Промежутки знакопостоянства линейной функции как найти

Математика

Тестирование онлайн

Определение. График

Линейной функцией называется функция вида

где k, b — некоторые числа.

Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.

Свойства линейной функции

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (0; b).

7) — является нулем функции.

Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0.

9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

При k<0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 — тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью Ох.

Для построения графика функции — прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.

Особые случаи

1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).

Свойства линейной функции

1) Найдем область определения и область значений функции

Так как область определения функции — это допустимые значения независимой переменной, то задача заключается в том, чтобы понять есть ли у линейной функции ограничения на значение переменной «х» . Давайте обратим внимание на аналитическое задание y=kx+b, проанализировав данное выражение можно сделать вывод: «х» может принимать любые действительные значения, следовательно:

D(f)=(-∞;+∞).

Аналогично найдем область значений функции — «у» может принимать любые действительные значения, следовательно:

Е(f)=(-∞;+∞).

2) Найдем нули функции

Если y=0, то получим уравнение kx+b=0, откуда

x=-b/k

Значит функция пересекает ось ОХ в точке (-b/k ; 0)

3) Определим промежутки знакопостоянства

Для определения промежутков знакопостоянства воспользуемся алгоритмом выведенным ранее ( Свойства функций → Знакопостоянства):

а) Функция принимает положительные значения: kx+b>0

x>-b/k

б) Функция принимает отрицательные значения: kx+b<0

x<-b/k

4) Определим промежутки монотонности линейной функции

Рассмотрим 2 случая:

1 случай: k>0

Функция возрастает при x ∈ (-∞; +∞)

2 случай: k<0

Функция убывает при x ∈ (-∞; +∞)

5) Проверим функцию на четность и нечетность

f(-x)=-kx+b

Функция не является четной и не является нечетной если k ≠ 0 и b ≠ 0

Если k=0, то функция является четной

Если k ≠ 0 и b=0, то функция является нечетной

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0;  kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1. (Рис.1)

Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.

1) D(y) = R;

2) E(y) = R;

3) Функция общего вида;

4) Непериодическая;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;

6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),

y = 5x – 3 – отрицательна при x  из (-∞; 3/5);

7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Определение

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом:

По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.
Как найти нули функции?

1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции.

Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) у= –11х +22

б) у= (х + 76)(х – 95)

в) у= – 46/х

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Получим х=2.

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Определение

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Определение

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Даниил Романович | Просмотров: 16.1k

Промежутки знакопостоянства — такие промежутки на области определения, в которых значения функции сохраняют свой знак.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

Пример:
Найдем промежутки знакопостоянства функции y=x2+x−2.
Решим неравенство: x2+x−2<0.
Сначала найдем нули функции f(x)=x2+x−2:

x2+x−2=0
D=1−4⋅(−2)=9
x=−1±32
x1=1,x2=−2

Таким образом, получились промежутки значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

(−∞;−2),(−2;1),(1;+∞)

Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, найдем значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений. 
Возьмем значения аргумента: −3∈(−∞;−2), 0∈(−2;1) и 2∈(1;+∞) и найдем для них значения функции.
f(−3)=(−3)2+(−3)−2=9−3−2=4
f(0)=−2
f(2)=4

Значит, в промежутке (−∞;−2) функция принимает положительные значения, в промежутке (−2;1) — отрицательные и в промежутке (1;+∞) — положительные.
Это же можно наблюдать на графике функции: