Пирамида с числами как найти закономерность

Ответ.

А теперь давайте подробно разберем данное задание.

Рассмотрим следующую ячейку в пирамиде.

Нам известно, что 11 — это сумма 7 и еще одного неизвестного числа. Очевидно, что второе число это 4, таким образом можем заполнить ячейку справа в первом ряду.

Далее найдем число, которое нужно записать во второй ряд пирамиды. Это должно быть число, сложив которое с 11, получилось бы 23. Это число 23 — 11 =  12. Запишем его в пирамиду.

В пирамиде осталось одна пустая ячейка. В ней должно быть число, прибавив к которому 7 должно получиться 12. Т.о. в пустой ячейке слева в первом ряду должно быть число 5.

Далее перейдем ко второй пирамиде.

Рассмотрим ячейки во втором ряду. Там должны два числа в сумма которых должна быть равна 24. При этом, заметим, что чтобы получить искомые два числа во втором столбце, нужно к какому-то неизвестному числу, которое располагается в средней ячейке первого ряда прибавить 3 и 5, то есть разность этих двух чисел должна равняться 2. Под эти условия подходит числа 11 и 13, ведь 11 + 13 = 24, а с другой стороны 13 — 11 = 2. Таким образом, можем заполнить ячейки 2 ряда.

И осталось найди последнее число в первом ряду. Это число можно получить, если его прибавить к 3 и получим тогда 11. Таким образом. это число 8.

Рассмотрим еще несколько числовых пирамид.

Числовые пирамиды — 2 класс

Два числа сложили и записали суммы над ними. Заполни пропуски в пирамидах.

Заполним пропуске в каждой пирамиде и получим следующие.

Числовые пирамиды — 3 класс

Два числа сложили и записали суммы над ними. Заполни пропуски в пирамидах.

Заполним пропуске в каждой пирамиде и получим следующие.

Числовые пирамиды — 4 класс

Два числа сложили и записали суммы над ними. Заполни пропуски в пирамидах.

Заполним пропуске в каждой пирамиде и получим следующие.

Разобраться в этой числовой абракадабре смогут только самые внимательные.

Задание довольно простое: определите закономерность, по которой построена эта пирамида, и ответьте, какие числа должны быть в ней следующими.
Числа в пирамиде читаются слева направо и сверху вниз.
1
11

21
1211
111221
…

Решение

Если внимательно посмотреть на последовательность, можно заметить, что числа в рядах делятся на пары. Первое число указывает на то, сколько раз подряд второе из пары повторяется в ряду.
1 — это одна единица, или 11. 11 — это две единицы, или 21. 21 — это одна двойка и одна единица, то есть 1211. А 1211 — это одна единица, одна двойка и две единицы, или 111221.
Тогда следующими в ряду нужно записать 312211 (три единицы, две двойки и одна единица) и 13112221 (одна тройка, одна единица, две двойки, две единицы).

Натуральный ряд, числа которого записаны в форме пирамиды, — хороший «полигон» для того, чтобы потренироваться в выявлении закономерностей при поиске различных сумм, которые возникают из геометрических конструкций внутри пирамиды. При этом иногда проявляются необычные связи с другими «арифметико-геометрическими» задачами. Перечислим несколько примеров таких конструкций и приведем формулы для сумм чисел в них. Каждый из примеров можно рассматривать как отдельное упражнение — попробуйте самостоятельно вывести эти суммы.

Можно, как это проделал Кларк Кимберлинг (профессор математики университета Эвансвилла), рассмотреть последовательность вписанных в пирамиду квадратов, у которых одна вершина совпадает с вершиной пирамиды, а две стороны лежат на боковых сторонах пирамиды (эти квадраты — «заполненные» рамки, которые рассматривались выше). На рис. 4 изображен такой квадрат со стороной из шести чисел. Суммы чисел в таких квадрат дают последовательность: 1, 11, 51, 156, 375, 771, 1421, … Формула для суммы чисел в квадрате размера n такая: (K_n=frac1{12}(7n^4+5n^2).)

Естественное продолжение этого пути — посчитать суммы чисел в уголках, которые на рис. 5 закрашены чередующимися оттенками зеленого. Начало последовательности этих сумм выглядит так: 1, 10, 40, 105, 219, 396, … Формулу общего члена этой последовательности можно вычислить, если заметить, что каждый уголок получается из квадрата Кимберлинга удалением предыдущего квадрата:

[V_n=K_n-K_{n-1}=frac16(2n-1)(7n^2-7n+6).]

Следующий возможный шаг позволяет получить «елочку» (рис. 6). Для этого каждый уголок нужно симметрично отразить относительно горизонтальной прямой, проходящей через вершину угла 270°.

Естественно, суммы чисел в перевернутых уголках теперь другие и образуют новую последовательность: 6, 48,165, 395, 778, …. Мне удалось установить, что сумма чисел в n-м по счету перевернутом уголке вычисляется по формуле (Lambda_n=frac16(38n^3-3n^2-5n+6). Если найти сумму n первых членов этой последовательности, то получим сумму чисел внутри «елочки»: (S_{text{елочка}}=frac1{12}n(19n^3+36n^2+11n+6).)

Используя результаты, полученные при решении основной задачи, можно найти значение суммы в каждой строке этого числового треугольника: 1, 5, 15, 34, 65, 111, … (рис. 7).

В самом деле, зная первое число n-й строки, (оно равно (b_n=frac12n(n-1)+1)), можно просуммировать n-ю строку как арифметическую прогрессию:

[begin{gather}s_n=b_n+(b_n+1)+(b_n+2)+ldots+(b_n+n-1)=\=ncdot b_n+(1+2+ldots+n-1)=\=nleft(frac12n(n-1)+1right)+frac12n(n-1)=frac12n(n^2+1).end{gather}]

А теперь посмотрим на последовательность магических констант (так называют числа, которым равны суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям в магических квадратах): 15, 34, 65, 111, … Удивительное совпадение! «Алгебраическое» объяснение здесь простое: формула для магических констант такая же, как полученная нами формула для суммы чисел в строке пирамиды. Убедиться в этом совсем легко. Магический квадрат размера (ntimes n) заполнен натуральными числами от 1 до (n^2), сумма которых равна (frac12n^2(n^2+1)). Магическая константа этого квадрата в n раз меньше, а значит, она равна (frac12n(n^2+1)). Такая вот неожиданная встреча. Интересно, можно ли доказать этот факт, пользуясь «геометрическими» соображениями?

Можно рассмотреть и квадратные рамки другой ориентации — с вертикальными и горизонтальными сторонами (рис. 9). Суммы чисел, расположенных в таких рамках, образуют последовательность: 22, 116, 338, 744, 1390, 2332, …, а формула общего члена выглядит так: (S_{text{горизонтальная рамка}}=frac23n(14n^2+12n+7)).

Получится ли у читателей найти в числовой пирамиде еще какие-нибудь другие известные последовательности, возникающие совсем в других ситуациях? На всякий случай напомню, что проверять последовательности можно в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей Нила Слоуна (oeis.org).

Сразу же понятно, что число справа 20 равно 38 — 20 = 18. Вставляю его:

Теперь надо найти число между 3 и 5. Я его принимаю за «х»: составляю уравнение:

х + 3 + х + 5 = 20. Вычисляю:

2х = 20 — 8 = 12.

х = 6. Вставляю 6 в пирамиду, и тут же понимаю, что под 20 стоит 3 + 6 = 9. Вставляю и его:

Дальше пошло легче:

5 + 6 = 11, вставляю над шесть и пять, слева от 9.

18 — 11 = 7. Ставлю 7 под 18, слева от 11.

осталось последнее число в правом нижнем углу:

7 — 5 = 2.

Пирамида готова.

Следующая пирамида очень лёгкая:

Всё ясно из картинки:

14 — 9 = 5.

5 — 2 = 3.

9 — 3 = 6.

Я рисую красным, чтобы отличались.

Здесь тоже не сложно. Вставляю 4 и 13:

12 — 8 = 4.

21 — 8 = 13.

А дальше ещё проще. Начинаю с нижнего ряда:

13 — 8 = 5.

8 — 5 = 3.

Поднимаюсь выше:

13 + 12 = 25.

И самая верхняя:

21 + 25 = 46.

Последний треугольник с подсказкой. Только вместо «х» используют «а». Пусть так. Составляю уравнение:

10 + а + 8 + а = 32. Вычисляю:

2а = 14. а = 14/2 = 7.

Подставляю числа в пирамиду:

Теперь, наверное, без вычислений понятно. Ставлю 7-ку. Внизу нахожу вычитанием, а вверху сложением.