Площадь круга как нашли формулу

Определение окружности

Окружность – это замкнутая линия, причем расстояние от любой точки, находящейся на этой линии, до центра окружности одинаково. Кругом является внутренняя часть окружности.

Онлайн-калькулятор площади круга

Площадь круга.png

Тот самый отрезок, который соединяет выбранную точку на окружности с ее центром, называется радиусом RR.
Длина радиуса, взятая в двойном размере, называется диаметром окружности DD.

То есть D=2RD=2R.

Как найти площадь круга

Площадь круга можно найти двумя способами:

  • используя радиус круга,
  • используя диаметр круга.

Остановимся чуть подробнее на каждом способе и рассмотрим несколько примеров.

Формула площади круга через радиус круга

Сначала разберем общий случай.

Пусть нам дана окружность OO произвольного радиуса R.R. Площадь круга через радиус вычисляется при помощи формулы

S=πR2S=pi R^2,

где πpi – число «Пи», выражающее отношение длины окружности к ее диаметру и численно равное около 3,143,14,

RR – радиус нашей окружности.

Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пару практических примеров.

Пример

Найдите площадь круга, радиус которого равен 6 см.
Ответ дайте, округленный до целого числа.

Решение:

Пользуемся нашей формулой для вычисления площади круга и получаем:

S=πR2=3,14⋅6⋅6=3,14⋅36=113.S=pi R^2=3,14cdot 6 cdot 6=3,14 cdot 36=113.

Ответ: 113 см2.

Формула площади круга через диаметр

Рассмотрим сначала обобщенный случай без использования цифр.

Формула вычисления площади круга с помощью диаметра немного отличается от формулы, в которой мы использовали радиус. Но ответ остается, безусловно, таким же.

Итак, наша формула выглядит следующим образом:

S=πD24S=pi frac{D^2}{4}

Давайте разберемся, откуда она вообще взялась.

Для начала выразим радиус через диаметр. Получаем R=D2R=frac{D}{2}, затем подставляем полученное выражение в нашу исходную формулу S=πR2S=pi R^2 и получаем результат: S=πD222S=pi frac{D^2}{2^2}, далее упрощаем и выходим на окончательный ответ S=πD24S=pi frac{D^2}{4}.

Пример

Найти площадь круга, если известно, что четвертая часть диаметра равна 2,5 см.

Решение:

Находим диаметр:

D4=2,5.frac{D}{4} =2,5.

Отсюда,

D=2,5⋅4=10.D=2,5 cdot 4=10.

Подставляем значения в формулу:

S=πD24=3,14⋅1024=3,14⋅1004=3,14⋅25=78,5S=pi frac{D^2}{4} =3,14 cdot frac{10^2}{4} =3,14 cdot frac{100}{4} =3,14 cdot 25=78,5

Ответ: 78,5 см2.

Пример решения задачи посложнее.

Пример

Имеется два круга. Площадь первого 153,86153,86 см2. Найдите площадь второго круга, радиус которого в 22 раза больше радиуса первого круга.

Решение:
Для решения задачи нам в первую очередь нужно найти радиус первого круга. Из формулы S=πR2S=pi R^2 находим, что R=SπR=sqrt{frac{S}{pi}}.

R=153.863.14=49=7.R=sqrt{frac{153.86}{3.14}}=sqrt{49} = 7.

Радиус второго круга равен 7⋅2=14.7 cdot 2=14.

Наконец, найдем площадь этого круга: S=πR2=3.14⋅142=3,14⋅196=615,44.S=pi R^2=3.14cdot14^2=3,14 cdot 196=615,44.

Ответ: 615,44615,44 см2.

Ищете специалиста, который сможет написать контрольную работу на заказ для вас? Наши эксперты подбирают индивидуальный подход к каждому клиенту!

Тест по теме “Площадь круга”

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: S=pi r^{2}. Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 1

    1

    Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.[1]

    • Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
    • Например, радиус круга равен 6 см.

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 2

    2

    Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: S=pi r^{2}, где r – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).[2]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 3

    3

    Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой pi и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной pi .[3]

    • В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 4

    4

    Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной pi или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.[4]

    • В нашем примере (r = 6 см) S = 36pi см2 или S = 113,04 см2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 5

    1

    Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.

    • Например, диаметр круга равен 20 мм.

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 6

    2

    Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.

    • Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 7

    3

    Воспользуйтесь стандартной формулой для вычисления площади круга. Найдя радиус, воспользуйтесь формулой S=pi r^{2}, чтобы вычислить площадь круга. Подставьте значение радиуса и выполните вычисления следующим образом:

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 8

    4

    Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = 100pi мм2.

    • Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо pi приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 9

    1

    Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:

    • S={frac {C^{2}}{4pi }}

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 10

    2

    Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.[5]

    • Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 11

    3

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 12

    4

    Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:[7]

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 13

    5

    Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:[8]

  6. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 14

    6

    Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и pi , ответ можно записать с pi в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).[9]

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 15

    1

    Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15pi см2. Найдите площадь всего круга».[10]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 16

    2

    Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.[11]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 17

    3

    Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.[12]

    • Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
    • Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 18

    4

    Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: [13]

    • S_{{kr}}=S_{{sek}}{frac {360}{C}}

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 19

    5

    Подставьте известные значения и найдите площадь круга. В нашем примере известно, что центральный угол равен 45 градусов, а площадь сектора равна 15pi . Подставьте эти значения в формулу:[14]

  6. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 20

    6

    Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120pi см2. Так как площадь сектора дана с постоянной pi , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.[15]

    • Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см2.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 266 138 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Площадь круга через радиус

{S = pi r^2}

Здесь вы можете рассчитать площадь круга по известным параметрам. Для вычисления достаточно знать радиус, диаметр круга или длину его окружности.

Содержание:
  1. калькулятор площади круга
  2. отличие окружности от круга
  3. формула площади круга через радиус
  4. формула площади круга через диаметр
  5. формула площади круга через длину окружности
  6. примеры задач

Окружность и круг — в чём отличие?

Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи.

Окружность — это замкнутая линия, а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко — это окружности, а монета или вкусный блин — это круги.

Круг — бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Отличие окружности и круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга через радиус

S = pi r^2

r — радиус круга

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга через диаметр

S = pi dfrac{d^2}{4}

d — диаметр круга

Формула площади круга через длину окружности

Площадь круга через длину окружности

S = dfrac{L^2}{4pi}

L — длина окружности

Примеры задач на нахождение площади круга

Задача 1

Найдите площадь круга, радиус которого равен 4 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга через радиус.

S = pi r^2 = pi cdot 4^2 = 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Ответ: 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Полученный ответ удобно проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь круга, радиус которого равен 7 см.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому решение будет выглядеть аналогично.

S = pi r^2 = pi cdot 7^2 = 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Ответ: 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь круга, радиус которого равен 9 см.

Решение

Еще одна типовая задача.

S = pi r^2 = pi cdot 9^2 = 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Ответ: 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления площади круга

Формула

Чтобы найти площадь круга (рис. 1), надо найти произведение числа
на квадрат радиуса этого круга, то есть

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Напомним, что число $pi approx 3,1415926535 ldots$, а
радиусом круга называется отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой ограничивающей его окружности.

Примеры вычисления площади круга

Пример

Задание. Найти площадь круга, если известно, что его радиус равен 3 м.

Решение. Площадь круга вычисляется по формуле:

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Подставляя в эту формулу значение радиуса $R=3$ м, получаем:

$mathrm{S}_{k p}=pi cdot 3^{2}=9 pi$ (м2)

Ответ. $mathrm{S}_{k p}=9 pi$ (м2)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Чему равна площадь круга, если его диаметр равен 4 см?

Решение. Площадь круга найдем по формуле:

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Известно, что радиус круга связан с его диаметром соотношением:

$$d=2R$$

А тогда искомая площадь

$R=frac{d}{2}=frac{4}{2}=2$ (см2)

Ответ. $R=frac{d}{2}=2$ (см2)

Читать дальше: как найти площадь квадрата.

Источник

Оглавление:

  • 📝 Как это работает?
  • 🤔 Частые вопросы и ответы
  • 📋 Похожие материалы
  • 📢 Поделиться и комментировать

Формула (формулы) площади круга

Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.

По радиусу

Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):

Формула площади круга по радиусу

Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 22 = 3,14 × 4 = 12,56 м2 (квадратных метров).

Через диаметр

Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d — диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):

Формула площади круга по диаметру

К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 352 = ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см2 (квадратных сантиметра).

Через длину окружности

Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L — длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):

Формула площади круга по длине окружности

Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 1202  / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм2 (квадратных миллиметров).

Какие термины используются для поиска площади круга?

Для вычисления площади круга, в формулах были использованы следующие термины, значение которых нужно знать, чтобы точно понимать принципы расчета.

Окружность, круг, радиус, диаметр

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. 

Число π (пи) — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Пи равняется примерно 3,14.

Площадь круга и размеры пицц

Люди не всегда верно сопоставляют площадь круга и диаметры. К примеру, сможете ли вы ответить:

Площадь круга и размеры пицц

Что больше: 2 пиццы диаметром 25 см или 1 пицца диаметром 40 см?

Интуитивно кажется, что 2 пиццы, так как в сумме их радиусы дают 50 сантиметров, что больше, чем 40. Однако это неправильный вывод, так как сравнивать нужно не сумму диаметров, а сумму квадратов диаметров. То есть:

  • 252 + 252 = 625 + 625 = 1250
  • 402 = 1600

Так как ¼π является константой, то можно сравнивать только квадраты диаметров. Получается, что пицца 40 см больше, чем даже 2 пиццы размером 25 см. А вот если диаметр пиццы составляет 35 см, то 352 = 1225, и в этом случае 2 пиццы по 25 см будут иметь бОльшую площадь.

Площади усеченных частей круга

А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:

Хорда, сектор, сегмент и их площади

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.

Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S = sr/2

где S — площадь сектора, r — радиус круга.

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Площадь сегмента можно найти по формулам:

S = r2sinα/ 2

где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Да, входит, ведь кругом являются все точки, удаленные от центра круга на расстояние, которое не превышает радиус.

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Да, хватит чего-то одного, так как все 3 сущности можно вывести одну из другой, например, диаметр равен двум радиусам, а длина окружности – это диаметр, умноженный на число Пи.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

  • Калькулятор площади шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).
  • Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
  • Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
  • Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
  • Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
  • Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
  • Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
  • Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
  • Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
  • Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Показать комментарии

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти потерянные наушники айрподс
  • После снятия подушки безопасности горит значок как исправить
  • Хозяин ассасин крид одиссея как найти
  • Как найти удлинение пружины зная жесткость
  • Как найти на тел облако