Производная дробных чисел как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формула производной от дроби, примеры

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Формула производной от дроби

Раздел о производных является отдельным самостоятельным разделом в математическом анализе. Условимся, что читателю известно понятия предела, производной, дифференциала, а также ряд свойств производной.

В данной статье рассмотрим одно из свойств производной, а именно формулу производной от дроби. Приведём эту формулу. Пусть функция $v(x)$ имеет производную в точке $x$ и $v(x)neq0$, тогда:

$(frac{u}{v})’=frac{u’v-uv’}{v^2}.$

Напомним формулы производных элементарных функций:

Рисунок 1. Формулы производных элементарных функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Примеры

Решим примеры. Преобразования, позволяющие применить другие свойства производной, мы применять не будем. В решениях будем использовать только формулу производной от дроби.

По условию даются функции. Нужно найти производные.

Пример 1

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 5

Рисунок 11.

Рисунок 12. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.05.2023

Источник

Производная дроби – что это такое

Определение

Производная дроби – это значение, которое получается, если производную числителя умножить на знаменатель и прибавить числитель, умноженный на производную знаменателя, а затем все это разделить на квадрат знаменателя.

Формула производной от дроби

Формула ПД имеет следующий вид:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{v^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

При этом важно отметить, что нахождение ПД нельзя осуществлять с помощью деления производной числителя на производную знаменателя. Два эти действия будут иметь разные значения после подсчетов.

Приведем доказательство данной формулы. Рассмотрим выражение y=fracupsilonnu. Все представленные переменные – это функции от х. Умножим их на (nu). Получим (ytimesnu=upsilon).

Дифференцируем по х, применяя формулу производной произведения двух функций, то есть:

(left(upsilontimesnuright)’=upsilon’timesnu+upsilontimesnu’)

Тогда выводим:

(y’timesnu+ytimesnu’=upsilon’)

Из этого вычисляем нужную нам производную:

(y’timesnu=upsilon’-ytimesnu’=upsilon’-fracupsilonnutimesnu’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}nu;;y’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}{nu^2})

Что и требовалось доказать.

Следует также привести таблицу с производными часто встречающихся функций:

Производные

Как решать производные функции с дробями, примеры

Чтобы понять, как решать ПФ с дробями, приведем несколько примеров.

Пример 1

Найти производную дроби (y=frac x{In;x}.)

Решение

Из формулы следует, что числитель (upsilon=х), а знаменатель (nu=In;х). Найдем их производные:

(upsilon’=left(хright)’=1,;nu’=left(In;xright)’=frac1x)

Подставляем решенные (upsilon’;и;nu’) в формулу и получаем:

( y’=left(frac x{In;x}right)’=frac{left(xright)’In;x-xleft(In;xright)’}{left(In;xright)^2}=frac{In;x;-x{displaystylefrac1x}}{In^2x}=frac{In;x-1}{In^2x})

Ответ: (y’=frac{In;x-1}{In^2x}.)

Пример 2

Найти производную дроби, равную (y=frac{cos;x}x).

Решение

По формуле производной частного:

(y’=left(frac{cos;x}xright)=frac{left(cos;xright)’x-cos;xleft(xright)’}{left(xright)^2})

Производная косинуса дает нам синус с минусом:

(left(cos;xright)’=-sin;x)

В таком случае:

(y’=frac{-x;sin;x-cos;x}{x^2}=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2})

Ответ: (y’=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2}.)

Пример 3

Найти производную дроби (yleft(xright)=frac{e^x-1}{e^x+1}.)

Решение

Из таблицы производных находим:

(left(e^xright)’=e^x)

Применяем правила дифференцирования постоянной и суммы:

(left(e^x-1right)’=left(e^xright)’-left(1right)’=e^x-0=e^x;;left(e^x+1right)’=left(e^xright)’+left(1right)’=e^x-0=e^x)

Используем формулу производной дроби:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{nu^2};left(frac{e^x-1}{e^x+1}right)’=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrackleft(e^x-1right)’left(e^x+1right)-left(e^x-1right)left(e^x+1right)’rbrack=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrack e^xleft(e^x+1right)-left(e^x-1right)e^xrbrack=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2})

Ответ: (y’=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2}.)

Источник

Производная дроби

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:

$$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v-uv’}{v^2} $$

Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!

Примеры с решением

Пример 1

Найти производную дроби $ y = frac{x}{ln x} $

Решение

Из формулы следует, что числитель $$ u = x $$ а знаменатель $$ v = ln x $$ Находим их производные: $$ u’ = (x)’ = 1 $$ $$ v’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$

Подставляем найденные $ u’ $ и $ v’ $ в формулу производной дроби:

$$ y’=bigg (frac{x}{ln x} bigg )’ = frac{(x)’ln x — x(ln x)’}{(ln x)^2} = $$

$$ = frac{ln x — x frac{1}{x}}{ln^2 x} = frac{ln x — 1}{ln^2 x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = frac{ln x — 1}{ln^2 x} $$

Пример 2

Найти производную от дроби $ y = frac{cos x}{x} $

Решение

По формуле производной частного:

$$ y’=bigg (frac{cos x}{x} bigg ) = frac{(cos x)’x-cos x (x)’}{(x)^2} = $$

Производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (cos x)’ = -sin x $$

Тогда:

$$ y’ = frac{-xsin x — cos x}{x^2} = -frac{xsin x + cos x}{x^2} $$

Ответ

$$ y’ = -frac{xsin x + cos x}{x^2} $$

Источник

Один из важнейших разделов математики – производные. Для их нахождения существуют специальные формулы производных. Для работы с ними необходимо знать основные формулы элементарных функций.

Таблица формул производных

Ниже приведена таблица формул производных элементарных функций.

[C^{prime}=0]	[(ln ln x)^{prime}=frac{1}{x}]
[x^{prime}=1]	[(sin sin x)^{prime}=cos cos x]
[left(x^{2}right)^{prime}=2 x]	[(cos cos x)^{prime}=-sin sin x]
[left(x^{n}right)^{prime}=n * x^{n-1}]	[(operatorname{tg} x)^{prime}=frac{1}{cos ^{2}(x)}]
[left(a^{x}right)^{prime}=a^{x} * ln (a)]	[(operatorname{ctg} x)^{prime}=-frac{1}{sin ^{2}(x)}]
[left(e^{x}right)^{prime}=e^{x}]	[(arcsin arcsin x)^{prime}=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}]
[(x)^{prime}=frac{1}{x * ln (a)}]	[begin{aligned} (arccos &arccos x)^{prime} &=-frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} end{aligned}]
[(operatorname{arctg} x)^{prime}=frac{1}{1+x^{2}}]	[(operatorname{arcctg} x)^{prime}=-frac{1}{1+x^{2}}]

Таблица 1 – Производные элементарных функций

Смысл производной

В математике производная имеет геометрический и физический смыслы.

Допустим, что некоторая функция f(x) задана в интервале (a, b). При этом есть две точки x и x₀, которые находятся в указанном интервале. Если значение x будет изменяться, то и f(x) тоже изменится. Изменение аргумента находится из выражения (x – x₀). Эта разность обозначается как Δx – приращение аргумента. В таком случае приращением функции будет являться разность между ее значениями в двух точках. Исходя из этого, можно дать определение производной. Ей называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в указанной точке. При этом сам аргумент стремится к нулю.

В математике формулы производных функций записываются так:

[begin{gathered} f^{prime}left(x_{0}right)=left(frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}right). \ y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0}left(frac{Delta y}{Delta x}right) . end{gathered}]

Смысл этих формул, а точнее нахождения их значений, может быть описан с точки зрения геометрии и физики.

Геометрический смысл состоит в том, что производная функции в конкретной точке равняется тангенсу угла, который образован осью абсцисс и касательной линией к графику. Пример показан на рисунке ниже.

Рисунок 1 – Геометрический смысл производной

В физике смысл состоит в том, что производная от пройденного расстояния по времени есть скорость движения точки.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Формула вычисления производной дроби

Рассмотрим формулу вычисления производной дроби. Функция v(x) имеет производную в определенной точке x. При этом v(x) не равна нулю (v(x) ≠ 0). В таком случае справедлива следующая формула:

[left(frac{u}{v}right)^{prime}=frac{u^{prime} v-u v^{prime}}{v^{2}}]

Рассмотрим примеры использования формулы производной дроби при решении задач.

Примеры 1 — 2

Первый пример с выражениями из тригонометрии: [y=frac{cos cos x}{x^{2}}]

Пользуясь таблицей 1 найдем:

[begin{gathered}
y^{prime}=frac{left.(cos cos x)^{prime} * (x^{2}-xright) *left(x^{2}right)^{prime}}{left(x^{2}right)^{2}} =\
frac{(-sin sin x) * x^{2}-(cos cos x) * 2 x}{x^{4}} .
end{gathered}]

Вынесем x за скобки и преобразуем полученное выражение: [y^{prime}=frac{(-sin sin x) * x-2 cos cos x}{x^{3}}]

Другой пример:

[begin{gathered}
y=frac{x^{3}}{x^{3}+2} \
y^{prime}=frac{left(x^{3}right)^{prime} *left(x^{3}+2right)-x^{3} *left(x^{3}+2right)^{prime}}{left(x^{3}+2right)^{2}} \
y^{prime}=frac{3 x^{2} *left(x^{3}+2right)-x^{3} * 3 x^{2}}{left(x^{3}+2right)^{2}} \
y^{prime}=frac{3 x^{5}+6 x^{2}-3 x^{5}}{left(x^{3}+2right)^{2}}=frac{6 x^{2}}{left(x^{3}+2right)^{2}}
end{gathered}]

Решение примеров на нахождение производных в математике называется дифференцированием. Они бывают двух типов:

частными;
полными.

Между этими типами есть одно основное отличие. При нахождении частной производной функция аппроксимируется только по одному аргументу. Так во всех предыдущих примерах аппроксимация производилась только по x.

Источник

Поздравления!

Внимание!

Работаем через гугл-документы!

Семинары проходят раз в месяц —

первая неделя месяца

Последние действия на сайте

Рейтинг магистрантов и бакалавров
приложение из Vadim VVP

изменено пользователем Vadim VVP
Семинар 35. Компьютерные технологии 2020
изменено пользователем Vadim VVP

приложение из Vadim VVP
Online Seminar
изменено пользователем Vadim VVP
Семинар 35. Компьютерные технологии 2020
изменено пользователем Vadim VVP

приложение из Vadim VVP
Семинар 35. Компьютерные технологии 2020
изменено пользователем Vadim VVP
View All

Дробная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Понятие дробной производной является обобщением математического понятия производная.
Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они
совпадают с понятием обычной производной в случае целого положительного
порядка.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка p (p — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: $D_C^pf(x)=frac1{Gamma(p)}!intlimits_Cfrac{f(u)}{(t-u)^{p+1}},du$ , где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру C на комплексной плоскости.

Как и простая, дробная производная обладает следующим свойством: $D_C^{p_1+p_2}=D_C^{p_1}!D_C^{p_2}$

Используется в некоторых задачах кинетики, нелинейной динамики и т. п.

Чаще всего используется дробная производная порядка p = 1 / 2. С ее помощью можно, например, факторизовать выражения вида $f'(x)-F[f(x),x]=left(D^{1/2}!f(x)-sqrt{F[f(x),x]}right)left(D^{1/2}!f(x)+sqrt{F[f(x),x]}right)$ , где функция F — некоторая (в общем случае, не линейная) функция (например, F[f(x),x] = f²(x)).

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

F(f‘) = iωF(f).

Пример: дифференцирование многочленов

Пусть f(x) есть моном вида

Первая производная, как и обычно

$f'(x) = {d over dx } f(x) = k x^{k-1};.$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

${d^a over dx^a } x^k = { k! over (k - a) ! } x^{k-a};,$

который после замены факториалов гамма-функцией приводит к

${d^a over dx^a } x^k = { Gamma(k+1) over Gamma(k - a + 1) } x^{k-a};.$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

${ d^{1 over 2} over dx^{1 over 2} } x = { Gamma(1 + 1) over Gamma ( 1 - {1 over 2} + 1 ) } x^{1-{1 over 2}} = { Gamma( 2 ) over Gamma ( { 3 over 2 } ) } x^{1 over 2} = {2 pi^{-{1 over 2}}} x^{1 over 2}; = frac{2,x^{1 over 2}}{sqrt{pi}}.$

Повторяя процедуру, будем иметь

${ d^{1 over 2} over dx^{1 over 2} } {2 pi^{-{1 over 2}}} x^{1 over 2} = {2 pi^{-{1 over 2}}} { Gamma ( 1 + {1 over 2} ) over Gamma ( {1 over 2} - { 1 over 2 } + 1 ) } x^{{1 over 2} - {1 over 2}} = {2 pi^{-{1 over 2}}} { Gamma( { 3 over 2 } ) over Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 over Gamma (1) } = 1;,$

что представляет собой ожидаемый результат

$left( frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} right) x = { d over dx } x = 1 ,$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного
положительного порядка от многочлена. Определение также естественно
обобщается на аналитические функции. Рассматривая Γ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования . При этом

${dover dx}^a{dover dx}^b = {dover dx}^{a+b}$

на всех x^k таких, что при данных дифференцированиях показатель степени не становится равным .

См. также

Дифферинтеграл

Литература

Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9221-0440-3 экз.
Учайкин В. В. Метод дробных производных.. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5

S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and
Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York,
1993).
K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application
of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory
of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Ссылки

журнал «Fractional Calculus & Applied Analysis», An International Journal for Theory and Applications, ISSN 1311-0454. (англ.)
журнал Fractional Dynamic Systems (FDS)
Applications of Fractional Calculus (англ.)
Fractional
Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral,
a definition of fractional derivatives, and a list of applications of
the calculus. (англ.)
Fractional Calculus (англ.)
Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculus (англ.)
Weisstein, Eric W. Fractional Calculus(англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
Интегралы и производные дробного порядка и их приложенияю С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И. Маричев, Минск, 1987

Источник

Формула производной от дроби, примеры

Формула производной от дроби

Примеры

Производная дроби – что это такое

Формула производной от дроби

Как решать производные функции с дробями, примеры

Производная дроби

Примеры с решением

Таблица формул производных

Смысл производной

Формула вычисления производной дроби

Навигация

Поздравления!

Последние действия на сайте

Дробная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определение через интеграл Коши

Определение через преобразование Фурье

Пример: дифференцирование многочленов

См. также

Литература

Ссылки