Правила как найти сторону квадрата

Квадрат – это четырёхугольная плоская геометрическая фигура с равными сторонами. Квадрат считается
прямоугольником, так как все его внутренние углы по 90°. Диагонали правильного четырёхугольника
равны между собой, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. А также они
являются биссектрисами внутренних углов (отрезок делит прямой угол на два одинаковых угла по 45°).

Знание и применение этих свойств позволяют быстро решать задачи по геометрии. Ромб с равными
диагоналями, ромб с двумя соседними прямыми углами, параллелограмм с одинаковыми диагоналями,
пересекающимися под прямым углом, все эти фигуры являются правильными четырёхугольниками.

Через радиус вписанной окружности

Длина стороны равна двум радиусам (диаметру) вписанной окружности:

a=2*R

где R — радиус.

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой ее точки. Диаметр — отрезок, соединяющий
две любые точки окружности и проходящий через центр. Радиус составляет 1/2 диаметра. Все стороны
правильного четырёхугольника являются касательными прямыми к вписанной окружности. Радиус всегда
перпендикулярен касательной. Вписанная окружность делит точкой касания стороны квадрата на две
равные части. Зная величину диагонали, одинаковую длину стороны и диаметра легко можно объяснить
благодаря теореме Пифагора: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов». В данном случае если построить отрезки, соединяющие противоположные вершины правильного
четырёхугольника, образуется равнобедренный прямоугольный треугольник, где половина стороны квадрата
и радиус являются катетами, а половина диагонали — гипотенузой.

Формула вычисления через площадь

Для того чтобы определить длину стороны, зная только площадь, нужно извлечь квадратный корень из
известного значения:

a=√S

где S — площадь.

Это самый простой способ. Площадь плоской четырёхугольной геометрической фигуры – это числовое
значение, которое характеризует размер плоскости, ограниченной четырьмя сторонами. Для нахождения
площади прямоугольника необходимо умножить длину на ширину, для площади прямоугольника с равными
сторонами – возвести длину в квадрат.

Также есть и другие способы для нахождения площади правильной
четырёхугольной фигуры: через радиус вписанной или описанной окружности, периметр, через длину
отрезка, проведенного из вершины к середине противоположной стороны. Если площадь неизвестна, но
есть данные о диагонали, можно легко найти воспользоваться доступной величиной — возвести
длину отрезка в квадрат и разделить на два S=d²/2.

Этот метод также
опирается на теорему Пифагора. Поделив сумму квадратов катетов на два, можно найти площадь. Однако в
этом случае значение не понадобится для нахождения стороны, можно быстро вычислить длину катета при
помощи следующей формулы.

Вычисление через диагональ

Если в задаче изначально известна длина диагонали, можно значительно сократить маршрут поиска нужной
величины. На основе этого правила сторона вычисляется по формуле:

a=d/√2

где d — диагональ.

Через радиус описанной окружности

Известно, что диаметр описанной окружности равен диагонали, так как он совпадает с отрезком,
соединяющим вершины двух противоположных углов, а эти вершины являются точками окружности. Формула
для вычисления:

a = √2 * R

где R — радиус.

Благодаря радиусу можно найти длину диагонали, которая делит фигуру на 2 прямоугольных равнобедренных
треугольника и при помощи теоремы Пифагора найти нужную величину.

Диагональ представляет собой линию, которая соединяет две вершины противоположных углов, тем самым
разделяя правильный четырёхугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти значение
таким способом не сложнее, чем через площадь. Главное, знать теорему Пифагора и уметь ею
пользоваться, это самый быстрый вариант. В задачах с прямоугольными фигурами теорема часто служит
выходом из сложной ситуации.

Все вычислительные способы связаны между собой. Запомнить нужные формулы несложно. Достаточно
применять их на практике каждый день, частое использование одних и тех же алгоритмов приведет к
автоматическому запоминаю правил. Не стоит заучивать формулы, необходимо больше рассуждать
логически. Такой подход позволит решать задачи более сложного уровня и легче воспринимать любую
информацию. Самым действенным методом для запоминания является практика. Отработка нескольких
идентичных задач на определенное правило поможет закрепить результат на долгий срок.

Математика

Компоненты арифметических действий и их взаимосвязь.

1. Компоненты при сложении:

1слагаемое, 2слагаемое, сумма.

1. Компоненты при вычитании:

уменьшаемое, вычитаемое, разность.

1. Компоненты при умножении:

1 множитель, 2множитель, произведение.

1. Компоненты при делении:

делимое, делитель ,частное.

1. Назвать результаты всех действий:

при сложении — сумма

при вычитании — разность

при умножении — произведение

при делении – частное

1. Как найти неизвестное слагаемое?

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Х+4=12                        или                4+х=12

Х=12-4                                        х=12-4                                        

Х=8                                                 х=8

8+4=12                                        4+8=12

  12=12                                        12=12

1. Как найти неизвестное уменьшаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Х-7=3

Х=3+7

Х=10

10-7=3

        3=3

1. Как найти неизвестное вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

8-х =5

х=8-5

х=3

8-3=5

   5=5

9                Как найти неизвестный множитель?        

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

х·3=6                                4·х=8

х=6:3                                х=8:4

х=2                                х=2        

2·3=6                                4·2=8

   6=6                                   8=8

10           Как найти неизвестное делимое?

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х:5=3

х=3·5

х=15

15:5=3

     3=3

1. Как найти неизвестный делитель?

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

6:х=2

х =6:2

х=3

6:3=2

   2=2

Геометрический материал.

1. Что такое квадрат?

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Что такое прямоугольник?

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Противоположные стороны прямоугольника  равны.

1. Что такое треугольник?

Треугольник – многоугольник, у которого три угла и три стороны.

15     Что такое четырёхугольник?

Четырёхугольник – геометрическая фигура, у которой четыре угла и четыре стороны.

1. Что такое периметр?

Периметр( Ρ) – это сумма длин сторон какой-нибудь геометрической фигуры.

1. Что такое площадь?

Площадь(S) – это внутренняя часть какой-нибудь геометрической  фигуры

(прямоугольника, квадрата и т.д)

1. Как найти периметр квадрата?

У квадрата 4 стороны, равные между собой. Чтобы найти сторону квадрата, нужно Ρ□ разделить на 4.

a□ = Ρ□ : 4

1. Как найти периметр прямоугольника?

Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сложить все 4 стороны   прямоугольника

 Или

сложить длину и ширину прямоугольника и умножить на 2.

        Ρ▬=a+b+a+b

или

    Ρ▬=(a+b)·2

1. Как найти периметр треугольника?

Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить все 3 стороны.

1. Как найти сторону квадрата, если известен периметр? 

У квадрата 4 стороны, равные между собой. Чтобы найти сторону квадрата, нужно Ρ разделить на 4.

a=Ρ:4

1.         Как найти сторону прямоугольника, если известен периметр и другая сторона? 

Чтобы найти сторону прямоугольника, нужно Ρ▬разделить на 2  и  вычесть другую сторону.

a▬=Ρ▬:2 – b

b▬=Ρ▬:2 – a

22        В каких единицах измеряется периметр?

    Периметр измеряется в мм, см, дм, метрах.

23         Как найти площадь квадрата?

Площадь квадрата равна произведению двух его сторон.

S□ =  a · a

24          Как найти площадь прямоугольника?

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину прямоугольника умножить на его ширину.

S█ =  a · b

25          Как найти сторону прямоугольника, если известна площадь и другая его сторона?

Чтобы найти одну из сторон прямоугольника,  нужно площадь прямоугольника разделить на известную сторону.

a▬=S▬ :  b

b▬= S ▬ : a

   26        В каких единицах измеряется площадь?

   Площадь измеряется в квадратных единицах: мм², см², дм², м².

27      Назвать единицы длины.

Единицы длины — мм, см, дм, м, км.

28           Рассказать таблицу мер длины.

1см  =  10мм

1дм  =  10см

1дм  =  100мм

1м  =    10 дм

1м  =  100 см

1км = 1000м

29       Сколько  квадратных сантиметров

в 1квадратном метре?

1м²  =  10 000см²  

30      Сколько  квадратных  дециметров  

в 1 квадратном  метре?

1м²  =  100дм²  

31            Рассказать  таблицу мер площади.

1м²  =  100дм²  = 10 000см²  

1дм²  = 100см²  =  10 000мм²

1см²  =  100мм²

Масса.

32            Назвать единицы массы.

Масса измеряется в граммах, килограммах, центнерах, тоннах.

33           Рассказать таблицу мер массы.

1кг  = 1000г

1ц  =  100кг

1т  =  10ц

1т  =  1000кг

Время.

34        Назвать  единицы измерения времени.

Время  измеряется секундами, минутами, часами, сутками, неделями, месяцами, годами, веками.

35           Рассказать таблицу мер времени.

1мин  =  60сек.

1час  =  60мин

1час  =  3600сек.

1сут.  =  24часа

1год  =  12мес.  =  365сут.  или  366сут.

1век  =  100лет

Взаимосвязь скорости, времени и расстояния.

36     Как  найти  скорость?

Чтобы найти скорость ( v ), надо расстояние ( S ) разделить на время ( t ), затраченное в пути.

v = S : t

37    Как найти время?

Чтобы найти время ( t ), надо расстояние ( S ) разделить на скорость ( v ).

t = S : v

38    Как найти расстояние?

Чтобы найти расстояние ( S ),  нужно скорость ( v ) умножить на время ( t ).

S = v · t

Взаимосвязь цены, количества, стоимости.

39    Что такое цена?

Цена – стоимость одного предмета, единицы товара.

40     Как найти стоимость?

Чтобы найти стоимость, нужно цену умножить на количество.

Ст = Ц · К

41     Как найти цену?

Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количество.

Ц  =  Ст : К

42   Как найти  количество?

Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену.

К = Ст : Ц

Задачи на дроби.

43

Дробь  — ⅔

2 – числитель

3 – знаменатель

44  Как найти дробь числа?

Чтобы найти дробь числа, нужно число разделить на знаменатель, а потом умножить на числитель.

45      Как найти число по дроби?

Чтобы  найти число по дроби, нужно число разделить на числитель и умножить на знаменатель.

Взаимосвязь работы, времени и производительности.

46    Что такое производительность?

         Как найти производительность?

Производительностью ( v ) называют работу, выполненную за единицу времени.

Чтобы найти производительность ( v ), надо всю выполненную работу разделить на время.

v  =  A  :  t

47    Как найти выполненную работу?

Выполненная работа равна производительности, умноженной на время работы.

A  =  v  · t

48   Как найти время работы?

Чтобы узнать время работы, надо работу разделить на производительность.

t  =  A  :  v

49   Как  найти среднее арифметическое?

Чтобы найти среднее арифметическое надо сумму разделить на число слагаемых.

Как найти сторону квадрата?

Часто в геометрии необходимо найти длину стороны квадрата, при этом известны такие его параметры: периметр, площадь, длина диагонали.

Квадрат — это ромб или прямоугольник, стороны которого равны между собой. Углы квадрата также равны между собой и имеют по 90° каждый. Рассмотрим, как найти сторону квадрата имея один из вышеперечисленных параметров.

Нахождение стороны квадрата по его периметру

В этом случае, чтобы найти длину стороны квадрата, необходимо число значения периметра квадрата разделить на 4 (поскольку квадрат имеет 4 стороны, равные между собой): z = P/4, где z — это длина стороны квадрата; P — это периметр квадрата.

Единицей измерения одной стороны квадрата будет та же самая единица измерения длины, как у его периметра. Например, если задан периметр квадрата в миллиметрах, то также длина его стороны будет в миллиметрах.

Например: Задан периметр квадрата 40 метров. При решении этой задачи мы получим: z = 40/4 = 10. Длина стороны квадрата — 10 метров.

Нахождение стороны квадрата по его площади

В этом случае, чтобы найти длину стороны, необходимо добыть квадратный корень числа значения площади (поскольку площадь квадрата равна квадрату его стороны): z = vS, где z — это длина стороны квадрата; S — это площадь квадрата.

Единицей измерения одной стороны квадрата будет та же самая единица измерения длины, как у его площади. Например, если задана площадь квадрата в миллиметрах квадратных — длина его стороны будет просто в миллиметрах.

Например: Задана площадь квадрата 16 квадратных метров. При решении этой задачи мы получим: z = v9 = 3. Длина стороны квадрата — 4 метра.

Нахождение стороны квадрата по его диагонали

В этом случае длина стороны квадрата будет равна длине диагонали квадрата, разделенной на корень квадратный из 2 (за теоремой Пифагора, поскольку смежные стороны квадрата и его диагональ составляют равнобедренный прямоугольный треугольник). Чтобы найти сторону квадрата по диагонали необходимо: z = d/v2 (так как z 2 + z 2 = d 2 ), где: z — это длина стороны квадрата; d — это длина диагонали квадрата.

Единицей измерения одной стороны квадрата будет та же самая единица измерения длины, как у его диагонали. Например, если задана диагональ квадрата в миллиметрах, то также длина его стороны будет в миллиметрах.

Например: Задана диагональ квадрата 20 метров. При решении этой задачи мы получим: z = 20/v2, это приблизительно равно 20/1,4142. Длина стороны квадрата — 20/v2 метров, или, приблизительно, 14,142 метров.

Теперь Вы знаете, как найти длину стороны квадрата, если заданы его периметр, площадь или длина диагонали.

Сторона квадрата

Квадрат, наряду с кругом, считается идеальной геометрической фигурой. Квадрат является не только параллелограммом, но и ромбом, и прямоугольником одновременно, так как у него все стороны равны и все углы прямые. Более того, квадрат является представителем ряда правильных многоугольников, поэтому к нему относятся и их свойства тоже. Вычислить сторону квадрата можно несколькими различными способами: через периметр квадрата, через площадь квадрата или через диагональ квадрата, а также радиусы вписанной и описанной окружностей.

Поскольку все стороны квадрата между собой равны, а периметр многоугольника – это сумма всех его сторон, то найти сторону можно, разделив периметр на четыре (количество равных сторон):

Площадь квадрата – это его сторона, возведенная во вторую степень, следовательно, если нам нужно найти сторону через площадь, то необходимо извлечь из нее квадратный корень:

Если дана диагональ квадрата, то исходя из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, который образует диагональ, сторона будет равна диагонали, деленной на корень из двух:
a 2 +a 2 =d 2
2a 2 =d 2

Сторона квадрата

Четырехугольник, у которого все четыре стороны равны, противоположные — параллельны, а углы — прямые, называется квадратом. Диагональ квадрата (d) делит его на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой является диагональ (d) квадрата, а катетами — две одинаковых стороны квадрата (а). Как известно по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. d 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 .
Отсюда, сторона квадрата (а) равна диагонали квадрата (d) деленной на корень квадратный из двух.

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
   
   
   
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
   
   
3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
   
4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
   
   
5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
   
   

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

Тогда по формуле площади квадрата:

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: 

Периметр квадрата со стороной 3 равен: 

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью .

Решение:

Площадь круга  откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными .

 

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: 5.