Как находить длину
Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.
Инструкция
Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит труда, если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.
В случае, когда требуется просчитать длину стороны прямоугольника, воспользуйтесь значениями его площади s и длины другой стороны b. Из формулы a=S/b вы получите искомое значение.
Чтобы определить длину окружности, то есть замкнутой линии, которая образует круг, воспользуйтесь значениями: r — ее радиусом и D — диаметром. Диаметр можно вычислить, умножив радиус окружности на 2. Известные вам значения подставьте в формулу определения длины окружности: C=2πr=πD, где π=3,14.
Для вычисления длины обычного отрезка воспользуйтесь методом эксперимента. То есть возьмите линейку и измеряйте.
Для того чтобы вычислить длину стороны такой фигуры, как треугольник, вам понадобятся размеры двух других сторон, а также величины углов. Если вы имеете дело с прямоугольным треугольником, и один из его углов равен 60 градусам, то величину его катета можно определить по формуле a=c*cosα, где c — гипотенуза треугольника, а α — угол между гипотенузой и катетом.
Помимо этого, если вы располагаете такими известными величинами, как высота b и площадь S треугольника, то длину стороны, которая является основанием, можно узнать благодаря формуле a=2√S/√√b.
Что касается правильного многоугольника, то длину его стороны можно просчитать, руководствуясь формулой an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, n — количество углов.
Если вы хотите вычислить длину равносторонней фигуры, вокруг которой описана окружность, то сделать это можно по формуле an=R√3, где R — радиус окружности, n — количество углов фигуры.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Длина прямоугольника
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 89.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 89.
В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Что такое длина прямоугольника
Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длина. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.
Три способа найти длину прямоугольника
Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.
-
Через теорему Пифагора
Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.
Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.
Согласно теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.
Значит: d2=a2+b2 . Из этого выражения выразим квадрат ширины (значение «b»):b2=d2-a2
Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d2-a2)(-1)
В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула длины.
-
Через площадь
Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника – через площадь.Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение ширины: b=S/b.
Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для длины: a=S/b.
-
Тригонометрическая функция
Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.
Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.
Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α равен отношению катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/c
Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или с помощью калькулятора. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.
Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а, значит, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Косинус – это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/c
Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*c
Задача
- Найти длину прямоугольника, если известно, что его ширина равна 3, а диагональ 5.
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.
5^2=25
3^2=9
25-9=16
Корень квадратный из 16 равен 4.
Значение b=4
Что мы узнали?
Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 89.
А какая ваша оценка?
Математика
6 класс
Урок № 75
Длина отрезка
Перечень рассматриваемых вопросов:
- длина отрезка;
- единицы измерения длины;
- способы измерения длины отрезка;
- решение задач на вычисление длины отрезка.
Тезаурус
Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.
Длина отрезка – это расстояние между его концами.
Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.
Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка.
Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Что такое отрезок?
Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.
Как отрезки обозначаются на чертежах?
Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с.
Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.
Измерить отрезок – значит найти его длину.
Длина отрезка – это расстояние между его концами.
Свойства длин отрезков:
– равные отрезки имеют равные длины;
– если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при её измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать единицу длины.
Такой единицей может быть длина произвольного отрезка. В мультфильме «38 попугаев» герои измеряли длину удава в попугаях.
Для определения длины отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается выбранная единица измерения.
Можно сравнивать длины отрезков, не имея под рукой линейки. Например, прикладывать к отрезкам один и тот же карандаш, ластик или использовать циркуль. Для этого нужно установить иглу в начало отрезка, провести дугу, пересекающую отрезок, затем, не меняя расстояния между иглой и карандашом циркуля, переставить иглу в точку пересечения и повторить действия.
В десятичной системе мер единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и т. д.
Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка. Измерения небольших отрезков удобно производить с помощью линейки.
Прикладываем линейку так, чтобы один конец отрезка совместился с нулём. Единичный отрезок 1 см отложился 7 раз, значит, длина отрезка АВ = 7 см.
Если единичный отрезок 1 см отложился n раз, и осталась часть меньшая 1 см, то откладываем отрезки равные 1/10 см. Длина отрезка СD = 8,7 см.
При необходимости можно продолжить откладывать по 1/100 части единичного отрезка и т. д.
Алгоритм измерения длины отрезков:
– выбрать какой-либо отрезок и принять его за единицу длины;
– от одного из концов отрезка отложить последовательно отрезки, равные единичному;
– если единичные отрезки отложились n раз и конец последнего совпал с концом измеряемого отрезка, то значение его длины равно n единиц длины;
– если отрезок или его часть меньше единичного отрезка, то нужно отложить отрезки, равные 1/10 части единичного отрезка;
– если десятые части единичного отрезка отложились ровно n раз, то длина измеряемого отрезка есть конечная десятичная дробь, в которой целая часть равна количеству целых единичных отрезков, а после запятой в разряде десятых стоит количество десятых частей единичного отрезка;
– при необходимости можно откладывать 1/100 часть единичного отрезка и т. д.
Таким образом, для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
И для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
На практике используют приближённое значение длин отрезков, например, с точностью 1/10 или 1/100 части единичного отрезка, но точность приближения зависит от поставленной задачи.
Рассмотрим фигуры, составленные из отрезков.
Возьмем на плоскости несколько точек и соединим их отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то линию называют ломаной.
Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звеньями, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.
Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.
Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой.
Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником.
Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Впишите верный ответ.
Точка P лежит на отрезке AB. Известно, что отрезок AP больше отрезка PB на 3,6 см, а отрезок AB = 10,4 см. Найдите длину отрезка PB.
Решение:
Пусть PB = x, тогда AP = x + 3,6 см.
По условию AB = 10,4 см.
Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
PB + AP = AB.
Составим и решим уравнение:
x + x + 3,6 = 10,4,
2x + 3,6 = 10,4,
2x = 10,4 – 3,6,
2x = 6,8,
x = 3,4.
Значит, длина отрезка PB = 3,4 см.
Ответ: 3,4 см.
Тип 2. Множественный выбор
Выберите верные ответы.
Задача 2
Известно, что отрезок AС = 3,6 см, а отрезок BС = 7,5 см. Найдите длину отрезка АB, если все три точки лежат на одной прямой.
Варианты ответов: 3,9; 11,1; 4,8; 13,2; 16,5; 2,9.
Первый вариант решения
В этом случае АВ = АС + ВС = 3,6 + 7,5 = 11,1 (см).
Второй вариант
BC = AB + AC,
АВ = ВС – АС = 7,5 – 3,6 = 3,9 (см).
Значит, длина отрезка АВ может быть равна 11,1 см или 3,9 см. Выбираем эти варианты.
Ответ: 11,1; 3,9.
Как найти длину?
Закон синусов гласит, что для всех углов треугольника отношение синуса этого угла к его противоположной стороне всегда будет одинаковым. В длина стороны c — 2.98. Закон косинусов гласит, что вы можете определить длину любой стороны треугольника, если вы знаете противоположный угол и длины двух других сторон.
Что такое формула длины?
Для круга формула длины дуги равна θ, умноженному на радиус круга. Формула длины дуги в радианах может быть выражена как, длина дуги = θ × r, когда θ в радианах. Длина дуги = θ × (π / 180) × r, где θ в градусах, где L = длина дуги.
Также нужно знать, какова длина AB? если два угла имеют равные меры, то противоположные им стороны равны по длине. Таким образом, длина стороны AB равна 6 единиц.
Соответствует ли длина цилиндра высоте?
Высота цилиндра такой же длины, как и окружность его основания. Его измеренная высота — 125.66 см.
Как определить длину одной стороны треугольника?
Чтобы собрать треугольник с одной стороной, вам также понадобится один из непрямых углов. В противном случае это невозможно: если у вас есть гипотенуза, умножьте его на sin (θ) чтобы получить длину стороны, противоположной углу. Или же умножьте гипотенузу на cos (θ), чтобы получить сторону, примыкающую к углу.
Каково правило длины сторон треугольника?
Правило сторон треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. См. Длины сторон острого треугольника ниже. Сумма длин двух самых коротких сторон, 6 и 7, равна 13.
Какова формула периметра?
Периметр, площадь и объем
| Таблица 1 . Формулы периметра | ||
|---|---|---|
| Форма | Формула | Переменные |
| Квадратный | P= 4s |
s — длина стороны квадрата. |
| Прямоугольные | P = 2L + 2W | L и W — длины сторон прямоугольника (длина и ширина). |
| Треугольник | а + б + с | a, b и c — длины сторон. |
Какая формула высоты?
Рассчитайте высоту интересующего объекта, вычислив «Д * загар (тета), », Где« * »означает умножение, а« tan »- тангенс угла тета. Например, если тета равна 50 градусам, а D — 40 метров, то после округления высота составляет 40 тангенциальных 50 = 47.7 метра.
Длина длинной ножки прямоугольного треугольника?
гипотенуза всегда находится напротив прямого угла и всегда является самой длинной стороной треугольника. Чтобы найти длину участка a, подставьте известные значения в теорему Пифагора. … Вы знаете, что в этом треугольнике гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу) имеет длину 10.
По какой формуле вычисляется длина AB?
ПС = 2 + 3 = 5 см. SR = 3 — 2 = 1 см. ∆ OQP — прямоугольный треугольник. AB = 7.35 см.
Какая сторона XYZ самая длинная?
Ответ: XY — самая длинная сторона в заданном ΔXYZ.
Какая сторона ABC самая длинная?
Поскольку угол A, угол B и угол C являются противоположными углами сторон BC, CA и AB соответственно ⇒ BC> CA> AB. Следовательно, самая длинная сторона треугольника ABC равна BC.
Какая высота цилиндра?
Высота h цилиндра равна расстояние между двумя базами. Для всех цилиндров, с которыми мы будем работать здесь, стороны и высота h будут перпендикулярны основанию. Цилиндр имеет два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.
Какая формула цилиндра?
Формула объема цилиндра: V = Bh или V = πr2h . Радиус цилиндра 8 см, высота 15 см. … Следовательно, объем цилиндра составляет порядка 3016 кубических сантиметров.
Как найти угол с двухсторонним калькулятором?
- Шаг 1 Нам известны две стороны: Соседняя (6,750) и Гипотенуза (8,100).
- Шаг 2 SOHCAHTOA сообщает нам, что мы должны использовать косинус.
- Шаг 3 Вычислить смежное значение / гипотенуза = 6,750 / 8,100 = 0.8333.
- Шаг 4 Найдите угол на вашем калькуляторе, используя cos
–
1
0.8333:
Как найти длину третьей стороны треугольника?
Теорема о неравенстве треугольника утверждает, что сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем размер третьей стороны.
- Итак, разница двух сторон
- Следовательно, 9−3
- 6
Какова длина треугольника 45 45 90?
Треугольник 45 ° -45 ° -90 ° — это специальный прямоугольный треугольник, который имеет два угла 45 градусов и один угол 90 градусов. Длины сторон этого треугольника пропорциональны; Боковая сторона 1: Сторона 2: Гипотенуза = n: n: n√2 = 1: 1: √2. Прямоугольный треугольник 45 ° -45 ° -90 ° составляет половину квадрата.
Что такое формула массы?
Масса тела всегда постоянна. Один из способов вычисления массы: Масса = объем × плотность. Вес — это мера силы тяжести, действующей на массу.
Какова формула максимальной высоты?
Максимальная высота h, достигаемая снарядом, равна половине H, высоты этого треугольника. = H — ½H, поэтому h = H / 2, что и является желаемым результатом.
Как найти начальную высоту?
Начальная скорость, v0 = 200 фут / сек, а начальная высота h0 = 0 (поскольку запускается с земли). Формула: h = -16t 2 + 200т + 0.
Каково уравнение максимальной высоты?
Максимальная высота объекта с учетом начального угла запуска и начальной скорости определяется с помощью:h = v2isin2θi2g h = vi 2 sin 2 θ я 2 г.
Какова длина одной ножки треугольника?
Длина одной ноги составляет 22 единиц.
Всегда ли сторона A длиннее стороны B в прямоугольном треугольнике?
2 ответа. Сторона A и B не имеет значения, когда вы пытаетесь применить это к теореме Пифагора, но сторона C всегда должна быть гипотенуза. Гипотенуза — всегда самая длинная сторона треугольника. Он противоположен прямому углу.
Как найти длину третьей стороны треугольника?
Теорема Пифагора для третьей стороны прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора используется для определения длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Итак, если вам даны две длины, вы можете использовать алгебру и квадратные корни, чтобы найти длину недостающей стороны.
КАК НАЙТИ ДЛИНУ ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ШИРИНА ВЫСОТА ОБЪЕМ? КАК НАЙТИ ШИРИНУ ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ДЛИНА ВЫСОТА ОБЪЕМ?
КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ДЛИНА ШИРИНА ОБЪЕМ?
КАК НАЙТИ ОБЪЕМ ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ДЛИНА ШИРИНА ВЫСОТА?
ПОЖАЛУЙСТА ПОИОГИТЕ СРОЧНО НАДО.
Если дан прямоугольный параллелепипед, то объем можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту.
Пусть длина а, ширина b, высота с, объем V.
Отсюда следует, что:
Объём есть произведение длины, высоты и ширины.
Чтобы найти одно измерение, нужно найти произведение двух других и разделить объем на это число.
Длина окружности
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Как найти длину окружности через диаметр
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:
π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
π — число пи, примерно равное 3,14
r — радиус окружности
Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
π — число пи, примерно равное 3,14
S — площадь круга
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
π — число пи, примерно равное 3,14
d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона квадрата
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
π — математическая константа, она примерно равна 3,14
a — первая сторона треугольника
b — вторая сторона треугольника
c — третья сторона треугольника
S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
π — математическая константа, примерно равная 3,14
S — площадь треугольника
p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности: 
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен 
Подставим туда наши переменные и получим 
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.
Основные понятия вектора
Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.
Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».
Определение
Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.
Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.
Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.
Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.
- Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
- Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.
- Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
- Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
- Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.
Как найти длину вектора
Модуль вектора а будем обозначать 
.
Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор 
имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.
На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.
Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует
Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора 
получаем
Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:
Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам 
, то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.
Пример
Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.
Необходимо:
Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу
Ответ: 
Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a
)
В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому
из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:
Пример
Необходимо узнать длину вектора ( left|vec{a}right|=2*vec{i}+3*vec{j}+4*vec{k} ), в котором ( vec{i}, vec{j}, vec{k} ), орты.
Решение
Получается, что дан вектор ( left|vec{a}right| ) с координатами (2; 3; 4)
Применив выведенную ранее формулу получим
Ответ: 
Длина вектора через координаты точек начала и конца
Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.
Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор 
имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле
При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами 
и 
), будет следующей:
Пример
Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow{AB}) , где A(1,√3) B(-3,1)
Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:
Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:
Ответ: 
Пример
Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))
Решение
В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})
(=sqrt{left ( 5-0 right )^2+ left ( 2-1 right )^2 + left ( lambda^2 -2right )^2} = sqrt{26 + left ( lambda^2 -2right )^2})
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
(
sqrt{26+left(lambda^2-2right)^2}=sqrt{30}
)
(
26+left(lambda^2-2right)^2=30
)
(
left(lambda^2-2right)^2=4
)
(
lambda^2-2=2
)
или
(
lambda^2-2=-2
)
(
lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0.
)
Ответ: (
lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0.
)
Длина вектора по теореме косинусов
Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.
К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{AC}) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow{BC} ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.
Пример
Даны длины двух векторов ( overrightarrow{AK}) и ( overrightarrow{AM}) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac{pi}{3} ) . необходимо найти длину ( overrightarrow{KM}).
Решение
В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
(
KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac{pi}{3})
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac{pi}{3})
(=4+16-16cosfrac{pi}{3})
(=20-8=12
)
Получается (KM=sqrt{12}
)
Ответ: (
left|overrightarrow{KM}right|=sqrt{12}
)
Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.
Первая формула это ( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2}. ), для плоскости
( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} )
длина вектора формула для трёхмерного пространства;
( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})
длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2}) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.
Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vec{S}right|=sqrt{ s_x^2+s_y^2}) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.
В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.
Применение векторов в других сферах
Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:
- в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
- в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
- в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
- географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;
Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.