. Тангенс 5 градусов приближенно равен 0,0875. Использую таблицу примитивных пифагоровых троек, можно легко найти нужную тройку чисел, которая удовлетворяет условию, что, катет, противолежащий углу в 5 градусов в прямоугольном треугольнике, должен быть не более 80 см.  Учитывая реальность ситуации подбором получаем, что нужные нам тройки –  (25,312,313) или (27,364,365). Следовательно, пандус может иметь длины 25 см, 312 см, 313 см или 27 см, 364 см, 365 см.

           В результате, можно сделать вывод, что  пифагоровы тройки, их свойства  и способы   получения, значительно упрощают решение многих планиметрических задач, а так же нашли широкое применение в реальных жизненных ситуациях.

                                                                                                                                                                                            10              

                                                                                                                                                                               Заключение.

         В заключении хочется отметить, что работа над проектом позволила узнать материал, которого нет в школьной программе. К сожалению, полностью показать все аспекты научной теории, связанной с уравнением Пифагора и пифагоровыми тройками, а так же множества практических задач из алгебры, геометрии и практической деятельности  человека, не позволяет объем данной работы. Однако, опираясь на поставленные задачи, удалось раскрыть важность исследуемой темы.

       Изначально были выявлены базовые теоретические знания, включающие описание общих понятий об уравнении Пифагора и пифагоровых тройках. На базе полученных знаний были выявлены способы их получения и свойства. Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке и в жизнедеятельности человека.

                                                                                                                                                                                            11

Литература

1. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. – М.: МЦНМО, 2003.
2. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
3. Интернет источники:

http://th-pif.narod.ru

                                                                                                                                                                               12

Приложение 1

Таблица примитивных пифагоровых троек (х,у,z) для х < 50